全國高中數學聯賽模擬試題1及答案

　　全國高中數學聯賽模擬試題（一）

　　第一試

　　一、 選擇題：（每小題6分，共36分）

　　1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2滿足c≤20的正整數解(a,b,c)的個數是

　　（A）1 （B）3 （C）4 （D）5

　　x22、函數y （x∈R，x≠1）的遞增區間是

　　x 1

　　（A）x≥2 （C）x≤0

　　（B）x≤0或x≥2 （D）x≤1 2或x≥2

　　3、過定點P(2,1)作直線l分別交x軸正向和y軸正向于A、B，使△AOB（O

　　為原點）的面積最小，則l的方程為 （A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0

　　4、若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在 0, 上有兩個不同的實數解x，則參

　　2

　　數a的取值范圍是 （A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、數列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項是

　　（A）42 （B）45 （C）48 （D）51

　　6、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，滿足條件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4

　　＞a5的排列的個數是 （A）8 （B）10 （C）14 （D）16

　　二、 填空題：（每小題9分，共54分）

　　1、[x]表示不大于x的最大整數，則方程

　　1

　　×[x2＋x]＝19x＋99的實數解x2

　　是 ．

　　2、設a1＝1，an+1＝2an＋n2，則通項公式an＝ ． 3、數799被2550除所得的余數是 ．

　　5

　　4、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，則cosC＝ ．

　　313

　　5、設k、 是實數，使得關于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的兩個根為

　　sin 和cos ，則 的取值范圍是． 6、數5 24

　　2n

　　（n∈N）的個位數字是

　　三、 （20分）

　　已知x、y、z都是非負實數，且x＋y＋z＝1．

　　求證：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并確定等號成立的條件．

　　四、 （20分）

　　（1） 求出所有的實數a，使得關于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的兩根

　　皆為整數．

　　（2） 試求出所有的實數a，使得關于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－

　　2a＝0有三個整數根．

　　五、 （20分）

　　試求正數r的最大值，使得點集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一個點集S＝{(x,y)|x、y∈R，且對任何 ∈R，都有cos2 ＋xcos ＋y≥0}之中．

　　第二試

　　一、（50分）

　　設a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是復數，且z2－(a－c)z－b＝0．

　　a2 b a c z

　　求證： 1的充分必要條件是(a－c)2＋4b≤0．

　　ac b

　　二、（50分）

　　如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是銳角，

　　D是BC邊上的內點，且AD平分∠BAC，過點D分別向兩條直線AB、AC作垂線DP、DQ，其垂足是P、Q，兩條直線CP與BQ相交與點K．求證： （1） AK⊥BC；

　　（2） AK AP AQ

　　2S△ABC

　　，其中S△ABC表BC

　　示△ABC的面積．

　　三、（50分）

　　給定一個正整數n，設n個實數a1,a2,…,an滿足下列n個方程：

　　ai4

　　(j 1,2,3, ,n)． i j2j 1i 1

　　n

　　確定和式S

　　i 1

　　n

　　ai

　　的值（寫成關于n的最簡式子）． 2i 1

　　參考答案

　　第一試

　　二、填空題：

　　1811587

　　1、 或；

　　3838

　　3、343；

　　2、7×2n-1－n2－2n－3； 4、

　　53 12

　　； 26

　　5、{ | ＝2n ＋ 或2n －

　　，n∈Z} ；6、1（n為偶數）；7（n為奇數）． 2

　　1 1 1

　　x z y z 1 x y

　　三、證略，等號成立的條件是x y z 或 2或 2或 2．

　　3 z 0 y 0 z 0四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；

　　（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．

　　五、rmax＝42．

　　第二試

　　a c a c 4b i

　　一、證略（提示：直接解出z ，通過變形即得充分性成

　　2

　　2

　　立，然后利用反證法證明必要性）．

　　二、證略（提示：用同一法，作出BC邊上的高AR，利用塞瓦定理證明AR、BQ、

　　CP三線共點，從而AK⊥BC；記AR與PQ交于點T，則AQ＝AP，對于AK＜AP，可證∠APK＜∠AKP）．

　　三、S

　　1

　　2S△ABC

　　＝AR＞AT＞BC

　　2n 12

　　1．

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