- 相關推薦
平行四邊形及其性質教學設計范文（精選11篇）
在教學工作者實際的教學活動中，就有可能用到教學設計，教學設計是對學業業績問題的解決措施進行策劃的過程。我們應該怎么寫教學設計呢？以下是小編幫大家整理的平行四邊形及其性質教學設計范文，歡迎大家分享。
平行四邊形及其性質教學設計 1
一、本課數學內容的本質、地位、作用分析；
平行四邊形是最基本的幾何圖形，也是“空間與圖形”領域中研究的主要對象之一．它在生活中有著十分廣泛的應用，這不僅表現在日常生活中有許多平行四邊形的圖案，還包括其性質在生產、生活各領域的實際應用。
本節課既是平行線的性質、全等三角形等知識的延續和深化，也是后續學習矩形、菱形、正方形等知識的堅實基礎，在教材中起著承上啟下的作用．平行四邊形的性質還為證明兩條線段相等、兩角相等、兩直線平行提供了新的方法和依據，拓寬了學生的解題思路。
另外本節課是在學生掌握了平移、旋轉和軸對稱知識的基礎上探究平行四邊形的性質，能使學生經歷觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等數學活動，對于培養學生的合情推理能力、發散思維能力以及探索、體驗數學思維規律等方面起著重要的作用。
二、教學目標分析；
教學目標：
知識技能：理解并掌握平行四邊形的相關概念和性質，培養學生初步應用這些知識解決問題的能力。
數學思考：通過觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等數學活動進一步發展學生的演繹推理能力和發散思維能力。
解決問題：學生親自經歷探索平行四邊形有關概念和性質的過程，體會解決問題策略的多樣性。
情感態度：培養學生獨立思考的習慣與合作交流的意識，激發學生探索數學的興趣，體驗探索成功后的快樂。
教學重點、難點：
重點：理解并掌握平行四邊形的概念及其性質．
難點：探究平行四邊形的性質．
三、教學問題診斷
在知識方面，學生在小學就接觸過平行四邊形，在感性上對其有所認識；而方法方面，學生通過在七年級的學習已經積累了按邊和角學習三角形的方法，并且學習了平行線的性質和判定；在能力方面，學生掌握了平移、旋轉和軸對稱知識，固而學生對本節課的學習已經具備了一定的認知技能。但是，在教學中發現，學生對于四邊形的對邊、對角、對角線認識不到位，個別學生甚至不知道什么是對邊，還有的分不清對角和對角線，這就為學習平行四邊形的性質產生了障礙。還有的學生對平行四邊形不是軸對稱圖形認識不清，特別是后面學完了菱形和矩形以及中心對稱后，更是對這幾種圖形和兩種對稱性分不清。再有，大部分學生更關注對知識的掌握，而忽略了對學習方法的總結。
四、本節課的教法特點以及預期效果分析。
本節課的設計，以建構主義理論為基礎，以問題為載體，以學生的`動手實踐、自主探索、合作交流為主要的學習方式．在教學過程中，實施開放式教學，創設民主、寬松的教學氛圍，最大限度地調動學生的積極性，激發他們的學習興趣，引導他們多角度、多方位、多層次地思考問題，使他們有足夠的的機會顯示靈性、展示個性．教師成為課堂問題的激發者、有序探究的組織者、學生錯誤的澄清者、多角度思考的促進者，使師生成為“數學學習的共同體”。
本節課在教法上體現教師的“啟發引導”，幫助學生實現認識上與態度上的跨越；在學法上突出學生的“探索發現”，在教學過程中立足于讓學生自己去觀察、去發現、去創造．利用多媒體、自制教具輔助教學，增強教學的直觀性、實效性。
基于“創造性地使用教材”和“真正地以學生為本”的教學理念，我將教材內容進行合理內化、整合，將教材中平行四邊形性質的探究活動完全開放，給學生充分探索的時間與空間，動手實驗，動腦思考．力圖構建學生主動探索、獲取知識的平臺，使學生真正成為實踐的探索者、知識的構建者、愉快的收獲者。
另外，把書中幾個練習題改編成有趣的解決實際的問題，并做一一連串變式訓練，層層遞進，層層加深，解決了學困生吃不了，優生吃不飽的矛盾，培養了學生思維的嚴謹性、發散性、靈活性，培養了自己發現問題、分析問題和解決問題的能力，使學生真正成為知識的主動建構者．在全體學生獲得必要發展的前提下，不同的學生還可以獲得不同的體驗．應該說是對新教材的基本設計思想的一個很好的詮釋。
總之，本節課力求在深挖概念內涵、拓展性質外延、深化練習效用的過程中達到培養學生創新意識和實踐能力的教學目的。
平行四邊形及其性質教學設計 2
一、教材分析與處理
1．教材的地位與作用
平行四邊形是最基本的幾何圖形，它在生活中有著十分廣泛的應用這不僅表現在日常生活中有許多平行四邊形的圖案，還包括其性質在生產、生活各領域的實際應用。
本節課既是平行線的性質、全等三角形等知識的延續和深化，也是后續學習矩形、菱形、正方形等知識的堅實基礎，在教材中起著承上啟下的作用．平行四邊形的性質還為證明兩條線段相等、兩角相等、兩直線平行提供了新的方法和依據，拓寬了學生的解題思路。
另外本節課是在學生掌握了平移、旋轉知識的基礎上探究平行四邊形的性質，能使學生經歷觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等數學活動，對于培養學生的合情推理能力、發散思維能力以及探索、體驗數學思維規律等方面起著重要的作用．
2．教學目標
知識與技能：理解并掌握平行四邊形的相關概念和性質，培養學生初步應用這些知識解決問題的能力。
數學思考：通過觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等數學活動進一步發展學生的演繹推理能力和發散思維能力。
解決問題：學生親自經歷探索平行四邊形有關概念和性質的過程，體會解決問題策略的多樣性。
情感態度與價值觀：培養學生獨立思考的習慣與合作交流的意識，激發學生探索數學的興趣，體驗探索成功后的快樂。
3．教學重點、難點
教學重點：理解并掌握平行四邊形的概念及其性質。
教學難點：運用平移、旋轉的圖形變換思想探究平行四邊形的性質。
4．教材處理
首先，打破了原教材的知識結構，構建成一個新的教學體系。
第1課時探索平行四邊形的性質12及相關計算。
第2課時探索平行四邊形性質3及相關計算。
↓重組后
第1課時探索平行四邊形的性質
第2課時平行四邊形性質的應用
本節課是探索平行四邊形的性質，這樣安排能很好地體現知識結構的完整性和系統性。
然后，將教材中平行四邊形性質的探究活動完全開放，給學生充分探索的時間與空間，動手實驗，動腦思考．力圖構建學生主動探索、獲取知識的平臺，使學生真正成為實踐的探索者、知識的構建者、愉快的收獲者。
最后，把一道文字證明的練習題改編成實驗操作型問題．學生利用課前準備好的教具制作成模型，讓圖形動起來這樣設計有利于學生在圖形運動變化的過程中去發現其中不變的關系，從而發現圖形的性質。
總之，教材處理力求在深挖概念內涵、拓展性質外延、深化練習效用的過程中達到培養學生創新意識和實踐能力的教學目的。
二、教學方法與手段
本節課在教法上體現教師的“啟發引導”，幫助學生實現認識上與態度上的跨越；在學法上突出學生的“探索發現”；在教學過程中立足于讓學生自己去觀察、去發現、去創造．利用多媒體、自制教具、探究活動記錄卡輔助教學，增強教學的直觀性、實效性。
三、教學程序
創設情境揭示主題
問題1：同學們，你們留意觀察過陽光透過長方形窗口投在地面上的影子是什么形狀嗎？
學生根據自己的生活經驗，可能回答：平行四邊形、矩形、四邊形……教師利用多媒體向學生展示：太陽光屬于平行光，窗口投在地面上的影子通常是平行四邊形。
問題2：愛動腦筋的小剛觀察到平行四邊形影子有一種對稱的美他說只要量出一個內角的度數，就能知道其余三個內角的度數；只需測出一組鄰邊的長，便能計算出它的周長這是為什么呢？
通過本節課的學習，大家就能明白其中的道理．今天，我們來共同研究平行四邊形及其性質。
[設計意圖：從學生的生活實際出發，創設情境，提出問題，激發學生強烈的好奇心和求知欲．學生經歷了將實際問題抽象為數學問題的建模過程]
通過觀看學生習以為常的平行光線在室內的投影片，讓學生感受到平行四邊形與生活實際緊密聯系；同時，把思維興奮點集中到要研究的平行四邊形上來，為下面學習新知識創造了良好開端。
實踐探究感悟新知
活動一：拼圖游戲
問題1：你能利用手中兩張全等的三角形紙板拼出四邊形嗎？
學生動手操作，教師留意觀察，請學生將拼出的6種形狀不同的四邊形展示在黑板上。
[設計意圖：引導學生感悟知識的生成、發展和變化，學生在拼圖活動中可以獲得豐富的感知、經歷和體驗圖形的變化過程]
問題2：觀察拼出的這個四邊形的對邊有怎樣的位置關系，說說你的理由．結合拼出的這個特殊四邊形，給出平行四邊形定義。
[設計意圖：通過拼圖游戲，讓學生經歷了平行四邊形概念的探究過程，自然而然地形成平行四邊形的概念，符合學生的認知規律．避免了以往概念教學的機械記憶，同時發展了學生的探究意識，培養了學生思維的廣闊性]
問題3：黑板上展示的圖形中，哪些是平行四邊形？
學生對黑板上拼出的四邊形進行識別教師強調定義的兩方面作用：一是可以判定一個四邊形是不是平行四邊形；二是平行四邊形具有兩組對邊分別平行的性質。
[設計意圖：在比較中學習，能夠加深學生對平行四邊形概念本質的理解滲透類比思想]
問題4：根據定義畫一個平行四邊形
學生畫圖，親身感悟平行四邊形．教師畫圖示范結合圖形介紹平行四邊形對邊、對角、對角線等元素及平行四邊形的記法、讀法。
[設計意圖：通過動手畫圖操作使學生對平行四邊形及其相關元素獲得豐富的直觀體驗，為下面介紹平行四邊形的對邊、對角、對角線以及從這些基本元素入手探究圖形性質做了有利鋪墊]
活動二：探究平行四邊形的性質
1．活動要求
（1）請你適當選用材料袋里的學具；
（2）可以采用度量、平移、旋轉、折疊、拼圖等方法；
（3）通過小組合作探究平行四邊形有哪些性質；
（4）結論寫在白紙板上
大家先看清要求，再動手操作，結論寫在記錄板上。
2．學生利用學具（全等的三角形紙板、平行四邊形紙板各一對，格尺，量角器，圖釘）小組合作探究．教師以合作者的身份深入到各小組中，了解學生的探究過程并適當予以指導。
[設計意圖：鼓勵學生探究方式、結果、表示方法的多樣化以及學生學習方式的個性化滿足學生的多樣化學習需求．做到既著眼于共同發展，又關注到個性差異]
3．匯報：學生展示實驗過程，相互補充探究出的結論．教師要引導學生將探究出的結論按照邊、角、對角線進行歸類梳理，使知識的呈現具有條理性。
[設計意圖：小組合作探究結果的展示，從多個方面完善了學生對平行四邊形性質的認識，大大提高了學習效率更為重要的是在這一過程中，讓學生感悟到學習方式的轉變．學生不但完成了學習任務，而且還學會了與人交流溝通的.本領．這真正體現了“以人為本，促進學生終身發展”的新課程理念]
4．請大家思考一下，利用我們以前學習的幾何知識，通過說理能驗證這三個結論嗎？
教師小結：連接平行四邊形的對角線，是我們常做的輔助線，它構造出兩個全等的三角形，從而將四邊形問題轉化為熟悉的三角形問題充分體現了由未知轉化為已知，由繁化簡的數學思想。
[設計意圖：注重直觀操作和簡單推理的有機結合，把幾何論證作為探究活動的自然延續和必然發展，使學生的實踐精神、創新意識和自覺說理意識得到提高]
5．總結：平行四邊形的性質
平行四邊形對邊相等
平行四邊形對角相等
平行四邊形對角線互相平分
教師小結：我們用不同的方法，從不同的角度，通過實驗、說理得到了平行四邊形的性質，它為我們得到線段相等、角相等提供了新的方法和依據．
[設計意圖：在開放式探究平行四邊形性質的活動后，再引導學生總結歸納，由此達到數學教學的新境界――提升思維品質，形成數學素養]
開放訓練體現應用
1．解決課前提出的實際問題
某時刻小剛用量角器量出地面上平行四邊形影子的一個內角是60°，就說知道了其余三個內角的度數；又用直尺量出一組鄰邊的長分別是40cm和55cm，便胸有成竹地說能夠計算出這個平行四邊形的周長．你知道小剛是如何計算的嗎？這樣計算的根據是什么?
