高三數(shù)學(xué)概率訓(xùn)練題及解析

時(shí)間：2021-05-22 09:12:57 試題我要投稿

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高三數(shù)學(xué)概率訓(xùn)練題及解析

　　一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

　　1、從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：

　　①“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；

　�、凇叭〕�2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；

　�、邸叭〕�3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；

　�、堋叭〕�3只紅球”與“取出3只白球”

　　其中是對(duì)立事件的有()

　　A、①② B、②③

　　C、③④ D、③

　　D解析：從袋中任取3只球，可能取到的情況有：“3只紅球”，“2只紅球1只白球”，“1只紅球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的兩個(gè)事件都不是對(duì)立事件、對(duì)于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”三種情況，與“取出3只紅球”是對(duì)立事件。

　　2、取一根長(zhǎng)度為4 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1 m的概率是()

　　A.14 B.13

　　C.12 D.23

　　C解析：把繩子4等分，當(dāng)剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時(shí)，兩段繩子都不少于1 m，故所求概率為P＝24＝12.

　　3、甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙兩人下一盤(pán)棋，你認(rèn)為最為可能出現(xiàn)的情況是()

　　A、甲獲勝 B、乙獲勝

　　C、甲、乙下成和棋 D、無(wú)法得出

　　C解析：兩人下成和棋的概率為50%，乙勝的概率為20%，故甲、乙兩人下一盤(pán)棋，最有可能出現(xiàn)的情況是下成和棋.

　　4、如圖所示，墻上掛有邊長(zhǎng)為a的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為a2的扇形，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是()

　　A、1－ B.4

　　C、1－ D、與a的取值有關(guān)

　　A 解析：幾何概型，P＝a2－a22a2＝1－4，故選A.

　　5、從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中，不重復(fù)地任意取兩個(gè)種，兩個(gè)數(shù)一奇一偶的概率是()

　　A.16 B.25

　　C.13 D.23

　　D 解析：基本事件總數(shù)為6，兩個(gè)數(shù)一奇一偶的情況有4種，故所求概率P＝46＝23.

　　6、從含有4個(gè)元素的集合的所有子集中任取一個(gè)，所取的子集是含有2個(gè)元素的集合的概率是()

　　A.310 B.112

　　C.4564 D.38

　　D解析：4個(gè)元素的集合共16個(gè)子集，其中含有兩個(gè)元素的'子集有6個(gè)，故所求概率為P＝616＝38.

　　7 、某班準(zhǔn)備到郊外野營(yíng)，為此向商店定了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準(zhǔn)時(shí)收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運(yùn)到，他們就不會(huì)淋雨，則下列說(shuō)法正確的是()

　　A、一定不會(huì)淋雨 B、淋雨的可能性為34

　　C、淋雨的可能性為12 D、淋雨的可能性為14

　　D解析：基本事件有“下雨帳篷到”、“不下雨帳篷到”、“下雨帳篷未到”、“不下雨帳篷未到”4種情況，而只有“下雨帳篷未到”時(shí)會(huì)淋雨，故淋雨的可能性為14.

　　8、將一顆骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為()

　　A.19 B.112

　　C.115 D.118

　　D解析：基本事件總數(shù)為216，點(diǎn)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12個(gè)，故求概率為P＝12216＝118.

　　9、設(shè)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和集合B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P(a，b)，記“點(diǎn)P(a，b)落在直線(xiàn)x＋y＝n上”為事件Cn(25，nN)，若事件Cn的概率最大，則N的所有可能值為()

　　A、3 B、4

　　C、2和5 D、3和4

　　D解析：點(diǎn)P(a，b)的個(gè)數(shù)共有23＝6個(gè)，落在直線(xiàn)x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直線(xiàn)x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直線(xiàn)x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直線(xiàn)x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故選D.

