對數函數教案

　　作為一無名無私奉獻的教育工作者，通常需要準備好一份教案，編寫教案助于積累教學經驗，不斷提高教學質量。那么問題來了，教案應該怎么寫？以下是小編整理的對數函數教案，希望對大家有所幫助。

對數函數教案1

　　課題：指數函數與對數函數的性質及其應用

　　課型：綜合課

　　教學目標：在復習指數函數與對數函數的特性之后，通過圖像對比使學生較快的學會不求值比較指數函數與對數函數值的大小及提高對復合型函數的定義域與值域的解題技巧。

　　重點：指數函數與對數函數的特性。

　　難點：指導學生如何根據上述特性解決復合型函數的定義域與值域的問題。

　　教學方法：多媒體授課。

　　學法指導：借助列表與圖像法。

　　教具：多媒體教學設備。

　　教學過程：

　　一、 復習提問。通過找學生分別敘述指數函數與對數函數的公式及特性，加深學生的記憶。

　　二、 展示指數函數與對數函數的一覽表。并和學生們共同復習這些性質。

　　指數函數與對數函數關系一覽表

　　函數

　　性質

　　指數函數

　　y=ax （a＞0且a≠1）

　　對數函數

　　y=logax（a＞0且a≠1）

　　定義域

　　實數集R

　　正實數集（0，﹢∞）

　　值域

　　正實數集（0，﹢∞）

　　實數集R

　　共同的點

　　（0，1）

　　（1，0）

　　單調性

　　a＞1 增函數

　　a＞1 增函數

　　0＜a＜1 減函數

　　0＜a＜1 減函數

　　函數特性

　　a＞1

　　當x＞0,y＞1

　　當x＞1,y＞0

　　當x＜0,0＜y＜1

　　當0＜x＜1, y＜0

　　0＜a＜1

　　當x＞0, 0＜y＜1

　　當x＞1, y＜0

　　當x＜0,y＞1

　　當0＜x＜1, y＞0

　　反函數

　　y=logax（a＞0且a≠1）

　　y=ax （a＞0且a≠1）

　　圖像

　　Y

　　y=(1/2)x y=2x

　　(0,1)

　　X

　　Y

　　y=log2x

　　(1,0)

　　X

　　y=log1/2x

　　三、 同一坐標系中將指數函數與對數函數進行合成， 觀察其特點，并得出y＝log2x與y＝2x、 y＝log1/2x與y＝（1/2）x 的圖像關于直線y＝x對稱，互為反函數關系。所以y＝logax與y＝ax互為反函數關系，且y＝logax的定義域與y＝ax的.值域相同，y＝logax的值域與y＝ax的定義域相同。

　　Y

　　y＝(1/2)x y＝2x y＝x

　　（0，1） y＝log2x

　　（1，0） X

　　y＝log1/2x

　　注意：不能由圖像得到y＝2x與y＝（1/2）x為偶函數關系。因為偶函數是指同一個函數的圖像關于Y軸對稱。此圖雖有y＝2x與y＝（1/2）x圖像對稱，但它們是2個不同的函數。

　　四、 利用指數函數與對數函數性質去解決含有指數與對數的復合型函數的定義域、值域問題及比較函數的大小值。

　　五、 例題

　　例⒈比較（Л）（－0.1）與（Л）（－0.5）的大小。

　　解：∵ y＝ax中， a＝Л＞1

　　∴ 此函數為增函數

　　又∵ ﹣0.1＞﹣0.5

　　∴ （Л）（－0.1）＞（Л）（－0.5）

　　例⒉比較log67與log76的大小。

　　解： ∵ log67＞log66＝1

　　log76＜log77＝1

　　∴ log67＞log76

　　注意：當2個對數值不能直接進行比較時，可在這2個對數中間插入一個已知數，間接比較這2個數的大小。

　　例⒊ 求y＝3√4-x2的定義域和值域。

　　解：∵√4-x2 有意義，須使4-x2≥0

　　即x2≤4， |x|≤2

　　∴-2≤x≤2，即定義域為[-2，2]

　　又∵0≤x2≤4， ∴0≤4-x2≤4

　　∴0≤√4-x2 ≤2，且y＝3x是增函數

　　∴30≤y≤32，即值域為[1，9]

　　例⒋ 求函數y＝√log0.25（log0.25x）的定義域。

　　解：要函數有意義，須使log0.25（log0.25x）≥0

　　又∵ 0＜0.25＜1，∴y＝log0.25x是減函數

　　∴ 0＜log0.25x≤1

　　∴ log0.251＜log0.25x≤log0.250.25

　　∴ 0.25≤x＜1，即定義域為[0.25，1）

　　六、 課堂練習

　　求下列函數的定義域

　　1. y＝8[1/（2x-1）]

　　2. y＝loga（1-x）2 （a＞0，且a≠1）

　　七、 評講練習

　　八、 布置作業

　　第113頁，第10、11題。并預習指數函數與對數函數

　　在物理、社會科學中的實際應用。

對數函數教案2

　　對數函數及其性質教學設計

　　1.教學方法

　　建構主義學習觀，強調以學生為中心，學生在教師指導下對知識的主動建構。它既強調學習者的認知主體作用，又不忽視教師的指導作用。

　　高中一年級的學生正值身心發展的過渡時期，思維活躍，具有一定的獨立性，喜歡新鮮事物，敢于大膽發表自己的見解，不過思維還不是很成熟.

　　在目標分析的基礎上，根據建構主義學習觀，及學生的認知特點，我擬采用“探究式”教學方法。將一節課的核心內容通過四個活動的形式引導學生對知識進行主動建構。其理論依據為建構主義學習理論。它很好地體現了“學生為主體，教師為主導，問題為主線，思維為主攻”的“四為主”的教學思想。

　　2.學法指導

　　新課程強調“以學生發展為核心”，強調培養學生的自主探索能力與合作學習能力。因此本節課學生將在教師的啟發誘導下對教師提供的素材經歷創設情境→獲得新知→作圖察質→問題探究→歸納性質→學以致用→趁熱打鐵→畫龍點睛→自我提升的過程，這一過程將激發學生積極參與到教學活動中來。

　　3.教學手段

　　本節課我選擇計算機輔助教學。增大課堂容量，提高課堂效率；激發學生的學習興趣，展示運動變化過程，使信息技術真正為教學服務．

　　4.教學流程

　　四、教學過程

　　教學過程

　　設計意圖

　　一、創設情境，導入新課

　　活動1：（1）同學們有沒有看過《冰河世紀》這個電影?先播放視頻，引入課題。

　　（2）考古學家經過長期實踐，發現凍土層內某微量元素的含量P與年份t的關系：，這是一個指數式，由指數與對數的關系，此指數式可改寫為對數式。

　　（3）考古學家提取了凍土層內微量元素，確定它的殘余量約占原始含量的1％，即P=0.01，代入對數式，可知

　　（4）由表格中的數據：

　　碳14的含量P

　　0.5

　　0.3

　　0.1

　　0.01

　　0.001

　　生物死亡年數t

　　5730

　　9953

　　19035

　　39069

　　57104

　　可讀出精確年份為39069，當P值為0.001時，t大約為57104年，所以每一個P值都與一個t值相對應，是一一對應關系，所以p與t之間是函數關系。

　　（5）數學知識不但可以解決猛犸象的.封存時間，也可以與其他學科的知識相結合來解決視頻中的遺留問題，就是不知道咱們中國的猛犸象克隆問題會由班里的哪位同學解決，我們拭目以待。

　　（6）把函數模型一般化，可給出對數函數的概念。

　　通過這個實例激發學生學習的興趣，使學生認識到數學來源于實踐，并為實踐服務。

　　和學生一起分析處理問題，體會函數關系，并體現學生的主體地位。

　　二、形成概念、獲得新知

　　定義：一般地，我們把函數

　　叫做對數函數。其中x是自變量，定義域為

　　例1求下列函數的定義域：

　　（1）；（2）.

　　解：（1）函數的定義域是。

　　（2）函數的定義域是。

　　歸納：形如的的函數的定義域要考慮—

　　三、探究歸納、總結性質

　　活動1：小組合作，每個組內分別利用描點法畫和的圖象，組長合理分工，看哪個小組完成的最好。

　　選取完成最好、最快的小組，由組長在班內展示。

　　活動2：小組討論，對任意的a值，對數函數圖象怎么畫？

　　教師帶領學生一起舉手，共同畫圖。

　　活動3：對a＞1時，觀察圖象，你能發現圖象有哪些圖形特征嗎？

　　然后由學生討論完成下表左邊：

　　函數的圖象特征

　　函數的性質

　　圖象都位于y軸的右方

　　定義域是

　　圖象向上向下無限延展

　　值域是R

　　圖象都經過點（1，0）

　　當x=1時，總有y=0

　　當a>1時，圖象逐漸上升；

　　當0當a>1時，是增函數

　　當0通過對定義的進一步理解，培養學生思維的嚴密性和批判性。

　　通過作出具體函數圖象，讓學生體會由特殊到一般的研究方法。

　　學生可類比指數函數的研究過程，獨立研究對數函數性質，從而培養學生探究歸納、分析問題、解決問題的能力。

　　師生一起完成表格右邊，對0＜a＜1時，找兩位同學一問一答共同完成，再次體現數形結合。

　　四、探究延伸

　　（1）探討對數函數中的符號規律.

　　（2）探究底數分別為與的對數函數圖像的關系.

　　（3）在第一象限中，探究底數分別為的對數函數圖象與底數a的關系.