[設計意圖：回扣課始導言，體現了教學的連貫性，也體現出數學知識的實用性．學以致用的體驗，使學生感受到數學學習是有趣的、豐富的、有價值的]
2．試一試
用圖釘把一根平放在ABCD上的細紙板條固定在對角線AC、BD的交點O處撥動紙板條，使它隨意停留在任意的位置觀察幾次撥動的結果，你有什么新發現？記錄下來，再與同伴交流。
教師深入小組參與活動，傾聽學生的交流，鼓勵學生盡可能多地給出不同的答案。
學生可能從以下幾方面發現結論，發現一些線段相等、一些角相等、一些圖形全等、一些圖形面積相等……
[設計意圖：本題構造了一個圖動→手動→腦動的動態思維場景學生在此場景中觀察、分析、歸納、推理，培養了自己發現問題、分析問題和解決問題的能力，使學生真正成為知識的主動建構者．在全體學生獲得必要發展的前提下，不同的學生還可以獲得不同的體驗，應該說是對新教材的基本設計思想的一個很好的詮釋]
反思小結持續發展
以師生共同小結的方式進行
1．知識再現
2．方法總結
解決四邊形問題的方法；證明線段相等、角相等的方法
3．思想提煉
轉化、類比、抽象、概括
[設計意圖：這是一次知識與情感的交流，濃縮知識要點，突出內容本質，滲透思想、方法，培養學生自我反饋、自主發展的意識．對整個課堂的學習過程進行反思，能夠促進理解，提高認識水平，從而促進數學觀點的形成和發展，更好地進行知識構建，實現良性循環]
作業布置
已知任意三點A、B、C是否存在點D,使得這4個點順次連結成平行四邊形．如存在，請你做出平行四邊形；如不存在，請說明理由。
[設計意圖：本題學生可以經歷二次開放、二次分類，會充分感受到問題蘊涵的巨大樂趣]
【設計說明】
本節課的設計，以建構主義理論為基礎，以問題為載體，以學生的動手實踐、自主探索、合作交流為主要的學習方式．在教學過程中，實施開放式教學，創設民主、寬松的教學氛圍，最大限度地調動學生的積極性，激發他們的學習興趣，引導他們多角度、多方位、多層次地思考問題，使學生親身體驗如何“做數學”、如何實現數學的“再創造”的過程，體現了教師教學行為與學生學習方式的轉變。
一、創設情境把學生引入問題的建模過程中
本節課以學生習以為常的“平行光線在室內的投影”為情境引出課題，使學生很快就找到了參與的切入點和思維的激活點。
二、實踐探究把學生引入新知的感悟過程中
首先，通過拼圖游戲將數學的呈現方式轉變為數學的生成方式，使學生經歷了平行四邊形概念的發現和探究過程，自然而然地形成了概念．學生不是被動地接受知識，而是在教師精心搭造的教學平臺上去創造知識。
然后，對教材內容進行了重組加工，將教材中平行四邊形性質的探究活動完全開放，為學生建構了合作探究的平臺，營造了思維馳騁的空間,滿足了學生的多樣化學習需求。
該活動的設計滿足了學生的多樣化學習需求．做到既著眼于共同發展，又關注到個性差異．學生有足夠的機會顯示靈性、展示個性．而教師真正成為課堂問題的激發者、有序探究的組織者、學生錯誤的澄清者、多角度思考的促進者師生互動,有機結合為“數學學習的共同體”。
三、變式訓練把學生引入思維能力的培養過程中
把書中一道文字證明的練習題改編成有趣的實驗操作型問題，做到源于教材，活于教材，使學生學會用運動、變化的觀點分析問題、解決問題．培養學生思維的嚴謹性、發散性、靈活性，達到舉一反三的作用．最大限度地發揮學生的潛能，活躍思維，培養學生的合作意識、創新精神。
四、反思小結把學生引入可持續發展的提升過程中
這節課的結尾，既有對課堂知識的系統小結，又有對思想方法的高度凝練，提升學生思維品質，讓學生獲得可持續發展的動力。
總之，“以學生的發展為本”是本節課的核心思想，教學設計力求發揮學生的主體意識，讓學生主動參與數學活動的全過程，使學生真正達到“快樂做數學”的美好境界。
平行四邊形及其性質教學設計 3
＜title＞ 從不同方向看＜/title＞
教學目標
教學知識點
1 、掌握平行四邊形有關概念和性質。
2 、探索并掌握平行四邊形的對邊相等，對角相等的性質。
能力訓練要求
1 、動手操作實踐的過程中，探索發現平行四邊形的性質。
2 、知道解決平行四邊形問題的基本思想是化為三角形問題來解決，滲透轉化思想。
3 、通過探索平行四邊形的性質，培養學生簡單的推理能力和邏輯思維能力。
情感與價值觀要求
1 、探索平行四邊形性質的過程中，感受幾何圖形中呈現的數學美。
2 、在進行探索的活動過程中發展學生的探究意識和合作交流的習慣。
教學重點
探索平行四邊形的性質。
教學難點
平行四邊形性質的理解。
教學方法：
探索歸納法
教學過程：
一、觀賞生活中的圖片，引入課題
下面的圖片中，有你熟悉的哪些圖形？
（設計這個活動，一方面可讓學生認識到平行四邊形在生活、生產中的應用，另一方面讓學生在復雜的圖形中認識平行四邊形。）
二、開啟智慧
1 、操作活動：
讓學生進行如下操作后，思考以下問題：
將一張紙對折，剪下兩張疊放的三角形紙片，設法找到某一邊的中點，記作點O，將上層的三角形紙片繞點O旋轉180度，下層的三角形紙片保持不動，得到一個圖形。（用幾何畫板平臺展示整個過程）
2 、觀察、討論：
（1）兩張紙片拼成了怎樣的圖形？它是四邊形嗎？
（2）這個圖形中有哪些相等的角？有沒有互相平行的`線段？你是怎樣得到的？
（3）用簡潔的語言刻畫這個圖形的特征，并與同伴交流。
3 、平行四邊形的定義
4 、介紹平行四邊形的書寫方式及對角線的定義。
5 、請學生舉出自己身邊存在的平行四邊形的例子。
6 、學生動手畫一個平行四邊形，并表示出來。
三、知識源于悟：
1 、做一做（讓學生實際動手操作）
用一張半透明的紙復制你剛才畫的平行四邊形，并將復制后的四邊形繞一個頂點旋轉180度，你能平移該紙片，使它與你畫的平行四邊形ABCD重合嗎？
2 、討論：（小組交流）
（1）通過以上活動，你能得到哪些結論？
（2）平行四邊形ABCD對邊、對角分別有什么關系？能用別的方法驗證你的結論嗎？
3 、結論：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等
四、能力的源泉：
1 、如果已知平行四邊形一個內角的度數，能確定其它三個內角的度數嗎？說說你的理由。
2 、變換角的度數，試一試。
3 、你得到了什么結論？
五、隨堂練習
六、試一試：用平行四邊形設計美麗的圖案。
七、新課小結：
通過本節課的學習，你有什么收獲？
（同桌互講，小組交流，師生共同小結）
八、作業設計：
必做題：習題4.1第1 、 2題。
提高題：（解決問題）農民李某想發展副業致富，經考察地形后，在耕地旁邊的荒地上開墾一平行四邊形形狀的魚塘。能測得∠ BAD＝120 0，量得AB＝50米，AD＝80米。請你幫助李某一下魚塘的對邊AD 、 BC之間的距離及這個魚塘的面積。
九、課后反思
本節課，通過學生們自己動手操作，自己推導，自己發現從而得到平行四邊形的有關知識，充分發揮學生們的探究意識和合作交流習慣。
平行四邊形及其性質教學設計 4
一、學習目標
1、經歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的過程，發展有條理的思考及語言表達能力。
2、 會進行簡單的多項式與多項式的乘法運算
二、學習過程
（一）自學導航
1、創設情境
某地區在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區的長、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區現在的面積。
這塊林區現在的長為 米，寬為 米。因而面積為________米2。
還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為 米2， 米2，_______米2， 米2。故這塊地的面積為 。
由于這兩個算式表示的都是同一塊地的面積，則有 =
如果把（m+n）看作一個整體，你還能用別的方法得到這個等式嗎？
2、概括：
多項式乘以多項式的法則：
3、計算
（1） （2）
4、練一練
（1）
（二）合作攻關
1、某酒店的廚房進行改造，在廚房的中間設計一個準備臺，要求四面的過道寬都為x米，已知廚房的長寬分別為8米和5米，用代數式表示該廚房過道的總面積。
2、解方程
（三）達標訓練
1、填空題：
（1） = =
（2） = 。
2、計算
（1） （2）
（3） (4)
（四）提升
1、怎樣進行多項式與多項式的乘法運算？
2、若 的乘積中不含 和 項，則a= b=
應用題
第三十五講 應用題
在本講中將介紹各類應用題的解法與技巧．
當今數學已經滲入到整個社會的各個領域，因此，應用數學去觀察、分析日常生活現象，去解決日常生活問題，成為各類數學競賽的一個熱點．
應用性問題能引導學生關心生活、關心社會，使學生充分到數學與自然和人類社會的密切聯系，增強對數學的理解和應用數學的信心．
解答應用性問題，關鍵是要學會運用數學知識去觀察、分析、概括所給的實際問題，揭示其數學本質，將其轉化為數學模型．其求解程序如下：
在初中范圍內常見的數學模型有：數式模型、方程模型、不等式模型、函數模型、平面幾何模型、圖表模型等．
例題求解
一、用數式模型解決應用題
數與式是最基本的數學語言，由于它能夠有效、簡捷、準確地揭示數學的本質，富有通用性和啟發性，因而成為描述和表達數學問題的重要方法．
【例1】(2003年安徽中考題)某風景區對5個旅游景點的門票價格進行了調整，據統計，調價前后各景點的游客人數基本不變。有關數據如下表所示：
景點ABCDE
原價（元）1010152025
現價（元）55152530
平均日人數（千人）11232
（1）該風景區稱調整前后這5個景點門票的平均收費不變，平均日總收入持平。問風景區是怎樣計算的？
（2）另一方面，游客認為調整收費后風景區的平均日總收入相對于調價前，實際上增加了約9.4%。問游客是 怎樣計算的？
（3）你認為風景區和游客哪一個的說法較能反映整體實際？
思路點撥
（1）風景區是這樣計算的：
調整前的平均價格： ，設整后的平均價格：
∵調整前后的平均價格不變，平均日人數不變．
∴平均日總收入持平．
（ 2）游客是這樣計算的：
原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）
現平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）
∴平均日總收入增加了
（3）游客的說法較能反映整體實際．
二、用方程模型解應用題
研究和解決生產實際和現實生恬中有關問題常常要用到方程<組)的知識，它可以幫助人們從數量關系和相等關系的角度去認識和理解現實世界．
【例2】 (重慶中考題)某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小也相同．安全檢查中，對4道門進行了測試：當同時開啟一道正門和兩道側門時，2min內可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側門時，4mln內可以通過800名學生．
(1)求平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生?
