高中數(shù)學(xué)競賽第三章函數(shù)練習(xí)題
第三章 函數(shù)
一、基礎(chǔ)知識(shí)
例2 求函數(shù)f(x)= 的最大值。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x)，若把=f(x)的圖象向上平移3個(gè)單位，然后向右平移2個(gè)單位后，再關(guān)于直線=-x對(duì)稱，得到的曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是________.
2．若a>0，a 1,F(x)是奇函數(shù)，則G(x)=F(x) 是________（奇偶性）.
3．若 =x，則下列等式中正確的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= ；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.設(shè)函數(shù)f：R→R滿足f(0)=1，且對(duì)任意x,∈R，都有f(x+1)=f(x)f()-f()-x+2，則f(x)=________.
5．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對(duì)任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)= ________.
6. 函數(shù)f(x)= 的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
7. 函數(shù)f(x)= 的奇偶性是：________奇函數(shù)，________偶函數(shù)（填是，非）。
8. 函數(shù)=x+ 的值域?yàn)開_______.
9．設(shè)f(x)= ,
對(duì)任意的a∈R，記V(a)=ax{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-in{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，試求V(a)的最小值。
10．解方程組： （在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）
11．設(shè)∈N+, f: N+→N+滿足：（1）f(x)嚴(yán)格遞增；（2）對(duì)任意n∈N+, 有f[f(n)]=n，求證：對(duì)任意n∈N+, 都有 n≤f(n)≤
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．求證：恰有一個(gè)定義在所有非零實(shí)數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對(duì)任意x≠0, f(x)=xf ；（2）對(duì)所有的x≠-且x≠0，有f(x)+f()=1+f(x+).
2.設(shè)f(x)對(duì)一切x>0有定義，且滿足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)；(ⅱ)任意x>0, f(x)f =1，試求f(1).
3. f:[0,1]→R滿足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）當(dāng)x, , x+∈[0, 1]時(shí)，f(x)+f()≤f(x+)，試求最小常數(shù)c，對(duì)滿足（1），（2），（3）的`函數(shù)f(x)都有f(x)≤cx.
4. 試求f(x,)=6(x2+2)(x+)-4(x2+x+2)-3(x+)+5(x>0, >0)的最小值。
5．對(duì)給定的正數(shù)p,q∈(0, 1)，有p+q>1≥p2+q2，試求f(x)=(1-x) + 在[1-q,p]上的最大值。
6．已知f: (0,1)→R且f(x)= .
當(dāng)x∈ 時(shí)，試求f(x)的最大值。
7．函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足f(n)= ，求f(100)的值。
8．函數(shù)=f(x)定義在整個(gè)實(shí)軸上，它的圖象在圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角 后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個(gè)解；（2）試給出一個(gè)具有上述性質(zhì)的函數(shù)。
9．設(shè)Q+是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f: Q+→Q+，滿足這樣的條件：f(xf())= x, ∈Q+.
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