《直線的點斜式方程》教學設計
《直線的點斜式方程》教學設計
學習離不開思維，善思則學得活，效率高，不善思則學得死，效果差。數(shù)學網(wǎng)小編準備了高一數(shù)學教學設計，供大家參考!
一、內(nèi)容及其解析
1.內(nèi)容：這是一節(jié)建立直線的點斜式方程(斜截式方程)的概念課.學生在此之前已學習了在直角坐標系內(nèi)確定直線一條直線幾何要素,已知直線上的一點和直線的傾斜角(斜率)可以確定一條直線,已知兩點也可以確定一條直線.本節(jié)要求利用確定一條直線的幾何要素直線上的一點和直線的傾斜角,建立直線方程,通過方程研究直線.
2.解析：直線方程屬于解析幾何的基礎知識，是研究解析幾何的開始.從整體來看,直線方程初步體現(xiàn)了解析幾何的實質(zhì)用代數(shù)的知識研究幾何問題.從集合與對應的角度構(gòu)建了平面上的直線與二元一次方程的一一對應關系,是學習解析幾何的基礎.對后續(xù)圓、直線與圓的位置關系等內(nèi)容的學習，無論是知識上還是方法上都有著積極的意義.從本節(jié)來看,學生對直線既是熟悉的，又是陌生的.熟悉是學生知道一次函數(shù)的圖像是直線，陌生是用解析幾何的方法求直線的方程.直線的點斜式方程是推導其它直線方程的基礎,在直線方程中占有重要地位.
二、目標及其解析
1.目標
掌握直線的點斜式和斜截式方程的推導過程,并能根據(jù)條件熟練求出直線的點斜式方程和斜截式方程.
2.解析
①知道直線上的一點和直線的傾斜角的代數(shù)含義是這個點的坐標和這條直線的斜率.知道建立直線方程就是將確定直線的幾何要素用代數(shù)形式表示出來.
②理解建立直線點斜式方程就是用直線上任意一點與已知點這兩個點的坐標表示斜率.
③經(jīng)歷直線的點斜式方程的推導過程,體會直線和直線方程之間的關系,滲透解析幾何的基本思想.
④在討論直線的點斜式方程的應用條件與建立直線的斜截式方程中,體會分類討論的思想,體會特殊與一般思想.
⑤在建立直線方程的過程中,體會數(shù)形結(jié)合思想.在直線的斜截式方程與一次函數(shù)的比較中,體會兩者區(qū)別與聯(lián)系,特別是體會兩者數(shù)形結(jié)合的區(qū)別,進一步體會解析幾何的基本思想.
三、教學問題診斷分析
1.學生在初中已經(jīng)學習了一次函數(shù),知道一次函數(shù)的圖像是一條直線,因此學生對研究直線的方程可能心存疑慮,產(chǎn)生疑慮的原因是學生初次接觸到解析幾何,不明確解析幾何的實質(zhì),因此應跟學生講請解析幾何與函數(shù)的區(qū)別.
2.學生能聽懂建立直線的點斜式的過程,但可能會不知道為什么要這么做.因此還是要跟學生講清坐標法的實質(zhì)把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題,用代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì).
3.由于學生沒有學習曲線與方程,因此學生難以理解直線與直線的方程,甚至認為驗證直線是方程的直線是多余的.這里讓學生初步理解就行,隨著后面教學的深入和反復滲透,學生會逐步理解的.
四、教法與學法分析
1、教法分析
新課標指出,學生是教學的主體.教師要以學生活動為主線.在原有知識的基礎上,構(gòu)建新的知識體系.本節(jié)課可采用啟發(fā)式問題教學法教學.通過問題串,啟發(fā)學生自主探究來達到對知識的發(fā)現(xiàn)和接受.通過縱向挖掘知識的深度，橫向加強知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神.并且使學生的有效思維量加大，隨著對新知識和方法產(chǎn)生有意注意，使能力與知識的形成相伴而行，使學生在解決問題的同時，形成方法.
2、學法分析
改善學生的學習方式是高中數(shù)學課程追求的基本理念.學生的數(shù)學學習活動不僅僅限于對概念結(jié)論和技能的記憶、模仿和積累.獨立思考,自主探索,動手實踐,合作交流,閱讀自學等都是學習數(shù)學的重要方式,這些方式有助于發(fā)揮學生學習主觀能動性,使學生的學習過程成為在教師引導下的再創(chuàng)造的過程.為學生形成積極主動的、多樣的學習方式創(chuàng)造有利的條件.以激發(fā)學生的學習興趣和創(chuàng)新潛能,幫助學生養(yǎng)成獨立思考,積極探索的習慣.
通過直線的點斜式方程的推導，加深對用坐標求方程的理解;通過求直線的點斜式方程，理解一個點和方向可以確定一條直線;通過求直線的斜截式方程，熟悉用待定系數(shù)法求的過程，讓學生利用圖形直觀啟迪思維，實現(xiàn)從感性認識到理性思維質(zhì)的飛躍.讓學生從問題中質(zhì)疑、嘗試、歸納、總結(jié)，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題和分析解決問題的能力.
五、教學過程設計
問題1：在直角坐標系內(nèi)確定直線一條直線幾何要素是什么?如何將這些幾何要素代數(shù)化?
[設計意圖]讓學生理解直線上的一點和直線的傾斜角的代數(shù)含義是這個點的坐標和這條直線的斜率.
問題2：建立直線方程的實質(zhì)是什么?
[設計意圖]建立直線方程就是將確定直線的幾何要素用代數(shù)形式表示出來.也就是將直線上點的坐標滿足的條件用方程表示出來.
引例：若直線經(jīng)過點,斜率為,點在直線上運動,那么點的坐標滿足什么條件?