(2)檢查中發現，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規定：在緊急情況下全大樓的學生應在5min內通過這4道門安全撤離．假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4道門整否符合安全規定?請說明理由．
思路點撥 列方程(組)的關鍵是找到題中等量關系：兩種測試中通過的學生數量．設未知數時一般問什么設什么．“符合安全規定”之義為最大通過量不小于學生總數．
(1)設平均每分鐘一道正門可以通過x名學生，一道側門可以通過y名學生，由題意得：
,解得：
(2)這棟樓最多有學生4×8×4 5=1440(名)．
擁擠時5min4道門能通過．
5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),
因1600>1440，故建造的4道門符合安全規定．
三、用不等式模型解應用題
現實世界中的不等關系是普遍存在的，許多問題有時并不需要研究它們之間的相等關系，只需要確定某個量的變化范圍，即可對所研究的問題有比較清楚的認識．
【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風力資源豐富，一年內月平均的風速不小于3m／s的時間共約160天，其中日平均風速不小于6m／s的時間占60天．為了充分利用“風能”這種“綠色資源”，該地擬建一個小型風力發電場，決定選用A、B兩種型號的風力發電機，根據產品說明，這兩種風力發電機在各種風速下的日發電量(即一天的發電量)如下表：一天的發電量)如下表：
日平均風速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6
日發電量 (千瓦?時)A型發電機O≥36≥150
B型發電機O≥24≥90
根據上面的數據回答：
(1)若這個發電場購x臺A型風力發電機，則預計這些A型風力發電機一年的發電總量至少為 千瓦?時；
(2)已知A型風力發電機每臺O.3萬元，B型風力發電機每臺O.2萬元．該發電場擬購置風力發電機共10臺，希望購機的費用不超過2.6萬元，而建成的風力發電場每年的發電總量不少于102000千瓦?時，請你提供符合條件的購機方案．
根據上面的數據回答：
思路點撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x；
(2)設購A型發電機x臺，則購B型發電機(10—x)臺,
解法一根據題意得：
解得5≤x ≤6．
故可購A型發電機5臺，B型發電機5臺；或購A型發電機6臺，B型發電視4臺．
四、用函數知識解決的應用題
函數類應用問題主要有以下兩種類型：(1)從實際問題出發，引進數學符號，建立函數關系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數關系式．
【例4】 (揚州)楊嫂在再就業中心的扶持下，創辦了“潤楊”報刊零售點．對經營的某種晚報，楊嫂提供丁如下信息：
①買進每份0.20元，賣出每份0.30元；
②一個月內(以30天計)，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份；
③一個月內，每天從報社買進的報紙份數必須相同．當天賣不掉的報紙，以每份0.10元退回給報社；
(1)填表：
一個月內每天買進該種晚報的份數100150
當月利潤(單位：元)
(2)設每天從報社買進該種晚報x份，120≤x≤200時，月利潤為y元，試求出y與x的函數關系式，并求月利潤的最大值．
思路點撥(1)填表：
一個月內每天買進該種晚報的份數100150
當月利潤(單位：元)300390
(2)由題意可知，一個月內的20天可獲利潤：
20×=2x(元)；其余10天可獲利潤：
10=240—x(元)；
故y=x+240，(120≤x≤200)， 當x=200時，月利潤y的最大值為440元．
注 根據題意，正確列出函數關系式，是解決問題的關鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍．
另外，初三還會提及統計型應用題，幾何型應用題．
【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成．
（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數．
(2)如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用200 0元；如果請乙工程隊施工，公司每日需付費用1400元．在規定時間內：A．請甲隊單獨完成此項工程；B．請乙隊單獨完成此項工 程； C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上方案哪一種花錢最少?
思路點撥 這是一道策略優選問題．工程問題中：工作量=工作效率×工時．
(1)設乙工程隊單獨完成此項工程需x天，根據題意得：
, x=30合題意，
所以，甲工程隊單獨完成此項工程需用20天，乙隊需30天．
(2)各種方案所需的費用分別為：
A．請甲隊需2000×20=40000元；
B．請乙隊需1400×30=4200元；
C．請甲、乙兩隊合作需(2000+1400)×12=40800元．
所隊單獨請甲隊完成此項工程花錢最少．
【例6】 (2全國聯賽初賽題)一支科學考察隊前往某條河流的上游去考察一個生態區，他們以每天17km的速度出發，沿河岸向上游行進若干天后到達目的地，然后在生態區考察了若干天，完成任務后以每天25km的速度返回，在出發后的第60天，考察隊行進了24km后回到出發點，試問：科學考察隊的生態區考察了多少天?
思路點撥 挖掘題目中隱藏條件是關鍵!
設考察隊到 生態區去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，
17x－25y=－1，即25y－17x=1． ①
這里x、y是正整數，現設 法求出①的一組合題意的解，然后計算出z的值．
為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負整數)．用輾轉相除法．
25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．
與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2．
下面再求出①的合題意的解．
由不定方程的知識可知，①的一切整數解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，
∴ x+y=42t－5，t為整數．按題意0
∴z=60—(x+y)=23．
答：考察隊在生態區考察的天數是23天．
注 本題涉及到的未知量多，最終轉化為二元一次不定方程來解，希讀者仔細咀嚼所用方法．
【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實行優惠購物，規定如下：
(1)若一次購物少于200元，則不予優惠；
(2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標價給予九折優惠；
(3)若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優惠，超過500元部分給予八折 優惠．
小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現在小亮決定一次去購 買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少?
思路點撥 應付198元購物款討論：
第一次付款198元，可是所購物品的實價，未 享受優惠；也可能是按九折優惠后所付的款．故應分兩種情況加以討論．
情形1 當198元為購物不打折付的錢時，所購物品的原價為198元 ．
又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢，104元為購物打八折付的錢；104÷0. 8 =130(元)．
因此，554元所購物品的原價為130+500=630(元)，于是購買小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買應付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）．
情形2 當198元為購物打九折付的錢時，所購物品的原價為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)．
綜上所述，小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品，應付款712.40元或730元
【例8】 (2002年全國數學競賽題)某項工程，如果由甲、乙兩隊承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2 天完成，需付160000元．現在工程由一個隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少?
思路點撥 關鍵問題是甲、乙、丙單獨做各需的天數及獨做時各方日付工資．分兩個層次考慮：
設甲、乙、丙單獨承包各需x、y、z天完成．
則 ，解得
再設甲、乙、丙單獨工作一天，各需付u、v、w元，
則 ，解得
于是，由甲隊單獨承包，費用是45500×4=182000 (元)．
由乙隊單獨承包，費用是29500×6= 177000 (元)．
而丙隊不能在一周內完成．所以由乙隊承包費用最少．
學歷訓練
（A級）
1．(河南)在防治“SARS”的戰役中，為防止疫情擴散，某制藥廠接到了生產240箱過氧乙酸消毒液的任務．在生產了60箱后，需要加快生產，每天比原來多生產15箱，結果6天就完成了任務．求加快速度后每天生產多少箱消毒液?
2．(山東省競賽題)某市為鼓勵節約用水，對自來水妁收費標準作如下規定：每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元／噸收費；超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費；超過20t部分按每噸1.50元收費，某月甲戶比乙戶多繳水費7.10元，乙戶比丙戶多繳水費3.75元，問甲、乙、丙該月各繳水費多少?(自來水按整噸收費)
3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數學題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?
4．某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案，一種出租車收費標準是起步價10元，每千米1.2元；另一種出租車收費標準是起步價8元，每千米1.4元，問選擇哪一種出租車比較合適?
(提示：根據目前出租車管理條例，車型不同，起步價可以不同，但起步價的最大行駛里程是相同的，且此里程內只收起步價而不管其行駛里程是多少)
（B級）
1．(全國初中數學競賽題)江堤邊一洼地發生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機 臺．
2．(希望杯)有一批影碟機(VCD)原售價：800元／臺．甲商場用如下辦法促銷：
購買臺數1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上
每臺價格760元720元680元640元600元
乙商場用如下辦法促銷：每次購買1~8臺，每臺打九折；每次購買9~16臺，每臺打八五折； 每次購買17~24臺，每臺打八折；每次購買24臺以上，每臺打七五折．
（1）請仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買VCD的購買臺數與每臺價格的對照表；
(2)現在有A、B、C三個單位，且單位要買10臺VCD，B單位要買16臺VCD，C單位要買20臺VCD，問他們到哪家商場購買花費較少?
