數學教案：完全平方公式

　　作為一名默默奉獻的教育工作者，常常要寫一份優秀的教案，教案是教學活動的總的組織綱領和行動方案。教案應該怎么寫呢？以下是小編精心整理的數學教案：完全平方公式，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。

數學教案：完全平方公式1

　　1．能根據多項式的乘法推導出完全平方公式；(重點)

　　2．理解并掌握完全平方公式，并能進行計算．(重點、難點)

　　一、情境導入

　　計算：

　　(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；

　　(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.

　　由上述計算，你發現了什么結論？

　　二、合作探究

　　探究點：完全平方公式

　　【類型一】 直接運用完全平方公式進行計算

　　利用完全平方公式計算：

　　(1)(5－a)2；

　　(2)(－3－4n)2；

　　(3)(－3a＋b)2.

　　解析：直接運用完全平方公式進行計算即可．

　　解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；

　　(2)(－3－4n)2＝92＋24n＋16n2；

　　(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.

　　方法總結：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．

　　變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第12題

　　【類型二】 構造完全平方式

　　如果36x2＋(＋1)x＋252是一個完全平方式，求的值．

　　解析：先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式確定的值．

　　解：∵36x2＋(＋1)x＋252＝(6x)2＋(＋1)x＋(5)2，∴(＋1)x＝±26x5，∴＋1＝±60，∴＝59或－61.

　　方法總結：兩數的平方和加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．

　　變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第4題

　　【類型三】 運用完全平方公式進行簡便計算

　　利用完全平方公式計算：

　　(1)992; (2)1022.

　　解析：(1)把99寫成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展開計算．(2)可把102分成100＋2，然后根據完全平方公式計算．

　　解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；

　　(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.

　　方法總結：利用完全平方公式計算一個數的平方時，先把這個數寫成整十或整百的數與另一個數的和或差，然后根據完全平方公式展開計算．

　　變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第13題

　　【類型四】 靈活運用完全平方公式求代數式的值

　　若(x＋)2＝9，且(x－)2＝1.

　　(1)求1x2＋12的值；

　　(2)求(x2＋1)(2＋1)的值．

　　解析：(1)先去括號，再整體代入即可求出答案；(2)先變形，再整體代入，即可求出答案．

　　解：(1)∵(x＋)2＝9，(x－)2＝1，∴x2＋2x＋2＝9，x2－2x＋2＝1，4x＝9－1＝8，∴x＝2，∴1x2＋12＝x2＋2x22＝（x＋）2－2xx22＝9－2×222＝54；

　　(2)∵(x＋)2＝9，x＝2，∴(x2＋1)(2＋1)＝x22＋2＋x2＋1＝x22＋(x＋)2－2x＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.

　　方法總結：所求的展開式中都含有x或x＋時，我們可以把它們看作一個整體代入到需要求值的代數式中，整體求解．

　　變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第9題

　　【類型五】 完全平方公式的幾何背景

　　我們已經接觸了很多代數恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數恒等式．例如圖甲可以用來解釋(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通過圖乙面積的計算，驗證了一個恒等式，此等式是( )

　　A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)

　　B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2

　　C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

　　D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

　　解析：空白部分的面積為(a－b)2，還可以表示為a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故選C.

　　方法總結：通過幾何圖形面積之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋．

　　變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第7題

　　【類型六】 與完全平方公式有關的探究問題

　　下表為楊輝三角系數表，它的`作用是指導讀者按規律寫出形如(a＋b)n(n為正整數)展開式的系數，請你仔細觀察下表中的規律，填出(a＋b)6展開式中所缺的系數．

　　(a＋b)1＝a＋b，

　　(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，

　　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，

　　則(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.

　　解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得(a＋b)n的各項展開式的系數除首尾兩項都是1外，其余各項系數都等于(a＋b)n－1的相鄰兩個系數的和，由此可得(a＋b)4的各項系數依次為1、4、6、4、1；(a＋b)5的各項系數依次為1、5、10、10、5、1；因此(a＋b)6的系數分別為1、6、15、20、15、6、1，故填20.