　　五、分析例題、鞏固新知

　　例2比較下列各組數中兩個值的大小：

　　（1），；

　　（2），；

　　（3），。

　　解：

　　（1）在上是增函數，

　　且3.4<8.5,

　　（2）在上是減函數，

　　且3.4<8.5,.

　　（3）注：底數非常數，要分類討論的范圍.

　　當a>1時，在上是增函數，

　　且3.4<8.5，；

　　當0且3.4<8.5，

　　練習1：比較下列兩個數的大小：

　　練習2：比較下列兩個數的大小：

　　（找學生上黑板講解練習2的第一題，強調多種做法，一起完成第二小題.）

　　考察學生對對數函數圖像的理解與掌握，進一步強調數形結合。

　　通過運用對數函數的單調性“比較兩數的大小”培養學生運用函數的觀點解決問題，逐步向學生滲透函數的思想，分類討論的思想，提高學生的發散思維能力。

　　六、對比總結、深化認識

　　先總結本節課所學內容，由學生總結，教師補充，強調哪些是重要內容

　　（1）對數函數的定義；

　　（2）對數函數的圖象與性質；

　　（3）對數函數的三個結論；

　　（4）對數函數的圖象與性質的應用.

　　七、課后作業、鞏固提高

　　（1）理解對數函數的圖象與性質；

　　（2）課本74頁，習題2.2中7，8；

　　（3）上網搜集一些運用對數函數解決的實際問題，根據今天學習的知識予以解答.

　　八、評價分析

　　堅持過程性評價和階段性評價相結合的原則。堅持激勵與批評相結合的原則.

　　教學過程中，評價學生的情緒、狀態、積極性、自信心、合作交流的意識與獨立思考的能力；

　　在學習互動中，評價學生思維發展的水平；

　　在解決問題練習和作業中，評價學生基礎知識基本技能的掌握.

　　適時地組織和指導學生歸納知識和技能的一般規律，有助于學生更好地學習、記憶和應用，發揮知識系統的整體優勢，并為后續學習打好基礎。

　　課后作業的設計意圖：

　　一、鞏固學生本節課所學的知識并落實教學目標；二、讓不同基礎的學生學到不同的技能，體現因材施教的原則；

　　三、使同學們體會到科學的探索永無止境，為數學的學習營造一種良好的科學氛圍。

對數函數教案3

　　1.掌握對數函數的概念，圖象和性質，且在掌握性質的基礎上能進行初步的應用。

　　（1） 能在指數函數及反函數的概念的基礎上理解對數函數的定義，了解對底數的要求，及對定義域的要求，能利用互為反函數的兩個函數圖象間的關系正確描繪對數函數的圖象。

　　（2） 能把握指數函數與對數函數的實質去研究認識對數函數的性質，初步學會用對數函數的性質解決簡單的問題。

　　2.通過對數函數概念的學習，樹立相互聯系相互轉化的觀點，通過對數函數圖象和性質的學習，滲透數形結合，分類討論等思想，注重培養學生的觀察，分析，歸納等邏輯思維能力。

　　3.通過指數函數與對數函數在圖象與性質上的對比，對學生進行對稱美，簡潔美等審美教育，調動學生學習數學的積極性。

　　高一數學對數函數教案：教材分析

　　（1） 對數函數又是函數中一類重要的基本初等函數，它是在學生已經學過對數與常用對數，反函數以及指數函數的基礎上引入的。故是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解。對數函數的概念，圖象與性質的學習使學生的知識體系更加完整，系統，同時又是對數和函數知識的拓展與延伸。它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是學生今后學習對數方程，對數不等式的基礎。

　　（2） 本節的教學重點是理解對數函數的定義，掌握對數函數的圖象性質。難點是利用指數函數的圖象和性質得到對數函數的圖象和性質。由于對數函數的概念是一個抽象的形式，學生不易理解，而且又是建立在指數與對數關系和反函數概念的基礎上，故應成為教學的'重點。

　　（3） 本節課的主線是對數函數是指數函數的反函數，所有的問題都應圍繞著這條主線展開。而通過互為反函數的兩個函數的關系由已知函數研究未知函數的性質，這種方法是第一次使用，學生不適應，把握不住關鍵，所以應是本節課的難點。

　　高一數學對數函數教案：教法建議

　　（1） 對數函數在引入時，就應從學生熟悉的指數問題出發，通過對指數函數的認識逐步轉化為對對數函數的認識，而且畫對數函數圖象時，既要考慮到對底數 的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底，畫在同一個坐標系內，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質。

　　（2） 在本節課中結合對數函數教學的特點，一定要讓學生動手做，動腦想，大膽猜，要以學生的研究為主，教師只是不斷地反函數這條主線引導學生思考的方向。這樣既增強了學生的參與意識又教給他們思考問題的方法，獲取知識的途徑，使學生學有所思，思有所得，練有所獲，，從而提高學習興趣。

對數函數教案4

　　一、課前準備：

　　【自主梳理】

　　1.對數：

　　(1) 一般地，如果 ，那么實數 叫做________________，記為________，其中 叫做對數的_______， 叫做________.

　　(2)以10為底的對數記為________，以 為底的對數記為_______.

　　(3) ， .

　　2.對數的運算性質：

　　(1)如果 ，那么 ，

　　.

　　(2)對數的換底公式： .

　　3.對數函數：

　　一般地，我們把函數____________叫做對數函數，其中 是自變量，函數的定義域是______.

　　4.對數函數的圖像與性質：

　　a1 0

　　圖象性

　　質 定義域：___________

　　值域：_____________

　　過點(1，0)，即當x=1時，y=0

　　x(0，1)時_________

　　x(1，+)時________ x(0，1)時_________

　　x(1，+)時________

　　在___________上是增函數 在__________上是減函數

　　【自我檢測】

　　1. 的定義域為_________.

　　2.化簡： .

　　3.不等式 的解集為________________.

　　4.利用對數的換底公式計算： .

　　5.函數 的奇偶性是____________.

　　6.對于任意的 ，若函數 ，則 與 的大小關系是___________________________.

　　二、課堂活動：

　　【例1】填空題：

　　(1) .

　　(2)比較 與 的大小為___________.

　　(3)如果函數 ，那么 的最大值是_____________.

　　(4)函數 的奇偶性是___________.

　　【例2】求函數 的定義域和值域.

　　【例3】已知函數 滿足 .

　　(1)求 的`解析式;

　　(2)判斷 的奇偶性;

　　(3)解不等式 .

　　課堂小結

　　三、課后作業

　　1. .略

　　2.函數 的定義域為_______________.

　　3.函數 的值域是_____________.

　　4.若 ，則 的取值范圍是_____________.

　　5.設 則 的大小關系是_____________.

　　6.設函數 ，若 ，則 的取值范圍為_________________.

　　7.當 時，不等式 恒成立，則 的取值范圍為______________.

　　8.函數 在區間 上的值域為 ，則 的最小值為____________.

　　9.已知 .

　　(1)求 的定義域;

　　(2)判斷 的奇偶性并予以證明;

　　(3)求使 的 的取值范圍.

　　10.對于函數 ，回答下列問題：

　　(1)若 的定義域為 ，求實數 的取值范圍;

　　(2)若 的值域為 ，求實數 的取值范圍;

　　(3)若函數 在 內有意義，求實數 的取值范圍.

　　四、糾錯分析

　　錯題卡 題 號 錯 題 原 因 分 析

　　高二數學教案：對數與對數函數

　　一、課前準備：

　　【自主梳理】

　　1.對數

　　(1)以 為底的 的對數， ，底數，真數.

　　(2) ， .

　　(3)0，1.

　　2.對數的運算性質

　　(1) ， , .

　　(2) .

　　3.對數函數

　　， .

　　4.對數函數的圖像與性質

　　a1 0

　　圖象性質 定義域：(0，+)

　　值域：R

　　過點(1，0)，即當x=1時，y=0

　　x(0，1)時y0

　　x(1，+)時y0 x(0，1)時y0

　　x(1，+)時y0

　　在(0，+)上是增函數 在(0，+)上是減函數

　　【自我檢測】

　　1. 2. 3.

　　4. 5.奇函數 6. .

　　二、課堂活動：

　　【例1】填空題：

　　(1)3.

　　(2) .

　　(3)0.

　　(4)奇函數.

　　【例2】解：由 得 .所以函數 的定義域是(0，1).

　　因為 ，所以，當 時， ，函數 的值域為 ;當 時， ，函數 的值域為 .

　　【例3】解：(1) ，所以 .

　　(2)定義域(-3，3)關于原點對稱，所以

　　，所以 為奇函數.

　　(3) ，所以當 時， 解得

　　當 時， 解得 .