3．(河北創新與知識應用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請你據此設計兌換方案．
4．從自動扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運動且男孩每分鐘走動的級數是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達扶梯頂部(設男孩、女孩每次只踏—級)．問：
(1)扶梯露在外面的部分有多少級?
(2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數和扶梯的級數相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階?
5．某化肥廠庫存三種不同的混合肥，第一種 含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍．
6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場，這5塊麥田生產的麥子都在此打場．問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內的數字為產量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b < a
多邊形的邊角與對角線
j.Co M
第十四講 多邊形的邊角與對角線
邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數 、內外角度數、對角線條數是解與多邊形相關的基本問題，常用到三角形內角和、多邊形內、外角和定理、不等式、方程等知識．
多邊形 的內角和定理反映出一定的規律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質的規律；360°是一個常數，把內角問題轉化為外角問題，以靜制動是解多邊形有關問題的常用技巧．
將多邊形問題轉化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略，連對角線或向外補形、對內分割是轉化的常用方法，從凸 邊形的一個頂點引出的對角線把 凸 邊形分成 個多角形，凸n邊形一共可引出 對角線．
例題求解
【例1】在一個多邊形中，除了兩個內角外，其余內角之和為2002°，則這個多邊形的邊數是 ．
(江蘇省競賽題)
思路點撥 設除去的角為°，y°，多邊形的邊數 為 ，可建立關于x、y的不定方程；又0°
鏈接 世界上的萬事萬物是一個不斷地聚合和分裂的過程，點是幾何學最原始的概念，點生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發現新的幾何性質，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他
一些幾何圖形．
【例2】 在凸10邊形的所有內角中，銳角的個數最多是( )
A．0 B．1 C．3 D．5
(全國初中數學競賽題)
思路點撥 多邊形的內角和是隨著多邊形的邊數變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內角為銳角的個數討論轉化為 外角為鈍角的個數的探討．
【例3】 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個三角形，在平面上把這兩個三角形拼成一個四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標出圖中直角)，并分別寫出所拼四邊形的對角線的長．
(烏魯木齊市中考題)
思路點撥 把動手操作與合情想象相結合 ，解題的關鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線有不同情形．
注 教學建模是當今教學教育、考試改革最熱門的一個話題，簡單地說，“數學建模”就是通過數學化(引元、畫圖等)把實際問題特化為一個數學問題，再運用相應的數學知識方法(模型)解決問題．
本例通過設元，把“沒有重疊、沒有空隙”轉譯成等式，通過不定方程求解．
【例4】 在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發現地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內角大小有關，當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角(360°)時，就拼成了一個平面圖形．
(1)請根據下列圖形，填寫表中空格：
(2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形?
(3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說明你的理由．
(陜西省中考題)
思路點撥 本例主要研究兩個問題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開放性，又具有探索性．假定正n邊形滿足鋪砌要求，那么在它的頂點接合的地方，n個內角的和為360°，這樣，將問題的討論轉化為求不定方程的正整數解．
【例5】 如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個單位，得到新的五邊形ABCDE．
（1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHAG、BFBP、COCN、DMDL、EKEI能拼成一個五邊形嗎?說明理由．
(2)證明五邊形ABCDE的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個單位．
(江蘇省競賽題)
思路點撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個五邊形須滿足條件：，AGB； BPC； CND；DLE；EIA三點分別共線；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長等于AH+AG+BF+BP+CO+CN+DM+DL+EK+EI，用圓的.周長逼近估算．
1．如圖，用硬紙片剪一個長為16cm、寬為12cm的長方形，再沿對角線把它分成兩個三角形，用這兩個三角形可拼出各種三角形和四邊形來，其中周長最大的是 ?，周長最小的是 cm．
(選6《莢國中小學數學課程標準》)
2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．
3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線段AD的取值范圍是 ．
4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規律，拼成若干個圖案：
(1)第4個圖案中有白色地面磚 塊；
(2)第n個圖案中有白色地面磚 塊．
(江西省中考題)
5．凸n邊形中有且僅有兩個內角為鈍角，則n的最大值是( )
A．4 B．5 C． 6 D．7
( “希望杯”邀請賽試題)
6．一個凸多邊 形的每一內角都等于140°，那么，從這個多邊形的一個頂點出發的對角線的條數是( )
A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條
7．有一個邊長為4m的正六邊形客廳，用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚( )
A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊
( “希望杯”邀請賽試題)
8．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是一個含有30°角的直角三角形，現將△ABC和△ACD拼成一個凸四邊形ABCD．
（1）)畫出四邊形ABCD；
(2)求出四邊形ABCD的對角線BD的長．
(上海市閔行區中考題)
9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數．
(北京市競賽題)
10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對邊A3A4的中點，連結A1B1，我們稱A1B1是這個五邊形的一條中對線，如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行．
(安徽省中考題)
11．如圖，凸四邊形有 個；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．
(重慶市競賽題)
12．如圖，延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于 ；若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個角的和等于 ．
( “希望杯”邀請賽試題)
13．設有一個邊長為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復上述過程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三 等分，并重復上述過程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長是 ；A4這個多邊形的面積是原三角形面積的 倍．
(全國初中數學聯賽題)
14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競賽題)
15．在一個n邊形中，除了一個內角外，其余(n一1)個內角的和為2750°，則這個內角的度數為( )
A．130° D．140° C ．105° D．120°
16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長為( )
A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競賽題)
注 按題中的方法不斷地做下去，就會成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個美麗的名稱——雪花曲線或 科克曲線(瑞典數學家)，這類圖形稱為“分形”，大量的物理、生物與數學現象都導致分形，分形是新興學科“混沌”的重要分支．
17．如圖，設∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( )
A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α
(山東省競賽題)
18．平面上有A、B，C、D四點，其中任何三點都不在一直線上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個三角形的內角不超過45°．
19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長都是整數，求n． (上海市競賽題)
20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個內角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長．
21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況，如果折疊起來，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點都是活動的)，活動床頭是根據三角形的穩定性和四邊形的不穩定性設計而成的，其折疊過程可由圖2的變換反映出來．
如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長時，才能實現上述的折疊變化?
(淄博市中考題)
22．一個凸n邊形由若干個邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成，求此凸n邊形各個內角的大小，并畫出這樣的 凸n邊形的草圖．
圖形的平移與旋轉
前蘇聯數學家亞格龍將幾何學定義為：幾何學是研究幾何圖形在運動中不變的那些性質的學科．
幾何變換是指把一個幾何圖形Fl變換成另一個幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、旋轉是常見的合同變換．
如圖1，若把平面圖形Fl上的各點按一定方向移動一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換．
平移前后的圖形全等，對應線段平行且相等，對應角相等．
如圖2，若把平面圖Fl繞一定點旋轉一個角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉變換，其中定點叫旋轉中心，定角叫旋轉角．
旋轉前后的圖形全等，對應線段相等，對應角相等，對應點到旋轉中心的距離相等．
通過平移或旋轉，把部分圖形搬到新的位置，使問題的條件相對集中，從而使條件與待求結論之間的關系明朗化，促使問題的解決．
注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變而相似變換，只保留線段間的比例關系，而線段本身的大小要改變．
例題求解
【例1】如圖，P為正方形ABCD內一點，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ．
思路點撥 通過旋轉，把PA、PB、PC或關聯的線段集中到同一個三角形．
【例2】 如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線 段x、m、n為邊長的三角形的形狀是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變
思路點撥 把△ACN繞C點順時針旋轉45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可．
注 下列情形，常實施旋轉變換：
(1)圖形中出現等邊三角形或正方形，把旋轉角分別定為60°、90°；
(2)圖形中有線段的中點，將圖形繞中點旋轉180°，構造中心對稱全等三角形；
(3)圖形中出現有公共端點的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點，旋轉兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合．
【例3】 如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等．
(全俄數學奧林匹克競賽題)
思路點撥 設法將復雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個基本圖形表示，題設中有平行條件，可考慮實施平移變換．
注 平移變換常與平行線相關，往往要用到平行四邊形的性質，平移變換可將角，線段移到適當的位置，使分散的條件相對集中，促使問題的解決．
【例4】 如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競賽題)
思路點撥 本例實際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過平移把BC與EF集中到同一個三角形中．
注 三角形中的不等關系，涉及到以下基本知識：
(1)兩點間線段最短，垂線段最短；
(2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；
(3)同一個三角形中大邊對大角(大角對大邊)，三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．
【例5】 如圖，等邊△ABC的邊長為 ，點P是△ABC內的一點，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長． (“希望杯”邀請賽試題)
思路點撥 題設條件滿足勾股關系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構成三角形，不能直接應用，通過旋轉變換使其集中到一個三角形中，這是解本例的關 鍵．
學歷訓練
1．如圖，P是正方形ABCD內一點，現將△ABP繞點B顧時針方向旋轉能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ．
2．如圖，P是等邊△ABC內一點，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ．
3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長為 ．
4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△ABC的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動的距離AA是( )
A． B． C．l D． (2002年荊州市中考題)
5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點C、F，給出以下四個結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP．
當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A、B重合)，上述結論中始終正確的有( )
A．1個 B．2個 C ．3個 D．4個
(2003年江蘇省蘇州市中考題)
6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長為( )
A．2 B．3 C ． D． (2004年武漢市選拔賽試題)
7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為 和 ，對角線BD、FH都在直線 上，O1、O2分別為正方形的中心，線段O1O2的長叫做兩個正方形的中心距，當中心O2在直線 上平移時，正方形EFGH也隨之平移，在平移時正方形EFGH的形狀、大小沒有變化．
(1)計算：O1D= ，O2F= ；
(2)當中心O2在直線 上平移到兩個正方形只有一個公共點時，中心距O1O2= ；
(3)隨著中心O2在直線 上平移，兩個正方形的公共點的個數還有哪些變化?并求出相對應的中心距的值或取值范圍(不必寫出計算過程)． (徐州市中考題)
8．圖形的操做過程（本題中四個矩形的水平方向的邊長均為a，豎直 方向的邊長均為b）：
在圖a中，將線段A1A2向右平移1個單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）；
在圖b中， 將折線A1A2A3向右平移1個單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）；
（1）在圖c中,請你類似地畫一條有兩個折點的折線,同樣向右平移1個單位,從而得到一個封閉圖形,并用斜線畫出陰影；
（2）請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ；
（3）聯想與探索：
如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的．
(2002年河北省中考題)
9．如圖，已知點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM．
說明及要求：本題是《幾何》第二冊幾15中第13題，現要求：
(1)將△ACM繞C點按逆時針方向旋轉180°，使A點落在CB上，請對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形(不寫作法，保留作圖痕跡)．
(2)在①所得的圖形中，結論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
(3)在①得到的圖形中，設MA的延長線與BN相交于D點，請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結論．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點3cm的點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉90°至△DEF，則旋轉前后兩個直角三角形重疊部分的面積是 cm2．
11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點E在DC上，AE、BC的延長線交于點F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是 ．
(紹興市中考題)
12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內一點，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關系是( )
A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無法確定
13．如圖，設P到等邊三角形ABC兩頂點A、B的距離分別為2、3，則PC所能達到的最大值為( )
A． B． C ．5 D．6
(2004年武漢市選拔賽試題)
14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC 延長線上一點，BD=CE，連DE，求證：DE>DC．
15．如圖，P為等邊△ABC內一點，PA、PB、PC的長為正整數，且PA2+PB2=PC2，設PA=m，n為大于5的實數，滿 ，求△ABC的面積．
16．如圖，五羊大學建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門，為方便人員來往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點間來往路程最短，兩座橋都按這個目標而建，那么，此時A、D兩點間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題)
17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內一點，點O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞 點O順時針旋轉45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ．
(1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形；
(2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競賽題)
18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點處，并將紙板繞O點旋轉，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值．
(2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉， 當扇形紙板的圓心角為 時，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；當扇形紙板的圓心角為 時，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a．
(3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉．當扇形紙板的圓心角為 時，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長度為定值a；這時正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫出它與正n邊形面積S之間的關系；若不是定值，請說明理由．
平行四邊形及其性質教學設計 5
教學目標：
1.經歷探索平行四邊形有關概念和性質的過程，在活動中發展學生的探究意識和合作交流的習慣;
2.索并掌握平行四邊形的性質，并能簡單應用;
3.在探索活動過程中發展學生的探究意識。
教學重點：
平行四邊形性質的探索。
教學難點：
平行四邊形性質的理解。
教學準備：
多媒體課件
教學過程
第一環節：實踐探索，直觀感知(5分鐘，動手實踐、探索、感知，學生進一步探索了平行四邊形的概念，明確了平行四邊形的本質特征。)
1.小組活動一
內容：
問題1：同學們拿出準備好的剪刀、彩紙或白紙一張。將一張紙對折，剪下兩張疊放的三角形紙片，將它們相等的一邊重合，得到一個四邊形。
(1)你拼出了怎樣的四邊形?與同桌交流一下;
(2)給出小明拼出的四邊形，它們的對邊有怎樣的位置關系?說說你的理由，請用簡捷的語言刻畫這個圖形的特征。
2.小組活動二
內容：生活中常見到平行四邊形的實例有什么呢?你能舉例說明嗎?
