《對數函數的圖像與性質》教案

　　案例背景

　　對數函數是函數中又一類重要的基本初等函數，它是在學生已經學過對數與常用對數，反函數以及指數函數的基礎上引入的．故是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解．對數函數的概念，圖象與性質的學習使學生的知識體系更加完整，系統，同時又是對數和函數知識的拓展與延伸．它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是學生今后學習對數方程，對數不等式的基礎．

　　案例敘述：

　　(一).創設情境

　　（師）：前面的幾種函數都是以形式定義的方式給出的，今天我們將從反函數的角度介紹新的函數．

　　反函數的實質是研究兩個函數的關系，所以自然我們應從大家熟悉的函數出發，再研究其反函數．這個熟悉的函數就是指數函數．

　　（提問）：什么是指數函數?指數函數存在反函數嗎?

　　（學生）： 是指數函數，它是存在反函數的．

　　（師）：求反函數的步驟

　　（由一個學生口答求反函數的過程）：

　　由 得 ．又 的值域為 ，

　　所求反函數為 ．

　　（師）：那么我們今天就是研究指數函數的反函數-----對數函數．

　　（二）新課

　　1.（板書） 定義：函數 的反函數 叫做對數函數．

　　（師）：由于定義就是從反函數角度給出的，所以下面我們的研究就從這個角度出發．如從定義中你能了解對數函數的什么性質嗎?最初步的認識是什么?

　　（教師提示學生從反函數的三定與三反去認識，學生自主探究，合作交流）

　　（學生）對數函數的定義域為 ，對數函數的值域為 ，且底數 就是指數函數中的 ，故有著相同的限制條件 ．

　　（在此基礎上，我們將一起來研究對數函數的圖像與性質．）

　　2．研究對數函數的圖像與性質

　　（提問）用什么方法來畫函數圖像?

　　（學生1）利用互為反函數的兩個函數圖像之間的關系，利用圖像變換法畫圖．

　　（學生2）用列表描點法也是可以的。

　　請學生從中上述方法中選出一種，大家最終確定用圖像變換法畫圖．

　　（師）由于指數函數的圖像按 和 分成兩種不同的類型，故對數函數的圖像也應以1為分界線分成兩種情況 和 ，并分別以 和 為例畫圖．

　　具體操作時，要求學生做到：

　　(1) 指數函數 和 的圖像要盡量準確(關鍵點的位置，圖像的變化趨勢等)．

　　(2) 畫出直線 ．

　　(3) 的圖像在翻折時先將特殊點 對稱點 找到，變化趨勢由靠近 軸對稱為逐漸靠近 軸，而 的圖像在翻折時可提示學生分兩段翻折，在 左側的先翻，然后再翻在 右側的部分．

　　學生在筆記本完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出

　　和 的圖像．(此時同底的指數函數和對數函數畫在同一坐標系內)如圖：

　　教師畫完圖后再利用電腦將 和 的圖像畫在同一坐標系內，如圖：

　　然后提出讓學生根據圖像說出對數函數的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)

　　3. 性質

　　(1) 定義域：

　　(2) 值域：

　　由以上兩條可說明圖像位于 軸的右側．

　　(3)圖像恒過(1,0)

　　(4) 奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于 軸對稱．

　　(5) 單調性：與 有關．當 時，在 上是增函數．即圖像是上升的

　　當 時，在 上是減函數，即圖像是下降的．

　　之后可以追問學生有沒有最大值和最小值，當得到否定答案時，可以再問能否看待何時函數值為正?學生看著圖可以答出應有兩種情況：

　　當 時，有 ；當 時，有 ．

　　學生回答后教師可指導學生巧記這個結論的方法：當底數與真數在1的同側時函數值為正，當底數與真數在1的兩側時，函數值為負，并把它當作第(6)條性質板書記下來．

　　最后教師在總結時，強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖．且應將其性質與指數函數的性質對比記憶．(特別強調它們單調性的一致性)

　　對圖像和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用．

　　（三）．簡單應用

　　1. 研究相關函數的性質

　　例1. 求下列函數的定義域：

　　(1) (2) (3)

　　先由學生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制．

　　2. 利用單調性比較大小

　　例2. 比較下列各組數的'大小

　　(1) 與 ； (2) 與 ；

　　(3) 與 ； (4) 與 ．

　　讓學生先說出各組數的特征即它們的底數相同，故可以構造對數函數利用單調性來比大小．最后讓學生以其中一組為例寫出詳細的比較過程．

　　三．拓展練習

　　練習：若 ，求 的取值范圍．

　　四．小結及作業

　　案例反思：

　　本節的重點是理解對數函數的定義，掌握對數函數的圖象性質．難點是利用指數函數的圖象和性質得到對數函數的圖象和性質．由于對數函數的概念是一個抽象的形式，學生不易理解，而且又是建立在指數與對數關系和反函數概念的基礎上，通過互為反函數的兩個函數的關系由已知函數研究未知函數的性質，這種方法是第一次使用，學生不適應，把握不住關鍵，因而在上采取教師逐步引導，學生自主合作的方式，從學生熟悉的指數問題出發，通過對指數函數的認識逐步轉化為對對數函數的認識，而且畫對數函數圖象時，既要考慮到對底數的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底，畫在同一個坐標系內，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質．

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