對數函數教案5

　　一、內容與解析

　　(一)內容：對數函數的概念與圖象

　　(二)解析：本節課要學的內容是什么是對數函數，對數函數的圖象形狀及畫法,其核心是對數函數的圖象畫法,理解它關鍵就是要理解掌握對數函數的圖象特點.學生已經掌握了指數函數的圖象畫法及特點，函數圖象的一般畫法,本節課的內容就是在此基礎上的發展.由于它是研究對數函數性質的依據,是本學科的核心內容.教學的重點是對數函數的圖象特點與畫法,解決重點的關鍵是利用函數圖象的一般畫法畫出具體對數函數的圖象，從而歸納出對數函數的圖象特點，再根據圖象特點確定對數函數的一般畫法。

　　二、教學目標及解析

　　(一)教學目標:

　　1，理解對數函數的概念;掌握對數函數的圖象的特點及畫法。

　　2，通過具體實例，直觀感受對數函數模型所刻畫的數量關系;通過具體的函數圖象的畫法逐步認識對數函數的特征;

　　3，培養學生運用類比方法探索研究數學問題的'素養，提高學生分析問題、解決問題的能力。

　　(二)解析:

　　1，理解對數函數的概念是來源于實踐的，能從函數概念的角度闡述其意義;掌握對數函數的圖象和性質，做到能畫草圖，能分析圖象，能從圖象觀察得出對數函數的單調性、值域、定點等;了解同底指數函數和對數函數互為反函數，能說出它們的圖象之間的關系，知道它們的'定義域和值域之間的關系，了解反函數帶有逆運算的意味;

　　2，通過具體的實例，歸納得出一般的函數圖象特征，并能夠通過圖象特征得到相應的函數特征，培養學生的作圖、識圖的能力和歸納總結能力;

　　3，類比指數函數的圖象和性質的研究方法，來研究對數函數，讓學生認識到研究問題的方法上的一般性;同時，讓學生認識到類比這一數學思想，即對相似的問題可以借鑒之前問題的研究方法來研究，有助于提高學生分析問題、解決問題的能力。

　　三、問題診斷分析

　　本節課容易出現的問題是：對數函數的圖象特點的探究容易出現圖象不對、歸納不全、有所偏差等情形。出現這一問題的原因是：學生作圖能力、識圖能力、歸納能力不強。要解決這一問題，教師要通過讓學生類比指數函數圖象和性質的探究，時時回過頭看看之前是怎么做的，考慮了哪些問題，得到了哪些結論，讓學生類比自主探究，必要時給予適當引導，讓學生自主的得出結論，對于出錯的地方要讓學生討論，教師做出適當的評價并最終給出結論。

　　四、教學支持條件分析

　　在本節課xx的教學中,準備使用xx,因為使用xx,有利于xx.

　　五、教學過程

　　問題1.前面我們已經掌握了指數函數的概念、圖象與性質，知道了指數函數是基本初等函數之一。現在學習的對數，也可以構成一種函數，我們稱之為對數函數，那么什么樣的函數稱為對數函數呢?

　　[設計意圖]新課標強調考慮到多數高中生的認知特點，為了有助于他們對函數概念本質的理解，不妨從學生自己的生活經歷和實際問題入手。因此，新課引入不是按舊教材從反函數出發，而是選擇從兩個材料引出對數函數的概念，讓學生熟悉它的知識背景，初步感受對數函數是刻畫現實世界的又一重要數學模型。這樣處理，對數函數顯得不抽象，學生容易接受，降低了新課教學的起點。

　　小問題串：

　　1.2.2.1的例6，考古學家是如何估算出土文物或古遺址的年代的?這種對應關系是否形成函數關系?

　　2.某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，如果要求這種細胞經過多少次分裂，大約可以得到細胞1萬個，10萬個。怎么求?相應的對應關系是否也形成函數關系?

　　3.由上述兩個實例，請你類比指數函數的概念歸納對數函數的概念

　　觀察這些函數的特征：含有對數符號，底數是常數，真數是變量，從而得出對數函數的定義：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是(0，+).

　　注意：

　　（1）對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。

　　（2）對數函數對底數的限制。

　　4.根據對數函數定義填空;

　　例1 (1)函數y=logax2的定義域是xx(其中a1)。

　　(2)函數y=loga(4-x)的定義域是xx (其中a1)。

　　說明：本例主要考察對數函數定義中底數和定義域的限制，加深對概念的理解，所以把教材中的解答題改為填空題，節省時間，點到為止，以避免挖深、拓展、引入復合函數的概念。

　　問題2.對數函數的圖象是什么樣?有什么特點呢?

　　[設計意圖]舊教材是通過對稱變換直接從指數函數的圖象得到對數函數圖象，這樣處理學生雖然會接受了這個事實，但對圖象的感覺是膚淺的;這樣處理也存在著函數教學忽視圖象、性質的認知過程而注重應用的功利思想。因此，本節課的設計注重引導學生用特殊到一般的方法探究對數函數圖象的形成過程，加深感性認識。同時，幫助學生確定探究問題、探究方向和探究步驟，確保探究的有效性。這個環節，還要借助計算機輔助教學作用，增強學生的直觀感受。

　　小問題串：

　　(1)用描點法在同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象。

　　(2)用描點法在同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象。

　　(3)觀察對數函數、與、的圖象特征，看看它們有那些異同點。

　　(4)利用計算器或計算機，選取底數，且的若干個不同的值，在同一平面直角坐標系中作出相應對數函數的圖象。觀察圖象，它們有哪些共同特征?

　　(5)歸納出能體現對數函數的代表性圖象，并說明以后如何畫對數函數的簡圖。

　　例題

　　1.課本P75 A組第10題

　　2.求函數的定義域，并畫出函數的圖象。

　　六、目標檢測

　　求下列函數的定義域

對數函數教案6

　　案例背景：

　　對數函數是函數中又一類重要的基本初等函數，它是在學生已經學過對數與常用對數，反函數以及指數函數的基礎上引入的故是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步認識與理解.對數函數的概念，圖象與性質的學習使學生的知識體系更加完整，系統，同時又是對數和函數知識的拓展與延伸.它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是學生今后學習對數方程，對數不等式的基礎.

　　案例敘述：

　　(一).創設情境

　　(師)：前面的幾種函數都是以形式定義的方式給出的，今天我們將從反函數的角度介紹新的函數.

　　反函數的實質是研究兩個函數的關系，所以自然我們應從大家熟悉的函數出發，再研究其反函數.這個熟悉的函數就是指數函數.

　　(提問)：什么是指數函數?指數函數存在反函數嗎?

　　(學生)： 是指數函數，它是存在反函數的

　　(師)：求反函數的步驟

　　(由一個學生口答求反函數的過程)：

　　由 得 .又 的值域為 ，

　　所求反函數為 .

　　(師)：那么我們今天就是研究指數函數的反函數-----對數函數.

　　(二)新課

　　1.(板書) 定義：函數 的`反函數 叫做對數函數.

　　(師)：由于定義就是從反函數角度給出的，所以下面我們的研究就從這個角度出發.如從定義中你能了解對數函數的什么性質嗎?最初步的認識是什么?

　　(教師提示學生從反函數的三定與三反去認識，學生自主探究，合作交流)

　　(學生)對數函數的定義域為 ，對數函數的值域為 ，且底數 就是指數函數中的 ，故有著相同的限制條件 .

　　(在此基礎上，我們將一起來研究對數函數的圖像與性質.)

　　2.研究對數函數的圖像與性質

　　(提問)用什么方法來畫函數圖像?

　　(學生1)利用互為反函數的兩個函數圖像之間的關系，利用圖像變換法畫圖.

　　(學生2)用列表描點法也是可以的。

　　請學生從中上述方法中選出一種，大家最終確定用圖像變換法畫圖.

　　(師)由于指數函數的圖像按 和 分成兩種不同的類型，故對數函數的圖像也應以1為分界線分成兩種情況 和 ，并分別以 和 為例畫圖.

　　具體操作時，要求學生做到：

　　(1) 指數函數 和 的圖像要盡量準確(關鍵點的位置，圖像的變化趨勢等).

　　(2) 畫出直線 .

　　(3) 的圖像在翻折時先將特殊點 對稱點 找到，變化趨勢由靠近 軸對稱為逐漸靠近 軸，而 的圖像在翻折時可提示學生分兩段翻折，在 左側的先翻，然后再翻在 右側的部分.

　　學生在筆記本完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出

　　和 的圖像.(此時同底的指數函數和對數函數畫在同一坐標系內)如圖：

　　教師畫完圖后再利用電腦將 和 的圖像畫在同一坐標系內，如圖：

　　然后提出讓學生根據圖像說出對數函數的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)

　　3. 性質

　　(1) 定義域：

　　(2) 值域：

　　由以上兩條可說明圖像位于 軸的右側.

　　(3)圖像恒過(1,0)

　　(4) 奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于 軸對稱.

　　(5) 單調性：與 有關.當 時，在 上是增函數.即圖像是上升的

　　當 時，在 上是減函數，即圖像是下降的

　　之后可以追問學生有沒有最大值和最小值，當得到否定答案時，可以再問能否看待何時函數值為正?學生看著圖可以答出應有兩種情況：

　　當 時，有 ;當 時，有 .

　　學生回答后教師可指導學生巧記這個結論的方法：當底數與真數在1的同側時函數值為正，當底數與真數在1的兩側時，函數值為負，并把它當作第(6)條性質板書記下來.

　　最后教師在總結時，強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖.且應將其性質與指數函數的性質對比記憶.(特別強調它們單調性的一致性)

　　對圖像和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用.

　　(三).簡單應用

　　1. 研究相關函數的性質

　　例1. 求下列函數的定義域：

　　(1) (2) (3)

　　先由學生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制.

　　2. 利用單調性比較大小

　　例2. 比較下列各組數的大小

　　(1) 與 ; (2) 與 ;

　　(3) 與 ; (4) 與 .

　　讓學生先說出各組數的特征即它們的底數相同，故可以構造對數函數利用單調性來比大小.最后讓學生以其中一組為例寫出詳細的比較過程.

　三.拓展練習

　　練習：若 ，求 的取值范圍.

