橢圓知識點(diǎn)總結(jié)

時(shí)間：2024-03-12 09:36:24 曉鳳總結(jié) 我要投稿

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橢圓知識點(diǎn)總結(jié)

　　在平平淡淡的學(xué)習(xí)中，很多人都經(jīng)常追著老師們要知識點(diǎn)吧，知識點(diǎn)也不一定都是文字，數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)除了定義，同樣重要的公式也可以理解為知識點(diǎn)。掌握知識點(diǎn)有助于大家更好的學(xué)習(xí)。下面是小編收集整理的橢圓知識點(diǎn)總結(jié)，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

橢圓知識點(diǎn)總結(jié)

　　橢圓知識點(diǎn)總結(jié) 1

　�、偶吓c簡易邏輯：集合的概念與運(yùn)算、簡易邏輯、充要條件。

　�、坪瘮�(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用。

　　⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用。

　�、热呛瘮�(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用。

　�、善矫嫦蛄浚河嘘P(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用。

　�、什坏仁剑焊拍钆c性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應(yīng)用。

　�、酥本€和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系。

　　⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用。

　　⑽排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用。

　　⑾概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布。

　�、袑�(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

　　⒀復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算。

　　橢圓知識點(diǎn)總結(jié) 2

　　正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

　　余弦定理b2=a2+c2—2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

　　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x—a）2+（y—b）2=r2注：（a，b）是圓心坐標(biāo)

　　圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2—4F>0

　　拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=—2pxx2=2pyx2=—2py

　　直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c*h

　　正棱錐側(cè)面積S=1/2c*h正棱臺側(cè)面積S=1/2（c+c）h

　　圓臺側(cè)面積S=1/2（c+c）l=pi（R+r）l球的表面積S=4pi*r2

　　圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=1/2*c*l=pi*r*l

　　弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=1/2*l*r

　　錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/3*pi*r2h

　　斜棱柱體積V=SL注：其中，S是直截面面積，L是側(cè)棱長

　　柱體體積公式V=s*h圓柱體V=p*r2h

　　乘法與因式分a2—b2=（a+b）（a—b）a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）a3—b3=（a—b（a2+ab+b2）

　　三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a—b|≤|a|+|b||a|≤b<=>—b≤a≤b

　　|a—b|≥|a|—|b|—|a|≤a≤|a|

　　一元二次方程的解—b+√（b2—4ac）/2a—b—√（b2—4ac）/2a

　　根與系數(shù)的關(guān)系X1+X2=—b/aX1*X2=c/a注：韋達(dá)定理

　　判別式

　　b2—4ac=0注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

　　b2—4ac>0注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根

　　b2—4ac<0注：方程沒有實(shí)根，有共軛復(fù)數(shù)根

　　橢圓知識點(diǎn)總結(jié) 3

　　兩角和公式

　　sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A—B）=sinAcosB—sinBcosA

　　cos（A+B）=cosAcosB—sinAsinBcos（A—B）=cosAcosB+sinAsinB

　　tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1—tanAtanB）tan（A—B）=（tanA—tanB）/（1+tanAtanB）

　　ctg（A+B）=（ctgActgB—1）/（ctgB+ctgA）ctg（A—B）=（ctgActgB+1）/（ctgB—ctgA）

　　倍角公式

　　tan2A=2tanA/（1—tan2A）ctg2A=（ctg2A—1）/2ctga

　　cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a

　　半角公式

　　sin（A/2）=√（（1—cosA）/2）sin（A/2）=—√（（1—cosA）/2）

　　cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=—√（（1+cosA）/2）

　　tan（A/2）=√（（1—cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=—√（（1—cosA）/（（1+cosA））

　　ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1—cosA））ctg（A/2）=—√（（1+cosA）/（（1—cosA））

　　和差化積

　　2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A—B）2cosAsinB=sin（A+B）—sin（A—B）

　　2cosAcosB=cos（A+B）—sin（A—B）—2sinAsinB=cos（A+B）—cos（A—B）

　　sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A—B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A—B）/2）

　　tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA—tanB=sin（A—B）/cosAcosB

　　ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB—ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB

　　橢圓知識點(diǎn)總結(jié) 4

　　橢圓知識點(diǎn)總結(jié)

　　1.橢圓的概念

　　在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓.這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.

　　集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：

　　(1)若a>c，則集合P為橢圓；

　　(2)若a=c，則集合P為線段；

　　(3)若a

　　2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

　　一條規(guī)律

　　橢圓焦點(diǎn)位置與x2，y2系數(shù)間的關(guān)系：

　　兩種方法

　　(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2、b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.

　　(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a、b、c的方程組，解出a2、b2，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　三種技巧

　　(1)橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為a+c，最小距離為a-c.

　　(2)求橢圓離心率e時(shí)，只要求出a，b，c的一個(gè)齊次方程，再結(jié)合b2=a2-c2就可求得e(0

　　(3)求橢圓方程時(shí)，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷的依據(jù)是：

　�、僦行氖欠裨谠c(diǎn)；

　�、趯ΨQ軸是否為坐標(biāo)軸.

　　橢圓方程的第一定義：

　　⑴①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

　　i. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：. ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：.

　�、谝话惴匠蹋�.

　�、蹤E圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為(一象限應(yīng)是屬于).

