直線與平面垂直的判定教學設計（精選10篇）

　　作為一名辛苦耕耘的教育工作者，時常需要編寫教學設計，教學設計是連接基礎理論與實踐的橋梁，對于教學理論與實踐的緊密結合具有溝通作用。那么問題來了，教學設計應該怎么寫？以下是小編整理的直線與平面垂直的判定教學設計，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。

　　直線與平面垂直的判定教學設計 1

　　一、內容和內容解析

　　本節課是在學生學習了空間點、直線、平面之間的位置關系和直線、平面平行的判定及其性質之后進行的，其主要內容是直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理及其應用。

　　直線與平面垂直是通過直線和平面內的任意一條直線（無一例外）都垂直來定義的，定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內的所有直線，這也可以看成是線線垂直的一個判定方法；直線與平面垂直的判定定理本節是通過折紙試驗來感悟的，即一條直線只要與平面內的兩條相交直線垂直就可以判定直線與平面垂直了，它把原來定義中要求與任意一條（無限）垂直轉化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，概言之，線不在多，相交就行。直線與平面垂直的判定方法除了定義法、判定定理外，還有如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面，這是直線與平面垂直判定的一種間接方法，也是十分重要的。

　　本節學習內容蘊含豐富的數學思想，即“空間問題轉化為平面問題”，“無限轉化為有限”“線線垂直與線面垂直互相轉化”等數學思想。

　　直線與平面垂直是研究空間中的線線關系和線面關系的橋梁，為后繼面面垂直的學習、距離的學習奠定基礎。

　　二、目標和目標解析

　　1.借助對實例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；

　　2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直的判定定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題；

　　3.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發展合情推理能力，同時感悟和體驗“空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂直”、“無限轉化為有限”等數學思想.

　　三、教學問題診斷分析

　　學生已有的認知基礎是熟悉的日常生活中的具體直線與平面垂直的直觀形象（學生的客觀現實）和直線與直線垂直的定義、直線與平面平行的判定定理等數學知識結構（學生的數學現實），這為學生學習直線與平面垂直定義和判定定理等新知識奠定基礎。

　　學生學習的困難在于如何從直線與平面垂直的直觀形象中提煉出直線與平面垂直的定義，感悟直線與平面垂直的意義；以及如何從折紙試驗中探究出直線與平面垂直的判定定理。

　　教學的重點是直線與平面垂直的定義和直線與平面垂直判定定理的探究；教學的難點是操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。

　　四、學習行為分析

　　本節課安排在立體幾何的初始階段，是學生空間觀念形成的關鍵時期，課堂上學生通過感知、觀察、提煉直線與平面垂直的定義，進而通過辨析討論，深化對定義的理解。進一步，在一個具體的數學問題情境中猜想直線與平面垂直的判定定理，并在教師的指導下，通過動手操作、觀察分析、自主探索等活動，切身感受直線與平面垂直判定定理的形成過程,體會蘊涵在其中的思想方法。繼而，通過課本例1的學習概括直線與平面垂直的幾種常用判定方法。再通過練習與課后小結，使學生進一步加深對直線與平面垂直的判定定理的理解。

　　五、教學支持條件分析

　　觀察和展示現實生活中的實例與圖片，以直觀感知直線與平面垂直的形象；準備三角形紙片，用于探究直線與平面垂直的判定定理；制作多媒體課件動態演示，以加深對直線與平面垂直定義及判定定理的感知與理解。

　　六、教學過程設計

　　1.從實際背景中感知直線與平面垂直的形象

　　問題1：空間一條直線和一個平面有哪幾種位置關系？

　　設計意圖：此問基于學生已有的數學現實，通過對已學相關知識的追憶，尋找新知識學習的“固著點”。

　　問題2：在日常生活中你見得最多的直線與平面相交的情形是什么？請舉例說明。

　　設計意圖：此問基于學生的客觀現實，通過對生活事例的觀察，讓學生直觀感知直線與平面相交中一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進一步探究直線與平面垂直的意義。

　　2.提煉直線與平面垂直的定義

　　問題3：你能給出直線和平面垂直的定義嗎？回憶一下直線與直線垂直是如何定義的？

　　設計意圖：兩直線垂直有相交垂直和異面垂直，而異面直線垂直是轉化為兩直線相交垂直，實質上是將空間問題轉化為平面問題，讓學生回憶直線與直線垂直的定義，旨在由此得到啟發：用“平面化”的思想來思考問題，即能否用一條直線垂直于一個平面內的直線，來定義這條直線與這個平面垂直？

　　問題4：結合對下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義．

　　(1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

　　(2)隨著太陽的移動,影子BC的位置也會移動,而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會發生改變?

　　(3)旗桿AB與地面上任意一條不過點B的直線B1C1的位置關系如何?依據是什么？

　　設計意圖：第（1）與（2）兩問旨在讓學生發現旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條過點B的`直線垂直，第（3）問進一步讓學生發現旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條不過點B的直線也垂直，在這里，主要引導學生通過觀察直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關系來分析、歸納直線與平面垂直這一概念。

　�。▽W生敘寫定義，并建立文字、圖形、符號這三種語言的相互轉化）

　　思考：（1）如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？

　�。�2）如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線是否垂直于這個平面內的所有直線？

　�。▽�問（1），在學生回答的基礎上用直角三角板在黑板上直觀演示；對問（2）可引導學生給出符號語言表述：若，則)

　　設計意圖：通過對問題（1）的辨析討論，深化直線與平面垂直的概念。通過對問題（2）的辨析討論旨在讓學生掌握線線垂直的一種判定方法。

　　通常定義可以作為判定依據，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，因為我們無法去一一檢驗。這就有必要去尋找比定義法更簡捷、可行的直線與平面垂直的判定方法。

　　3.探究直線與平面垂直的判定定理

　　創設情境 猜想定理：某公司要安裝一根8米高的旗桿，兩位工人先從旗桿的頂點掛兩條長10米的繩子，然后拉緊繩子并把繩子的下端放在地面上兩點（和旗桿腳不在同一直線上）。如果這兩點都和旗桿腳距離6米，那么表明旗桿就和地面垂直了，你知道這是為什么嗎？

　　設計意圖：引導學生根據直觀感知以及已有經驗，進行合情推理，猜想判定定理。

　　師生活動：（折紙試驗）請同學們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗：過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD（如圖1），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

　　問題5：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

　�。�2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

　　（組織學生動手操作、探究、確認）

　　設計意圖：通過折紙讓學生發現當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，且B、D、C不在同一直線上的翻折之后豎起的折痕AD才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2），其它位置都不能使AD與桌面垂直。

　　問題6：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？（可從線與線的關系考慮）如果我們把折痕抽象為直線，把BD、CD抽象為直線，把桌面抽象為平面(如圖3)，那么你認為保證直線與平面垂直的條件是什么？

　　對于兩條相交直線必須在平面內這一點，教師可引導學生操作：將紙片繞直線AD（點D始終在桌面內）轉動，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內。問：直線AD現在還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導學生認識到直線CD、BD都必須是平面內的直線）

　　設計意圖：通過操作讓學生認識到兩條相交直線必須在平面內，從而更凸現出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內兩條相交直線。

　　問題7：如果將圖3中的兩條相交直線、的位置改變一下，仍保證

　　，（如圖4）你認為直線還垂直于平面嗎？

　　設計意圖：讓學生明白要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，這是無關緊要的。

　　根據試驗，請你給出直線與平面垂直的判定方法。

　�。▽W生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號這三種語言的相互轉化）

　　問題8：（1）與直線與平面垂直的定義相比,你覺得這個判定定理的優越性體現在哪里?

　�。�2）你覺得定義與判定定理的共同點是什么?

　　設計意圖：通過和直線與平面垂直定義的比較，讓學生體會“無限轉化為有限”的數學思想，通過尋找定義與判定定理的共同點，感悟和體會“空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂直”的數學思想.

