六年級奧數知識點之和差與倍數的應用題

時間：2024-06-28 13:17:01 賽賽試題我要投稿

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六年級奧數知識點之和差與倍數的應用題

　　上學期間，不管我們學什么，都需要掌握一些知識點，知識點有時候特指教科書上或考試的知識。哪些知識點能夠真正幫助到我們呢？下面是小編為大家整理的六年級奧數知識點之和差與倍數的應用題，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

六年級奧數知識點之和差與倍數的應用題

　　六年級奧數知識點之和差與倍數的應用題 1

　　一、和差問題

　　說到“和差問題”，小學高年級的同學，人人都會說：“我會！”和差問題的計算太簡單了。是的，知道兩個數的和與差，求兩數，有計算公式：

　　大數=（和+差）÷2

　　小數=（和—差）÷2

　　會算，還要會靈活運用，要把某些應用題轉化成和差問題來算。

　　先看幾個簡單的例子。

　　例1張明在期末考試時，語文、數學兩門功課的平均得分是95分，數學比語文多得8分，張明這兩門功課的成績各是多少分？

　　解：95乘以2，就是數學與語文兩門得分之和，又知道數學與語文得分之差是8。因此

　　數學得分=（95×2+8）÷2=99。

　　語文得分=（95×2—8）÷2=91。

　　答：張明數學得99分，語文得91分。

　　注：也可以從95×2—99=91求出語文得分。

　　例2有A，B，C三個數，A加B等于252，B加C等于197，C加A等于149，求這三個數。

　　解：從B+C=197與A+C=149，就知道B與A的差是197—149，題目又告訴我們，B與A之和是252。因此

　　B=（252+197—149）÷2=150，A=252—150=102，C=149—102=47。

　　答：A，B，C三數分別是102，150，47。

　　注：還有一種更簡單的方法

　　（A+B）+（B+C）+（C+A）=2×（A+B+C）。

　　上面式子說明，三數相加再除以2，就是三數之和。

　　A+B+C=（252+197+149）÷2=299。因此

　　C=299—252=47，B=299—149=150，A=299—197=102。

　　例3甲、乙兩筐共裝蘋果75千克，從甲筐取出5千克蘋果放入乙筐里，甲筐蘋果還比乙筐多7千克。甲、乙兩筐原各有蘋果多少千克？

　　解：畫一張簡單的示意圖，就可以看出，原來甲筐蘋果比乙筐多

　　5+7+5=17（千克）

　　因此，甲、乙兩數之和是75，差為17。

　　甲筐蘋果數=（75+17）÷2=46（千克）。

　　乙筐蘋果數=75—46=29（千克）。

　　答：原來甲筐有蘋果46千克，乙筐有蘋果29千克。

　　例4張強用270元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子。外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花210元，張強買這雙鞋花多少錢？

　　解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價格和是270元，差是210元。

　　外衣和鞋價之和=（270+210）÷2=240（元）。

　　外衣價與鞋價之差是140，因此

　　鞋價=（240—140）÷2=50（元）。

　　答：買這雙鞋花50元。

　　再舉出三個較復雜的例子。如果你也能像下面的解答那樣計算，那么就可以說，“和差問題”的解法，你已能靈活運用了。

　　例5李叔叔要在下午3點鐘上班，他估計快到上班時間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點10分就停了。他開足發條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時間還有10分鐘。夜里11點下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點整。假定李叔叔上班和下班在路上用的時間相同，那么他家的鐘停了多少時間（上發條所用時間忽略不計）？