　　10、連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為，則0，2的概率是()

　　A.512 B.12

　　C.712 D.56

　　C 解析：基本事件總數(shù)為36，由cos＝ab|a||b|0得a0，即m－n0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21個(gè)，故所求概率為P＝2136＝712.

　　11、在一張打方格的紙上投一枚直徑為1的硬幣，方格的邊長(zhǎng)(方格邊長(zhǎng)設(shè)為a)要多少才能使得硬幣與方格線(xiàn)不相交的概率小于1% ()

　　A、a＞910 B、a＞109

　　C、1＜a＜109 D、0＜a＜910

　　C解析：硬幣與方格線(xiàn)不相交，則a＞1時(shí)，才可能發(fā)生，在每一個(gè)方格內(nèi)，當(dāng)硬幣的圓心落在邊長(zhǎng)為a－1，中心與方格的中心重合的小正方形內(nèi)時(shí)，硬幣與方格線(xiàn)不相交，故硬幣與方格線(xiàn)不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109.

　　12、集合A＝{(x，y)|x－y－10，x＋y－10，xN}，集合B＝{(x，y)|y－x＋5，xN}，先后擲兩顆骰子，設(shè)擲第一顆骰子得點(diǎn)數(shù)記作a，擲第二顆骰子得數(shù)記作b，則(a，b)B的概率等于 ()

　　A.14 B.29

　　C.736 D.536

　　B解析：根據(jù)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，可知AB對(duì)應(yīng)如圖所示的陰影部分的區(qū)域中的整數(shù)點(diǎn)、其中整數(shù)點(diǎn)有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14個(gè)、現(xiàn)先后拋擲2顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)分別有6種，共會(huì)出現(xiàn)36種結(jié)果，其中落入陰影區(qū)域內(nèi)的有8種，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)、所以滿(mǎn)足(a，b)B的概率為836＝29

　　二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。

　　13、若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足|x|2，|y|1，則任取其中x，y，使x2＋y21的概率為_(kāi)_________。

　　解析：點(diǎn)(x，y)在由直線(xiàn)x＝2和y＝1圍成的矩形上或其內(nèi)部，使x2＋y21的點(diǎn)(x，y)在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上或其內(nèi)部，故所求概率為P＝2＝8.

　　答案：8

　　14、從所有三位二進(jìn)制數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)后比5大的概率是________。

　　解析：三位二進(jìn)制數(shù)共有4個(gè)，分別111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)與110(2)化為十進(jìn)制數(shù)后比5大，故所求概率為P＝24＝12.

　　答案：12

　　15、把一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為m，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為n，方程組mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一組解的概率是__________。

　　1718 解析：由題意，當(dāng)m2n3，即3m2n時(shí)，方程組只有一解、基本事件總數(shù)為36，滿(mǎn)足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共兩個(gè)，故滿(mǎn)足3m2n的基本事件數(shù)為34個(gè)，故所求概率為P＝3436＝1718.

　　16、在圓(x－2)2＋(y－2)2＝8內(nèi)有一平面區(qū)域E：x－40，y0，mx－y0)，點(diǎn)P是圓內(nèi)的任意一點(diǎn)，而且出現(xiàn)任何一個(gè)點(diǎn)是等可能的、若使點(diǎn)P落在平面區(qū)域E內(nèi)的概率最大，則m＝__________.

　　解析：如圖所示，當(dāng)m＝0時(shí)，平面區(qū)域E的面積最大，則點(diǎn)P落在平面區(qū)域E內(nèi)的概率最大。

　　三、解答題：本大題共6小題，共70分。

　　17、(10分)某公司在過(guò)去幾年內(nèi)使用某種型號(hào)的燈管1 000支，該公司對(duì)這些燈管的使用壽命(單位：小時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示

　　分組 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋)

　　頻數(shù) 48 121 208 223 193 165 42

　　頻率[]

　　(1)將各組的頻率填入表中；

　　(2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，計(jì)算燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的頻率；

　　(3)該公司某辦公室新安裝了這種型號(hào)的燈管15支，若將上述頻率作為概率，估計(jì)經(jīng)過(guò)1 500小時(shí)約需換幾支燈管、

　　解析：

　　分組 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋)

　　頻數(shù) 48 121 208 223 193 165 42

　　頻率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042

　　(2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，

　　所以，燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的頻率是0.6.