第二環節探索歸納、合作交流(5分鐘，學生動手、動嘴，全班交流)
小組活動3：
用一張半透明的紙復制你剛才畫的平行四邊形，并將復制后的四邊形繞一個頂點旋轉180°，你能平移該紙片，使它與你畫的平行四邊形重合嗎?由此你能得到哪些結論?四邊形的'對邊、對角分別有什么關系?能用別的方法驗證你的結論嗎?
(1)讓學生動手操作、復制、旋轉、觀察、分析;
(2)學生交流、議論;
(3)教師利用多媒體展示實踐的過程。
第三環節推理論證、感悟升華(10分鐘，學生通過說理，由直觀感受上升到理性分析，在操作層面感知的基礎上提升，并了解圖形具有的數學本質。)
實踐探索內容
(1)通過剪紙，拼紙片，及旋轉，可以觀察到平行四邊行的對角線把它分成的兩個三角形全等。
(2)可以通過推理來證明這個結論，如圖連結AC。
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD//BC，AB//CD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∴△ABC和△CDA中
∠2=∠1
AC=CA
∠3=∠4
∴△ABC≌△CDA(ASA)
∴AB=DC，AD=CB，∠D=∠B
又∵∠1=∠2
∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠BAD=∠DCB
第四環節應用鞏固深化提高(10分鐘，通過議一議，練一練，學生進一步理解平行四邊形的性質，并進行簡單合情推理，體現性質的應用，同時從不同角度平移、旋轉等再一次認識平行四邊形的本質特征。)
1.活動內容：
(1)議一議：如果已知平行四邊形的一個內角度數，能確定其它三個內角的度數嗎?
A(學生思考、議論)
B總結歸納：可以確定其它三個內角的度數。
由平行四邊形對邊分邊平行得到鄰角互補;又由于平行四邊形對角相等，由此已知平行四邊形的一個內角的度數，可以確定其它三個角度數。
(2)練一練(P99隨堂練習)
練1如圖：四邊形ABCD是平行四邊形。
(1)求∠ADC、∠BCD度數
(2)邊AB、BC的度數、長度。
練2四邊形ABCD是平行四邊形
(1)它的四條邊中哪些線段可以通過平移相到得到?
(2)設對角線AC、BD交于O;AO與OC、BO與OD有何關系?說說理由。
歸納：平行四邊形的性質：平行四邊形的對角線互相平分。
第五環節評價反思概括總結(8分鐘，學生踴躍談感受和收獲)
活動內容
師生相互交流、反思、總結。
(1)經歷了對平行四邊形的特征探索，你有什么感受和收獲?給自己一個評價。
(2)在與同伴合作交流中練表現，優秀方面有哪些?你看到同伴哪些優點?
(3)本節學習到了什么?(知識上、方法上)
考一考：
1.ABCD中，∠B=60°，則∠A=，∠C=，∠D=。
2.ABCD中，∠A比∠B大20°，則∠C=。
3.ABCD中，AB=3，BC=5，則AD=CD=。
4.ABCD中，周長為40cm，△ABC周長為25，則對角線AC=()cm。
布置作業
課本習題4.1
A組(學優生)1、2
B組(中等生)1、2
C組(后三分之一生)1、2
平行四邊形及其性質教學設計 6
【知識目標】
1、掌握平行四邊形有關概念；
2、在動手操作實踐的過程中，探索并掌握平行四邊形的性質。
【能力目標】
1、通過探索與證明平行四邊形的性質，發展演繹推理的能力；
2、在證明平行四邊形的性質的過程中，體會將平行四邊形問題為三角形問題的轉化思想．
【情感態度與價值觀】
在進行探索的活動過程中發展合作交流的意識．
【數學核心素養目標】
1、通過操作活動，在發現平行四邊形的性質的過程中培養直觀想象的數學素養；
2、通過對性質的證明，進一步提升邏輯推理的數學核心素養．
教材
分析
重點
掌握平行四邊形的概念與性質
難點
對平行四邊形性質的探究與證明
教學方法
引導類比、鼓勵操作、啟發推理
學法指導
探索發現、猜想證明、遷移應用
教學過程
一、引入新課
PPT呈現：類比是偉大的引路人，轉化是智慧的思想家．
幾何學習，是一場充滿挑戰與驚喜的旅行，老師很榮幸今天能和在座的同學們繼續我的平面幾何之旅．
回顧我們學過的平面圖形：
直線、射線、線段角三角形？
同學們推測一下，接著我們會研究那種平面圖形？四邊形
我們就從生活中常見的一類特殊的四邊形——平行四邊形研究起．
你能舉出一些生活中常見的.平行四邊形實例嗎？
地磚、推拉門、活動衣架、窗格……
二、實踐探究
1、平行四邊形的相關概念
平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形．
D
C
A
B
如圖：
學生活動：邀請學生指導老師畫兩組分別平行的線段，并上黑板協助老師畫圖，從而得到平行四邊形．
平行四邊形的符號表示：ABCD，讀作“平行四邊形ABCD”
（注意表示時，四個頂點A、B、C、D的書寫順序只能按順時針方向或逆時針方向）
邊、對邊、鄰邊；角、對角、鄰角
對角線：平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫做它的對角線．
ABCD的對角線有兩條：AC、BD
2、平行四邊形是中心對稱圖形
活動：利用平行四邊形紙片探索平行四邊形的性質
活動方式：同桌或四人小組合作、討論交流．
教具：畫好平行四邊形的彩紙、透明紙各一張、圖釘一枚．
平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心．
3、平行四邊形的性質
性質1：平行四邊形的對邊相等．
已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以∠A=∠C，∠B=∠D
求證：AB=CD，BC=DA．
證明：連接AC
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB∥CD，BC∥DA（平行四邊形的定義）
所以∠1=∠2，∠3=∠4
在△ABC與△CDA中：
所以（ASA）
所以AB=CD，BC=DA
幾何語言：
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB=CD，BC=DA
性質2：平行四邊形的對角相等．
幾何語言：
因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以∠A=∠C，∠B=∠D
三、應用遷移
【例題探究，夯實基礎】
例：已知：如圖，在□ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，并且AE=CF。
求證：
證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形
所以AB=CD（平行四邊形的對邊相等）
AB∥CD（平行四邊形的定義）
所以∠BAE=∠DCF
在12鈭咥BE/與12鈭咰DF/中：
因為
所以（SAS）
所以BE=DF
【例題變式，靈活思維】
變式1：已知：如圖，在ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，并且AE∥DF。
求證：
變式2：已知：如圖，在ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，并且BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．
求證：
變式1圖變式2圖
【接龍練習，鞏固遷移】
1、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，
若∠A=130°，則∠B=______，∠C=______，∠D=______；
若AB=4，AD=5，則BC=__________，CD=________。
第1題圖第2題圖
2、如圖，在平面直角坐標系中，□ABCD的三個頂點為A（0，0）、B（4，0）、D（1，2），則頂點C的坐標是_____________。
3、小強用30米的鐵絲圍成一個平行四邊形的場地（不計接口長度），其中一條邊長是10米，則與這條邊相鄰的邊的長度是________米．
4、如圖，在□ABCD中，若BE平分∠ABC，則ED＝．
5、如圖，在□ABCD中，AM平分∠BAD，BM平分∠ABC，∠AMB____。
第4題圖第5題圖
【游戲設計，拓展提升】
四位同學玩傳球游戲，三位同學已經站好位置，要求以這四位同學所占位置為頂點，組成平行四邊形，請問第四位同學應該站在哪里？
解：如圖，第四位同學可以站在P、Q、M這三個位置．
四、本課總結
知識：平行四邊形的概念與性質
探究方法與思想：類比探究，轉化思想
五、作業布置
必做題：課本P1372、3、4題．
選做題：將【游戲設計，拓展提升】部分的問題整理在好題本“分類討論”這一問題中．
設計意圖
提醒并滲透“類比的方法、轉化的思想”．
提醒學生本節課是幾何探究課程．
本節課是《平行四邊形》這一章的章起始課，促使學生對平面圖形的學習進行系統性的認識．
小學已經感知上認識了平行四邊形，由學生主動舉生活中平行四邊形的實例，感受數學源于生活而服務于生活，同時逐漸調動學生主動思考，為接下來的探究熱身．
突出學生課堂主體的地位，加深對平行四邊形定義的認識．
突出重點：
1、學生通過觀察、動手操作，經歷平行四邊形性質的探索和發現過程，發展合作交流的意識，提升探究能力；
2、在動手操作額過程中，發現并驗證了平行四邊形是中心對稱圖形；
3、使學生發現平行四邊形中有關元素之間的相等關系，獲得平行四邊形有關性質的猜想．
突破難點：
1、學生探索猜想性質是合情推理，而規范證明則是演繹推理，通過規范的幾何證明，提升學生的推理論證能力．
2、轉化思想：將四邊形問題轉化為三角形問題來研究．
1、引導學生探索并展示多種證明方法．
2、激勵學生分析、解決問題的熱情，進一步提升推理論證的能力．
本例是對所學的平行四邊形性質定理的簡單應用。教學時讓學生先獨立思考，再組織學生進行交流。鼓勵學生充分表達他們尋求證明思路的過程。
這兩個問題是對例題條件進行變化，結論不變，以促進學生對平行四邊形性質的熟練掌握與靈活運用．
1、這組練習的設計，層層遞進，由淺入深，可有效地開發各層次學生的潛能及上進心，實現分類推進的教學思想．
2、第4題引導學生發現平行四邊形一條角平分線可以構造出等腰三角形；
3、第5題引導學生發現平行四邊形兩個鄰角的角平分線可以構造出直角三角形三角形．
（此問題根據實際授課情況，可刪減）
1、游戲情境，激發學生興趣；
2、此問題有三種情況，體現分類討論的思想，促進學生思考問題的全面性；
1、作業一部分是必做題，體現新課標下落實“學有價值的數學”，達到“人人都能獲得必需數學”，另一部分是選做題，讓“不同的人在數學上得到不同的發展”．
2、選做部分為了促進學生養成分類梳理數學問題的習慣．
平行四邊形及其性質教學設計 7
【學習目標】
1．能運用勾股定理解決生活中與直角三角形有關的問題；
2．能從實際問題中建立數學模型，將實際問題轉化為數學問題，同時滲透方程、轉化等數學思想。
3．進一步發展有條理思考和有條理表達的能力，體會數學的應用價值
【學習重、難點】
重點：勾股定理的應用
難點：將實際問題轉化為數學問題
【新知預習】
1.如圖，單杠AC的高度為5m，若鋼索的底端B與單杠底端C的距離為12m，求鋼索AB的長.