四.小結及作業

　　案例反思：

　　本節的教學重點是理解對數函數的定義，掌握對數函數的圖象性質.難點是利用指數函數的圖象和性質得到對數函數的圖象和性質.由于對數函數的概念是一個抽象的形式，學生不易理解，而且又是建立在指數與對數關系和反函數概念的基礎上，通過互為反函數的兩個函數的關系由已知函數研究未知函數的性質，這種方法是第一次使用，學生不適應，把握不住關鍵，因而在教學上采取教師逐步引導，學生自主合作的方式，從學生熟悉的指數問題出發，通過對指數函數的認識逐步轉化為對對數函數的認識，而且畫對數函數圖象時，既要考慮到對底數的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底，畫在同一個坐標系內，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質.

　　在教學中一定要讓學生動手做，動腦想，大膽猜，要以學生的研究為主，教師只是不斷地以反函數這條主線引導學生思考的方向.這樣既增強了學生的參與意識又教給他們思考問題的方法，獲取知識的途徑，使學生學有所思，思有所得，練有所獲，，從而提高學習興趣.

對數函數教案7

　　教學目標：

　　①掌握對數函數的性質。

　　②應用對數函數的性質可以解決：對數的大小比較，求復

　　合函數的定義域、值 域及單調性。

　　③ 注重函數思想、等價轉化、分類討論等思想的滲透，提高

　　解題能力。

　　教學重點與難點：對數函數的性質的應用。

　　教學過程設計：

　　⒈復習提問：對數函數的概念及性質。

　　⒉開始正課

　　1 比較數的大小

　　例 1 比較下列各組數的大小。

　　⑴loga5。1 ，loga5。9 (a>0，a≠1)

　　⑵log0。50。6 ，logЛ0。5 ，lnЛ

　　師：請同學們觀察一下⑴中這兩個對數有何特征？

　　生：這兩個對數底相等。

　　師：那么對于兩個底相等的.對數如何比大小？

　　生：可構造一個以a為底的對數函數，用對數函數的單調性比大小。

　　師：對，請敘述一下這道題的解題過程。

　　生：對數函數的單調性取決于底的大小：當0

　　調遞減，所以loga5。1>loga5。9 ；當a>1時，函數y=logax單調遞

　　增，所以loga5。1

　　板書：

　　解：Ⅰ）當0

　　∵5。1<5。9 1="">loga5。9

　　Ⅱ）當a>1時，函數y=logax在（0，+∞）上是增函數，

　　∵5。1<5。9 ∴loga5。1

　　師：請同學們觀察一下⑵中這三個對數有何特征？

　　生：這三個對數底、真數都不相等。

　　師：那么對于這三個對數如何比大小？

　　生：找“中間量”， log0。50。6>0，lnЛ>0，logЛ0。5<0；lnл>1，log0。50。6<1，所以logЛ0。5< log0。50。6< lnЛ。

　　板書：略。

　　師：比較對數值的大小常用方法：①構造對數函數，直接利用對數函

　　數 的單調性比大小，②借用“中間量”間接比大小，③利用對數

　　函數圖象的位置關系來比大小。

　　2 函數的定義域， 值 域及單調性。

　　例 2 ⑴求函數y=的定義域。

　　⑵解不等式log0。2(x2+2x-3)>log0。2(3x+3)

　　師：如何來求⑴中函數的定義域？（提示：求函數的定義域，就是要

　　使函數有意義。若函數中含有分母，分母不為零；有偶次根式，

　　被開方式大于或等于零；若函數中有對數的形式，則真數大于

　　零，如果函數中同時出現以上幾種情況，就要全部考慮進去，求

　　它們共同作用的結果。）

　　生：分母2x-1≠0且偶次根式的被開方式log0。8x-1≥0，且真數x>0。

　　板書：

　　解：∵ 2x-1≠0 x≠0。5

　　log0。8x-1≥0 ， x≤0。8

　　x>0 x>0

　　∴x(0，0。5)∪(0。5，0。8〕

　　師：接下來我們一起來解這個不等式。

　　分析：要解這個不等式，首先要使這個不等式有意義，即真數大于零，

　　再根據對數函數的單調性求解。

　　師：請你寫一下這道題的解題過程。

　　生：<板書>

　　解： x2+2x-3>0 x<-3 x="">1

　　(3x+3)>0 ， x>-1

　　x2+2x-3<(3x+3) -2

　　不等式的解為：1

　　⒊小結

　　這堂課主要講解如何應用對數函數的性質解決一些問題，希望能通過這堂課使同學們對等價轉化、分類討論等思想加以應用，提高解題能力。

　　⒋作業

　　⑴解不等式

　　①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1)，(a為常數)

　　⑵已知函數y=loga(x2-2x)，(a>0，a≠1)

　　①求它的單調區間；②當0

　　⑶已知函數y=loga (a>0， b>0， 且 a≠1)

　　①求它的定義域；②討論它的奇偶性;

　　③討論它的單調性。

　　⑷已知函數y=loga(ax-1) (a>0，a≠1)，

　　①求它的定義域；

　　②當x為何值時，函數值大于1；

　　③討論它的單調性。

對數函數教案8

　　【學習目標】

　　一、過程目標

　　1.通過師生之間、學生與學生之間的互相交流，培養學生的數學交流能力和與人合作的精神。

　　2.通過對對數函數的學習，樹立相互聯系、相互轉化的觀點，滲透數形結合的數學思想。

　　3.通過對對數函數有關性質的研究，培養學生觀察、分析、歸納的思維能力。

　　二、識技能目標

　　1.理解對數函數的概念，能正確描繪對數函數的圖象，感受研究對數函數的意義。

　　2.掌握對數函數的性質，并能初步應用對數的性質解決簡單問題。

　　三、情感目標

　　1.通過學習對數函數的概念、圖象和性質，使學生體會知識之間的有機聯系，激發學生的學習興趣。

　　2.在教學過程中，通過對數函數有關性質的研究，培養觀察、分析、歸納的思維能力以及數學交流能力，增強學習的積極性，同時培養學生傾聽、接受別人意見的優良品質。

　　教學重點難點：

　　1.對數函數的定義、圖象和性質。

　　2.對數函數性質的初步應用。

　　教學工具：多媒體

　　學前準備：對照指數函數試研究對數函數的.定義、圖象和性質。

　　1.教學方法

　　建構主義學習觀，強調以學生為中心，學生在教師指導下對知識的主動建構。它既強調學習者的認知主體作用，又不忽視教師的指導作用。高中一年級的學生正值身心發展的過渡時期，思維活躍，具有一定的獨立性，喜歡新鮮事物，敢于大膽發表自己的見解，不過思維還不是很成熟.

　　在目標分析的基礎上，根據建構主義學習觀，及學生的認知特點，我擬采用“探究式”教學方法。將一節課的核心內容通過四個活動的形式引導學生對知識進行主動建構。其理論依據為建構主義學習理論。它很好地體現了“學生為主體，教師為主導，問題為主線，思維為主攻”的“四為主”的教學思想。

　　2.學法指導

　　新課程強調“以學生發展為核心”，強調培養學生的自主探索能力與合作學習能力。因此本節課學生將在教師的啟發誘導下對教師提供的素材經歷創設情境→獲得新知→作圖察質→問題探究→歸納性質→學以致用→趁熱打鐵→畫龍點睛→自我提升的過程，這一過程將激發學生積極參與到教學活動中來。

　　3.教學手段

　　本節課我選擇計算機輔助教學。增大課堂容量，提高課堂效率；激發學生的學習興趣，展示運動變化過程，使信息技術真正為教學服務．

　　4.教學流程

　　四、教學過程

　　教學過程

　　設計意圖

　　一、創設情境，導入新課

　　活動1：（1）同學們有沒有看過《冰河世紀》這個電影?先播放視頻，引入課題。

　　（2）考古學家經過長期實踐，發現凍土層內某微量元素的含量p與年份t的關系：，這是一個指數式，由指數與對數的關系，此指數式可改寫為對數式。

　　（3）考古學家提取了凍土層內微量元素，確定它的殘余量約占原始含量的1％，即p=0.01，代入對數式，可知

　　（4）由表格中的數據：

　　可讀出精確年份為39069，當p值為0.001時，t大約為57104年，所以每一個p值都與一個t值相對應，是一一對應關系，所以p與t之間是函數關系。

　　（5）數學知識不但可以解決猛犸象的封存時間，也可以與其他學科的知識相結合來解決視頻中的遺留問題，就是不知道咱們中國的猛犸象克隆問題會由班里的哪位同學解決，我們拭目以待。

　　（6）把函數模型一般化，可給出對數函數的概念。

　　通過這個實例激發學生學習的興趣，使學生認識到數學來源于實踐，并為實踐服務。

　　和學生一起分析處理問題，體會函數關系，并體現學生的主體地位。

　　二、形成概念、獲得新知

　　定義：一般地，我們把函數

　　叫做對數函數。其中x是自變量，定義域為

　　例1求下列函數的定義域：

　　（1）；（2）.

　　解：（1）函數的定義域是。

　　（2）函數的定義域是。

　　歸納：形如的的函數的定義域要考慮—

　　三、探究歸納、總結性質

　　活動1：小組合作，每個組內分別利用描點法畫和的圖象，組長合理分工，看哪個小組完成的最好。

　　選取完成最好、最快的小組，由組長在班內展示。

　　活動2：小組討論，對任意的a值，對數函數圖象怎么畫？

　　教師帶領學生一起舉手，共同畫圖。

　　活動3：對a＞1時，觀察圖象，你能發現圖象有哪些圖形特征嗎？

　　然后由學生討論完成下表左邊：

　　函數的圖象特征

　　函數的性質

　　圖象都位于y軸的右方

　　定義域是

　　圖象向上向下無限延展

　　值域是r

　　圖象都經過點（1，0）

　　當x=1時，總有y=0

　　當a>1時，圖象逐漸上升；

　　當0當a>1時，是增函數

　　當0通過對定義的進一步理解，培養學生思維的嚴密性和批判性。

　　通過作出具體函數圖象，讓學生體會由特殊到一般的研究方法。

　　學生可類比指數函數的研究過程，獨立研究對數函數性質，從而培養學生探究歸納、分析問題、解決問題的能力。

　　師生一起完成表格右邊，對0＜a＜1時，找兩位同學一問一答共同完成，再次體現數形結合。

　　四、探究延伸

　　（1）探討對數函數中的符號規律.