　　思考：現在，你知道兩位工人是根據什么原理安裝旗桿的嗎？為什么要求繩子在地面上兩點和旗桿腳不在同一直線上？

　　如果安裝完了，請你去檢驗旗桿與地面是否垂直，你有什么好方法？

　　設計意圖：用學到手的知識解釋實際生活中的問題，增強學生用數學的意識，同時通過提出 “為什么要求繩子在地面上兩點和旗桿腳不在同一直線上？”（對該問題可引導學生用三角形紙片來驗證），從而來深化對直線與平面垂直判定定理的理解。

　　4.直線與平面垂直判定定理的應用

　　如圖5，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，請列舉與平面ABCD垂直的直線。并說明這些直線有怎樣的位置關系？

　　思考：如圖6，已知，則嗎？請說明理由。

　�。ǚ謩e用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的定義證明；并讓學生用語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面）

　　設計意圖：這個例題給出了判斷直線和平面垂直的一個常用的命題，這個命題體現了平行關系與垂直關系之間的聯系。

　　練習：如圖，在三棱錐V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中點。

　　求證：AC⊥平面VKB

　　思考：

　　(1)在三棱錐V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求證：VB⊥AC；

　　(2)在⑴中，若E、F分別是AB、BC 的中點，試判斷EF與平面VKB的位置關系；

　　(3)在⑵的條件下，有人說“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴VB⊥平面ABC”，對嗎？

　　設計意圖：例2重在對直線與平面垂直判定定理的應用．變式（1）在例2的基礎上，應用了直線與平面垂直的意義；變式（2）是對例1判定方法的應用；變式（3）的判斷在于進一步鞏固直線與平面垂直的判定定理。3個小題環環相扣，匯集了本節課的學習內容，突出了知識間內在聯系和融會貫通。

　　5.小結回授

　　（1）本節課你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語言敘述。

　�。�2）直線與平面垂直的判定定理中體現了哪些數學思想方法？

　　設計意圖：以問題討論的方式進行小結，培養學生反思的習慣，鼓勵學生運用自己理解的語言對問題進行質疑和概括。

　　七、目標檢測設計

　　1．課本P73探究：如圖2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A1C⊥B1D1．

　　2．如圖，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，寫出圖中所有的直角三角形。

　　3．課本P74練習2

　　設計意圖：第1題是本節教材中的一道探究題，主要運用直線與平面垂直的意義與判定定理；第2題也是活用直線與平面垂直的意義與判定定理，前兩題重在檢測本節課的知識與技能目標，檢測運用知識解決問題的能力；第3題通過學生探索，培養學生觀察——分析——歸納和綜合運用知識的能力。

　　直線與平面垂直的判定教學設計 2

　　一、教學目標

　　1.借助對圖片、實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義。

　　2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直判定的定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題，進一步培養學生的空間觀念。

　　3.讓學生親身經歷數學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學習數學的興趣。

　　二、教學重點、難點

　　1.教學重點：操作確認并概括出直線與平面垂直的'定義和判定定理。

　　2.教學難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。

　　三、課前準備

　　1.教師準備：教學課件

　　2.學生自備：

　　三角形紙片、鐵絲（代表直線）、紙板（代表平面）、三角板

　　四、教學過程設計

　　1.直線與平面垂直定義的建構

　�。�1）創設情境

　　①請同學們觀察圖片，說出旗桿與地面、高樓的側棱與地面的位置有什么關系？

　　②請把自己的數學書打開直立在桌面上，觀察書脊與桌面的位置有什么關系？

　�、壅垖ⅱ僦衅鞐U與地面的位置關系畫出相應的幾何圖形。

　�。�2）觀察歸納

　　①思考：一條直線與平面垂直時，這條直線與平面內的直線有什么樣的位置關系？

　�、诙嗝襟w演示：旗桿與它在地面上影子的位置變化。

　�、蹥w納出直線與平面垂直的定義及相關概念。

　　定義：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作：l⊥α.

　　直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。

　　直線與平面垂直的判定教學設計 3

　�。ㄒ唬┙虒W目標

　　1、知識與技能

　�。�1）使學生掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質定理；

　　（2）能運用性質定理解決一些簡單問題；

　�。�3）了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理間的相互關系

　　2、過程與方法

　�。�1）讓學生在觀察物體模型的基礎上，進行操作確認，獲得對性質定理正確性的認識；

　　3、情感、態度與價值觀

　　通過“直觀感知、操作確認、推理證明”，培養學生空間概念、空間想象能力以及邏輯推理能力。

　�。ǘ�）教學重點、難點

　　兩個性質定理的證明。

　�。ㄈ�）教學方法

　　學生依據已有知識和方法，在教師指導下，自主地完成定理的證明、問題的轉化。

　　（四）教學過程

　　教學內容

　　問題1：判定直線和平面垂直的方法有幾種？新課導入師投影問題。學生思考、

　　問題2：若一條直線和一個平面垂直，可討論問題，教師點出主題得到什么結論？若兩條直線與同一個平面垂直呢？探索新知師生互動設計意圖復習鞏固以舊帶新

　　一、直線與平面垂直的性質定理

　　生：借助長方體模型借助模型教1、問題：已知

　　直線a、b AA′、BB′、CC′、學，培養幾何直

　　探索新知和平面，如

　　果a，b，那

　　么直線

　　a、 b一定平行嗎？已知a，b求證：b∥a。

　　證明：假定b不平行于a，設b =0 b′是經過O與直線a平行的直線∵a∥b′，a

　　∴b′⊥a

　　即經過同一點O的兩線b、b′都與垂直這是不可能的，因此b∥a。

　　2、直線與平面垂直的性質定理垂直于同

　　一個平面的兩條直線平行簡化為：線面垂直線線平行

　　二、平面與平面平行的性質定理

　　1、問題

　　黑板所在平面與地面所在平面垂直，

　　你能否在黑板上畫一條直線與地面垂

　　直？

　　2、例1設，

　　=CD，AB，

　　DD′所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間相互平行，所以結論成立。師：怎么證明呢？由于無

　　法把兩條直線a、b歸入到一個平面內，故無法應

　　用平行直線的判定知識，也無法應用公理4，有這種情況下，我們采用“反證法”師生邊分析邊板書。

　　教師投影問題，學生思

　　考、觀察、討論，然后

　　回答問題

　　生：借助長方體模型，

　　在長方體ABCD

　　A′B′C′D′中，面

　　A′ADD′⊥面

　　觀能力。，反

　　證法證題是一個難點，采用以教師為主，能起到一個示范作用，并提高上課效率。

　　本例題的難點

　　是構造輔助線，采用分析綜合法能較好地解決這個問題。

　　AB⊥CD，AB⊥CD B求證AB = A′A⊥AD，AB⊥A′A ∵ AD A A A ∴A′A⊥面ABCD證明：在內引直線BE⊥CD，垂足為故只需在黑板上作一直B，則∠ ABE是二面角CD的平面線與兩個平面的.交線垂角。由知，AB⊥BE，又AB⊥CD，BE直即可。與CD是內的兩條相交直線，所以師：證明直線和平面垂AB⊥直一般都轉化為證直線3、平面與平面垂直的性質定理和平面內兩條交線垂兩個平面垂直，則一個平面內垂直于直，現AB⊥ CD，需找一交線的直線與另一個平面垂直條直線與AB垂直，有條簡記為：面面垂直線面垂直。件還沒有用，能否利用構造一條直線與AB垂直呢？生：在面內過B作BE ⊥CD即可。師：為什么呢？學生分析，教師板書例2如圖，已知平師投影例2并讀題，生：平行鞏固所學知識，訓練化歸能力。面，面，典例分析直線a滿足a，試判斷直線a，師：證明線面平行一般策略是什么？a與平面的位置關系。生：轉證線線平行

　　直線與平面垂直的判定教學設計 4

　　教材內容

　　教材選自：人教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學（A版）》必修2，第二章第三節的第一課時。