【導學過程】
一、情境創設
欣賞生活中含有直角三角形的圖片，如果知道斜拉橋上的索塔AB的高，如何計算各條拉索的長？
二、探索活動
活動一 如圖，起重機吊運物體，已知BC=6m,AC=10m,求AB的長.
活動二 在我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各為多少？
活動三 一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖所示的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？
三、例題講解：
1.《中華人民共和國道路交通安全法》規定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70km/h，如圖一輛小汽車在一條城市中的直道上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀的正前方30m處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？
2.一種盛飲料的圓柱形杯（如圖），測得內部地面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外面至少露出4.6cm，問吸管需要多長？
【反饋練習】
1．(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,則AB=______;若AB=4,BC=2,則AC=_____;
(2)一個直角三角形的模具，量得其中兩邊的長分別為5cm，3cm，則第三邊的長是______;
(3)甲乙兩人同時從同一地出發，甲往東走4km，乙往南走6km，這時甲乙兩人相距____km.
2．如圖，圓柱高為8cm，地面半徑為2cm ,一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是 ( )
A．20cm B．10cm C．14cm D．無法確定
3.如圖，筆直的公路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA=15km，CB=10km，現在要在公路的AB段上建一個土特產品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應建在離A點多遠處？
【課后作業】P67 習題2.7 1、4題
八年級數學競賽輔導教案：由中點想到什么
第十八講 由中點想到什么
線段的中點是幾何圖形中一個特殊的點，它關聯著三角形中線、直角三角形斜邊中線、中心對稱圖形、三角形中位線、梯形中位線等豐富的知識，恰當地利用中點，處理中點是解與中點有關問題的`關鍵，由中點想到什么?常見的聯想路徑是：
1．中線倍長；
2．作直角三角形斜邊中線；
3．構造中位線；
4．構造中心對稱全等三角形等．
熟悉以下基本圖形，基本結論：
例題求解
【例1】 如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M為BC的中點， AB=10cm，則MD的長為 ．
(“希望杯”邀請賽試題)
思路點撥 取AB中點N，為直角三角形斜邊中線定理、三角形中位線定理的運用創造條件．
注 證明線段倍分關系是幾何問題中一種常見題型，利用中點是一個有效途徑，基本方法有：
(1)利用直角三角斜邊中線定理；
(2)運用中位線定理；
(3)倍長(或折半)法．
【例2】 如圖，在四邊形ABCD中，一組對邊AB=CD，另一組對邊AD≠BC，分別取AD、BC的中點M、N，連結MN．則AB與MN的關系是( )
A．AB=MN B．AB>MN C．AB
(2001年河北省初中數學創新與知識應用競賽試題)
思路點撥 中點M、N不能直接運用，需增設中點，常見的方法是作對角線的中點．
【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD＝AB，E為AB中點，連結CE、CD，求證：C D=2EC．
(浙江省寧波市中考題)
思路點撥 聯想到與中位線相關的豐富知識，將線段倍分關系的證明轉化為線段相等關系的證明，解題的關鍵是恰當添輔助線．
【例4】 已知：如圖l，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG ⊥ CE，垂足分別為F、G，連結FG，延長AF、AG，與直線BC相交，易證FG= (AB+BC+AC)．
若(1)BD、CF分別是△ABC的內角平分線(如圖2)；
(2)BD為△ABC的內角平分線，CE為△ABC的外角平分線(如圖3)，則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明．
(2003年黑龍江省中考題)
思路點撥 圖1中FG與△ABC三邊的數量關系的求法(關鍵是作輔助線)，對尋求后兩個圖形中線段FG與△ABC三邊的數量關系起著重要作用，而由平分線、垂線發現中點，這是解題的基礎．
注 三角形與梯形的中位線．在位置上涉及到平行，在數量上是上下底和的一半，它起著傳遞角的位置關系和線段長度的功能，在證明線段倍分關系、兩直線位置關系、線段長度的計算等方面有著廣泛的應用．
【例5】 如圖，任意五邊形ABCDE，M、N、P、Q分別為AB、CD、BC、DE的中點，K、L分別為MN、PQ的中點，求證：KL∥AE且KL= AE．
(2001年天津賽區試題)
思路點撥 通過連線，將多邊形分割成三角形、四邊形，為多個中點的 利用創造條件，這是解本例的突破口．
注 需要什么，構造什么，構造基本圖形、構造線段的和差(倍分)關系、構造角的關系等，這是作輔助線的有效思考方法之一．
學歷訓練
1．BD、CE是△ABC的中線，G、H分別是BE、CD的中點，BC=8，則GH= ．
(2003年廣西中考題)
2．如圖,△ABC中、BC＝a，若D1、E1；分別是AB、AC的中點，則 ；若 D2、E2分別是D1B、E1C的中點，則 ：若 D3、E3分別是D2B、E2C的中點.則 ……若Dn、En分別是Dn-1B、En-1C的中點，則DnEn= (n≥1且 n為整數).
(200l年山東省濟南市中考題)
3．如圖，△ABC邊長分別為AD=14，BC=l6，AC=26，P為∠A的平分線AD上一點，且BP⊥AD，M為BC的中點，則PM的值是 ．
4．如圖， 梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，AC=5cm，BD=12cm，則該梯形的中位線的長等于 cm．
(2002年天津市中考題)
5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，則EF+GH=( )
A．40 B．48 C 50 D．56
6．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是對角線BD、AC的中點，若AD=6cm，BC=18?，則EF的長為( )
A．8cm D．7cm C． 6cm D．5cm
7．如圖，矩形紙片ABCD沿DF折疊后，點C落在AB上的E點，DE、DF三等分∠ADC，AB的長為6，則梯形ABCD的中位線長為( )
A．不能確定 B．2 C． D． +1
(2001年浙江省寧波市中考題)
8．已知四邊形ABCD和對角線AC、BD，順次連結各邊中點得四邊形MNPQ，給出以下6個命題：
①若所得四邊形MNPQ為矩形，則原四邊形ABCD為菱形；
②若所得四邊形MNPQ為菱形，則原四邊形ABCD為矩形；
③若所得四邊形MNPQ為矩形，則AC⊥BD；
④若所得四邊形MNPQ為菱形，則AC=BD；
⑤若所得四邊形MNPQ為矩形，則∠BAD=90°；
⑥若所得四邊形MNPQ為菱形，則AB=AD．
以上命題中，正確的是( )
A．①② B．③④ C．③④⑤⑥ D．①②③④
(2001年江蘇省蘇州市中考題)
9．如圖，已知△ABC中，AD是 高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G為垂足．求證：(1)G 是CE的 中點；(2)∠B=2∠BCE．
(2003年上海市中考題)
10．如圖，已知在正方形ABCD中，E為DC上一點，連結BE，作CF⊥BE于P，交AD于F點，若恰好使得AP=AB，求證：E是DC的中點．
11．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD為邊作平行四邊形ACED，DC的延長線交BE于F．
(1)求證：EF＝FB；
(2)S△BCE能否為S梯形ABCD的 ?若不能，說明理由；若能，求出AB與CD的關系．
12．如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，若BF=2，ED=3，GC=4，則△ABC的周長為 ．
(2002年四川省競賽題)
13．四邊形ADCD的對角線AC、BD相交于點F，M、N分別為AB、CD中點，MN分別交BD、AC于P、Q，且∠FPQ＝∠FQP，若BD=10，則AC= ．
(重慶市競賽題)
1 4．四邊形ABCD中，AD>BC，C、F分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線分別與EF的延長線交于H、G，則∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”號)
15．如圖，在△ABC中，DC=4，BC邊上的中線AD=2，AB+AC=3+ ，則S△ABC等于( )
A． B． C． D．
16．如圖，正方形ABCD中，AB＝8，Q是CD的中點，設∠DAQ=α，在CD上取一點P，使∠BAP＝2α，則CP的長是( )
A．1 D．2 C．3 D．
17．如圖，已知A為DE的中點，設△DBC、△ABC、△EBC的面積分別為S1，S2，S3，則S1、S2、S3之間的關系式是( )
A． B． C． D．
18．如圖，已知在△ABC中，D為AB的中點，分別延長CA、CB到E、F，使DE=DF，過E、F分別作CA、 CB的垂線，相交于點P．求證：∠PAE=∠PBF．
(2003年全國初中數學聯賽試題)
19．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，試判斷AB+CD與AD+BC的大小，并證明你的結論．
(山東省競賽題)
20．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如圖甲，連結DE，設M為D正的中點．
(1)求證：MB=MC；
(2)設∠BAD=∠CAE，固定△ABD， 讓Rt△ACE繞頂點A在平面內旋轉到圖乙的位置，試問：MB；MC是否還能成立?并證明其結論．
(江蘇省競賽題)
21．如圖甲，平行四邊形ABCD外有一條直線MN，過A、B、C、D4個頂點分別作MN的垂線AA1、BB1、CCl、DDl，垂足分別為Al、B1、Cl、D1．
(1)求證AA1+ CCl = BB1 +DDl；
(2)如圖乙，直線MN向上移動，使點A與點B、C、D位于直線MN兩側，這時過A、B、C、D向直線MN引垂線，垂足分別為Al、B1、Cl、D1，那么AA1、BB1、CCl、DDl 之間存在什么關系?