　　（2）探究底數分別為與的對數函數圖像的關系.

　　（3）在第一象限中，探究底數分別為的對數函數圖象與底數a的關系.

　　五、分析例題、鞏固新知

　　例2比較下列各組數中兩個值的大小：

　　解：

　　（1）在上是增函數，且3.4

　　（2）在上是減函數，且3.4

　　（3）注：底數非常數，要分類討論的范圍.

　　當a>1時，在上是增函數，且3.4

　　當0且3.4

　　練習1：比較下列兩個數的大小：

　　練習2：比較下列兩個數的大小：

　　（找學生上黑板講解練習2的第一題，強調多種做法，一起完成第二小題.）

　　考察學生對對數函數圖像的理解與掌握，進一步強調數形結合。

　　通過運用對數函數的單調性“比較兩數的大小”培養學生運用函數的觀點解決問題，逐步向學生滲透函數的思想，分類討論的思想，提高學生的發散思維能力。

　　六、對比總結、深化認識

　　先總結本節課所學內容，由學生總結，教師補充，強調哪些是重要內容

　　（1）對數函數的定義；

　　（2）對數函數的圖象與性質；

　　（3）對數函數的三個結論；

　　（4）對數函數的圖象與性質的應用.

　　七、課后作業、鞏固提高

　　（1）理解對數函數的圖象與性質；

　　（2）課本74頁，習題2.2中7，8；

　　（3）上網搜集一些運用對數函數解決的實際問題，根據今天學習的知識予以解答.

　　八、評價分析

　　堅持過程性評價和階段性評價相結合的原則。堅持激勵與批評相結合的原則.

　　教學過程中，評價學生的情緒、狀態、積極性、自信心、合作交流的意識與獨立思考的能力；

　　在學習互動中，評價學生思維發展的水平；

　　在解決問題練習和作業中，評價學生基礎知識基本技能的掌握.

　　適時地組織和指導學生歸納知識和技能的一般規律，有助于學生更好地學習、記憶和應用，發揮知識系統的整體優勢，并為后續學習打好基礎。

　　課后作業的設計意圖：

　　一、鞏固學生本節課所學的知識并落實教學目標；二、讓不同基礎的學生學到不同的技能，體現因材施教的原則；

　　三、使同學們體會到科學的探索永無止境，為數學的學習營造一種良好的科學氛圍。

對數函數教案9

　　內容與解析

　　（一）內容：對數函數及其性質

　　（二）解析：從近幾年高考試題看，主要考查對數函數的性質，一般綜合在對數函數中考查。題型主要是選擇題和填空題，命題靈活。學習本部分時，要重點掌握對數的運算性質和技巧，并熟練應用。

　　一、目標及其解析：

　　（一）教學目標

　　（1）了解對數函數在生產實際中的簡單應用。進一步理解對數函數的圖象和性質；

　　（2）學習反函數的概念，理解對數函數和指數函數互為反函數，能夠在同一坐標上看出互為反函數的兩個函數的圖象性質。。

　　（二）解析

　　（1）在對數函數中，底數且，自變量，函數值。作為對數函數的三個要點，要做到道理明白、記憶牢固、運用準確。

　　（2）反函數求法：①確定原函數的值域即新函數的定義域。②把原函數y=f（x）視為方程，用y表示出x。③把x、y互換，同時標明反函數的定義域。

　　二、問題診斷分析

　　在本節課的教學中，學生可能遇到的問題是不易理解反函數，熟練掌握其轉化關系是學好對數函數與反函數的基礎。

　　三、教學支持條件分析

　　在本節課一次遞推的教學中，準備使用PowerPoint 20xx。因為使用PowerPoint 20xx，有利于提供準確、最核心的文字信息，有利于幫助學生順利抓住老師上課思路，節省老師板書時間，讓學生盡快地進入對問題的分析當中。

　　四、教學過程

　　問題一。對數函數模型思想及應用：

　　①出示例題：溶液酸堿度的測量問題：溶液酸堿度pH的計算公式，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升。

　　（Ⅰ）分析溶液酸堿讀與溶液中氫離子濃度之間的關系？

　　（Ⅱ）純凈水摩爾/升，計算純凈水的酸堿度。

　　②討論：抽象出的函數模型？如何應用函數模型解決問題？強調數學應用思想

　　問題二。反函數：

　　①引言：當一個函數是一一映射時，可以把這個函數的`因變量作為一個新函數的自變量，而把這個函數的自變量新的函數的因變量。我們稱這兩個函數為反函數（inverse function）

　　②探究：如何由求出x？

　　③分析：函數由解出，是把指數函數中的自變量與因變量對調位置而得出的習慣上我們通常用x表示自變量，y表示函數，即寫為。

　　那么我們就說指數函數與對數函數互為反函數

　　④在同一平面直角坐標系中，畫出指數函數及其反函數圖象，發現什么性質？

　　⑤分析：取圖象上的幾個點，說出它們關于直線的對稱點的坐標，并判斷它們是否在的圖象上，為什么？

　　⑥探究：如果在函數的圖象上，那么P0關于直線的對稱點在函數的圖象上嗎，為什么？

　　由上述過程可以得到什么結論？（互為反函數的兩個函數的圖象關于直線對稱）

　　⑦練習：求下列函數的反函數：；

　　（師生共練小結步驟：解x；習慣表示；定義域）

　　（二）小結：函數模型應用思想；反函數概念；閱讀P84材料

　　五、目標檢測

　　1（20xx全國卷Ⅱ文）函數y=（x 0）的反函數是

　　1B解析：本題考查反函數概念及求法，由原函數x 0可知A、C錯，原函數y 0可知D錯，選B。

　　2（20xx廣東卷理）若函數是函數的反函數，其圖像經過點，則（）

　　2 B解析：，代入，解得，所以，選B。

　　3求函數的反函數

　　3解析：顯然y0，反解可得，將x，y互換可得。可得原函數的反函數為。

對數函數教案10

　　教學目標：

　　1.進一步理解對數函數的性質，能運用對數函數的相關性質解決對數型函數的常見問題.

　　2.培養學生數形結合的思想，以及分析推理的能力.

　　教學重點：

　　對數函數性質的應用.

　　教學難點：

　　對數函數的性質向對數型函數的演變延伸.

　　教學過程：

　　一、問題情境

　　1.復習對數函數的.性質.

　　2.回答下列問題.

　　(1)函數y=log2x的值域是 ;

　　(2)函數y=log2x(x≥1)的值域是 ;

　　(3)函數y=log2x(0

　　3.情境問題.

　　函數y=log2(x2+2x+2)的定義域和值域分別如何求呢?

　　二、學生活動

　　探究完成情境問題.

　　三、數學運用

　　例1 求函數y=log2(x2+2x+2)的定義域和值域.

　　練習：

　　(1)已知函數y=log2x的值域是[-2，3]，則x的范圍是________________.

　　(2)函數 ，x(0，8]的值域是 .

　　(3)函數y=log (x2-6x+17)的值域 .

　　(4)函數 的值域是_______________.

　　例2 判斷下列函數的奇偶性：

　　(1)f (x)=lg (2)f (x)=ln( -x)

　　例3 已知loga 0.75>1，試求實數a 取值范圍.

　　例4 已知函數y=loga(1-ax)(a>0，a≠1).

　　(1)求函數的定義域與值域;

　　(2)求函數的單調區間.

　　練習：

　　1.下列函數(1) y=x-1;(2) y=log2(x-1);(3) y= ;(4)y=lnx，其中值域為R的有 (請寫出所有正確結論的序號).

　　2.函數y=lg( -1)的圖象關于 對稱.

　　3.已知函數 (a>0，a≠1)的圖象關于原點對稱，那么實數m= .

　　4.求函數 ，其中x [ ，9]的值域.

　　四、要點歸納與方法小結

　　(1)借助于對數函數的性質研究對數型函數的定義域與值域;

　　(2)換元法;

　　(3)能畫出較復雜函數的圖象，根據圖象研究函數的性質(數形結合).

　　五、作業

　　課本P70～71-4，5，10，11.

對數函數教案11

　　教學目標

　　通過引入指數函數和反函數概念，培養學生對于對數函數的理解與掌握，使其能夠準確繪制對數函數的圖像，并且熟練掌握對數函數的特性，從而初步應用這些特性解決簡單問題。

　　通過對數函數的學習，樹立相互聯系，相互轉化的觀點，滲透數形結合，分類討論的思想.

　　通過對數函數的性質進行研究，可以培養學生觀察、分析和歸納的思維能力，激發他們在學習中的積極性。

　　教學重點，難點

　　重點是理解對數函數的定義，掌握圖像和性質.

　　難點在于理解對數函數和指數函數之間的互為反函數的關系，并且利用指數函數的圖像和性質來推導對數函數的圖像和性質。

　　教學方法

　　啟發研討式

　　教學用具

　　投影儀

　　教學過程

　　一、引入新課

　　今天我們一起研究一種常見的函數。之前我們介紹了幾種通過形式定義的函數，但是今天我們將從反函數的視角來探討一種新的函數。請提供你希望進行修改的內容，以便我能夠根據你的需求進行修改。

　　反函數的實質是研究兩個函數的關系，所以自然我們應從大家熟悉的函數出發，再研究其反函數.這個熟悉的函數就是指數函數.