　　本節課主要學習直線與平面垂直的定義、判定定理及其初步運用。直線與平面垂直的是直線與平面相交中的一種特殊情況，它既是空間中線線垂直位置關系的拓展，又是后面學習面面垂直的基礎，是連接線線垂直和面面垂直的紐帶！因此線面垂直是空間垂直位置關系間轉化的重心，在教材中起到了承上啟下的作用。

　　學情分析

　　在本節課之前學生已學習了空間點、直線、平面之間的位置關系和直線、平面平行的判定及其性質，具備了學習本節課所需的知識。同時已經有了“通過觀察、操作等數學活動抽象概括出數學結論”的體會，參與意識、自主探究能力有所提高，對空間概念建立有一定基礎。但是，對于我們廣平一中的學生而言，他們的抽象概括能力、空間想象力還有待提高。

　　教學重、難點

　　重點：直線與平面垂直的定義和判定定理的探究。

　　難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

　　教學目標

　　《課程標準》把本節課學習目標概括為：通過直觀感知、操作確認，歸納出線面垂直的判定定理；能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題。

　　我將本節課的教學目標確立為：知識與技能：

　�。�1）經歷對實例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；

　�。�2）通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直的判定定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關系的`簡單命題；過程與方法：

　�。�1）在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發展合情推理能力，同時感悟和體驗“空間問題轉化為平面問題”、“線面垂直轉化為線線垂直”、“無限轉化為有限”等化歸的數學思想．

　�。�2）嘗試用數學語言（文字、符號、圖形語言）對定義和定理進行準確表述和合理轉換．

　　情感、態度與價值觀：

　　經歷線面垂直的定義和定理的探索過程，提高嚴謹與求實的學習作風，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度

　　教學過程

　　（一）教學流程

　　本節課由－定義的建構－定理的探究－定理的應用－總結反思－布置作業這五個環節構成，將分別依照以下步驟逐一展開：

　�。ǘ�）、教學過程

　　知識探索：直線與平面垂直定義的建構

　　（1）創設情境—感知概念首先展示這兩張圖片，讓學生觀察。

　　天安門廣場前豎立的旗桿與地面的位置關系給人以什么感覺？大橋的橋柱與水面的位置關系呢？

　　這種聯系現實世界引入概念的方式有助于學生將客觀現實材料和數學知識融為一體，實現“概念的數學化”

　�。�2）觀察歸納—形成概念：

　　結合對下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義，如圖，在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子

　�。�1）旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

　�。�2）隨著太陽的移動，影子BC的位置也會移動，而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會發生改變？

　�。�3）旗桿AB與地面上任意一條不過點B的直線B1C1的位置關系如何？依據是什么？

　　通過這樣直觀的、具體的變式引入概念，借助學生已有的具體的直觀經驗，幫助學生建立感性經驗和抽象概念之間的聯系，實現從具體到抽象的過渡。

　　由此得出定義：如果一條直線與平面內的任意一條直線都垂直，則稱這條直線與這個平面垂直。

　　作業布置

　　1、已知PA⊥平面ABC，AB是⊙的直徑，C是圓上的任一點，求證：PC⊥BC．

　　2、如圖，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，寫出圖中所有的直角三角形。

　　安排不同層次的兩道題，使不同程度的學生都有所獲，鞏固新知識并培養應用意識。

　　直線與平面垂直的判定教學設計 5

　　一、教學內容分析

　　《直線與平面垂直的判定》共2課時，本課是第1課時，本節課的內容包括直線與平面垂直的定義和判定定理兩部分，均為概念性知識。本節內容以“垂直”的判定為主線展開，“垂直”在定義和描述直線和平面位置關系中起著重要的作用，集中體現在：空間中垂直關系的相互轉化。

　　其中核心內容為——直線與平面垂直的定義和判定定理。本節具有承上啟下的作用，在已有“直線與平面位置關系，直線與直線垂直定義與判定”的基礎上，引出直線與平面垂直，為學習“平面與平面的位置關系，平面與平面的垂直”做準備，其中直線與直線垂直，直線與平面垂直，平面與平面垂直，這三類垂直問題的研究主線是類似的，都是以定義——判定——性質為主線。判定定理的教學，盡管新課標在必修課程中不要求證明，但通過定理的探索過程，培養和發展學生的幾何直覺以及運用圖形語言進行交流的能力，并體會“平面化”以及“降維”的轉化思想，是本節課的重要任務。

　　二、教學目標的確定

　　1、課程目標

　　（1）對空間幾何體整體觀察，認識空間圖形；

　　（2）以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系；

　　（3）能用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定；

　�。�4）了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法。

　　2、單元教學目標

　　本單元將在前一單元整體觀察、認識幾何體的基礎上，以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系；通過對大量圖形的觀察、實驗、操作和說理，能進一步了解平行、垂直關系的基本性質以及判定方法，學會準確地使用數學語言表述集合對象的位置關系，初步體驗公理化思想，養成邏輯思維能力，并用來解決一些簡單的推理論證及應用問題。具體目標是：

　　點、線、面之間的位置關系

　�、俳柚�長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，了解公理1、公理2、公理3、公理4以及等角定理作為推理的依據。

　�、谝粤Ⅲw幾何的上述定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定。

　�、勰苓\用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。

　　3、“直線與平面垂直的判定”的課堂教學目標

　　立體幾何的符號語言是數學簡約美的重要體現之一，從運動的觀點來講，線可以看成是點的軌跡，面可以看成是線的軌跡，因此，線、面可以看成是點的集合，從而抽象出用集合語言描述點、線、面關系的符號語言。教學中，通過捕捉生活中的數學現象，抽象得出線面垂直的定義及判定，使生活問題數學化，讓學生感受數學與現實生活的聯系，從現實生活中發現數學、學習數學、理解數學、應用數學，從而感受數學的魅力。正如荷蘭數學家弗賴登塔爾在他所著的《作為教育任務的數學》一書中所講：“數學起源于現實”，“數學教師的任務之一是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實�！�

　　新課標中立體幾何的體系和內容都發生了較大的變化，要求能通過直觀感知、操作確認，歸納出直線和平面垂直的判定定理。

　　基于上述認識，將單元目標“以立體幾何的有關定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定�！本唧w化為：

　�。�1）學生能借助直線與平面垂直的具體實例，解釋“直線與平面垂直”的含義；

　�。�2）學生通過參與折紙試驗，歸納和確認直線與平面垂直的判定定理，并會用數學語言表述；

　　（3）會用直線與平面垂直的定義和判定定理進行簡單的推理論證，并體會線線垂直與線面垂直相互轉化的數學思想。

　　三、學生學情分析

　　大千世界，數學無處不在，線面垂直的定義及判定定理來源于大量的生活現實，如：大橋的橋柱和水面的位置關系，火箭與地面的位置關系，國旗旗桿與地面上的影子的位置關系，為何木工師傅使用直角尺一量就知道物體是否垂直？……這些是學生能夠感知的生活現實，所以學生很容易得出線面垂直的定義，從而引出課題：如果用定義來判定直線與平面垂直在實際應用時有困難（由于平面內直線有無數條），那么是否存在更加簡便、易行的方法呢？線面垂直的判定定理則解決了上述困難。根據這一定理只要在平面內選擇兩條相交直線，考慮它們是否與平面外的直線垂直即可。另外，直線與平面垂直的判定定理，體現的仍然是“平面化”的思想。當然，通過直線與直線垂直判斷直線與平面垂直，還蘊涵了“降維”的思想。

　　另外學生已經學習了點、線、面的位置關系，已經初步具有辯證唯物主義觀點和公理化的思想、空間想象能力和思維能力，以及學習了直線與直線、直線與平面的位置關系，也已經初步體驗到了數學轉化的基本思想。本節還需在此基礎上進一步體會空間與平面的轉化思想，使其得到螺旋式的鞏固和提高。

