一元二次方程的應用題

時間：2021-06-13 10:13:26 試題我要投稿

一元二次方程的應用題

　　一元二次方程的應用題（1）

　　一、增長率問題

　　例1 恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強管理，改善經營，使銷售額穩步上升，十二月份的銷售額達到了193.6萬元，求這兩個月的平均增長率。

　　解設這兩個月的平均增長率是x。，則根據題意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，

　　即(1+x)2＝1.21，解這個方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）。

　　答這兩個月的平均增長率是10%。

　　說明這是一道正增長率問題，對于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數和問題中每一個數據的意義，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n。對于負的增長率問題，若經過兩次相等下降后，則有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n。

　　二、商品定價

　　例2 益群精品店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價a元，則可賣出（350－10a）件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計劃要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品應定價多少？

　　解根據題意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，

　　解這個方程，得a1＝25，a2＝31。

　　因為21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合題意，舍去。

　　所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。

　　答需要進貨100件，每件商品應定價25元。

　　說明商品的定價問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點。

　　三、儲蓄問題

　　例3 王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率。（假設不計利息稅）

　　解設第一次存款時的年利率為x。

　　則根據題意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530。整理，得90x2+145x－3＝0。

　　解這個方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63。由于存款利率不能為負數，所以將x2≈－1.63舍去。

　　答第一次存款的年利率約是2.04%。

　　說明這里是按教育儲蓄求解的，應注意不計利息稅。

　　四、趣味問題

　　例4 一個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎么也拿不進去，量竹竿長比城門寬4米，旁邊一個醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進城，你知道竹竿有多長嗎？

　　解設渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m。

　　則根據題意，得 (x+0.1+x+1。4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0。

　　解這個方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1。

　　所以x+1。4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5。

　　答渠道的上口寬2.5m，渠深1m。

　　說明求解本題開始時好象無從下筆，但只要能仔細地閱讀和口味，就能從中找到等量關系，列出方程求解。

　　五、古詩問題

　　例5 讀詩詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡）。

　　大江東去浪淘盡，千古風流數人物；

　　而立之年督東吳，早逝英年兩位數；

　　十位恰小個位三，個位平方與壽符；

　　哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？

　　解設周瑜逝世時的.年齡的個位數字為x，則十位數字為x－3。

　　則根據題意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解這個方程，得x＝5或x＝6。

　　當x＝5時，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；

　　當x＝6時，周瑜年齡為36歲，完全符合題意。

　　答周瑜去世的年齡為36歲。

　　說明本題雖然是一道古詩問題，但它涉及到數字和年齡問題，通過求解同學們應從中認真口味。

　　六、象棋比賽

　　例6 象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分。如果平局，兩個選手各記1分，領司有四個同學統計了中全部選手的得分總數，分別是1979，1980，1984，1985。經核實，有一位同學統計無誤。試計算這次比賽共有多少個選手參加。

　　解設共有n個選手參加比賽，每個選手都要與(n－1)個選手比賽一局，共計n(n－1)局，但兩個選手的對局從每個選手的角度各自統計了一次，因此實際比賽總局數應為 n(n－1)局。由于每局共計2分，所以全部選手得分總共為n(n－1)分。顯然(n－1)與n為相鄰的自然數，容易驗證，相鄰兩自然數乘積的末位數字只能是0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）。

　　答參加比賽的選手共有45人。

　　說明類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問題，都可以仿照些方法求解。

　　七、情景對話

　　例7 春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區旅游，推出了對話中收費標準。

　　某單位組織員工去天水灣風景區旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元。請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區旅游？

　　解設該單位這次共有x名員工去天水灣風景區旅游。因為1000×25＝25000＜27000，所以員工人數一定超過25人。

　　則根據題意，得[1000－20(x－25)]x＝27000。

　　整理，得x2－75x+1350＝0，解這個方程，得x1＝45，x2＝30。

　　當x＝45時，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；

　　當x2＝30時，1000－20(x－25)＝900＞700，符合題意。

　　答：該單位這次共有30名員工去天水灣風景區旅游。

　　說明求解本題要時刻注意對話框中的數量關系，求得的解還要注意分類討論，從中找出符合題意的結論。

　　一元二次方程的應用題（2）

　　1、某房屋開發公司經過幾年的不懈努力，開發建設住宅面積由2000年4萬平方米，到2002年的7萬平方米。設這兩年該房屋開發公司開發建設住宅面積的年平均增長率為x ，則可列方程為________________；