　　提問：什么是指數函數?指數函數存在反函數嗎?

　　由學生說出 是指數函數，它是存在反函數的并由一個學生口答求反函數的過程：

　　由 得 .又 的值域為 ，所求反函數為 .

　　那么我們今天就是研究指數函數的反函數-----對數函數

　　2.8對數函數 (板書)

　　對數函數的概念

　　定義：函數 的反函數 叫做對數函數.

　　由于定義是從反函數的角度給出的，因此對數函數具有以下性質。首先，對數函數是指數函數的反函數。其次，對數函數是一種特殊的函數，可以將指數運算轉化為對數運算，使得求解指數方程變得更加簡單。最初步的認識是，對數函數可以表示為y = log?x的'形式，其中a被稱為底數，x為真數，y為對數。通過對數函數，我們可以研究指數運算的特性和性質，進而應用到各個領域中。

　　教師可以引導學生通過三定與三反來理解反函數的概念，從而幫助他們找出對數函數的定義域、值域，并意識到對數函數的底數與指數函數中的底數具有相同的限制條件。

　　在此基礎上，我們將一起來研究對數函數的圖像與性質.

　　二、對數函數的圖像與性質 (板書)

　　作圖方法

　　提問學生打算用什么方法來畫函數圖像?學生應能想到利用互為反函數的兩個函數圖像之間的關系，利用圖像變換法畫圖.同時教師也應指出用列表描點法也是可以的，讓學生從中選出一種，最終確定用圖像變換法畫圖.

　　由于指數函數的圖像具有兩種不同類型，所以對數函數的圖像也可以按照這兩種類型進行分類。下面將分別給出兩種情況并繪制相應的圖像。情況一：當底數大于1時，對數函數的圖像呈現增長趨勢。例如考慮以10為底的對數函數y=log10(x)，其中x是自變量，y是因變量。當x逐漸增大時，y也隨之增大，但增長速度逐漸減緩。下圖為該情況下的對數函數圖像：情況二：當底數處于0到1之間時，對數函數的圖像則呈現下降趨勢。例如考慮以1/2為底的對數函數y=log(1/2)(x)，其中x是自變量，y是因變量。當x逐漸增大時，y逐漸減小，但減小速度逐漸減緩。下圖為該情況下的對數函數圖像：請注意，以上圖像僅為示意，實際的圖像可能會受到平移、壓縮等因素的影響。根據具體的函數表達式和參數設置，對數函數的圖像形態還會有所變化。

　　具體操作時，要求學生做到：

　　指數函數 和 的圖像要盡量準確(關鍵點的位置，圖像的變化趨勢等).

　　畫出直線 .

　　在圖像翻折過程中，可以通過查找特殊點和對稱點來確定變化的趨勢。一般情況下，特殊點會在翻折后逐漸靠近軸對稱位置。對于的圖像，可以向學生提供提示，讓他們將翻折過程分為兩段進行操作。首先翻折左側部分，然后再翻折右側部分。學生在筆記本完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出和 的圖像.(此時同底的指數函數和對數函數畫在同一坐標系內)如圖：

　　草圖

　　教師畫完圖后再利用投影儀將 和 的圖像畫在同一坐標系內，如圖：

　　然后提出讓學生根據圖像說出對數函數的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)

　　性質

　　定義域：

　　值域：

　　由以上兩條可說明圖像位于 軸的右側.

　　截距：令 得 ，即在 軸上的截距為1，與 軸無交點即以 軸為漸近線.

　　奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于 軸對稱.

　　課題　對數函數

　　單調性：與 有關.當 時，在 上是增函數.即圖像是上升的

　　當 時，在 上是減函數，即圖像是下降的

　　之后可以繼續詢問學生是否存在函數的最大值和最小值。如果得到否定答案，可以再問學生能否判斷在何時函數值為正。通過觀察函數圖像，學生可以給出兩種可能情況：

　　當 時，有 ；當 時，有

　　學生回答后，老師可以教給學生一個有趣的方法來記憶這個結論：當底數與指數都在1的同一側時，函數值為正；而當底數與指數分別位于1的兩側時，函數值為負。同時，老師可以將這個方法作為第(6)條性質展示給學生，并記錄在板書上。

　　最后，教師總結時，強調記住性質的關鍵在于腦中形成具象的圖像。同時，要將所學性質與指數函數的性質進行對比記憶，尤其要特別強調它們在單調性上的一致性。

　　對圖像和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用

　　三、簡單應用 (板書)

　　研究相關函數的性質

　　求下列函數的定義域：

　　先由學生依次列出相應的不等式，其中特別要注意對數中真數和底數的條件限制.

　　利用單調性比較大小 (板書)

　　比較下列各組數的大小

　　(1) 與 ； (2) 與 ；

　　(3) 與 ；(4) 與 .

　　讓學生先觀察各組數的特點，即底數相同。由此可以構造對數函數，并利用其單調性來進行比較大小的操作。最后，請學生以其中一組數為例，詳細描述比較大小的過程。

　　四、鞏固練習

　　練習：若 ，求 的取值范圍.

　　五、小結

　　六、作業

　　略

　　板書設計

對數函數教案12

　　3. ， (0，+)

　　【拓展引導】

　　當 時, 的取值范圍是

　　當 時, 的取值范圍是

　　【總結】20xx年數學網為小編在此為您收集了此文章高一數學教案：對數函數，今后還會發布更多更好的`文章希望對大家有所幫助，祝您在數學網學習愉快!

對數函數教案13

　　[教學目標]

　　1、知識與技能

　　（1）由前面學習指數函數的基礎上，根據函數的定義引入對數函數．

　　（2）能夠理解指數函數與對數函數的關系，理解反函數的定義．

　　（3）會求指數函數與對數函數的反函數．

　　2、過程與方法

　　（1）讓學生掌握指數函數與對數函數之間的關系．

　　（2）學會問題的轉化，常規思維的遷移．

　　3、情感．態度與價值觀

　　使學生通過學習對數函數，了解指數函數與對數函數之間的關系．在學習的過程中體會研究函數要緊扣函數的定義去理解對應關系．增強學習對數函數的積極性和自信心．

　　[教學重點]：對數函數的定義的理解以及對數函數與指數函數的關系．

　　[教學難點]：對數函數與支書函數之間的關系．

　　[課時安排]：1課時

　　[學法指導]：學生思考、探究．

　　[講授過程]

　　【新課導入】

　　[互動過程1]

　　復習：1．對數是怎么定義的？對數與指數之間的關系是什么？什么是函數？什么是指數函數？

　　2．指數函數的圖像和性質是什么？

　　[互動過程1]

　　在正整數指數函數中，我們討論了細胞分裂的個數y與分裂次數x之間的函數關系，這個函數可以表示為指數函數，而在指數函數中，我們又把正整數指數函數推廣到實數指數函數，這樣已知分裂的次數我們就可以知道細胞分裂的個數，反過來，如果我們知道分裂細胞的個數，我們同樣可以知道細胞分裂的次數，如：求一個這樣的細胞經過多少次分裂，大約可以得到1萬個細胞，或10萬個細胞．這樣就可以得到分裂次數與細胞分裂的個數之間的函數關系，那么怎么表示呢？也就是從中，用表示出的值．我們學習了對數，就可以把這個函數寫成對數的形式就是．

　　[互動過程2]

　　思考：對于一般的函數中的.兩個變量，能不能把y當作自變量，使得x是y的函數呢？請作出解釋．

　　思考分析：指數函數，對于的每一個確定的值，都有唯一的值和它對應；并且當時，也就是說指數函數反映了數集R與數集之間的一一對應關系，可見，對于任意的，在R中都有唯一的數滿足．

　　如果把當作自變量，那么就是的函數，而且這個函數就是，函數叫作對數函數，這里，自變量．

　　[互動過程3]

　　同學們想一想這種寫法與我們原來見過的函數一樣嗎？怎么不一樣？

對數函數教案14

　　教學目標

　　1.把握對數函數的概念，圖象和性質，且在把握性質的基礎上能進行初步的應用。

　　(1) 能在指數函數及反函數的概念的基礎上理解對數函數的定義，了解對底數的要求，及對定義域的要求，能利用互為反函數的兩個函數圖象間的關系正確描繪對數函數的圖象。

　　(2) 能把握指數函數與對數函數的實質去研究熟悉對數函數的性質，初步學會用對數函數的性質解決簡單的問題。

　　2.通過對數函數概念的學習，樹立相互聯系相互轉化的觀點，通過對數函數圖象和性質的學習，滲透數形結合，分類討論等思想，注重培養學生的觀察，分析，歸納等邏輯思維能力。

　　3.通過指數函數與對數函數在圖象與性質上的對比，對學生進行對稱美，簡潔美等審美教育，調動學生學習數學的積極性。

　　教學建議

　　教材分析

　　(1) 對數函數又是函數中一類重要的基本初等函數，它是在學生已經學過對數與常用對數，反函數以及指數函數的基礎上引入的。故是對上述知識的應用，也是對函數這一重要數學思想的進一步熟悉與理解。對數函數的概念，圖象與性質的學習使學生的知識體系更加完整，系統，同時又是對數和函數知識的拓展與延伸。它是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是學生今后學習對數方程，對數不等式的基礎。