　　解：到廠時看鐘是2點50分，離家看鐘是12點10分，相差2小時40分，這是停鐘的時間和路上走的時間加在一起產生的。就有

　　鐘停的時間+路上用的時間=160（分鐘）。

　　晚上下班時，廠里鐘是11點，到家看鐘是9點，相差2小時。這是由于鐘停的時間中，有一部分時間，被回家路上所用時間抵消了。

　　因此

　　鐘停的時間—路上用的時間=120（分鐘）。

　　現在已把問題轉化成標準的和差問題了。

　　鐘停的時間=（160+120）÷2=140（分鐘）。

　　路上用的時間=160—140=20（分鐘）。

　　答：李叔叔的鐘停了2小時20分。

　　還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時間：

　　以李叔叔家的鐘計算，他在12點10分出門，晚上9點到家，在外共8小時50分鐘，其中8小時上班，10分鐘等待上班，剩下的時間就是他上班來回共用的時間，所以

　　上班路上所用時間=（8小時50分鐘—8小時—10分鐘）÷2=20（分鐘）。

　　鐘停時間=2小時40分鐘—20分鐘

　　=2小時20分鐘。

　　例6小明用21.4元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢恰好用完。可是售貨員把甲卡張數算作乙卡張數，把乙卡張數算作甲卡張數，要找還小明3.2元。問小明買甲、乙卡各幾張？

　　解：甲卡與乙卡每張相差1.5—0.7=0.8（元），售貨員錯找還小明3.2元，就知小明買的甲卡比乙卡多3.2÷0.8=4（張）。

　　現在已有兩種卡張數之差，只要求出兩種卡張數之和問題就解決了。如何求呢？請注意

　　1.5×甲卡張數+0.7×乙卡張數=21.4。

　　1.5×乙卡張數+0.7×甲卡張數=21.4—3.2。

　　從上面兩個算式可以看出，兩種卡張數之和是

　　[21.4+（21.4—3.2）]÷（1.5+0.7）=18（張）。

　　因此，甲卡張數是

　　（18+4）÷2=11（張）。

　　乙卡張數是18—11=7（張）。

　　答：小明買甲卡11張、乙卡7張。

　　注：此題還可用雞兔同籠方法做，請見下一講。

　　例7有一些蘋果和梨。如果按每1個蘋果2個梨分堆，梨分完時還剩5個蘋果，如果按每3個蘋果5個梨分堆，蘋果分完了還剩5個梨。問蘋果和梨各多少？

　　解一：我們設想再有10個梨，與剩下5個蘋果一起，按“1個蘋果、2個梨”前一種分堆，都分完。以后一種“3個蘋果、5個梨”分堆來看，蘋果總數能被3整除。因此可以把前一種分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3個蘋果，2×3=6（個）梨。與后一種分堆比較：

　　每堆蘋果都是3個。而梨多1個（6—5=1）。梨的總數相差

　　設想增加10個+剩下5個=15個。

　　（10+5）÷（6—5）=15。

　　就知有15個大堆，蘋果總數是

　　15×3=45（個）。

　　梨的總數是（45—5）×2=80（個）。

　　答：有蘋果45個、梨80個。

　　解二：用圖解法。

　　前一種分堆，在圖上用梨2份，蘋果1份多5個來表示。

　　后一種分堆，只要添上3個蘋果，就可與剩的5個梨又組成一堆。梨算作5份，蘋果恰好是3份。

　　將上、下兩圖對照比較，就可看出，5+3=8（個）是下圖中“半份”，即1份是16。梨是5份，共有16×5=80（個）。蘋果有16×2.5+5=45（個）。

　　二、倍數問題

　　當知道了兩個數的和或者差，又知道這兩個數之間的倍數關系，就能立即求出這兩個數。小學算術中常見的“年齡問題”是這類問題的典型。先看幾個基礎性的例子。

　　例8有兩堆棋子，第一堆有87個，第二堆有69個。那么從第一堆拿多少個棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數是第一堆的3倍。