[設計意圖]讓學生通過具體例子經(jīng)歷求直線的點斜式方程的過程,初步了解求直線方程的步驟.
問題2.1要得到坐標滿足什么條件,就是找出與、斜率為之間的關系,它們之間有何種關系?
(過與兩點的直線的斜率為)
[設計意圖]讓學生尋找確定直線的條件，體會動中找靜.
問題2.2如何將上述條件用代數(shù)形式表示出來?
[設計意圖]讓學生理解和體會用坐標表示確定直線的條件.
用代數(shù)式表示出來就是,即.
問題2.3為什么說是滿足條件的直線方程?
[設計意圖]讓學生初步感受直線與直線方程的關系.
此時的坐標也滿足此方程.所以當點在直線上運動時,其坐標滿足.
另外以方程的解為坐標的點也在直線上.
所以我們得到經(jīng)過點,斜率為的直線方程是.
問題2.4：能否說方程是經(jīng)過,斜率為的直線方程?
[設計意圖]讓學生初步感受直線(曲線)方程的完備性.盡管學生不可能深刻理解直線(曲線)方程的完備性，但在這里仍要滲透，為后因理解曲線方程的埋下伏筆.
問題3：推廣：已知一直線過一定點,且斜率為k,怎樣求直線的方程?
[設計意圖]由特殊到一般的學習思路，培養(yǎng)學生的是歸納概括能力.
問題4：直線上有無數(shù)個點,如何才能選取所有的點?以前學習中有沒有類似的處理問題的方法?
[設計意圖]引導學生掌握解析幾何取點的方法.
引導學生求出直線的點斜式方程
注：在求直線方程的過程中要說明直線上的點的坐標滿足方程,也要說明以方程的解為坐標的點在直線上,即方程的解與直線上的點的坐標是一一對應的.為以后學習曲線與方程打好基礎.教學中讓學生感覺到這一點就可以.不必做過多解釋.
問題5：從求直線方程的過程中,你知道了求幾何圖形的方程的步驟有哪些嗎?
[設計意圖]讓學生初步感受解析幾何求曲線方程的步驟.
①設點---用表示曲線上任一點的坐標;
②尋找條件----寫出適合條件;
③列出方程----用坐標表示條件,列出方程
④化簡---化方程為最簡形式;
⑤證明----證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
例1分別求經(jīng)過點,且滿足下列條件的直線的方程,并畫出直線.
⑴傾斜角
⑵斜率
⑶與軸平行;
⑷與軸平行.
[設計意圖]讓學生掌握直線的點斜式的使用條件,把直線的點斜式方程作公式用，讓學生熟練掌握直線的點斜式方程，并理解直線的點斜式方程使用條件.
注：⑴應用直線的點斜式方程的條件是：①定點，②斜率存在,即直線的傾斜角.
⑵與的區(qū)別.后者表示過,且斜率為k的直線方程，而前者不包括.
⑶當直線的傾斜角時,直線的斜率，直線方程是.
⑷當直線的傾斜角時,此時不能直線的點斜式方程表示直線,直線方程是.
練習：1..
2.已知直線的方程是，則直線的斜率為，傾斜角為，這條直線經(jīng)過的一個已知點為.
[設計意圖]在直線的點斜式方程的逆用過程中，進一步體會和理解直線的點斜式方程.
問題6：特別地，如果直線的斜率為,且與軸的交點坐標為(0,b),求直線的方程.
[設計意圖]由一般到特殊，培養(yǎng)學生的推理能力，同時引出截距的概念和直線斜截式方程.
將斜率與定點代入點斜式直線方程可得：
說明：我們把直線與y軸交點(0,b)的縱坐標b叫做直線在y軸上的截距.這個方程是由直線的斜率與它在y軸上的截距b確定,所以叫做直線的斜截式方程.
注(1)截距可取任意實數(shù),它不同于距離.直線在軸上截距的是.
(2)斜截式方程中的k和b有明顯的幾何意義.
(3)斜截式方程的使用范圍和斜截式一樣.
問題7：直線的斜截式方程與我們學過的一次函數(shù)的類似.我們知道,一次函數(shù)的圖像是一條直線.你如何從直線方程的角度認識一次函數(shù)?一次函數(shù)中k和b的幾何意義是什么?
[設計意圖]讓學生理解直線方程與一次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，進一步理解解析幾何的實質(zhì).函數(shù)圖像是以形助數(shù)，而解析幾何是以數(shù)論形.
練習：1..
2.直線的斜率為2，在軸上的截距為，求直線的方程.
[設計意圖]讓學生明確截距的含義.
3.直線過點，它的斜率與直線的斜率相等，求直線的方程.
[設計意圖]讓學生進一步理解直線斜截式方程的結(jié)構(gòu)特征.
4.已知直線過兩點和，求直線的方程.
[設計意圖]讓學生能合理選擇直線方程的不同形式求直線方程,同時為下節(jié)學習直線的兩點式方程埋下伏筆.
例2：已知直線,試討論
(1)與平行的條件是什么?
(2)與重合的條件是什么?
(3)與垂直的條件是什么?
說明：①平行、重合、垂直都是幾何上位置關系，如何用代數(shù)的數(shù)量關系來刻畫.
②教學中從兩個方面來說明，若兩直線平行，則且反過來，若且，則兩直線平行.
③若直線的斜率不存在，與之平行、垂直的條件分別是什么?
練習：
問題8：本節(jié)課你有哪些收獲?
要點：(1)直線方程的點斜式、斜截式的命名都是顧名思義的,要會加以區(qū)別.
(2)兩種形式的方程要在熟記的基礎上靈活運用.
總結(jié)：制定教學計劃的主要目的是為了全面了解學生的數(shù)學學習歷程，激勵學生的學習和改進教師的教學。
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