等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

時(shí)間：2024-01-31 09:16:41 紅萍總結(jié) 我要投稿

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　　等比數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)的一種數(shù)列，下面是小編收集整理的等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，請參考！

等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

　　等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 1

　　1、等比數(shù)列的定義：

　　2、通項(xiàng)公式：

　　a n =a 1q n -1=a 1n q =A B n (a 1q ≠0, A B ≠0)，首項(xiàng)：a 1；公比：q

　　a n q =n a m a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 稱為公比 a n -1推廣：a n =a m q n -m q n -m =

　　3、等比中項(xiàng)：

　　（1）如果a , A , b 成等比數(shù)列，那么A 叫做a 與b 的等差中項(xiàng)，即：A 2=

　　ab 或A =注意：同號的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（

　　（2）數(shù)列{a n }是等比數(shù)列a n 2=a n -1a n +1

　　4、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和S n 公式：

　　（1）當(dāng)q =1時(shí)，S n =na 1

　　（2）當(dāng)q ≠1時(shí)，S n =

　　=a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q a 1a -1q n =A -A B n =A B n -A （A , B , A , B 為常數(shù)） 1-q 1-q

　　5、等比數(shù)列的判定方法：

　　（1）用定義：對任意的.n ，都有a n +1=qa n 或a n +1=q (q 為常數(shù)，a n ≠0) {a n }為等比數(shù)列 a n

　　（2）等比中項(xiàng)：a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) {a n }為等比數(shù)列

　　（3）通項(xiàng)公式：a n =A B n (A B ≠0){a n }為等比數(shù)列

　　6、等比數(shù)列的證明方法： a 依據(jù)定義：若n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n {a n }為等比數(shù)列 a n -1

　　7、等比數(shù)列的性質(zhì)：

　　（2）對任何m , n ∈N *，在等比數(shù)列{a n }中，有a n =a m q n -m 。

　　（3）若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *) ，則a n a m =a s a t 。特別的，當(dāng)m +n =2k 時(shí)，得a n a m =a k 2 注：a 1a n =a 2a n -1=a 3a n -2

　　a k （4）數(shù)列{a n }，{b n }為等比數(shù)列，則數(shù)列{}，{k a n }，{a n k }，{k a n b n }，{n （k 為非零b n a n

　　常數(shù)）均為等比數(shù)列。

　　（5）數(shù)列{a n }為等比數(shù)列，每隔k (k ∈N *) 項(xiàng)取出一項(xiàng)(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ) 仍為等比數(shù)列

　　（6）如果{a n }是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{loga a n }是等差數(shù)列

　　（7）若{a n }為等比數(shù)列，則數(shù)列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ，成等比數(shù)列

　　（8）若{a n }為等比數(shù)列，則數(shù)列a 1a 2a n ，a n +1a n +2a 2n ，a 2n +1a 2n +2a 3n 成等比數(shù)列

　　a 1>0，則{a n }為遞增數(shù)列{（9）①當(dāng)q >1時(shí)，a 1<0，則{a n }為遞減數(shù)列

　　a 1>0，則{a n }為遞減數(shù)列{②當(dāng)0

　　③當(dāng)q =1時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列（此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列）；

　　④當(dāng)q<0時(shí), 該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.

　　（10）在等比數(shù)列{a n }中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n ∈N *) 時(shí)，S 奇1= S 偶q

　　二、考點(diǎn)分析

　　考點(diǎn)一：等比數(shù)列定義的應(yīng)用

　　141、數(shù)列{a n }滿足a n =-a n -1(n ≥2)，a 1=，則a 4=_________． 33

　　2、在數(shù)列{a n }中，若a 1=1，a n +1=2a n +1(n ≥1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)a n =______________．考點(diǎn)二：等比中項(xiàng)的應(yīng)用

　　1、已知等差數(shù)列{a n }的公差為2，若a 1，a 3，a 4成等比數(shù)列，則a 2=（）

　　A ．-4 B．-6 C．-8 D．-10

　　2、若a 、b 、c 成等比數(shù)列，則函數(shù)y =ax 2+bx +c 的圖象與x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