　　解：兩堆棋子共有87+69=156（個）。

　　為了使第二堆棋子數是第一堆的3倍，就要把156個棋子分成1+3=4（份），即每份有棋子

　　156÷（1+3）=39（個）。

　　第一堆應留下棋子39個，其余棋子都應拿到第二堆去。因此從第一堆拿到第二堆的棋子數是

　　87—39=48（個）。

　　答：應從第一堆拿48個棋子到第二堆去。

　　例9有兩層書架，共有書173本。從第一層拿走38本書后，第二層的書比第一層的`2倍還多6本。問第二層有多少本書？

　　解：我們畫出下列示意圖：

　　我們把第一層（拿走38本后）余下的書算作1“份”，那么第二層的書是2份還多6本。再去掉這6本，即

　　173—38—6=129（本）

　　恰好是3份，每一份是

　　129÷3=43（本）。

　　因此，第二層的書共有

　　43×2+6=92（本）。

　　答：書架的第二層有92本書。

　　說明：我們先設立“1份”，使計算有了很方便的計算單位。這是解應用題常用的方法，特別對倍數問題極為有效。把份數表示在示意圖上，更是一目了然。

　　例10某小學有學生975人。全校男生人數是六年級學生人數的4倍少23人，全校女生人數是六年級學生人數的3倍多11人。問全校有男、女生各多少人？

　　解：設六年級學生人數是“1份”。

　　男生是4份—23人。

　　女生是3份+11人。

　　全校是7份—（23—11）人。

　　每份是（975+12）÷7=141（人）。

　　男生人數=141×4—23=541（人）。

　　女生人數=975—541=434（人）。

　　答：有男生541人、女生434人。

　　例9與例10是一個類型的問題，但稍有差別。請讀者想一想，“差別”在哪里？

　　70雙皮鞋。此時皮鞋數恰好是旅游鞋數的2倍。問原來兩種鞋各有幾雙？

　　解：為了計算方便，把原來旅游鞋算作4份，售出1份，還有3份。那么原有皮鞋增加70雙后將是3×2=6（份）.400+70將是3+1+6=10（份）。每份是

　　（400+70）÷10=47（雙）。

　　原有旅游鞋47×4=188（雙）。

　　原有皮鞋47×6—70=212（雙）。

　　答：原有旅游鞋188雙，皮鞋212雙。

　　設整數的份數，使計算簡單方便。小學算術中小數、分數盡可能整數化，使思考、計算都較簡捷。因此，“盡可能整數化”將會貫穿在以后的章節中。

　　下面例子將是本節的主要內容──年齡問題。

　　年齡問題是小學算術中常見的一類問題，這類題目中常常有“倍數”這一條件。解年齡問題最關鍵的一點是：兩個人的年齡差總保持不變。

　　例12父親現年50歲，女兒現年14歲。問幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5倍？

　　解：父女相差36歲，這個差是不變的。幾年前還是相差36歲。當父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時，父親仍比女兒大36歲。這36歲是女兒年齡的（5—1）倍。

　　36÷（5—1）=9。

　　當時女兒是9歲，14—9=5，也就是5年前。

　　答：5年前，父親年齡是女兒年齡的5倍。

　　例13有大、小兩個水池，大水池里已有水300立方米。小水池里已有水70立方米。現在往兩個水池里注入同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍。問每個水池注入了多少立方米的水。

　　解：畫出下面示意圖：

　　我們把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份。從圖上可以看出，因為注入兩個水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300—70）是2份。

　　因此每份是

　　（300—70）÷2=115（立方米）。

　　要注入的水量是

　　115—70=45（立方米）？

　　答：每個水池要注入45立方米的水。

　　例13與年齡問題是完全一樣的問題。“注入水”相當于年齡問題中的“幾年后”。

　　例14今年哥倆的歲數加起來是55歲。曾經有一年，哥哥的歲數與今年弟弟的歲數相同，那時哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的兩倍。哥哥今年幾歲？

　　解：當哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的2倍時，我們設那時弟弟的歲數是1份，哥哥的歲數是2份，那么哥哥與弟弟的歲數之差是1份。兩人的歲數之差是不會變的，今年他們的年齡仍相差1份。