　　學生在學習本節內容時主要有以下兩個困難：

　　1、理解直線與平面垂直的定義，讓學生認識到線面垂直是用線線垂直來刻畫的，逐步形成概念體系，體會其中的轉化思想，這對于高一的學生來講是比較困難的。

　　所以在設計教學時，首先通過一組圖片讓學生直觀感知直線與平面垂直的具體形象，然后將其抽象為幾何圖形，再用數學語言對幾何圖形進行精確的描述，讓學生在此過程中體會直線與平面垂直定義的合理性。

　　2、用定義去判定直線與平面垂直是不方便的，如何在較短的時間內，讓多數學生找到判定直線與平面垂直的.簡便方法，這需要一個較好的載體，去引導學生探究直線與平面垂直的判定定理，同時完成對定理條件的確認。

　　所以，在教學過程中，通過折紙試驗，精心設置問題，引導學生歸納出直線與平面垂直的判定定理。并且引導學生通過操作、擺出反例模型，對定理的兩個關鍵條件“雙垂直”和“相交”進行理解和確認。

　　四、教學策略分析

　　學生已經學習了有關集合的內容，并且經過函數、方程、不等式，三角函數等一系列內容對集合語言的應用，學生已經非常熟悉，所以很容易發現并掌握用集合語言表示空間點、線、面位置關系的符號語言。另外，在上一節當中學習了直線與平面的位置關系、直線與平面平行的判定和性質，已經初步體會到數學中的轉化思想�；�于大多數學生本身的“數學現實”，通過直觀感知，學生容易抽象出線面垂直的定義，但對定義中“任意性”的理解卻是許多同學難以理解的，所以，在定義辨析中，通過一系列的設問，對“任意性”從正反兩方面，全方位、多角度進行澄清，理解。

　　學生們通過動手探究的實踐過程，也容易抽象出數學命題即線面垂直的判定定理，但在操作確認的過程中，有一點是學生不容易想到的，也是學生難以理解的，就是關于兩個關鍵條件：“雙垂直”和“相交”的感知和確認。這里只能利用定義一條途徑來說明，通過階梯性的設問逐漸引導學生通過操作模型——旋轉和平移，并在教學過程中恰當地使用現代信息技術——幾何畫板展示空間圖形，為理解和掌握圖形幾何性質（包括證明）的教學提供形象的支持，提高學生的幾何直觀能力。將直線與平面內兩條相交直線垂直轉化為與平面內任意一條直線都垂直，從而加深對判定定理的理解。

　　在例題教學中，面向全體學生，創造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，一方面能夠加強對定義、定理的理解與應用能力，另一方面也能夠調動學生的主動性和積極性，給學生成功的體驗，激發學生學習的興趣。

　　根據以上分析，本節課采用啟發探究式的教學方式。

　　在啟發式教學過程中，以問題引導學生的思維活動。教學設計突出了對問題串的設計，教學中，結合學生的思維發展變化不斷追問，使學生對問題本質的思考逐步深入，思維水平不斷提高。

　　嘗試通過試驗的方法進行立體幾何的教學。本節課主要是通過直觀感知、操作確認歸納出直線和平面垂直的判定定理。但借助什么去感知？怎樣操作才能歸納出判定定理？確認到什么程度，才能在不對定理進行證明的情況下，不失數學的邏輯性和嚴謹性？本節課立足教材，重視對具體實例的觀察、分析，并且給學生提供動手操作的機會，引導學生通過自己的觀察、操作等活動獲得數學結論，把合情推理作為一個重要的推理方式融入到學生的學習過程中。

　　五、教學過程

　　原蘇聯數學教育家斯托利亞爾在他所著的《數學教育學》一書中指出：“數學教學是數學活動的教學”，“數學活動是思維活動，對數學家而言，這是一個發現活動；對于數學教學來說，我們要教給學生的不是死記現成的材料，而是發現數學真理（自己獨立的發現科學上已經發現了的東西），學生發現那些在科學上早已被發現的東西的時候，他是像第一次發現者那樣去推理的�！盵3]在弗賴登塔爾的論述中也指出：“學生通過自己努力得到的結論和創造是數學教育內容的一部分”。 [2]新課標也在倡導積極主動、勇于探索的學習方式�；�于這樣的理念的指導，結合本課的教學內容，本課采用啟發探究發現式教學法，以問題為載體，學生活動為主線，給學生留下思考的空間，為學生創造合作、探索、發現、創新的氛圍，激發學生的學習興趣，體現學生的主體地位，將傳授知識和培養能力融為一體。

　　本節課通過創設情境、系列設問，學生體驗探索新知的氛圍，學生從已有的線線垂直知識的經驗，容易遷移得到線面垂直，體驗成功的樂趣，產生繼續探索新發現的欲望，老師再帶領學生發現線面垂直的判定定理，學生分組合作探究，使學生親身經歷數學知識的發生、發展及解決的全過程，體會到發現數學，應用數學的樂趣。

　　直線與平面垂直的判定定理將原本判定直線與平面垂直的問題，通過判定直線和直線的垂直來解決。從獲得判定定理的思維來看，與獲得直線與平面平行、平面與平面平行判定定理的過程類似。雖然平面內直線有無數多條，但它卻可以由兩條相交直線完全確定，因此是否有“一條直線和平面內兩條相交直線垂直，那么就有這條直線就與平面內任意直線垂直”就成為重點考察問題。

　　當然，這時學生也許會問，兩條平行直線也確定一個平面，為什么不能用“一條直線與兩條平行直線垂直來判定呢？”實際上，由公理4知，平行具有“傳遞性”，因此一條直線與平面內一條直線垂直，那么它與這個平面內的平行于這條直線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線垂直。

　　所以，為了更好地培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知、操作確認的基礎上，歸納概括出直線與平面垂直的判定定理，學生通過教科書上的“探究”試驗：通過折疊三角形紙片，探究在什么條件下，就能使折痕與桌面垂直，通過動手實踐，自己發現“當且僅當折痕AD是BC邊上的高時……”，并對65頁的思考進行交流，然后得到一般的結論（即判定定理），如果此時仍有學生心存質疑，這時引導學生通過操作模型來認識其本質原因：一條直線和平面內兩條相交直線垂直，那么只要以AD為軸通過旋轉和平移就有這條直線就與平面內任意直線垂直，其中必須保證有足夠的時間進行探索活動。

　　例題教學中，第一題給出了一個判定直線和平面垂直時常用的命題：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于該平面。這個命題體現了平行關系與垂直關系之間的聯系。第二題本題為課本的探究題，本題思路跳躍性較大，如果直接讓學生去做就會有一部分學生比較困難，產生畏難情緒，所以在探究之前先搭建兩個臺階，這樣學生思維活動就比較平緩，大部分學生都能順利探究出問題答案，從而樹立學生學習數學的自信心。兩道例題均體現數學中線線垂直與線面垂直相互轉化的思想。

　　學生對如何運用定義、定理解決問題也是躍躍欲試，在展示學生答案之后，給全體學生一個暢所欲言的機會，互相評價，最終得到完善的答案，在集體交流中感受合作的巨大力量。這樣做，對于不善于表現自己的學生可能會失去和大家交流的機會，可能有個別學生要面臨一定的問題、困惑、挫折甚至失敗，但通過組內合作交流和老師的指導，也可以克服。這也體現了一個人成長、發展所必須經歷的過程，對于培養意志品質起到了重要作用。

　　直線與平面垂直的判定教學設計 6

　　一、教學目標

　　1.借助對圖片、實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義。

　　2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直判定的定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題，進一步培養學生的空間觀念。

　　3.讓學生親身經歷數學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學習數學的興趣。

　　二、教學重點、難點

　　1.教學重點：操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

　　2.教學難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用。

　　三、課前準備

　　1.教師準備：教學課件

　　2.學生自備：

　　三角形紙片、鐵絲(代表直線)、紙板(代表平面)、三角板

　　四、教學過程設計

　　1.直線與平面垂直定義的建構

　　(1)創設情境

　�、僬埻瑢W們觀察圖片，說出旗桿與地面、高樓的側棱與地面的位置有什么關系?