　　A ．0 B ．1 C．2 D ．不確定

　　203、已知數(shù)列{a n }為等比數(shù)列，a 3=2，a 2+a 4=，求{a n }的通項(xiàng)公式． 3

　　考點(diǎn)三：等比數(shù)列及其前n 項(xiàng)和的基本運(yùn)算

　　2911、若公比為的等比數(shù)列的首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（） 383

　　A ．3 B．4 C．5 D．6

　　2、已知等比數(shù)列{a n }中，a 3=3，a 10=384，則該數(shù)列的通項(xiàng)a n =_________________．

　　3、若{a n }為等比數(shù)列，且2a 4=a 6-a 5，則公比q =________．

　　4、設(shè)a 1，a 2，a 3，a 4成等比數(shù)列，其公比為2，則

　　A ．2a 1+a 2的值為（） 2a 3+a 4111 B ． C． D．1 428

　　等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 2

　　等比數(shù)列公式性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)

　　1.等比數(shù)列的有關(guān)概念

　　(1)定義：

　　如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為an+1/an=q(n∈N_，q為非零常數(shù)).

　　(2)等比中項(xiàng)：

　　如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).即：G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列G2=ab.

　　2.等比數(shù)列的有關(guān)公式

　　(1)通項(xiàng)公式：an=a1qn-1.

　　3.等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)

　　(1)在等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，則am·an=ap·aq=a.

　　特別地，a1an=a2an-1=a3an-2=….

　　(2)在公比為q的等比數(shù)列{an}中，數(shù)列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比數(shù)列，公比為qk；數(shù)列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比數(shù)列(此時(shí)q≠-1)；an=amqn-m.

　　4.等比數(shù)列的特征

　　(1)從等比數(shù)列的`定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù).

　　(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.

　　5.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn

　　(1)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是用錯(cuò)位相減法求得的，注意這種思想方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用.

　　(2)在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對q=1與q≠1分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤.

　　等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 3

　　1.等比中項(xiàng)

　　如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。

　　有關(guān)系：

　　注：兩個(gè)非零同號的實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，所以G2=ab是a,G,b三數(shù)成等比數(shù)列的'必要不充分條件。

　　2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式

　　an=a1_q’(n-1)(其中首項(xiàng)是a1，公比是q)

　　an=Sn-S(n-1)(n≥2)

　　前n項(xiàng)和

　　當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為

　　Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)

　　當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為

　　Sn=na1

　　3.等比數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系

　　an=a1=s1(n=1)

　　an=sn-s(n-1)(n≥2)

　　4.等比數(shù)列性質(zhì)

　　(1)若m、n、p、q∈N_，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq；

　　(2)在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。

　　(3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

　　(4)等比中項(xiàng)：q、r、p成等比數(shù)列，則aq·ap=ar2，ar則為ap，aq等比中項(xiàng)。

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底指數(shù)冪后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，我們說：一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

　　(5)等比數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

　　(6)任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為an=am·q’(n-m)

　　(7)在等比數(shù)列中，首項(xiàng)a1與公比q都不為零。

　　注意：上述公式中a’n表示a的n次方。

　　等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 4

　　等比數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的'比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。

　　1：等比數(shù)列通項(xiàng)公式：an=a1_q^(n-1)；推廣式：an=am·q^(n-m)；

　　2：等比數(shù)列求和公式：等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

　　①當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

　　②當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n×a1(q=1)記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　3：等比中項(xiàng)：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項(xiàng)。

　　4：性質(zhì)：

　　①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am·an=ap_aq；

　　②在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列.

　　例題：設(shè)ak，al，am，an是等比數(shù)列中的第k、l、m、n項(xiàng)，若k+l=m+n，求證：ak_al=am_an

　　證明：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，則ak=a1·q^(k-1)，al=a1·q^(l-1)，am=a1·q^(m-1)，an=a1·q^(n-1)

　　所以：ak_al=a^2_q^(k+l-2)，am_an=a^2_q(m+n-2)，故：ak_al=am_an

　　說明：這個(gè)例題是等比數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，它在解題中常常會(huì)用到。它說明等比數(shù)列中距離兩端(首末兩項(xiàng))距離等遠(yuǎn)的兩項(xiàng)的乘積等于首末兩項(xiàng)的乘積，即：a(1+k)·a(n-k)=a1·an