平行四邊形及其性質教學設計 8
教學目的：
1、深入了解平行四邊形的不穩定性；
2、理解兩條平行線間的距離定義（區別于兩點間的距離、點到直線的距離）
3、熟練掌握平行四邊形的定義，平行四邊形性質定理1、定理2及其推論、定理3和四個平行四邊形判定定理，并運用它們進行有關的論證和計算；
4、在教學中滲透事物總是相互聯系又相互區別的辨證唯物主義觀點，體驗“特殊--一般--特殊”的.辨證唯物主義觀點。
教學重點：
平行四邊形的性質和判定。
教學難點：
性質、判定定理的運用。
教學程序：
一、復習創情導入
平行四邊形的性質：
邊：對邊平行（定義）；對邊相等（定理2）；對角線互相平分（定理3）夾在平行線間的平行線段相等。
角：對角相等（定理1）；鄰角互補。
平行四邊形的判定：
邊：兩組 對邊平行（定義）；兩組對邊相等（定理2）；對角線互相平分（定理3）；一組對邊平行且相等（定理4）；兩組對角分別相等（定理1）
二、授新
1、提出問題：平行四邊形有哪些性質：判定平行四邊形有哪些方法：
2、自學質疑：自學課本P79-82頁，并提出疑難問題。
3、分組討論：討論自學中不能解決的問題及學生提出問題。
4、反饋歸納：根據預習和討論的效果，進行點撥指導。
5、嘗試練習：完成習題，解答疑難。
6、深化創新：平行四邊形的性質：
邊：對邊平行（定義）；對邊相等（定理2）；對角線互相平分（定理3）夾在平行線間的平行線段相等。
角：對角相等（定理1）；鄰角互補。
平行四邊形的判定：
邊：兩組 對邊平行（定義）；兩組對邊相等（定理2）；對角線互相平分（定理3）；一組對邊平行且相等（定理4）；兩組對角分別相等（定理1）
7、推薦作業
1、熟記“歸納整理的內容”；
2、完成《練習卷》；
3、預習：（1）矩形的定義？
（2）矩形的性質定理1、2及其推論的內容是什么？
（3）怎樣證明？
（4）例1的解答過程中，運用哪些性質？
思考題
1、平行四邊形的性質定理3的逆命題是否是真命題？根據題設和結論寫出已 知求證； 2、如何證明性質定理3的逆命題？ 3、有幾種方法可以證明？ 4、例2的證明中，運用了哪些性質及判定？是否有其他方法？ 5、例3的證明中，運用了哪些性質及判定？是否有其他方法？
跟蹤練習
1、在四邊形ABCD中，AC交BD 于點O，若AO=1/2AC,BO=1/2BD,則四邊形ABCD是平行四邊形。（ ）
2、在四邊形ABCD中，AC交BD 于點O，若OC= 且 ,則四邊形ABCD是平行四邊形。
3、下列條件中，能夠判斷一個四邊形是平行四邊形的是（ ）
（A）一組對角相等； （B）對角線相等；
（C）兩條鄰邊相等； （D）對角線互相平分。
創新練習
已知，如圖，平行四邊形ABCD的AC和BD相交于O點，經過O點的直線交BC和AD于E、F，求證：四邊形BEDF是平行四邊形。（用兩種方法）
達標練習
1、已知如圖，O為平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，EF經過點O，且與AB交于E，與CD 交于F。求證：四邊形AECF是平行四邊形。
2、已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，M、N分別是OA、OC的中點，求證：BM∥DN，且BM=DN 。
綜合應用練習
1、下列條件中，能做出平行四邊形的是（ ）
（A）兩邊分別是4和5，一對角線為10；
（B）一邊為4，兩條對角線分別為2和5；
（C）一角為600，過此角的對角線為3，一邊為4；
（D）兩條對角線分別為3和5，他們所夾的銳角為450。
推薦作業
1、熟記“判定定理3”；
2、完成《練習卷》；
3、預習：
（1）“平行四邊形的判定定理4”的內容 是什么？
（2）怎樣證明？還有沒有其它證明方法？
（3）例4、例5還有哪些證明方法？
平行四邊形及其性質教學設計 9
【教學目標】
1、知識與技能：
探索與應用平行四邊形的對角線互相平分的性質，理解平行線間的距離處處相等的結論，學會簡單推理。
2、過程與方法：
經歷探索平行四邊形性質的過程，進一步發展學生的邏輯推理能力及有條理的表達能力。
3、情感態度與價值觀：
在探索平行四邊形性質的過程中，感受幾何圖形中呈現的數學美。讓學生學會在獨立思考的基礎上積極參與對數學問題的討論，享受運用知識解決問題的成功體驗，增強學好數學的自信心。
【教學重點】：
探索并掌握平行四邊形的對角線互相平分和平行線間的`距離處處相等的性質。
【教學難點】：
發展合情推理及邏輯推理能力
【教學方法】：
啟發誘導法，探索分析法
【教具準備】：
多媒體課件
【教學過程設計】
第一環節回顧思考，引入新課
什么叫平行四邊形?
平行四邊形都有哪些性質?
利用平行四邊形的性質，我們可以解決相關的計算問題。阿凡提是傳說中很聰明的人。一天，財主巴依遇到阿凡提，想考一考聰明的阿凡提，說：給你兩塊地，一塊是平行四邊形形狀的(如下圖，AB=10，OA=3，BC=8)，還有一塊是邊長是7的正方形EFGH土地，讓你來選一下，哪一塊面積更大?
[學生活動]此時，學生的積極性被調動起來，努力試圖尋找各種途徑來求平行四邊形的面積，但找不到合適的解決辦法.
[教學內容]教師乘機引出課題，明確學習任務.
第二環節探索發現，應用深化
1、做一做：(電腦顯示P100“做一做”的內容)
如圖4-2，□ABCD的兩條對角線AC，BD相交于點O，
(1)圖中有哪些三角形是全等的?有哪些線段是相等的?
(2)能設法驗證你的猜想嗎?
[教師活動]教師將前后四名同學分成一組，學生拿出事先準備好的平行四邊形及實驗工具(刻度尺、剪刀、圖釘)，嘗試在交流合作中動手探究平行四邊形的對角線有何性質.
2、觀察、討論：(小組交流）
通過以上活動，你能得到哪些結論?并由各小組派學生表述看法。
[教師活動]探究結束后，分組展示結果，教師利用課件展示“旋轉法”的實驗過程，增強教學的直觀性.
結論：平行四邊形的對角線互相平分。
[教師活動]“實驗都是有誤差的，我們能否對此進行理論證明?”
[學生活動]此問題難度不大.
[教師活動]教師讓學生口述證明過程.最后師生共同歸納出“平行四邊形的對角線互相平分”這條性質.
活動二
剛才財主巴依提出的問題你能解決嗎?
學生口述過程，教師最后給出規范的解題過程。
練一練：
財主不服氣，又想考阿凡提，說過點O做一直線EF，交邊AD于點E，交BC于點F.直線EF繞點O旋轉的過程中(點E與A、D不重合)，你能知道這里有多少對全等三角形嗎?
[教師活動]此處組織學生搶答，互相補充完善后，學生答出了全部的全等三角形.
活動三
電腦顯示P101關于鐵軌的圖片
提出問題：“想一想”
已知，直線a//b，過直線a上任兩點A，B分別向直線b作垂線，交直線b于點C，點D，如圖，
(1)線段AC，BD所在直線有什么樣的位置關系?
(2)比較線段AC，BD的長。
引出平行線間距離的概念，并引導學生對比點到直線的距離，兩點間距離等概念。
(讓學生進一步感知生活中處處有數學)
A.(學生思考、交流)
B.(師生歸納)
解(1)由AC⊥b，BD⊥b，得AC//BD。
(2)a//b，AC//BD，→四邊形ACDB是平行四邊形
→AC=BD
歸納：
若兩條直線平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等，這個距離稱為平行線間的距離。
即平行線間的距離相等。
[議一議]：
舉你能舉出反映“平行線之間的垂直段處處相等實例嗎”?
活動目的：
通過生活中的實例的應用，深化對知識的理解。
第三環節鞏固反饋，總結提高
1、說一說下列說法正確嗎
①平行四邊形是軸對稱圖形()
②平行四邊形的邊相等()
③平行線間的線段相等()
④平行四邊形的對角線互相平分()
2、已知,平行四邊形ABCD的周長是28，對角線AC，BD相交于點O，且△OBC的周長比△OBA的周長大4，則AB=
3、已知P為平行四邊形ABCD的邊CD上的任意點，則△APB與平行四邊形ABCD的面積比為
4、平行四邊形ABCD中，AC，DB交于點O，AC=10。DB=12，則AB的取值范圍是什么?
5、平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于O，OA，OB，AB的長度分別為3cm、4cm、5cm，求其它各邊以及兩條對角線的長度。
第四環節評價反思，目標回顧
活動內容：
本節課你有哪些收獲?你能將平行四邊形的性質進行歸納嗎?