　　②請把自己的數學書打開直立在桌面上，觀察書脊與桌面的位置有什么關系?

　　③請將①中旗桿與地面的位置關系畫出相應的幾何圖形。

　　(2)觀察歸納

　�、偎伎迹阂粭l直線與平面垂直時，這條直線與平面內的直線有什么樣的位置關系?

　　②多媒體演示：旗桿與它在地面上影子的位置變化。

　�、蹥w納出直線與平面垂直的定義及相關概念。

　　定義：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作：l⊥α.

　　直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足。

　　用符號語言表示為：

　　(3)辨析(完成下列練習)：

　�、偃绻�一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線就與這個平面垂直。

　�、谌鬭⊥α,b

　　α，則a⊥b。

　　在創設情境中，學生練習本上畫圖，教師針對學生出現的問題，如不直觀、不標字母等加以強調，并指出這就叫直線與平面垂直，引出課題。

　　在多媒體演示時，先展示動畫1使學生感受到旗桿AB所在直線與過點B的直線都垂直。再展示動畫2使學生明確旗桿AB所在直線與地面內任意一條不過點B的直線B1C1也垂直，進而引導學生歸納出直線與平面垂直的定義。

　　在辨析問題中，解釋“無數”與“任何”的不同，并說明線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質，線線垂直與線面垂直可以相互轉化，給出常用命題：

　　2.直線與平面垂直的判定定理的探究

　　(1)設置問題情境

　　提出問題：學校廣場上樹了一根新旗桿，現要檢驗它是否與地面垂直，你有什么好辦法?

　　(2)折紙試驗

　　如圖，請同學們拿出準備好的一塊(任意)三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，(BD、DC與桌面接觸).觀察并思考：

　�、僬酆跘D與桌面垂直嗎?

　�、谌绾畏�折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直?

　�、鄱嗝襟w演示翻折過程。

　　(3)歸納直線與平面垂直的判定定理

　�、偎伎迹河烧酆跘D⊥BC，翻折之后垂直關系，即AD⊥CD，AD⊥BD發生變化嗎?由此你能得到什么結論?

　�、跉w納出直線與平面垂直的判定定理。

　　定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

　　用符號語言表示為：

　　在討論實際問題時，學生同桌合作進行試驗(將鐵絲當旗桿，桌面當地面)后交流方案，如用直角三角板量一次，量兩次等。教師不作點評，說明完成下面的折紙試驗后就有結論。

　　在折紙試驗中，學生會出現“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導這兩類學生進行交流，根據直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。學生再次折紙，進而探究直線與平面垂直的條件，經過討論交流，使學生發現只要保證折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強幾何直觀性。

　　在歸納直線與平面垂直的判定定理時，先讓學生敘述結論，不完善的地方教師引導、補充完整，并結合“兩條相交直線確定一個平面”的事實，簡要說明直線與平面垂直的判定定理。然后，學生試用圖形語言表述，練習本上畫圖，可能出現垂足與兩相交直線交點重合的情況(如圖)，教師加以說明，同時給出符號語言表述。

　　在理解直線與平面垂直的判定定理時，強調“兩條”、“相交”缺一不可，并結合前面“檢驗旗桿與地面垂直”問題再進行確認。指出要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，這充分體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉化的數學思想。

　　3.直線與平面垂直的判定定理的初步應用

　　(1)嘗試練習：

　　求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。

　　學生根據題意畫圖，將其轉化為幾何命題：不妨設

　　請三位同學板演，其余同學在練習本上完成，師生共同評析，明確運用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條件，同時指出：這為證明“線線垂直”提供了一種方法。

　　(2)嘗試練習：如圖，有一根旗桿AB高8m，它的頂端A掛有兩條長10m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點(和旗桿腳不在同一條直線上)C、D。如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直.為什么?

　　本題需要通過計算得到線線垂直。學生練習本上完成后，對照課本P69例1,完善自己的解題步驟。

　　(3)嘗試練習：如圖，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。

　　此題有一定難度，教師引導學生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可用判定定理證，提示輔助線的'添法，學生練習本上完成，對照課本P69例2,完善自己的解題步驟。

　　4.總結反思

　　(1)通過本節課的學習，你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法?

　　(2)在證明直線與平面垂直時應注意哪些問題?

　　(3)本節課你還有哪些問題?

　　學生發言，互相補充，教師點評，歸納出判斷直線與平面垂直的方法，給出框圖(投影展示)，同時，說明本課蘊含著轉化、類比、歸納、猜想等數學思想方法，強調“平面化”是解決立體幾何問題的一般思路，并鼓勵學生反思，大膽質疑，教師作好記錄，以便查缺補漏。

　　5.布置作業

　　(1)如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD.

　　求證：PO⊥平面ABCD

　　(2)課本P70 練習2

　　(3)探究：如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，則圖中有幾個直角三角形?由此你認為三棱錐中最多有幾個直角三角形?四棱錐呢?

　　【板書設計】

　　教學設計說明

　　在這次新課程數學教學內容中，立體幾何不論從教材編排還是教學要求上都發生了很大變化，因而，我在本節課的處理上也作了相應調整，借助多媒體輔助教學，采用“引導—探究式”教學方法。整個教學過程遵循“直觀感知—操作確認—歸納總結”的認知規律，注重發展學生的合情推理能力，降低幾何證明的難度，同時，加強空間觀念的培養，注重知識產生的過程性，具體體現在以下幾個方面：

　　1.線面垂直的定義沒有直接給出，而是讓學生在對圖形、實例的觀察感知基礎上，借助動畫演示幫助學生概括得出，并通過辨析問題深化對定義的理解。這樣就避免了學生死記硬背概念，有利于理解數學概念的本質。

　　2.線面垂直的判定定理不易發現，在教學中，通過創設問題情境引起學生思考，安排折紙試驗，討論交流，給學生充分活動的時間與空間，幫助學生從自己的實踐中獲取知識。教師盡量少講，學生能做的事就讓他們自己去做，使學生更好的參與教學活動，展開思維，體驗探索的樂趣，增強學習數學的興趣。

　　3.本節中教師不作例題示范，而是讓學生先嘗試完成，后講評明晰。為更好地鞏固判定定理，設置了有梯度的練習，其中練習(1)是補充題，是判定定理的最簡單的運用。作業中增加了基礎題(第1題)和開放性題目(第3題)，這樣，有助于培養學生的發散思維，使學生在不同的幾何體中體會線面垂直關系，發展學生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。同時，在教學中，始終注重訓練學生準確地進行三種語言(文字語言、圖形語言和符號語言)的轉換，培養運用圖形語言進行交流的能力。

　　4.以問題討論的方式進行小結，培養學生反思的習慣，鼓勵學生對問題多質疑、多概括。

　　直線與平面垂直的判定教學設計 7

　　一、教學目標

　　1、知識與技能

　�。�1）使學生掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質定理；

　　（2）能運用性質定理解決一些簡單問題；

　　（3）了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理間的相互聯系。

　　2、過程與方法

　�。�1）讓學生在觀察物體模型的基礎上，進行操作確認，獲得對性質定理正確性的認識；

　　（2）性質定理的推理論證。

　　3、情態與價值

　　通過“直觀感知、操作確認，推理證明”，培養學生空間概念、空間想象能力以及邏輯推理能力。

　　二、教學重點、難點

　　兩個性質定理的證明。

　　三、學法與用具

　　（1）學法：直觀感知、操作確認，猜想與證明。

　　（2）用具：長方體模型。

　　四、教學設計

　　（一）、復習準備：

　　1.直線、平面垂直的判定，二面角的定義、大小及求法.