　　2、宏欣機械廠生產某種型號的鼓風機，一月至六月份的產量如下：

　　（1）求上半年鼓風機月產量和平均數、中位數；

　　（2）由于改進了生產技術，計劃八月份生產鼓風機72臺，與上半年月產量平均數相比，七、八月鼓風機生產量平均每月的增長率是多少？

　　3、美化城市，改善人們的居住環境已成為城市建設的一項重要內容．某市城區近幾年來，通過拆遷舊房，植草，栽樹，修建公園等措施，使城區綠地面積不斷增加

　　（1）根據提供的信息，回答下列問題：2001年底的綠地面積為 _______公頃，比2000年底增加了_______公頃；在1999年，2000年，2001年這三年中，綠地面積增加最多的是 _______ 年；

　　（2）為滿足城市發展的需要，計劃到2003年底使城區綠地總面積達到72．6公頃，試求今明兩年綠地面積的年平均增長率．

　　專題：行程問題：

　　1、甲、乙兩艘旅游客輪同時從臺灣省某港出發來廈門。甲沿直航線航行180海里到達廈門；乙沿原來航線繞道香港后來廈門，共航行了720海里，結果乙比甲晚20小時到達廈門。已知乙速比甲速每小時快6海里，求甲客輪的速度（其中兩客輪速度都大于16海里/小時）？

　　2、為了開闊學生視野，某校組織學生從學校出發，步行6千米到科技展覽館參觀。返回時比去時每小題少走1千米，結果返回時比去時多用了半小時。求學生返回時步行的速度

　　3、甲、乙兩個城市間的鐵路路程為1600公里，經過技術改造，列車實施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小時，列車從甲城到乙城行駛時間減少4小時，這條鐵路在現有的安全條件下安全行駛速度不得超過140公里/小時。請你用學過的數學知識說明在這條鐵路現有的條件下列車還可以再次提速。

　　專題：經濟問題：

　　1、某商店以2400元購進某種盒裝茶葉，第一個月每盒按進價增加20%作為售價，售出50盒，第二個月每盒以低于進價5元作為售價，售完余下的茶葉．在整個買賣過程中盈利350元，求每盒茶葉的進價．

　　2、黃岡百貨商店服裝柜在銷售中發現：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了迎接“六·一”國際兒童節，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存。經市場調查發現：如果每件童裝降價4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝因應降價多少元？

　　3、某書店老板去批發市場購買某種圖書，第一次購用100元，按該書定價2。8元現售，并快售完．由于該書暢銷，第二次購書時，每本的批發價已比第一次高0。5元，用去了150元，所購數量比第一次多10本．當這批書售出時，出現滯銷，便以定價的5折售完剩余的圖書，試問該老板第二次售書是賠錢了，還是賺錢了（不考慮其它因素）？若賠錢，賠多少？，若賺錢，賺多少？

　　專題：工程問題：

　　1、為加強防汛工作，市工程隊準備對蘇州河一段長為2240米的河堤進行加固，由于采用新的加固模式，現在計劃每天加固的長度比原計劃增加了20米，因而完成此段加固工程所需天數將比原計劃縮短2天。為進一步縮短該段加固工程的時間，如果要求每天加固224米，那么在現在計劃的基礎上，每天加固的長度還要再增加多少米？

　　2、某公司需在一個月（31天）內完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成．

　　（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數．

　　（2）如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用2000元；如果請乙隊施工，公司每日需付費用1400元．在規定時間內：A．請甲隊單獨完成此項工程出．B請乙隊單獨完成此項工程；C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上三種方案哪一種花錢最少？

　　3、一路段的道路維修工程準備對外招標，現有甲、乙兩個工程隊競標，競標資料顯示：若兩隊合作6天可完成，共需工程費10200元；若甲單獨完成，甲隊比乙隊少用5天，但甲隊的工程費每天比乙隊多300元。

　　（1）甲單獨完成需要幾天？

　　（2）工程指揮部決定從兩個隊中？一個隊單獨完成此工程，若從節省資金的角度考慮，應選哪個工程隊？為什么？

【一元二次方程的應用題】相關文章：

一元二次方程應用題教案設計06-12

一元二次方程應用題教案設計08-26

關于初中奧數的一元二次方程應用題及解析06-12