　　題目又告訴我們，那時哥哥歲數，與今年弟弟的歲數相同，因此今年弟弟的歲數也是2份，而哥哥今年的歲數應是2+1=3（份）。

　　今年，哥弟倆年齡之和是

　　3+2=5（份）。

　　每份是55÷5=11（歲）。

　　哥哥今年的歲數是11×3=33（歲）。

　　答：哥哥今年33歲。

　　作為本節最后一個例子，我們將年齡問題進行一點變化。

　　例15父年38歲，母年36歲，兒子年齡為11歲。

　　問多少年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍？

　　解：現在父母年齡之和是

　　38+36=74。

　　現在兒子年齡的4倍是11×4=44。相差

　　74—44=30。

　　從4倍來考慮，以后每年長1×4=4，而父母年齡之和每年長1+1=2。

　　為追上相差的30，要

　　30÷（4—2）=15（年）？

　　答：15年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍。

　　請讀者用例15的解題思路，解習題二的第7題。也許就能完全掌握這一解題技巧了。

　　請讀者想一想，例15的解法，與例12的解法，是否不一樣？各有什么特點？

　　我們也可以用例15解法來解例12。具體做法有下面算式：

　　（14×5—50）÷（5—1）=5（年）。

　　不過要注意14×5比50多，因此是5年前。

　　三、盈不足問題

　　在我國古代的算書中，《九章算術》是內容最豐富多彩的一本。在它的第七章，講了一類盈不足問題，其中第一題，用現代的語言來敘述，就是下面的例題。

　　例16有一些人共同買一些東西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物價是多少？

　　解：“多3元”與“少4元”兩者相差

　　3+4=7（元）。

　　每個人要多出8—7=1（元）。

　　因此就知道，共有7÷1=7（人），物價是

　　8×7—3=53（元）。

　　答：共有7個人一起買，物價是53元。

　　上面的3+4可以說是兩個總數的相差數。而8—7是每份的相差數。計算公式是

　　總數相差數÷每份相差數=份數

　　這樣的問題在內容上有很多變化，形成了一類問題，我們通稱為“盈不足”問題。請再看一些例子。

　　例17把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3個小朋友分不到糖。這袋糖有多少粒？

　　解一：3位小朋友本來每人可以分到10粒，他們共有的10×3=30（粒），分給其余小朋友，每人就可以增加16—10=6（粒），因此其余小朋友有

　　10×3÷（16—10）=5（人）。

　　再加上這3位小朋友，共有小朋友5+3=8（人）。這袋糖有

　　10×（5+3）=80（粒）。

　　解二：如果我們再增加16×3粒糖，每人都可以增加（1—10）粒，因此共有小朋友

　　16×3÷（16—10）=8（人）？

　　這袋糖有80粒。

　　答：這袋糖有80粒。

　　這里，16×3是總差，（16—10）是每份差，8是份數。

　　例18有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人；如果減少一條船，每條船正好坐9人。這個班共有多少名同學？

　　解：如果每條船坐6人，就要增加一條船，也就是現在有6個人無船坐；如果每條船坐9人，可以減少一條船，也就是還可以多來9個人坐船。可以坐船的人數，兩者相差6+9=15（人）。

　　這是由于每條船多坐（9—6）人產生的，因此共有船

　　（6+9）÷（9—6）=5（條）？

　　這個班的同學有6×5+6=36（人）。

　　答：這個班有36人。

　　例19小明從家去學校，如果每分鐘走80米，能在上課前6分鐘到校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘，那么小明的家到學校的路程有多遠？

　　解一：以小明從家出發到上課這一段時間來算，兩種不同速度所走的距離，與小明家到學校的距離進行比較：如果每分鐘走80米，就可以多走80×6（米）；如果每分鐘走50米，就要少走50×3（米）。請看如下示意圖：