　　2.練習：對于直線和平面，能得出的一個條件是（）①②③④.

　　3.引入：星級酒店門口立著三根旗桿，這三根旗桿均與地面垂直，這三根旗桿所在的直線之間具有什么位置關系？

　�。ǘ�）、講授新課：

　　1.教學直線與平面垂直的性質定理：

　�、俣ɡ恚捍怪庇谕�一個平面的兩條直線平行.（線面垂直線線平行）

　�、诰毩暎罕硎局本�，表示平面，則的充分條件是（）A、B、 C、 D、所在的角相等

　　例1：設直線分別在正方體中兩個不同的平面內，欲使，應滿足什么條件？（分組討論師生共析總結歸納）

　　（判定兩條直線平行的方法有很多：平行公理、同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補、中位線定理、平行四邊形等等）

　　2.教學平面與平面垂直的性質定理：

　　①定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的.直線與另一個平面垂直.（面面垂直線面垂直）

　　探究：兩個平面垂直，過其中一個平面內一點作另一個平面的垂線有且僅有一條.

　　②練習：兩個平面互相垂直，下列命題正確的是（）

　　A、一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線

　　B、一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的無數條直線

　　C、一個平面內的任意一條直線必垂直于另一個平面

　　D、過一個平面內任意點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.

　　例2、如圖，已知平面，直線滿足，試判斷直線與平面的位置關系.

　　④練習：如圖，已知平面平面，平面平面，求證：

　　(三)、鞏固練習：

　　1、下列命題中，正確的是（）

　　A、過平面外一點，可作無數條直線和這個平面垂直B、過一點有且僅有一個平面和一條定直線垂直C、若異面，過一定可作一個平面與垂直D、異面，過不在上的點，一定可以作一個平面和都垂直.

　　2、如圖，是所在平面外一點，的中點，上的點，求證：

　　3、教材P71、72頁

　　（四）鞏固深化、發展思維

　　思考1、設平面α⊥平面β，點P在平面α內，過點P作平面β的垂線a，直線a與平面α具有什么位置關系？

　�。ù穑褐本�a必在平面α內）

　　思考2、已知平面α、β和直線a，若α⊥β，a⊥β，a α，則直線a與平面α具有什么位置關系？

　　五、歸納小結,課后鞏固

　　小結：（1）請歸納一下本節學習了什么性質定理，其內容各是什么？

　　（2）類比兩個性質定理，你發現它們之間有何聯系？

　　六、作業：（1）求證：兩條異面直線不能同時和一個平面垂直；

　　直線與平面垂直的判定教學設計 8

　　（一）目標

　　1．知識與技能

　�。�1）使學生掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質定理；

　�。�2）能運用性質定理解決一些簡單問題；

　　（3）了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理間的相互關系.

　　2．過程與方法

　　（1）讓學生在觀察物體模型的基礎上，進行操作確認，獲得對性質定理正確性的認識；

　　3．情感、態度與價值觀

　　通過“直觀感知、操作確認、推理證明”，培養學生空間概念、空間想象能力以及邏輯推理能力.

　�。ǘ�）重點、難點

　　兩個性質定理的'證明.

　�。ㄈ�）教學方法

　　學生依據已有知識和方法，在教師指導下，自主地完成定理的證明、問題的轉化.

　　教學過程教學內容師生互動設計意圖

　　新課導入問題1：判定直線和平面垂直的方法有幾種？

　　問題2：若一條直線和一個平面垂直，可得到什么結論？若兩條直線與同一個平面垂直呢？師投影問題. 學生思考、討論問題，教師點出主題復習鞏固以舊帶新

　　探索新知一、直線與平面垂直的性質定理

　　1．問題：已知直線a、b和平面 ，如果 ，那么直線a、b一定平行嗎？

　　已知

　　求證：b∥a.

　　證明：假定b不平行于a，設 =0

　　b′是經過O與直線a平行的直線

　　∵a∥b′，

　　∴b′⊥a

　　即經過同一點O的兩線b、b′都與 垂直這是不可能的，

　　因此b∥a.

　　2．直線與平面垂直的性質定理

　　垂直于同一個平面的兩條直線平行

　　簡化為：線面垂直 線線平行生：借助長方體模型AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間相互平行，所以結論成立.

　　師：怎么證明呢？由于無法把兩條直線a、b歸入到一個平面內，故無法應用平行直線的判定知識，也無法應用公理4，有這種情況下，我們采用“反證法”

　　師生邊分析邊板書.

　　借助模型教學，培養幾何直觀能力.，反證法證題是一個難點，采用以教師為主，能起到一個示范作用，并提高上課效率.

　　直線與平面垂直的判定教學設計 9

　　一、教材分析

　　（1） 教材的地位和作用

　　“直線和平面垂直”是人教版高中《數學》第二冊（下）第九章第四節的內容，是直線和平面相交中的一種特殊情況； 是實際生活中常見的一種位置關系；是從現實世界中抽象并概括出來的數學概念。 直線和平面垂直是兩條直線垂直的發展，是平面與平面垂直的基礎，所以是立體幾何中承上啟下的關鍵內容。同時還是空間對稱性的基礎。

　�。�2）教學目標

　　知識目標：理解直線與平面垂直的定義，感知并確認直線和平面垂直的判定定理，會用線面垂直的定義和判定定理證明簡單命題；

　　能力目標：培養類比、轉化、歸納能力，進一步發展空間想象能力、合理推斷能力和運用圖形語言進行交流的能力；

　　情感目標：在線面垂直關系的研究中，培養自主探索、合作交流的精神。

　　（3）教學重點、難點及關鍵

　　教學重點：線面垂直的定義和線面垂直的判定定理的理解。

　　教學難點：線面垂直定義的理解；線面垂直判定定理的理解。

　　教學關鍵：類比轉化數學思想的應用。

　　二、教學方法與手段

　　1.教學方法

　　本節主要采用觀察發現、問題引導、類比探索相結合的教學方法；以學生為主體，問題為主線，啟發、引導學生積極的思考同時對學生的思維進行調控，幫助學生優化思維過程。

　　2.教學手段

　　教具教學及多媒體技術輔助教學

　　教具教學使數學圖形與幾何模型和生活實際結合起來。能培養學生的空間想象能力；多媒體技術的應用為師生提供更為豐富和直觀的教學材料。同時還可適當分解空間想象的難度，提高課堂教學效率，激發學生的學習興趣。

　　三、學法指導

　　觀察、概括、總結、歸納、類比聯想是學法指導的重點。讓學生觀察、思考后，總結、概括、歸納的知識更有利于學生掌握；為了加深知識理解、掌握和更靈活地運用，運用類比聯想去主動的發現問題、解決問題，從而更系統地掌握所學知識，形成新的認知結構和知識網絡，讓學生真正地體會到在問題解決中學習，在交流中學習。這樣，可以增進熱愛數學的情感，應用數學的自信心和形成新的學習動力。