　　方法總結：對于規律探究題，讀懂題意并根據所給的式子尋找規律，是快速解題的關鍵．

　　變式訓練：見《學練優》本課時練習“課后鞏固提升”第10題

　　三、板書設計

　　1．完全平方公式

　　兩個數的和(或差)的平方，等于這兩個數的平方和加(或減)這兩個數乘積的2倍．

　　(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

　　2．完全平方公式的運用

　　本節課通過多項式乘法推導出完全平方公式，讓學生自己總結出完全平方公式的特征，注意不要出現如下錯誤：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.為幫助學生記憶完全平方公式，可采用如下口訣：首平方，尾平方，乘積兩倍在中央．教學中，教師可通過判斷正誤等習題強化學生對完全平方公式的理解記憶。

數學教案：完全平方公式2

　　一、教材分析

　　完全平方公式是初中代數的一個重要組成部分，是學生在已經掌握單項式乘法、多項式乘法及平方差公式基礎上的拓展，對以后學習因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及圖形面積計算都有舉足輕重的作用。

　　本節課是繼乘法公式的內容的一種升華，起著承上啟下的作用。在內容上是由多項式乘多項式而得到的，同時又為下一節課打下了基礎，環環相扣，層層遞進。通過這節課的學習，可以培養學生探索與歸納能力，體會到從簡單到復雜，從特殊到一般和轉化等重要的思想方法。

　　二、學情分析

　　多數學生的.抽象思維能力、邏輯思維能力、數學化能力有限，理解完全平方公式的幾何解釋、推導過程、結構特點有一定困難。所以教學中應盡可能多地讓學生動手操作，突出完全平方公式的探索過程，自主探索出完全平方公式的基本形式，并用語言表述其結構特征，進一步發展學生的合情推理能力、合作交流能力和數學化能力。

　　三、教學目標

　　知識與技能

　　利用添括號法則靈活應用乘法公式。

　　過程與方法

　　利用去括號法則得到添括號法則，培養學生的逆向思維能力。

　　情感態度與價值觀

　　鼓勵學生算法多樣化，培養學生多方位思考問題的習慣，提高學生的合作交流意識和創新精神。

　　四、教學重點難點

　　教學重點

　　理解添括號法則，進一步熟悉乘法公式的合理利用.

　　教學難點

　　在多項式與多項式的乘法中適當添括號達到應用公式的目的.