[布置作業]：
P102習題4.21，2，3
探究題已知如下圖，在ABCD中，AC與BD相交于點O，點E，F在AC上，且BE∥DF.求證：BE=DF
平行四邊形及其性質教學設計 10
一、教材分析：
1、教材的地位和作用
平行四邊形及其性質是九年制義務教育課本七年級第二學期第十七章的內容，是論證線段相等、角相等和兩直線平行的依據之一，在實際生產和生活中有廣泛的應用。它是本節的重點，又是本章的重點。學習它不僅是對已學的平行線、三角形等知識的綜合運用和深化，更是下一步研究特殊平行四邊形和有關定理的基礎，具有承上啟下的作用。因此本節課的重要性是不言而喻的。
2、教學內容的確定
按教材編排，平行四邊形性質共分兩課時完成，我對本節教學內容進行適當的重新組合。第一課時重點是安排學生探究平行四邊形的概念及性質，并初步運用這些性質進行有關的論證和計算。這樣做的目的是：用猜想實驗驗證的方法探索平行四邊形的性質，這樣更符合學生的認知規律，同時也使以后進一步研究其它特殊四邊形的性質時,水到渠成，學生易于接受。同時更能培養學生主動探求知識的精神和思維的條理性。
3、教學目標：
根據大綱要求，結合教材特點，我認為本節課應達到以下幾個目標：
(1)使學生掌握平行四邊形的定義及性質，并初步運用這些性質進行有關的論證和計算。
(2) 在充分讓學生參與學習的過程中，滲透猜想實驗驗證的學習方法，注意培養學生觀察、分析、推理、概括以及實踐能力和創新能力。
(3) 培養學生嚴謹科學的學習態度，勇于探索、勇于創新的精神，并對學生進行由一般到特殊的辨證唯物主義觀點教育。
4、教學重點和難點
重點是平行四邊形的概念和性質。難點是探索性質、尋求解題思路。
二、教法：
為使幾何課上得有趣、生動、高效，結合本節課內容和學生的實際水平，采用大膽猜想，實驗驗證為主，直觀演示、設疑誘導為輔的教學方法。在教學過程中，通過設置帶有啟發性和思考性的問題，創設問題情景，誘導學生思考、操作，讓學生親身體驗知識的產生過程，激發學生探求知識的欲望，使學生始終處于主動探索問題的積極狀態，使獲取新知識水到渠成。
考慮到如何更直觀、形象地突破教學重、難點，增大課堂容量，提高課堂效率，采用了電腦多媒體教學輔助手段。
三、學法：
葉圣陶說教是為了不教，也就是我們傳授給學生的不只是知識內容，更重要的是指導學生一些數學的學習方法。
在學習平行四邊形概念過程中，讓學生認識事物總是互相聯系的，應該做到溫故而知新。而通過平行四邊形性質的結論探索，讓學生認識事物的結論必須通過大膽猜測、判斷和歸納。
在分析理解性質的證明過程時，加強師生的雙邊活動，提高學生分析問題、解決問題的能力。通過例題、練習，讓學生總結解決問題的方法，以培養學生良好的學習習慣。
四、教學程序
1、復習舊知
(1)根據平行四邊形的定義判斷下圖是否是平行四邊形：
請你用手中的三角尺驗證。
通過讓學生自己動手操作，激勵學生主動參與，激發濃厚的學習興趣，同時為發現新知識做準備。
(2)結合圖形，用符號語言表示平行四邊形的定義
目的：請學生將文字語言翻譯成符號語言，有利于培養學生正確運用數學語言的能力。
強調：平行四邊形的定義既是平行四邊形的`一個重要性質，同時也是判定一個四邊形是否平行四邊形的依據之一。
(2)舉出日常所見的平行四邊形。(多媒體演示）
聯系生活實際讓學生舉出日常所見的平行四邊形。以獲得對平行四邊形盡可能多的精確感知，讓學生認識到平行四邊形在生活、生產中的應用，以激發學生的學習興趣。同時使學生明確本節課學習目標是學習平行四邊形性質。
2、新課引入性質的發現和證明
這一環節是全課的重、難點所在，為了方便學生探索活動的順利開展，同時滲透科學研究的一般方法，我將這部分內容按啟發猜想，動手實驗電腦驗證三個層次進行教學。
A、啟發猜想
根據平行四邊形圖形，啟發學生猜一猜，平行四邊形的性質可能與什么有關?引發學生的發散性思維，給學生提供自我表現、猜想的空間，充分發表意見的機會，以便最大限度地發揮學生的主體能動性，激發他們的創造性。然后篩選有價值的猜想，并再次創設問題情景，平行四邊形的性質與邊、角、對角線有怎樣的關系呢?又一次地激起學生求知的欲望，讓學生帶著問題進入下一層次的教學。
B、動手實驗
(1)根據已有的平行四邊形圖形 ，填寫實驗報告：
實驗報告
研究對象
研究結果
符號語言
對邊
鄰邊
對角
鄰角
對角線
在這一層次我要求學生充分利用手中的度量工具進行操作并填寫實驗報告。
(2)進一步要求學生組成四人小組進行合作探究活動：
任意一個平行四邊形被對角線分成的兩三角形是否全等。
C、多媒體驗證
然后我利用幾何畫板的作圖工具直觀演示作出平行四邊形的過程，并對相關的各元素關系進行檢驗。接著通過幾何畫板的動畫功能，動態地對平行四邊形的各元素關系再一次進行檢驗。使學生形成共識：平行四邊形的對邊相等、對角相等、鄰角互補、對角線互相平分。學生的研究結果和符號語言表述可能是凌亂的、不完整的，例如學生對對角線互相平分的性質很難用語言準確表述，則教師可在此基礎上對線段互相平分的含義進行說明，使學生的語言表達更準確。
結果歸納如下：
以上整個活動學生學到的不只是性質本身，而是科學的態度、合作的精神和探究的能力。同時也體現了學生的主體作用和老師的主導作用有機結合，符合因勢利導原則。
3、性質的應用
① 練習1：
(1) ABCD中，已知A=500，則B= ，C= ，D= 。
(2) ABCD中，已知C=2000，則A= ，B= 。
(3) ABCD中，AB=3，BC=5，則 ABCD的周長為 。
(4) ABCD中，AC、BD相交于點O，AC=10，BD=8，△AOB的周長為16，則AB= 。
練習1是對平行四邊形的性質的簡單應用，符合鞏固性原則。
② 拼圖：(學生事先準備好兩個三邊都不相等的全等三角形)
把兩個三邊都不相等的全等三角形按不同的方法拼成四邊形，你能拼成幾個平行四邊形?
安排拼圖活動的目的：
(1) 調動學生的積極性和主動性，使學生從拼圖活動中找到解決問題的方法。
(2) 培養了學生的動手操作能力和一題多解的思維方式
5、課堂小結：
本環節以今天學了什么?這些知識我們是用什么方法學來的?你懂得了什么?這種談學習體會的形式結束新課。學生可以講本節課所學到的知識，也可以講學習知識運用的數學思想方法。通過學生回答，不僅可以反饋學生的學習情況，同時也體現了學生是學習的主體。
6、作業布置：
( A類 ) 習題B冊：習題17.2(1), 習題A冊:習題17.2(2)
( B類 ) 思考題
作業的設計體現了分層訓練的教學原則，A類要求全體學生獨立完成，B類供學有余力的學生做。
五、教學評價
這堂課既是一堂新課，同時也是一堂實驗課。整個教學過程中注重學習方法、注重思維方法、注重探索方法，體現了方法比知識更重要這一新的教學價值觀。這樣的教學，突出了重點，化解了難點，實現了學習的再創造，確保了學生的主體地位，提升了學生學習數學的綜合素質。
平行四邊形及其性質教學設計 11
尊敬的各位評委、老師：
大家好！
我是牡丹江市第四中學數學教師—牛龍梅，今天，我說課的內容是選自人教版新課標實驗教材《數學》八年級下第十九章第一節第二課時《平行四邊形的性質》。我設計的說課共分四大環節。
一、設計理念
《數學課程標準》指出：新課程實施的基本點是促進學生全面、持續、和諧發展。而數學教學，則從學生已有的生活經驗出發，創設生動有趣的問題情境，引導學生通過觀察猜想、實驗探究、合作交流，從而獲取新知、形成技能、發展思維、學會學習。
二、教材分析與處理
平行四邊形的性質是平行線和三角形知識的應用和深化，是學習矩形、菱形、正方形的必備知識，是證明線段相等、角相等的重要依據。本課主要探究平行四邊形對角線互相平分這一性質。我創設新穎的故事情境引入新課，來激發興趣；對例題進行改編，融問題與故事于一體，來應用數學；設置動手操作活動，讓學生在教師的指導下自主探究學習，從而感受數學。
因此，通過本節課的學習，力爭達到以下教學目標：
知識技能：掌握平行四邊形對角線互相平分這一性質，并會用此性質進行有關的論證和計算。
數學思考：經歷觀察、猜想、實驗、驗證等數學活動，認識平行四邊形的性質，發展學生演繹推理能力和發散思維能力。
解決問題：通過多種方法探究平行四邊形的性質，體驗解決問題策略的多樣性，初步形成評價與反思的意識。
情感態度：培養學生勤于實踐、勇于探索、合作交流的精神，增強學生學好數學的勇氣和信心。
根據以上教學目標和學生已有的認知基礎，我確定本節課的 教學重點：平行四邊形的對角線互相平分這一性質的應用。
教學難點：對平行四邊形的對角線互相平分這一性質的探究。
三、教學方法與手段
八年級學生幾何學習正處在試驗幾何向論證幾何的過渡階段，對于嚴密的推理論證，無論從知識結構，還是知識能力上都有所欠缺。因此我采用創設情境—大膽猜想—實驗探究—反思評價的課堂活動模式，努力營造自主、合作、探究的`學習氛圍，結合多媒體輔助教學，生動、直觀地反映問題情境，使學生在學習中獲得愉快的數學體驗。
四、教學過程
（一）激趣設疑
[教師活動] 教師利用課件展示問題情境。
[學生活動] 此時，學生的積極性將被調動起來，努力試圖尋找各種途徑來求平行四邊形的面積，但可能找不到合適的解決辦法。
[教學內容] 教師乘機引出課題，明確學習任務。
[達成目標與調控措施] 此處創設生動有趣的故事情境，力求更好地激發學生的學習興趣。
（二）深入探究
[教學內容] 請學生觀察平行四邊形的對角線，并猜想有什么性質。
[學生活動] 估計大多數學生能想到對角線平分，但可能忽視互相兩字，也有可能會猜到對角線平分每組對角等錯誤結論。
[教師活動] 此時教師不做解答，但一一記錄下學生的各種猜想。
[達成目標與調控措施] 形形色色的回答，能給他們不同的感受，在鍛煉學生的觀察及表達能力的同時，并為下一步實驗探究指明了方向。
[教師活動] 教師將學生分成三組，拿出事先畫好的平行四邊形，按要求動手探究平行四邊形的對角線有何性質。
【平行四邊形及其性質教學設計】相關文章：
《減法性質、除法性質》教學設計06-19
堿及其性質教學反思（精選14篇）12-07
平行四邊形及其性質優秀教案05-14
《技術及其性質》教案06-23
小數的性質教學設計06-19
等式的性質教學設計04-04
小數的性質教學設計04-15
《菱形的性質》教學設計04-11
精選《小數的性質》教學設計06-19
指數函數及其性質的教學反思示例06-25