　　四. 教學過程

　　（一）教學流程

　�、�、復習引入 設置情境 Ⅱ、聯想類比 建構概念 Ⅲ、拾級而上 歸納定理 Ⅳ、技能演練 應用鞏固 Ⅴ、回顧反思 小結作業

　　（二）教學程序

　　Ⅰ、復習引入 設置情境

　　空間一條直線和一個平面有哪幾種位置關系？在日常生活中，見到最多的直線和平面相交的位置關系是什么？并舉例說明。

　　設計目的：復習不僅是知識的回顧，更重要的是幫助學生構建清晰的知識脈絡，從實際生活提出問題體現數學源于生活，激發學生學習興趣

　�、�、聯想類比 建構概念

　　共面垂直

　　類比： 線線垂直

　　能否將線面垂直問題轉化為線線垂直問題？怎樣給直線和平面垂直下精確定義呢？

　　設計目的：通過與線線垂直概念的類比，教會學生學習方法，同時滲透類比轉化思想，不僅使學生學會，還要讓學生會學，充分保障學生的主體地位。

　　觀察右圖試給出線面垂直的定義

　　直線和平面垂直：

　　如果一條直線a和一個平面α內的任意一條直線都垂直，則稱直線a垂直于平面α，記作: a⊥α

　　直線a叫做平面α的垂線，平面α叫做直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足

　�、�、拾級而上 歸納定理

　　討論以下問題：

　　問題1：如果一條直線和平面的一條直線垂直，此直線是否一定和平面垂直？

　　問題2：如果一條直線和平面的兩條直線垂直，此直線是否一定和平面垂直？

　　問題3：如果一條直線和平面的無數條直線垂直，此直線是否一定和平面垂直？

　　設計目的：問題鏈的設置，可以更好的揭示定義的內涵，加深對定義的理解，同時為判定定理的引入作鋪墊。通過學生討論問題、解決問題，培養學生勇于探索、合作交流的精神。

　　判定定理

　　如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

　　若a⊥m，a⊥n，m∩n=A,m ∩n=A,m α, n α，則a⊥α

　　設計：得出判定定理后，由學生配合，在黑板上用數學符號把定理表示出來，并作出圖形。

　　目的：通過自然語言到數學語言的過渡，培養學生用圖形的語言進行表達和思考的習慣。更有利于學生空間概念的建立和對幾何知識的把握。

　　討論以下問題：（1）如果一條直線①與三角形的兩邊垂直；②與梯形兩邊垂直；那么直線是否與上述圖形所在平面垂直？為什么？（2）體會定理中的思想方法。

　　設計思路：問題1強調了定理中相交的條件，讓學生加深對定理的理解，更好的接受、確認定理。問題2讓學生學會學習，學會思考，感受數學思想。

　　Ⅳ、技能演練 應用鞏固

　　例1 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。

　　方法一 線面垂直的定義

　　方法二 線面垂直的判定定理

　　設計目的:采用師生共同分析的方法，由學生口述證明方法，教師板書并規范證題格式，最后指出該結論可作為定理使用。通過學生回答關注學生表達， 通過教師板書體現示范功能。

　　例2 在正方體ABCD-A’B’C’D’中，求證：BD⊥平面ACC’A’ .

　　設計目的：例2源于課本，以本為本，由淺入深，體現梯度，使不同層次的學生都有發展。演－提供范例，規范解題格式；演－設置平臺，促進討論交流；演－指導學法，提升思維層次.

　　平面中，過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

　　過平面α外一點A向平面α引垂線，則點A和垂足B之間的距離叫做點A到平面α的距離。

　　過平面α外一點A向平面α引垂線，則點A和垂足B之間的距離叫做點A到平面α的距離。

　　在空間，過一點有且只有一條直線和已知平面垂直。

　　在空間，過一點有且只有一個平面和已知直線垂直。

　　Ⅳ、技能演練 應用鞏固

　　練習：書P23練習1，2，3

　　設計目的：練習由學生板演，與例題呼應，練,提供了反饋素材,關注了學生表達,完善了認知結構。體現教與學的一致性。

　�、�、回顧反思 小結作業

　　小結 1、 本節課學習的主要內容有哪些？

　　2、通過本節課的學習，你有哪些收獲？

　　設計思路：學生的回答不盡統一，但能體現出學生的個性發展，符合新課標以學生為主體，注重學生個性發展的思想。

　　作業

　　1、閱讀課本，整理課堂筆記；2、書P28習題2.3 3、預習線面垂直的性質4、（探究題）證明：在空間，過一點有且只有一條直線和已知平面垂直。

　　設計理念：作業分多形式、多層次，體現作業的'鞏固性和發展性原則，并能滿足不同層次學生的需要。

　　五. 說明和反思

　�。ㄒ唬┰O計說明

　　在整個的設計過程中，始終體現以學生為中心的教育理念。在學生已有的認知基礎上進行設問和引導，關注學生的認知過程，強調學生的品德、思維和心理等方面的發展。重視討論、交流和合作，重視探究方法和習慣的培養和養成。同時，考慮不同學生的個性差異和發展層次，使不同的學生都有發展，體現因材施教的原則。

　　（二）過程反思

　　反思促使我們學習，學習促使我們進步。

　　在教學的設計過程中，考慮到學生的實際，有意地設計了一些鋪墊和引導，既鞏固舊知識，又為新知識提供了附著點，充分體現學生的主體地位。

　　本節課蘊涵著化歸思想、類比思想，設計中注重對學生進行思想方法的訓練，使學生學會思考、掌握方法，從注意教師的“教”，轉向關注學生的“學”。

　�。ㄈ�）設計理念

　　本節課的設計采用了傳統教法與多媒體輔助教學的有機結合。

　　借助多媒體顯示傳統教學中難以顯示的動態圖形變換，分解了空間想象的難度，借此提高課堂教學效率。但是多媒體動畫演示代替不了學生動手畫圖，能夠讓學生想象的，就不應通過動畫變成直觀，能夠讓學生動手實踐的，就不應通過動畫去演示，所以課件在本節輔助教學的同時傳統教法也起著積極的作用。希望能把二者完美的結合起來。

　　附：板書設計

　　直線與平面垂直的判定教學設計 10

　　一、背景分析

　　1．學習任務分析

　　本節課主要學習直線與平面垂直的定義、判定定理及其初步運用。其中，線面垂直的定義是線面垂直最基本的判定方法和性質，它是探究線面垂直判定定理的基礎；線面垂直的判定定理充分體現了線線垂直與線面垂直之間的轉化，它既是后面學習面面垂直的基礎，又是連接線線垂直和面面垂直的紐帶�。ㄈ鐖D）學好這部分內容，對于學生建立空間觀念，實現從認識平面圖形到認識立體圖形的飛躍，是非常重要的。

　　本節課中，學生將按照“直觀感知—操作確認—歸納總結”的認知過程展開學習，對大量圖片、實例的觀察感知，概括出線面垂直的定義；對實例、模型的分析猜想、折紙實驗，發現線面垂直的判定定理。學生將在問題的帶動下，進行更主動的思維活動，經歷從現實生活中抽象出幾何圖形和幾何問題的過程，體會轉化、歸納、類比、猜想等數學思想方法在解決問題中的作用，發展學生的合情推理能力和空間想象力，培養學生的質疑思辨、創新的精神。

　　根據《課程標準》，線面垂直判定定理的嚴格證明安排在選修系列2中進行，這樣降低了難度，符合學生的認知規律。因而，我將本節課的教學重點確立為：操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

　　2．學生情況分析

　　課前先安排學生上網查閱有關“直線與平面垂直”的圖片資料，然后在網上師生進行交流，從中體現出學生活躍的思維、濃厚的興趣、強烈的參與意識和自主探究能力。在初中學生已經掌握了平面內證明線線垂直的方法，學習本課前，學生又通過直觀感知、操作確認的方法，學習了直線、平面平行的判定定理，對空間概念建立有一定基礎，因而，可以采用類比的方法來學習本課。

　　但是，學生的抽象概括能力、空間想象力還有待提高。線面垂直的定義比較抽象，平面內看不到直線，要讓學生去體會“與平面內所有直線垂直”就有一定困難；同時，線面垂直判定定理的發現具有一定的隱蔽性，學生不易想到。因而，我將本節課的教學難點確立為：操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

　　二、教學目標設計

　　《課程標準》指出本節課學習目標是：通過直觀感知、操作確認，歸納出線面垂直的判定定理；能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題。

　　考慮到學生的接受能力和課容量，本節課只要求學生在構建線面垂直定義的基礎上探究線面垂直的判定定理，并進行定理的初步運用，靈活運用定理解決相關問題將安排在下節課。故而確立本節課的教學目標為：

　　1.通過對圖片、實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義。

　　2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直判定的定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題，進一步培養學生的空間觀念。