　　五、教學方法

　　思考分析、歸納總結、練習、應用拓展等環節。

　　六、教學過程設計

　　師生活動

　　設計意圖

　　一．提出問題，創設情境

　　請同學們完成下列運算并回憶去括號法則．

　�。�1）4+（5+2） （2）4-（5+2） （3）a+（b+c） （4）a-（b-c）去括號法則：

　　去括號時，如果括號前是正號，去掉括號后，括號里的每一項都不改變符合；如果括號前是負號，去掉括號后，括號里的各項都改變符合．

　　也就是說，遇“加”不變，遇“減”都變．

　　二、探究新知

　　把上述四個等式的左右兩邊反過來，又會得到什么結果呢？

　　（1） 4+5+2=4+（5+2） （2）4-5-2=4-（5+2）

　　（3） a+b+c =a+（b+c）（4）a-b+c=a-（b-c）

　　左邊沒括號，右邊有括號，也就是添了括號，同學們可不可以總結出添括號法則來呢？

　�。▽W生分組討論，最后總結）

　　添括號法則是：

　　添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號．

　　也是：遇“加”不變，遇“減”都變．

　　請同學們利用添括號法則完成下列練習：

　　1．在等號右邊的括號內填上適當的項：

　�。�1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ）

　�。�3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ）

　　判斷下列運算是否正確．

　　（1）2a-b-=2a-（b-） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）

　　（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）

　　總結：添括號法則是去括號法則反過來得到的，無論是添括號，還是去括號，運算前后代數式的值都保持不變，所以我們可以用去括號法則驗證所添括號后的代數式是否正確．

　　三、新知運用

　　有些整式相乘需要先作適當的變形，然后再用公式，這就需要同學們理解乘法公式的結構特征和真正內涵．請同學們分組討論，完成下列計算．

　　例：運用乘法公式計算

　�。�1）（x+2y-3）（x-2y+3） （2）（a+b+c）2

　�。�3）（x+3）2-x2 （4）（x+5）2-（x-2）（x-3）

　　四．隨堂練習：

　　1.課本P111練習

　　2.《學案》101頁——鞏固訓練

　　五、課堂小結：

　　通過本節課的學習，你有何收獲和體會？

　　我們學會了去括號法則和添括號法則，利用添括號法則可以將整式變形，從而靈活利用乘法公式進行計算．

　　我體會到了轉化思想的重要作用，學數學其實是不斷地利用轉化得到新知識，比如由繁到簡的轉化，由難到易的轉化，由已知解決未知的轉化等等．

　　六、檢測作業

　　習題14.2： 必做題： 3 、4 、5題

　　選做題：7題

　　知識梳理，教學導入，激發學生的學習熱情

　　交流合作，探究新知,以問題驅動，層層深入。

　　歸納總結，提升課堂效果。

　　作業檢測，檢測目標的達成情況。

數學教案：完全平方公式3

　　教學目標

　　1。使學生會分析和判斷一個多項式是否為完全平方式，初步掌握運用完全平方式把多項式分解因式的方法；

　　2。理解完全平方式的意義和特點，培養學生的判斷能力。

　　3．進一步培養學生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力．

　　4．通過運用公式法分解因式的教學，使學生進一步體會“把一個代數式看作一個字母”的換元思想。

　　教學重點和難點

　　重點：運用完全平方式分解因式。

　　難點：靈活運用完全平方公式公解因式。

　　教學過程設計

　　一、復習

　　1。問：什么叫把一個多項式因式分解?我們已經學習了哪些因式分解的方法?

　　答：把一個多項式化成幾個整式乘積形式，叫做把這個多項式因式分解。我們學過的因式分解的方法有提取公因式法及運用平方差公式法。

　　2。把下列各式分解因式：

　　(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。

　　解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

　　(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

　　=(4m2+n2)(4m2－n2)

　　=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。

　　問：我們學過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?

　　答：有完全平方公式。

　　請寫出完全平方公式。

　　完全平方公式是：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。

　　這節課我們就來討論如何運用完全平方公式把多項式因式分解。

　　二、新課

　　和討論運用平方差公式把多項式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到

　　a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。

　　這就是說，兩個數的平方和，加上(或者減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或者差)的平方。式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個公式就是完全平方公式。運用這兩個式子，可以把形式是完全平方式的多項式分解因式。

　　問：具備什么特征的多項是完全平方式?

　　答：一個多項式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個式子(或數)的平方，并且這兩部分的符號都是正號，第三部分是上面兩個式子(或數)的乘積的二倍，符號可正可負，像這樣的式子就是完全平方式。

　　問：下列多項式是否為完全平方式?為什么?

　　(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；

　　(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。

　　答：(1)式是完全平方式。因為x2與9分別是x的平方與3的'平方，6x=2·x·3，所以

　　x2+6x+9=(x+3) 。

　　(2)不是完全平方式。因為第三部分必須是2xy。

　　(3)是完全平方式。25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

　　25x －10x +1=(5x－1) 。

　　(4)不是完全平方式。因為缺第三部分。

　　請同學們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項式9x2+6xy+y2中的對應項，其中a=?b=?2ab=?

　　答：完全平方公式為：

　　其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y。

　　例1 把25x4+10x2+1分解因式。

　　分析：這個多項式是由三部分組成，第一項“25x4”是(5x2)的平方，第三項“1”是1的平方，第二項“10x2”是5x2與1的積的2倍。所以多項式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運用完全平方公式分解因式。

　　解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2。

　　例2 把1－ m+ 分解因式。

　　問：請同學分析這個多項式的特點，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?

　　答：這個多項式由三部分組成，第一項“1”是1的平方，第三項“ ”是 的平方，第二項“－ m”是1與m/4的積的2倍的相反數，因此這個多項式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式。

　　解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2。

　　解法2 先提出 ，則

　　1－ m+ = (16－8m+m2)

　　= (42－2·4·m+m2)

　　= (4－m)2。

　　三、課堂練習(投影)

　　1。填空：

　　(1)x2－10x+（ ）2=（ ）2；

　　(2)9x2+（ ）+4y2=（ ）2；

　　(3)1－（ ）+m2/9=（ ）2。

　　2。下列各多項式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，請把多

　　項式改變為完全平方式。

　　(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；

　　(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4。

　　3。把下列各式分解因式：

　　(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；

　　(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2。

　　答案：

　　1。(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2。

　　2。(1)不是完全平方式，如果把第二項的“－2x”改為“－4x”，原式就變為x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三項的“4”改為1，原式就變為x2－2x+1，它是完全平方式。

　　(2)不是完全平方式，如果把第二項“4x”改為“6x”，原式變為9x2+6x+1，它是完全平方式。

　　(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2。

　　(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2。

　　(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2。

　　3。(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；

　　(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2。

　　四、小結

　　運用完全平方公式把一個多項式分解因式的主要思路與方法是：

　　1。首先要觀察、分析和判斷所給出的多項式是否為一個完全平方式，如果這個多項式是一個完全平方式，再運用完全平方公式把它進行因式分解。有時需要先把多項式經過適當變形，得到一個完全平方式，然后再把它因式分解。

