兩條直線的平行與垂直教學設計
兩條直線的平行與垂直教學設計
教學目標
(一)知識教學
理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運用條件判定兩直線是否平行或垂直.
(二)能力訓練
通過探究兩直線平行或垂直的條件，培養學生運用已有知識解決新問題的能力, 以及數形結合能力．
(三)學科滲透
通過對兩直線平行與垂直的位置關系的研究，培養學生的成功意識，合作交流的學習方式,激發學生的學習興趣．
重點：兩條直線平行和垂直的條件是重點，要求學生能熟練掌握，并靈活運用．
難點：啟發學生, 把研究兩條直線的平行或垂直問題, 轉化為研究兩條直線的斜率的關系問題．
注意：對于兩條直線中有一條直線斜率不存在的情況, 在課堂上老師應提醒學生注意解決好這個問題．
教學過程
(一)先研究特殊情況下的兩條直線平行與垂直
上一節課, 我們已經學習了直線的傾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用傾斜角和斜率來表示直線相對于x軸的傾斜程度, 并推導出了斜率的坐標計算公式. 現在, 我們來研究能否通過兩條直線的斜率來判斷兩條直線的平行或垂直．
討論: 兩條直線中有一條直線沒有斜率, (1)當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，它們互相平行；(2)當另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直．
(二)兩條直線的斜率都存在時, 兩直線的平行與垂直
設直線 L1和L2的斜率分別為k1和k2. 我們知道, 兩條直線的平行或垂直是由兩條直線的方向決定的, 而兩條直線的方向又是由直線的傾斜角或斜率決定的. 所以我們下面要研究的問題是: 兩條互相平行或垂直的直線, 它們的斜率有什么關系?
首先研究兩條直線互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(圖1-29)，那么它們的傾斜角相等：α1=α2．(借助計算機, 讓學生通過度量, 感知α1, α2的關系)
∴tgα1=tgα2．
即 k1=k2．
反過來，如果兩條直線的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，
∴α1=α2．
又∵兩條直線不重合，
∴L1∥L2．
結論: 兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即
注意: 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之則不一定.
下面我們研究兩條直線垂直的情形．
如果L1⊥L2，這時α1≠α2，否則兩直線平行．
設α2＜α1(圖1-30)，甲圖的特征是L1與L2的交點在x軸上方；乙圖的特征是L1與L2的交點在x軸下方；丙圖的特征是L1與L2的交點在x軸上，無論哪種情況下都有
α1=90°+α2．
因為L1、L2的斜率分別是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2．
結論: 兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那么它們互相垂直，即
注意: 結論成立的條件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之則不一定.
(借助計算機, 讓學生通過度量, 感知k1, k2的關系, 并使L1(或L2)轉動起來, 但仍保持L1⊥L2, 觀察k1, k2的關系, 得到猜想, 再加以驗證. 轉動時, 可使α1為銳角,鈍角等).
例題
例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 試判斷直線BA與PQ的位置關系, 并證明你的結論.
分析: 借助計算機作圖, 通過觀察猜想:BA∥PQ, 再通過計算加以驗證.(圖略)
解: 直線BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,
直線PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,
因為 k1=k2=0.5, 所以 直線BA∥PQ.
例2 已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 試判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明. (借助計算機作圖, 通過觀察猜想: 四邊形ABCD是平行四邊形,再通過計算加以驗證)
解同上.
例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 試判斷直線AB與PQ的位置關系.
例4
解: 直線AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,
直線PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,
因為 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.
例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 試判斷三角形ABC的形狀.
分析: 借助計算機作圖, 通過觀察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通過計算加以驗證.(圖略)
課堂練習
P94 練習 1. 2.
課后小結
(1)兩條直線平行或垂直的真實等價條件；(2)應用條件, 判定兩條直線平行或垂直.
(3) 應用直線平行的條件, 判定三點共線.
布置作業
P94 習題3.1 5. 8.
板書設計
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