　　因此我們可以求出，小明從家出發到上課這段時間是

　　（80×6+50×3）÷（80—50）=21（分鐘）。

　　家至學校距離是

　　800×（21—6）=1200（米）？

　　或50×（21+3）=1200（米）。

　　答：小明家到學校的路程是1200米。

　　解二：以每分鐘80米走完家到學校這段路程所需時間，作為思考的出發點。

　　用每分鐘50米速度，就要多用6+3=9（分種）。這9分鐘所走的50×9（米），恰好補上前面少走的。因此每分鐘80米所需時間是

　　50×（6+3）÷（80—50）=15（分鐘）？

　　再看兩個稍復雜的例子。

　　例20一些桔子分給若干個人，每人5個還多余10個桔子。如果人數增加到3倍還少5個人，那么每人分2個桔子還缺少8個，問有桔子多少個？

　　解：使人感到困難的是條件“3倍還少5人”。先要轉化這一條件。

　　假設還有10個桔子，10=2×5，就可以多有5個人，把“少5人”這一條件暫時擱置一邊，只考慮3倍人數，也相當于按原人數每人給2×3=6（個）。

　　每人給5個與給6個，總數相差

　　10+10+8=28（個）。

　　所以原有人數28÷（6—5）=28（人）。

　　桔子總數是5×28+10=150（個）。

　　答：有桔子150個。

　　六年級奧數知識點之和差與倍數的應用題 2

　　1、比賽用的足球是由黑、白兩色皮子縫制的，其中黑色皮子為正五邊形，白色皮子為正六邊形，并且黑色正五邊形與白色正六邊形的邊長相等。縫制的方法是：每塊黑色皮子的5條邊分別與5塊白色皮子的邊縫在一起;每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。如果一個足球表面上共有12塊黑色正五邊形皮子，那么，這個足球應有白色正六邊形皮子多少塊？

　　2、5個空瓶可以換1瓶汽水，某班同學喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來的空瓶換的，那么他們至少要買汽水多少瓶？

　　3、現有三堆蘋果，其中第一堆蘋果個數比第二堆多，第二堆蘋果個數比第三堆多。如果從每堆蘋果中各取出一個，那么在剩下的.蘋果中，第一堆個數是第二堆的三倍。如果從每堆蘋果中各取出同樣多個，使得第一堆還剩34個，則第二堆所剩下的蘋果數是第三堆的2倍。問原來三堆蘋果數之和的最大值是多少？

　　答案解析

　　1、先算黑皮子共有多少條邊：12×5=60條。這60條邊都是與白皮子縫合在一起的，對于白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起，所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的，那么白皮子就應該一共有60×2=120條邊，120÷6=20，所以共有20塊白皮子。

　　2、大致上可以這樣想：先買161瓶汽水，喝完以后用這161個空瓶還可以換回32瓶（161÷5=32…1）汽水，然后再把這32瓶汽水退掉，這樣一算，就發現實際上只需要買161—32=129瓶汽水。可以檢驗一下：先買129瓶，喝完后用其中125個空瓶（還剩4個空瓶）去換25瓶汽水，喝完后用25個空瓶可以換5瓶汽水，再喝完后用5個空瓶去換1瓶汽水，最后用這個空瓶和最開始剩下的4個空瓶去再換一瓶汽水，這樣總共喝了：129+25+5+1+1=161瓶汽水。

　　3、從第一個條件開始：從每堆蘋果中各取出一個，在剩下的蘋果中，第一堆個數是第二堆的三倍，這時假設第二堆是1份蘋果，那么第一堆就是3份蘋果，差2份蘋果。再看第二個條件：從每堆蘋果中各取出同樣多個，使得第一堆還剩34個，第二堆所剩下的蘋果數是第三堆的2倍，因為是從每堆蘋果中各取出同樣多個，所以第二堆還是比第一堆少2份蘋果，所以這個2份應該比34個要少（大家自己考慮一下為什么不能相等？）所以一份最多就16個，于是在第二個條件時，第二堆還有34—16×2=2個，第三堆還有2÷2=1個，所以回到第一個條件時，第二堆應該是1份16個蘋果，第三堆少一個是15個，第一堆是3份共16×3=48個蘋果，所以在最開始分別有49，17，16個，總共有49+17+16=82個。

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