　　2。在選用完全平方公式時，關鍵是看多項式中的第二項的符號，如果是正號，則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是負號，則用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2。

　　五、作業

　　把下列各式分解因式：

　　1。(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；

　　(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4。

　　2。(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；

　　(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；

　　(5)a2b2－4ab+4； (6)25a4－40a2b2+16b4。

　　3。(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；

　　4。(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3。

　　答案：

　　1。(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；

　　(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2。

　　2。(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；

　　(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；

　　(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2。

　　3。(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2。

　　4。(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2。

　　課堂教學設計說明

　　1。利用完全平方公式進行多項式的因式分解是在學生已經學習了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎上進行的，因此在教學設計中，重點放在判斷一個多項式是否為完全平方式上，采取啟發式的教學方法，引導學生積極思考問題，從中培養學生的思維品質。

　　2。本節課要求學生掌握完全平方公式的特點和靈活運用公式把多項式進行因式分解的方法。在教學設計中安排了形式多樣的課堂練習，讓學生從不同側面理解完全平方公式的特點。例1和例2的講解可以在老師的引導下，師生共同分析和解答，使學生當堂能夠掌握運用平方公式進行完全因式分解的方法。

數學教案：完全平方公式4

　　一、教材分析

　　本節內容在全書及章節的地位：《完全平方公式》是人教版數學八年級上冊第十四章的內容。在此之前，學生已學習了多項式的乘法,這為過渡到本節的學習起著鋪墊作用。本節課通過學生合作學習，利用多項式相乘法則和圖形解釋而得到完全平方公式，進而理解和運用完全平方公式，對以后學習因式分解，解一元二次方程都具有舉足輕重的作用。

　　作為一名數學老師,不僅要傳授給學生數學知識,更重要的是傳授給學生數學思想、數學意識，因此本節課在教學中力圖向學生滲透換元思想和數形結合思想 。

　　二、學情分析

　　學生剛學過多項式的乘法，已具備學習和運用完全平方公式的知識結構，但是由于學生初步學習乘法公式，認清公式結構并不容易，因此教學時要循序漸進。

　　三、教學目標

　　知識與技能

　　1.完全平方公式的推導及其應用。

　　2.完全平方公式的幾何證明。

　　過程與方法

　　經歷探索完全平方公式的過程，進一步發展符號感和推理能力。

　　情感態度與價值觀

　　對學生觀察能力、概括能力、語言表述能力的培養，以及數學思想的滲透。

　　四、教學重點難點

　　教學重點

　　完全平方公式的推導過程；結構特點與公式的應用。

　　教學難點

　　完全平方公式結構特點及其應用。

　　五、教法學法

　　多媒體輔助教學，將知識形象化、生動化，激發學生的興趣。教學中逐步設置疑問，引導學生動手、動腦、動口，積極參與知識全過程。

　　六、教學過程設計

　　師生活動

　　設計意圖

　　一.復習多項式與多項式的乘法法則

　　1、多項式與多項式的乘法法則內容。

　　2、多項式與多項式的乘法練習。

　　二.講授新課

　　完全平方公式的推導

　　1、利用多項式與多項式的乘法法則和幾何法推導完全平方（和）公式

　　附：有簡單的填空練習

　　2、利用多項式乘法則和換元法推導完全平方 （差）公式

　　(a+b)2=a2+2ab+b2

　　(a-b)2=a2-2ab+b2

　　二、總結完全平方公式的特點

　　介紹助記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍乘積放中央。

　　三、課堂練習

　　1、改錯練習

　　2、例題講解（總結利用完全平方公式計算的步驟）

　　第一步選擇公式，明確是哪兩項和（或差）的平方；

　　第二步準確代入公式；

　　第三步化簡。

　　計算練習

　�。ǎ保┱n本110頁第一題

　　（２） （x-6）2 （ｙ－５）２

　　四、課堂小結：

　　1、應用完全平方公式應注意什么？

　　在解題過程中要準確確定a和b，對照公式原形的兩邊, 做到不丟項、不弄錯符號、2ab時不能少乘以2。

　　2、助記口訣

　　復習多項式與多項式的乘法法則為新課的學習做準備。

　　利用不同的.的方法來推導完全平方公式，讓學生認知數學中的不同解題方法。

　　利用助記口訣幫助學生更加準確的掌握完全平方公式的特點。

　　通過課堂練習，使學生掌握用完全平方公式計算的步驟，加強學生解題的準確率。

　　強調應用完全平方公式解題的注意點和助記口訣，提高學生解決問題的能力和解題的準確率。

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