　　(2) 本節的教學重點是理解對數函數的定義，把握對數函數的圖象性質。難點是利用指數函數的圖象和性質得到對數函數的圖象和性質。由于對數函數的概念是一個抽象的形式，學生不易理解，而且又是建立在指數與對數關系和反函數概念的基礎上，故應成為教學的重點。

　　(3) 本節課的主線是對數函數是指數函數的反函數，所有的問題都應圍繞著這條主線展開。而通過互為反函數的兩個函數的關系由已知函數研究未知函數的性質，這種方法是第一次使用，學生不適應，把握不住關鍵，所以應是本節課的難點。

　　教法建議

　　(1) 對數函數在引入時，就應從學生熟悉的指數問題出發，通過對指數函數的熟悉逐步轉化為對對數函數的熟悉，而且畫對數函數圖象時，既要考慮到對底數 的分類討論而且對每一類問題也可以多選幾個不同的底，畫在同一個坐標系內，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質。

　　(2) 在本節課中結合對數函數教學的特點，一定要讓學生動手做，動腦想，大膽猜，要以學生的研究為主，教師只是不斷地反函數這條主線引導學生思考的方向。這樣既增強了學生的參與意識又教給他們思考問題的方法，獲取知識的途徑，使學生學有所思，思有所得，練有所獲，從而提高學習愛好。

　　教學設計示例

　　對數函數

　　教學目標

　　1. 在指數函數及反函數概念的基礎上，使學生把握對數函數的'概念，能正確描繪對數函數的圖像，把握對數函數的性質，并初步應用性質解決簡單問題。

　　2. 通過對數函數的學習，樹立相互聯系，相互轉化的觀點，滲透數形結合，分類討論的思想。

　　3. 通過對數函數有關性質的研究，培養學生觀察，分析，歸納的思維能力，調動學生學習的積極性。

　　教學重點，難點

　　重點是理解對數函數的定義，把握圖像和性質。

　　難點是由對數函數與指數函數互為反函數的關系，利用指數函數圖像和性質得到對數函數的圖像和性質。

　　教學方法

　　啟發研討式

　　教學用具

　　投影儀

　　教學過程

　　一、 引入新課

　　今天我們一起再來研究一種常見函數。前面的幾種函數都是以形式定義的方式給出的，今天我們將從反函數的角度介紹新的函數。

　　反函數的實質是研究兩個函數的關系，所以自然我們應從大家熟悉的函數出發，再研究其反函數。這個熟悉的函數就是指數函數。

　　提問：什么是指數函數？指數函數存在反函數嗎？

　　由學生說出 是指數函數，它是存在反函數的。并由一個學生口答求反函數的過程：

　　由 得 .又 的值域為 ,所求反函數為 .

　　那么我們今天就是研究指數函數的反函數對數函數。

　　2.8對數函數 (板書)

　　一、對數函數的概念

　　1. 定義：函數 的反函數 叫做對數函數。

　　由于定義就是從反函數角度給出的，所以下面我們的研究就從這個角度出發。如從定義中你能了解對數函數的什么性質嗎？最初步的熟悉是什么？

　　教師可提示學生從反函數的三定與三反去熟悉，從而找出對數函數的定義域為 ,對數函數的值域為 ,且底數 就是指數函數中的 ,故有著相同的限制條件 .

　　在此基礎上，我們將一起來研究對數函數的圖像與性質。

　　二。對數函數的圖像與性質 (板書)

　　1. 作圖方法

　　提問學生打算用什么方法來畫函數圖像？學生應能想到利用互為反函數的兩個函數圖像之間的關系，利用圖像變換法畫圖。同時教師也應指出用列表描點法也是可以的，讓學生從中選出一種，最終確定用圖像變換法畫圖。

　　由于指數函數的圖像按 和 分成兩種不同的類型，故對數函數的圖像也應以1為分界線分成兩種情況 和 ,并分別以 和 為例畫圖。

　　具體操作時，要求學生做到：

　　(1) 指數函數 和 的圖像要盡量準確(關鍵點的位置，圖像的變化趨勢等).

　　(2) 畫出直線 .

　　(3) 的圖像在翻折時先將非凡點 對稱點 找到，變化趨勢由靠近 軸對稱為逐漸靠近 軸，而 的圖像在翻折時可提示學生分兩段翻折，在 左側的先翻，然后再翻在 右側的部分。

　　學生在筆記本完成具體操作，教師在學生完成后將關鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出

　　和 的圖像。(此時同底的指數函數和對數函數畫在同一坐標系內)如圖：

　　2. 草圖。

　　教師畫完圖后再利用投影儀將 和 的圖像畫在同一坐標系內，如圖：

　　然后提出讓學生根據圖像說出對數函數的性質(要求從幾何與代數兩個角度說明)

　　3. 性質

　　(1) 定義域：

　　(2) 值域：

　　由以上兩條可說明圖像位于 軸的右側。

　　(3) 截距：令 得 ,即在 軸上的截距為1,與 軸無交點即以 軸為漸近線。

　　(4) 奇偶性：既不是奇函數也不是偶函數，即它不關于原點對稱，也不關于 軸對稱。

　　(5) 單調性：與 有關。當 時，在 上是增函數。即圖像是上升的

　　當 時，在 上是減函數，即圖像是下降的。

　　之后可以追問學生有沒有最大值和最小值，當得到否定答案時，可以再問能否看待何時函數值為正？學生看著圖可以答出應有兩種情況：

　　當 時，有 ;當 時，有 .

　　學生回答后教師可指導學生巧記這個結論的方法：當底數與真數在1的同側時函數值為正，當底數與真數在1的兩側時，函數值為負，并把它當作第(6)條性質板書記下來。

　　最后教師在總結時，強調記住性質的關鍵在于要腦中有圖。且應將其性質與指數函數的性質對比記憶。(非凡強調它們單調性的一致性)

　　對圖像和性質有了一定的了解后，一起來看看它們的應用。

　　三、簡單應用 (板書)

　　1. 研究相關函數的性質

　　例1. 求下列函數的定義域：

對數函數教案15

　　教學目標

　　1．使學生理解函數單調性的概念，并能判斷一些簡單函數在給定區間上的單調性．

　　2．通過函數單調性概念的教學，培養學生分析問題、認識問題的能力．通過例題培養學生利用定義進行推理的邏輯思維能力．

　　3．通過本節課的教學，滲透數形結合的數學思想，對學生進行辯證唯物主義的教育．

　　教學重點與難點

　　教學重點：函數單調性的概念．

　　教學難點：函數單調性的判定．

　　教學過程設計

　　一、引入新課

　　師：請同學們觀察下面兩組在相應區間上的函數，然后指出這兩組函數之間在性質上的主要區別是什么？

　　（用投影幻燈給出兩組函數的圖象．）

　　第一組：

　　第二組：

　　生：第一組函數，函數值y隨x的增大而增大；第二組函數，函數值y隨x的增大而減小．

　　師：（手執投影棒使之沿曲線移動）對．他（她）答得很好，這正是兩組函數的主要區別．當x變大時，第一組函數的函數值都變大，而第二組函數的函數值都變小．雖然在每一組函數中，函數值變大或變小的方式并不相同，但每一組函數卻具有一種共同的性質．我們在學習一次函數、二次函數、反比例函數以及冪函數時，就曾經根據函數的圖象研究過函數的函數值隨自變量的變大而變大或變小的性質．而這些研究結論是直觀地由圖象得到的．在函數的集合中，有很多函數具有這種性質，因此我們有必要對函數這種性質作更進一步的一般性的討論和研究，這就是我們今天這一節課的內容．

　　（點明本節課的內容，既是曾經有所認識的，又是新的知識，引起學生的注意．）

　　二、對概念的分析

　　（板書課題：）

　　師：請同學們打開課本第51頁，請××同學把增函數、減函數、單調區間的定義朗讀一遍．

　　（學生朗讀．）

　　師：好，請坐．通過剛才閱讀增函數和減函數的定義，請同學們思考一個問題：這種定義方法和我們剛才所討論的函數值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致？如果一致，定義中是怎樣描述的？

　　生：我認為是一致的．定義中的“當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少．

　　師：說得非常正確．定義中用了兩個簡單的不等關系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數的單調遞增或單調遞減的性質．這就是數學的魅力！

　　（通過教師的情緒感染學生，激發學生學習數學的興趣．）

　　師：現在請同學們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個函數y=f1（x）和y=f2（x）的圖象，體會這種魅力．

　　（指圖說明．）

　　師：圖中y=f1（x）對于區間[a，b]上的任意x1，x2，當x1＜x2時，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在區間[a，b]上是單調遞增的，區間[a，b]是函數y=f1（x）的單調增區間；而圖中y=f2（x）對于區間[a，b]上的任意x1，x2，當x1＜x2時，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在區間[a，b]上是單調遞減的，區間[a，b]是函數y=f2（x）的單調減區間．

　　（教師指圖說明分析定義，使學生把函數單調性的定義與直觀圖象結合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解．滲透數形結合分析問題的數學思想方法．）

　　師：因此我們可以說，增函數就其本質而言是在相應區間上較大的自變量對應……

　　（不把話說完，指一名學生接著說完，讓學生的思維始終跟著老師．）

　　生：較大的函數值的函數．

　　師：那么減函數呢？

　　生：減函數就其本質而言是在相應區間上較大的自變量對應較小的`函數值的函數．

　　（學生可能回答得不完整，教師應指導他說完整．）

　　師：好．我們剛剛以增函數和減函數的定義作了初步的分析，通過閱讀和分析你認為在定義中我們應該抓住哪些關鍵詞語，才能更透徹地認識定義？

　　（學生思索．）

　　學生在高中階段以至在以后的學習中經常會遇到一些概念（或定義），能否抓住定義中的關鍵詞語，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學好數學及其他各學科的重要一環．因此教師應該教會學生如何深入理解一個概念，以培養學生分析問題，認識問題的能力．