　　(3)由(2)只，燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的概率為0.6.

　　150.6＝9，故經(jīng)過(guò)1 500小時(shí)約需換9支燈管、

　　18、(12分)袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個(gè)球。

　　(1)一共有多少種不同的結(jié)果？請(qǐng)列出所有可能的結(jié)果；

　　(2)若摸到紅球時(shí)得2分，摸到黑球時(shí)得1分，求3次摸球所得總分為5的概率。

　　解析：(1)一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：

　　(紅，紅，紅)、(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(紅，黑，黑)、

　　(黑、紅，紅)、(黑，紅，黑)、(黑，黑，紅)、(黑、黑、黑)、

　　(2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A，

　　事件A包含的基本事件為：

　　(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(黑，紅，紅)

　　事件A包含的基本事件數(shù)為3.

　　由(1)可知，基本事件總數(shù)為8，

　　所以事件A的概率為P(A)＝38.

　　19、(12分)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b.設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi.

　　(1)求事件“z－3i為實(shí)數(shù)”的概率；

　　(2)求事件“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(a，b)滿(mǎn)足(a－2)2＋b29”的概率。

　　解析：(1)z－3i為實(shí)數(shù)，

　　即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i為實(shí)數(shù)，b＝3.

　　又b可取1,2,3,4,5,6，故出現(xiàn)b＝3的概率為16.

　　即事件“z－3i為實(shí)數(shù)”的概率為16.

　　(2)由已知，b的值只能取1,2,3.

　　當(dāng)b＝1時(shí)，(a－2)28，即a可取1,2,3,4；

　　當(dāng)b＝2時(shí)，(a－2)25，即a可取1,2,3,4；

　　當(dāng)b＝3時(shí)，(a－2)20，即a可取2.

　　綜上可知，共有9種情況可使事件成立。

　　又a，b的取值情況共有36種，

　　所以事件“點(diǎn)(a，b)滿(mǎn)足(a－2 )2＋b29”的概率為14.

　　20、(12分)汶川地震發(fā)生后，某市根據(jù)上級(jí)要求，要從本市人民醫(yī)院報(bào)名參加救援的護(hù)理專(zhuān)家、外科專(zhuān)家、心理治療專(zhuān)家8名志愿者中，各抽調(diào)1名專(zhuān)家組成一個(gè)醫(yī)療小組與省專(zhuān)家組一起赴汶川進(jìn)行醫(yī)療求助，其中A1，A2，A3是護(hù)理專(zhuān)家，B1，B2，B3是外科專(zhuān)家，C1，C2是心理治療專(zhuān)家。

　　(1)求A1恰被選中的概率；

　　(2)求B1和C1不全被選中的概率。

　　解析：(1)從8名志愿者中選出護(hù)理專(zhuān)家、外科專(zhuān)家、心理治療專(zhuān)家各1名，其一切可能的結(jié)果為：

　　(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)、共有18個(gè)基本事件、

　　用M表示“A1恰被選中 ”這一事件，則

　　M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)、共有6個(gè)基本事件、

　　所以P(M)＝618＝13.

　　(2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，則其對(duì)立事件N表示“B1和C1全被選中”這一事件，

　　由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3個(gè)基本事件，

　　所以P(N)＝318＝16，

　　由對(duì)立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.

　　21、(12分)設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.

　　(1)若a是從－4，－3，－2，－1四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；

　　(2)若a是從區(qū)間[－4，－1]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[1,3]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率、

　　解析：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”、

　　當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a＋b0.