　　3.讓學生親身經歷數學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學習數學的興趣。

　　三、課堂結構設計

　　布魯納認為：“在教學過程中，學生是一個積極的探究者，教師的作用是要形成一種學生能夠獨立探究的情境，幫助學生形成豐富的想象，防止過早語言化，注重直覺思維�！被�于此，本課是概念、定理的新授課，設計了以學生活動為主體，培養學生能力為中心，提高課堂教學質量為目標的課堂結構。

　　四、教學媒體設計

　　根據本節課的教學任務以及學生學習的需要，教學媒體設計如下：

　　1．多媒體輔助教學：

　　利用投影展示多幅圖片，使學生直觀感知線面垂直的定義。為幫助學生正確進行操作確認并歸納出線面垂直的判定定理，在學生動手操作后利用多媒體課件進行動態演示，模擬折紙試驗，便于學生對實驗現象進行觀察和分析，同時利用多媒體課件增加課堂教學容量。

　　2．學生自備學具：

　　課前要求每個學生準備一張三角形紙片、一小段鐵絲和三角板，以便學生進行實驗，有助于學生對知識的發現和理解。

　　3．設計科學合理的板書：

　　為使學生對本節課所學習的內容有一個整體的認識，教學時將重要內容進行板書。如：

　　五、教學過程設計

　　1.直線與平面垂直定義的建構

　　本環節是教學的第一個重點，是后面探究活動的基礎，分三步進行：

　　（1）創設情境—感知概念

　�、僬故緢D片：學生收集的一組圖片和教師提供的兩張圖片。

　　②觀察實例：學生將書打開直立于桌面，觀察書脊與桌面的位置關系。

　�、厶岢鏊伎紗栴}：如何定義一條直線與一個平面垂直？

　�。�2）觀察歸納—形成概念

　�、賹W生畫圖：將旗桿與地面的位置關系畫出相應的'幾何圖形。

　　②提出問題：能否用一條直線垂直于一個平面內的直線，來定義這條直線與這個平面垂直呢？（學生討論并交流）

　　③動畫演示：旗桿與它在地面上影子的位置變化，重點讓學生體會直線與平面內不過垂足的直線也垂直。

　�、軞w納直線與平面垂直的定義、介紹相關概念，并要求學生用符號語言表示。

　�。�3）辨析討論—深化概念

　　判斷正誤：

　�、偃绻�一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線就與這個平面垂直。

　�、谌鬭⊥α,bα，則a⊥b。（學生利用鐵絲和三角板進行演示，討論交流。）

　　這一環節是本節課的基礎。線面垂直定義比較抽象，若直接給出，學生只能死記硬背，這樣，不利于學生思維能力的發展。如何使學生從“線面垂直的直觀感知”中抽象出“直線與平面內所有直線垂直”是本環節的關鍵，因此，在教學中，充分發揮學生的主觀能動性，先安排學生課前收集大量圖片，多感知，然后，通過學生動手畫圖、討論交流和多媒體課件演示，使其經歷從實際背景中抽象出幾何概念的全過程，從而形成完整和正確的概念，最后，通過辨析討論加深學生對概念的理解。這種立足于感性認識的歸納過程，即由特殊到一般，由具體到抽象，既有助于學生對概念本質的理解，又使學生的抽象思維得到發展，培養學生的幾何直觀能力。

　　2.直線與平面垂直的判定定理的探究

　　這個探究活動是本節課的關鍵所在，分三步進行：

　�。�1）分析實例—猜想定理

　　問題①在長方體ABCD－A1B1C1D1中，棱BB1與底面ABCD垂直，觀察BB1與底面ABCD內直線AB、BC有怎樣的位置關系？由此你認為保證BB1⊥底面ABCD的條件是什么？

　　問題②如何將一張長方形賀卡直立于桌面？

　　問題③由上述兩個實例，你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？

　　學生提出猜想:

　　如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

　　（2）動手實驗—確認定理

　　折紙實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸），進行觀察并思考：

　　問題④折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

　　問題⑤由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關系發生變化嗎？（即AD⊥CD，AD⊥BD還成立嗎？）由此你能得到什么結論？

　　學生折紙可能會出現“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導這兩類學生進行交流，分析“不垂直”的原因，從而發現垂直的條件—折痕AD是BC邊上的高，進而引導學生觀察動態演示模擬試驗，根據“兩條相交直線確定一個平面”的事實和實驗中的感知進行合情推理，歸納出線面垂直的判定定理，并要求學生畫圖，用符號語言表示。

　�。�3）質疑反思—深化定理

　　問題⑥如果一條直線與平面內的兩條平行直線都垂直，那么該直線與此平面垂直嗎？

　　由于兩條平行直線也確定一個平面，這個問題是學生會問到的�？梢砸龑�學生通過操作模型（三角板）來確認，消除學生心中的疑惑，進一步明確線面垂直的判定定理中的“兩條”、“相交”缺一不可！

　　在本環節中，借助學生最熟悉的長方體模型和生活中最簡單的經驗，引導學生分析，將“與平面內所有直線垂直”逐步轉化為“與平面內兩條相交直線垂直”，并以此為基礎,進行合情推理，提出猜想，使學生的思維順暢，為進一步的探究做準備。

　　由于《課程標準》中不要求嚴格證明線面垂直的判定定理，只要求直觀感知、操作確認，注重合情推理。因而，安排學生動手實驗，討論交流、為便于學生對實驗現象進行觀察和分析，自己發現結論，還增設了動態演示模擬試驗，讓學生更加清楚地看到“平面化”的過程。學生在已有數學知識的基礎上，加之以公理的支撐，便可以確認定理。

　　教學中，讓學生真正體會到知識產生的過程，有利于發展學生的合情推理能力和空間想象能力。與此同時，鼓勵學生大膽嘗試，不怕失敗，教訓有時比經驗更深刻，使學生在自己的實踐中感受數學探索的樂趣，獲得成功的體驗，增強學習數學的興趣。在討論交流中激發學生的積極性和創造性，為今后自主學習打下基礎。

　　3. 直線與平面垂直的判定定理的初步應用

　　考慮到學生處于初學階段，補充了練習（1）和練習（2）做鋪墊。學生先嘗試去做并板演，師生共同評析，幫助學生明確運用定理時的具體步驟，培養學生嚴謹的邏輯推理。練習（3）使學生對線面垂直認識由感性上升到理性；同時，展示了平行與垂直之間的聯系，給出判斷線面垂直的一種間接方法，為今后多角度研究問題提供思路。根據學生的實際情況，本題可機動處理。

　　4.總結反思—提高認識

　�。�1）通過本節課的學習，你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？

　�。�2）在證明直線與平面垂直時應注意哪些問題？

　�。�3）本節課你還有哪些問題？

　　學生發言，互相補充，教師點評。本環節側重三點：（1）以知識結構圖歸納出判斷直線與平面垂直的方法（如圖）；（2）說明本課蘊含著轉化、類比、歸納、猜想等數學思想方法，強調“平面化”是解決立體幾何問題的一般思路；（3）鼓勵學生反思，大膽質疑。

　　通過小結使本節課的知識系統化，使學生深刻理解數學思想方法在解題中的地位和應用，培養學生認真總結的學習習慣，使學生在知識、能力、情感三個維度得到提高，并為下節的學習提供改進方向。

　　5.布置作業—自主探究

　�。�1）如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD. 求證：PO⊥平面ABCD

　�。�2）課本P74 練習1

　　（3）探究：如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是圓周上一點，則圖中有幾個直角三角形?由此你認為三棱錐中最多有幾個直角三角形？四棱錐呢？

　　為作好鋪墊，補充第（1）題直接運用線面垂直判定定理。第（3）題是一道開放性題目，有助于培養學生的發散思維，為學有余力的學生安排的，這樣，使不同程度的學生都有所獲，鞏固新知識并培養應用意識。第（3）題還為下節課靈活運用線面垂直判定定理埋下伏筆。

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