　　（教師在學生思索過程中，再一次有感情地朗讀定義，并注意在關鍵詞語處適當加重語氣．在學生感到無從下手時，給以適當的提示．）

　　生：我認為在定義中，有一個詞“給定區間”是定義中的關鍵詞語．

　　師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關鍵詞語，在學習幾個相近的概念時還要注意區別它們之間的不同．增函數和減函數都是對相應的區間而言的，離開了相應的區間就根本談不上函數的增減性．請大家思考一個問題，我們能否說一個函數在x=5時是遞增或遞減的？為什么？

　　生：不能．因為此時函數值是一個數．

　　師：對．函數在某一點，由于它的函數值是唯一確定的常數（注意這四個字“唯一確定”），因而沒有增減的變化．那么，我們能不能脫離區間泛泛談論某一個函數是增函數或是減函數呢？你能否舉一個我們學過的例子？

　　生：不能．比如二次函數y=x2，在y軸左側它是減函數，在y軸右側它是增函數．因而我們不能說y=x2是增函數或是減函數．

　　（在學生回答問題時，教師板演函數y=x2的圖像，從“形”上感知．）

　　師：好．他（她）舉了一個例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區間”．這說明是函數在某一個區間上的性質，但這不排斥有些函數在其定義域內都是增函數或減函數．因此，今后我們在談論函數的增減性時必須指明相應的區間．

　　師：還有沒有其他的關鍵詞語？

　　生：還有定義中的“屬于這個區間的任意兩個”和“都有”也是關鍵詞語．

　　師：你答的很對．能解釋一下為什么嗎？

　　（學生不一定能答全，教師應給予必要的提示．）

　　師：“屬于”是什么意思？

　　生：就是說兩個自變量x1，x2必須取自給定的區間，不能從其他區間上取．

　　師：如果是閉區間的話，能否取自區間端點？

　　生：可以．

　　師：那么“任意”和“都有”又如何理解？

　　生：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數的增減性，而“都有”則是說只要x1＜x2，f（x1）就必須都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

　　師：能不能構造一個反例來說明“任意”呢？

　　（讓學生思考片刻．）

　　生：可以構造一個反例．考察函數y=x2，在區間[-2，2]上，如果取兩個特定的值x1=-2，x2=1，顯然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的減函數，那就錯了．

　　師：那么如何來說明“都有”呢？

　　生：y=x2在[-2，2]上，當x1=-2，x2=-1時，有f（x1）＞f（x2）；當x1=1，x2=2時，有f（x1）＜f（x2），這時就不能說y=x2，在[-2，2]上是增函數或減函數．

　　師：好極了！通過分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數y=f（x）在某個區間內是增函數或減函數，不能由特定的兩個點的情況來判斷，而必須嚴格依照定義在給定區間內任取兩個自變量x1，x2，根據它們的函數值f（x1）和f（x2）的大小來判定函數的增減性．

　　（教師通過一系列的設問，使學生處于積極的思維狀態，從抽象到具體，并通過反例的反襯，使學生加深對定義的理解．在概念教學中，反例常常幫助學生更深刻地理解概念，鍛煉學生的發散思維能力．）

　　師：反過來，如果我們已知f（x）在某個區間上是增函數或是減函數，那么，我們就可以通過自變量的大小去判定函數值的大小，也可以由函數值的大小去判定自變量的大小．即一般成立則特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．這恰是辯證法中一般和特殊的關系．

　　（用辯證法的原理來解釋數學知識，同時用數學知識去理解辯證法的原理，這樣的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的內涵和外延，培養學生學習的能力．）

　　三、概念的應用

　　例1 圖4所示的是定義在閉區間[-5，5]上的函數f（x）的圖象，根據圖象說出f（x）的單調區間，并回答：在每一個單調區間上，f（x）是增函數還是減函數？

　　（用投影幻燈給出圖象．）

　　生甲：函數y=f（x）在區間[-5，-2]，[1，3]上是減函數，因此[-5，-2]，[1，3]是函數y=f（x）的單調減區間；在區間[-2，1]，[3，5]上是增函數，因此[-2，1]，[3，5]是函數y=f（x）的單調增區間．

　　生乙：我有一個問題，[-5，-2]是函數f（x）的單調減區間，那么，是否可認為（-5，-2）也是f（x）的單調減區間呢？

　　師：問得好．這說明你想的很仔細，思考問題很嚴謹．容易證明：若f（x）在[a，b]上單調（增或減），則f（x）在（a，b）上單調（增或減）．反之不然，你能舉出反例嗎？一般來說．若f（x）在[a，（增或減）．反之不然．

　　例2 證明函數f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函數．

　　師：從函數圖象上觀察固然形象，但在理論上不夠嚴格，尤其是有些函數不易畫出圖象，因此必須學會根據解析式和定義從數量上分析辨認，這才是我們研究函數單調性的基本途徑．

　　（指出用定義證明的必要性．）

　　師：怎樣用定義證明呢？請同學們思考后在筆記本上寫出證明過程．

　　（教師巡視，并指定一名中等水平的學生在黑板上板演．學生可能會對如何比較f（x1）和f（x2）的大小關系感到無從入手，教師應給以啟發．）

　　師：對于f（x1）和f（x2）我們如何比較它們的大小呢？我們知道對兩個實數a，b，如果a＞b，那么它們的差a-b就大于零；如果a=b，那么它們的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它們的差a-b就小于零，反之也成立．因此我們可由差的符號來決定兩個數的大小關系．

　　生：（板演）設x1，x2是（-∞，+∞）上任意兩個自變量，當x1＜x2時，

　　f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，

　　所以f（x）是增函數．

　　師：他的證明思路是清楚的．一開始設x1，x2是（-∞，+∞）內任意兩個自變量，并設x1＜x2（邊說邊用彩色粉筆在相應的語句下劃線，并標注“①→設”），然后看f（x1）-f（x2），這一步是證明的關鍵，再對式子進行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”（同上，劃線并標注”②→作差，變形”）．但美中不足的是他沒能說明為什么f（x1）-f（x2）＜0，沒有用到開始的假設“x1＜x2”，不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號．應寫明“因為x1＜x2，所以x1-x2＜0，從而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”這一步可概括為“定符號”（在黑板上板演，并注明“③→定符號”）．最后，作為證明題一定要有結論，我們把它稱之為第四步“下結論”（在相應位置標注“④→下結論”）．

　　這就是我們用定義證明函數增減性的四個步驟，請同學們記住．需要指出的是第二步，如果函數y=f（x）在給定區間上恒大于零，也可以小．

　　（對學生的做法進行分析，把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢．在學生剛剛接觸一個新的知識時，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時對學生養成一定的思維習慣，形成一定的解題思路也是有幫助的．）

　　調函數嗎？并用定義證明你的結論．

　　師：你的結論是什么呢？

　　上都是減函數，因此我覺得它在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數．

　　生乙：我有不同的意見，我認為這個函數不是整個定義域內的減函數，因為它不符合減函數的定義．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2顯然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，顯然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定義域內的減函數．

　　生：也不能這樣認為，因為由圖象可知，它分別在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數．

　　域內的增函數，也不是定義域內的減函數，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一個單調區間內都是減函數．因此在函數的幾個單調增（減）區間之間不要用符號“∪”連接．另外，x=0不是定義域中的元素，此時不要寫成閉區間．

　　上是減函數．

　　（教師巡視．對學生證明中出現的問題給予點拔．可依據學生的問題，給出下面的提示：

　　（1）分式問題化簡方法一般是通分．

　　（2）要說明三個代數式的符號：k，x1·x2，x2-x1．

　　要注意在不等式兩邊同乘以一個負數的時候，不等號方向要改變．

　　對學生的解答進行簡單的分析小結，點出學生在證明過程中所出現的問題，引起全體學生的重視．）

　　四、課堂小結

　　師：請同學小結一下這節課的主要內容，有哪些是應該特別注意的？

　　（請一個思路清晰，善于表達的學生口述，教師可從中給予提示．）

　　生：這節課我們學習了函數單調性的定義，要特別注意定義中“給定區間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個關鍵詞語；在寫單調區間時不要輕易用并集的符號連接；最后在用定義證明時，應該注意證明的四個步驟．

　　五、作業

　　1．課本P53練習第1，2，3，4題．

　　數．

　　=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）

　　=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）

　　+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．

　　課堂教學設計說明

　　是函數的一個重要性質，是研究函數時經常要注意的一個性質．并且在比較幾個數的大小、對函數作定性分析、以及與其他知識的綜合應用上都有廣泛的應用．對學生來說，早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質．學生對此有一定的感性認識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學生也會覺得是已經學過的知識，感覺乏味．因此，在設計教案時，加強了對概念的分析，希望能夠使學生認識到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西，其中甚至包含著辯證法的原理．

　　另外，對概念的分析是在引進一個新概念時必須要做的，對概念的深入的正確的理解往往是學生認知過程中的難點．因此在本教案的設計過程中突出對概念的分析不僅僅是為了分析函數單調性的定義，而且想讓學生對如何學會、弄懂一個概念有初步的認識，并且在以后的學習中學有所用．

　　還有，使用函數單調性定義證明是一個難點，學生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助．另外，這也是以后要學習的不等式證明方法中的比較化的基本思路，現在提出要求，對今后的教學作一定的鋪墊．

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