線性代數知識點總結

時間：2023-05-26 18:51:05 總結我要投稿

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線性代數知識點總結

　　線性代數是數學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間，線性變換和有限維的線性方程組。下面是小編想跟大家分享的線性代數知識點總結，歡迎大家瀏覽。

線性代數知識點總結

　　線性代數知識點總結篇1

　　第一章行列式

　　知識點1：行列式、逆序數

　　知識點2：余子式、代數余子式

　　知識點3：行列式的性質

　　知識點4：行列式按一行（列）展開公式

　　知識點5：計算行列式的方法

　　知識點6：克拉默法則

　　第二章矩陣

　　知識點7：矩陣的概念、線性運算及運算律

　　知識點8：矩陣的乘法運算及運算律

　　知識點9：計算方陣的冪

　　知識點10：轉置矩陣及運算律

　　知識點11：伴隨矩陣及其性質

　　知識點12：逆矩陣及運算律

　　知識點13：矩陣可逆的判斷

　　知識點14：方陣的行列式運算及特殊類型的矩陣的運算

　　知識點15：矩陣方程的求解

　　知識點16：初等變換的概念及其應用

　　知識點17：初等方陣的概念

　　知識點18：初等變換與初等方陣的關系

　　知識點19：等價矩陣的概念與判斷

　　知識點20：矩陣的子式與最高階非零子式

　　知識點21：矩陣的秩的概念與判斷

　　知識點22：矩陣的.秩的性質與定理

　　知識點23：分塊矩陣的概念與運算、特殊分塊陣的運算

　　知識點24：矩陣分塊在解題中的技巧舉例

　　第三章向量

　　知識點25：向量的概念及運算

　　知識點26：向量的線性組合與線性表示

　　知識點27：向量組之間的線性表示及等價

　　知識點28：向量組線性相關與線性無關的概念

　　知識點29：線性表示與線性相關性的關系

　　知識點30：線性相關性的判別法

　　知識點31：向量組的最大線性無關組和向量組的秩的概念

　　知識點32：矩陣的秩與向量組的秩的關系

　　知識點33：求向量組的最大無關組

　　知識點34：有關向量組的定理的綜合運用

　　知識點35：內積的概念及性質

　　知識點36：正交向量組、正交陣及其性質

　　知識點37：向量組的正交規范化、施密特正交化方法

　　知識點38：向量空間（數一）

　　知識點39：基變換與過渡矩陣（數一）

　　知識點40：基變換下的坐標變換（數一）

　　第四章線性方程組

　　知識點41：齊次線性方程組解的性質與結構

　　知識點42：非齊次方程組解的性質及結構

　　知識點43：非齊次線性線性方程組解的各種情形

　　知識點44：用初等行變換求解線性方程組

　　知識點45：線性方程組的公共解、同解

　　知識點46：方程組、矩陣方程與矩陣的乘法運算的關系

　　知識點47：方程組、矩陣與向量之間的聯系及其解題技巧舉例

　　第五章矩陣的特征值與特征向量

　　知識點48：特征值與特征向量的概念與性質

　　知識點49：特征值和特征向量的求解

　　知識點50：相似矩陣的概念及性質

　　知識點51：矩陣的相似對角化

　　知識點52：實對稱矩陣的相似對角化.