　�、脾夙旤c(diǎn)：或.②軸：對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長.③焦點(diǎn)：或.④焦距：.⑤準(zhǔn)線：或.⑥離心率：.⑦焦點(diǎn)半徑：

　　i. 設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，則

　　由橢圓方程的第二定義可以推出.

　　ii.設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為上、下焦點(diǎn)，則

　　由橢圓方程的第二定義可以推出.

　　由橢圓第二定義可知：歸結(jié)起來為“左加右減”.

　　注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得方程的軌跡為橢圓.

　�、嗤◤剑捍怪庇趚軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng)。坐標(biāo)：和

　�、枪搽x心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.

　　(4)若P是橢圓：上的點(diǎn).為焦點(diǎn)，若，則的面積為(用余弦定理與可得). 若是雙曲線，則面積為.

　　橢圓知識點(diǎn)總結(jié) 5

　　知識點(diǎn)一橢圓的定義

　　平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的集合叫做橢圓。兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。

　　根據(jù)橢圓的定義可知：橢圓上的點(diǎn)M滿足集合，且都為常數(shù)。

　　當(dāng)即時(shí)，集合P為橢圓。

　　當(dāng)即時(shí)，集合P為線段。

　　當(dāng)即時(shí)，集合P為空集。

　　知識點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　(1)、焦點(diǎn)在軸上時(shí)，焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)。

　　(2)、焦點(diǎn)在軸上時(shí)，焦點(diǎn)為，焦點(diǎn)。

　　知識點(diǎn)三橢圓方程的一般式

　　這種形式的方程在課本中雖然沒有明確給出，但在應(yīng)用中有時(shí)比較方便，在此提供出來，作為參考：

　　(其中為同號且不為零的常數(shù)，)，它包含焦點(diǎn)在軸或軸上兩種情形。方程可變形為。

　　當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。

　　一般式，通常也設(shè)為，應(yīng)特別注意均大于0，標(biāo)準(zhǔn)方程為。

　　知識點(diǎn)四橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法

　　1.定義法

　　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可由定義直接求得，這是求橢圓方程中很重要的方法之一，當(dāng)問題是以實(shí)際問題給出時(shí)，一定要注意使實(shí)際問題有意義，因此要恰當(dāng)?shù)乇硎緳E圓的范圍。

　　例1、在△ABC中，A、B、C所對三邊分別為，且B(-1，0)C(1，0)，求滿足，且成等差數(shù)列時(shí)，頂點(diǎn)A的曲線方程。

　　變式練習(xí)1.在△ABC中，點(diǎn)B(-6，0)、C(0，8)，且成等差數(shù)列。

　　(1)求證：頂點(diǎn)A在一個(gè)橢圓上運(yùn)動。

　　(2)指出這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及焦距。

　　2.待定系數(shù)法

　　首先確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，并將其用有關(guān)參數(shù)表示出來，然后結(jié)合問題的條件，建立參數(shù)滿足的等式，求得的值，再代入所設(shè)方程，即一定性，二定量，最后寫方程。

　　例2、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P(3，0)，=3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　例3、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，求橢圓方程。

　　變式練習(xí)2.求適合下列條件的橢圓的方程；

　　(1)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是(-3，0)，(3，0)且經(jīng)過點(diǎn)(5，0).

　　(2)兩焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦距為8，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為12.

　　3.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　4.求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　知識點(diǎn)五共焦點(diǎn)的橢圓方程的求解

　　一般地，與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)其方程為。

　　例4、過點(diǎn)(-3，2)且與有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為()

　　A.B.C.D.

　　變式練習(xí)5.求經(jīng)過點(diǎn)(2，-3)且橢圓有共同焦點(diǎn)的橢圓方程。

　　知識點(diǎn)六與橢圓有關(guān)的軌跡問題的求解方法

　　與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求解是一種很重要的題型，教材中的例題就是利用代入求球軌。跡，其基本思路是設(shè)出軌跡上一點(diǎn)和已知曲線上一點(diǎn)，建立其關(guān)系，再代入。

　　例5、已知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，點(diǎn)在上，并且，求點(diǎn)的軌跡。

　　知識點(diǎn)七與弦的中點(diǎn)有關(guān)問題的求解方法

　　直線與橢圓相交于兩點(diǎn)、,稱線段為橢圓的相交弦。與這個(gè)弦中點(diǎn)有點(diǎn)的軌跡問題是一類綜合性很強(qiáng)的題目，因此解此類問題必須選擇一個(gè)合理的方法，如“設(shè)而不求”法，其主要特點(diǎn)是巧代線段的斜率。其方程具體是：設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)分別為、，線段的中點(diǎn)為，則有

　　①式-②式，得，即

　　∴

　　通常將此方程用于求弦中點(diǎn)的軌跡方程。

　　例6.已知：橢圓，求：

　　(1)以P(2，-1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程；

　　(2)斜率為2的相交弦中點(diǎn)的軌跡方程；

　　(3)過Q(8，2)的直線被橢圓截得的弦中點(diǎn)的軌跡方程。

　　第二部分：鞏固練習(xí)

　　1.設(shè)為橢圓的焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則的周長是()

　　A.16B.8C.D.無法確定

　　2.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為()

　　A.12B.4C.3D.2