　　知識點53：利用相似對角化求矩陣和矩陣的冪

　　第六章二次型

　　知識點54：二次型及其矩陣表示

　　知識點55：矩陣的合同

　　知識點56 : 矩陣的等價、相似與合同的關系

　　知識點57：二次型的標準形

　　知識點58：用正交變換化二次型為標準形

　　知識點59：用配方法化二次型為標準形

　　知識點60：正定二次型的概念及判斷

　　線性代數知識點總結篇2

　　行列式

　　一、行列式概念和性質

　　1、逆序數：所有的逆序的總數

　　2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數和

　　3、行列式性質：（用于化簡行列式）

　　（1）行列互換（轉置），行列式的值不變

　　（2）兩行（列）互換，行列式變號

　　（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式

　　（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。

　　（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。

　　（6）兩行成比例，行列式的值為0。

　　二、重要行列式

　　1、上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積

　　2、副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘

　　3、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則

　　4、n階（n≥2）范德蒙德行列式

　　★5、對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：

　　三、按行（列）展開

　　1、按行展開定理：

　　（1）任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和等于行列式的值

　　（2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等于0

　　四、克萊姆法則

　　1、克萊姆法則：

　　（1）非齊次線性方程組的系數行列式不為0，那么方程為唯一解

　　（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數行列式必為0

　　（3）若齊次線性方程組的系數行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。

　　矩陣

　　一、矩陣的運算

　　1、矩陣乘法注意事項：

　　（1）矩陣乘法要求前列后行一致；

　　（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時，可以用交換律）

　　（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

　　二、矩陣的逆運算

　　1、逆的求法：

　　（1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解

　　（2）A為數字矩陣：（A|E）→初等行變換→（E|A-1）

　　三、矩陣的初等變換

　　1、初等行（列）變換定義：

　　（1）兩行（列）互換；

　　（2）一行（列）乘非零常數c

　　（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

　　★四、矩陣的秩

　　1、秩的定義：非零子式的最高階數

　　注：

　　（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O

　　（2）r（An×n）=n（滿秩）←→|A|≠0←→A可逆；r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

　　（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。

　　2、秩的求法：

　　（1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解；

　　（2）A為數字矩陣：A→初等行變換→階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數

　　五、伴隨矩陣

　　六、分塊矩陣

　　1、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。

　　2、分塊矩陣求逆：

　　向量

　　一、向量的概念及運算

　　1、長度定義：||α||=

　　二、線性組合和線性表示

　　1、線性表示的`充要條件：

　　非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示

　　(1)←→非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

　　★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗）

　　2、線性表示的充分條件：

　　若α1，α2，…，αs線性無關，α1，α2，…，αs，β線性相關，則β可由α1，α2，…，αs線性表示。

　　3、線性表示的求法：（大題第二步）

　　設α1，α2，…，αs線性無關，β可由其線性表示。

　　（α1，α2，…，αs|β）→初等行變換→（行最簡形|系數）

　　行最簡形：每行第一個非0的數為1，其余元素均為0

　　三、線性相關和線性無關

　　1、線性相關注意事項：

　　（1）α線性相關←→α=0

　　（2）α1，α2線性相關←→α1，α2成比例

　　2、線性相關的充要條件：

　　向量組α1，α2，…，αs線性相關

　　（1）←→有個向量可由其余向量線性表示；

　　（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

　　★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于個數

　　3、線性相關的充分條件：

　　（1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關

　　（4）以少表多，多必相關

　　★推論：n+1個n維向量一定線性相關

　　4、線性無關的充要條件：

　　向量組α1，α2，…，αs線性無關

　　（1）←→任意向量均不能由其余向量線性表示；

　　（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

　　（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s

　　特別地，n個n維向量α1，α2，…，αn線性無關

　　←→r（α1，α2，…，αn）=n ←→|α1，α2，…，αn |≠0 ←→矩陣可逆

　　5、線性無關的充分條件：

　　（1）整體無關，部分無關

　　（2）低維無關，高維無關

　　（3）正交的非零向量組線性無關

　　（4）不同特征值的特征向量無關

　　6、線性相關、線性無關判定

　　（1）定義法

　　★（2）秩：若小于階數，線性相關；若等于階數，線性無關

　　四、極大線性無關組與向量組的秩

　　1、極大線性無關組不唯一

　　2、向量組的秩:極大無關組中向量的個數成為向量組的秩

　　對比：矩陣的秩:非零子式的最高階數

　　★注:

　　向量組α1，α2，…，αs的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等

　　★3、極大線性無關組的求法

　　（1）α1，α2，…，αs為抽象的：定義法

　　（2）α1，α2，…，αs為數字的：（α1，α2，…，αs）→初等行變換→階梯型矩陣

　　則每行第一個非零的數對應的列向量構成極大無關組

　　五、Schmidt正交化

　　1、Schmidt正交化

　　設α1，α2，α3線性無關

　　（1）正交化

　　令β1=α1

　　（2）單位化

　　線性方程組

　　一、解的判定與性質

　　1、齊次方程組：

　　（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數或是未知數x的個數）

　　（2）有非零解←→r（A）＜n

　　2、非齊次方程組：

　　（1）無解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

　　（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n

　　（3）無窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n

　　3、解的性質：

　　（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

　　（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解

　　（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1-η2是Ax=0的解

　　二、基礎解系

　　★1、重要結論：（證明也很重要）

　　設A是m×n階矩陣，B是n×s階矩陣，AB=O

　　（1）B的列向量均為方程Ax=0的解

　　（2）r（A）+r（B）≤n

　　2、總結：基礎解系的求法

　　（1）A為抽象的：由定義或性質湊n-r（A）個線性無關的解

　　（2）A為數字的：A→初等行變換→階梯型

　　自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎解系

　　三、解的結構（通解）

　　1、齊次線性方程組的通解（所有解）

　　設r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r為Ax=0的基礎解系，

　　則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r為任意常數）

　　2、非齊次線性方程組的通解

　　設r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r為Ax=0的基礎解系，η為Ax=b的特解，

　　則Ax=b的通解為η+ k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r （其中k1，k2，…，kn-r為任意常數）

　　特征值與特征向量

　　一、矩陣的特征值與特征向量

　　1、特征值、特征向量的定義：

　　設A為n階矩陣，如果存在數λ及非零列向量α，使得Aα=λα，稱α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。

　　2、特征多項式、特征方程的定義：

　　|λE-A|稱為矩陣A的特征多項式（λ的n次多項式）。

　　|λE-A |=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）。

　　注:特征方程可以寫為|A-λE|=0

　　3、重要結論：

　　（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0·α，即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量

　　（2）A的各行元素和為k，則(1，1，…，1)T為特征值為k的特征向量。

　　（3）上（下）三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素。

　　△4、總結：特征值與特征向量的求法

　　（1）A為抽象的：由定義或性質湊

　　（2）A為數字的：由特征方程法求解

　　5、特征方程法：

　　（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn

　　注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實數，不能省略)

　　（2）解齊次方程（λiE-A）=0，得屬于特征值λi的線性無關的特征向量，即其基礎解系（共n-r（λiE-A）個解）

　　二、相似矩陣

　　1、相似矩陣的定義：

　　設A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP，稱A與B相似，記作A~B

　　2、相似矩陣的性質

　　（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似

　　（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似

　　（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素之和）

　　三、矩陣的相似對角化

　　1、相似對角化定義：如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ=

　　稱A可相似對角化。

　　2、相似對角化的充要條件

　　（1）A有n個線性無關的特征向量

　　（2）A的k重特征值有k個線性無關的特征向量

　　3、相似對角化的充分條件：

　　（1）A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關）

　　（2）A為實對稱矩陣

　　4、重要結論：

　　（1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特征值的個數，n-r（A）為零特征值的個數

　　（2）若A不可相似對角化，r（A）不一定為非零特征值的個數

　　四、實對稱矩陣

　　1、性質

　　（1）特征值全為實數

　　（2）不同特征值的特征向量正交

　　（3）A可相似對角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP=Λ

　　（4）A可正交相似對角化，即存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

　　二次型

　　一、二次型及其標準形

　　1、二次型：

　　（1）一般形式

　　（2）矩陣形式（常用）

　　2、標準形：

　　如果二次型只含平方項，這樣的二次型稱為標準形（對角線）

　　3、二次型化為標準形的方法：

　　（1）配方法：

　　★（2）正交變換法：

　　二、慣性定理及規范形

　　1、定義：

　　正慣性指數：標準形中正平方項的個數稱為正慣性指數，記為p；

　　負慣性指數：標準形中負平方項的個數稱為負慣性指數，記為q；

　　2、慣性定理：

　　二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標準形，其正負慣性指數不變。

　　注：

　　（1）由于正負慣性指數不變，所以規范形唯一。

　　（2）p=正特征值的個數，q=負特征值的個數，p+q=非零特征值的個數=r（A）

　　三、合同矩陣

　　1、定義：

　　A、B均為n階實對稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同

　　△2、總結：n階實對稱矩陣A、B的關系

　　（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值

　　（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負慣性指數←→相同的正負特征值的個數

　　（3）A、B等價（B=PAQ）←→r（A）=r（B）

　　注：實對稱矩陣相似必合同，合同必等價

　　四、正定二次型與正定矩陣

　　1、正定的定義

　　二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實對稱矩陣A是正定矩陣。

　　2、n元二次型xTAx正定充要條件：

　　（1）A的正慣性指數為n

　　（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E

　　（3）A的特征值均大于0

　　（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）

　　3、總結：二次型正定判定（大題）

　　（1）A為數字：順序主子式均大于0

　　（2）A為抽象：①證A為實對稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定

　　4、重要結論：

　　（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

　　（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定

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