淺析相對(duì)差損失函數(shù)下的保費(fèi)估計(jì)論文
1 模型的基本假設(shè)
大多數(shù)保費(fèi)原理都具有正的安全負(fù)荷，常見(jiàn)的保費(fèi)原理有期望值原理、指數(shù)保費(fèi)原理、Esscher 保費(fèi)原理、修正方差原理、條件尾期望保費(fèi)原理、修正條件尾期望保費(fèi)原理、Kamp 保費(fèi)原理等。本文在相對(duì)差損失函數(shù)下得出了風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的信度估計(jì)和經(jīng)驗(yàn)Bayes 保費(fèi)估計(jì)。
全文作如下假設(shè)，對(duì)隨機(jī)變量X 的函數(shù)求期望時(shí)，均假設(shè)該期望存在。
定義：對(duì)隨機(jī)變量X，若用a 來(lái)估計(jì)，損失函數(shù)為：
L（X，a）=（1—aX）2 （*）
稱(chēng)上式為相對(duì)差損失函數(shù)。
定理1 若取損失函數(shù)（*），求解最優(yōu)化問(wèn)題
minP∈R E[L（X，P）]=minP∈R E（1—PX）2，
得到最優(yōu)保費(fèi)P= E（X—2）E（X—1）。
證記φ=E（1—PX）2，則墜φ墜P =2E （1—PX）（—1P X P ） ，
令墜φ墜P =0 得E（1X）=E（ PX2 ），
于是P= E（X—2）E（X—1），即得證。
根據(jù)定理1 保證了風(fēng)險(xiǎn)隨機(jī)變量X 最佳的估計(jì)是在相對(duì)差損失函數(shù)下給出的最優(yōu)保費(fèi)P，我們通常稱(chēng)此種保費(fèi)為聚合估計(jì)，記為H（X），此保費(fèi)是在相對(duì)差損失函數(shù)下得到的。
給定風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ 的`條件下，作以下假定：
假定1 風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ 可以識(shí)別非負(fù)隨機(jī)變量X，并且π（θ）是風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ 的先驗(yàn)分布。
假定2 給定Θ=θ，隨機(jī)列X1，X2，…，Xn 是獨(dú)立的，與X 是同分布的，并且有同樣的分布函數(shù)FX （ x，θ），記Xn=（X1，X2，…，Xn），表示到時(shí)刻n 為止的索賠經(jīng)歷。
2 風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的估計(jì)
定理2 如果已知風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ，那么我們就能用一個(gè)函數(shù)P（θ）來(lái)預(yù)測(cè)Xn+1 （未來(lái)的索賠），在相對(duì)差損失函數(shù)（*）下，求解：
minP（θ）E[L（Xn+1，P（θ））|θ]=minP（θ）E[（1— P（θ）Xn+1）2|θ]，得到P（θ）= E（X—2n+1）E（X—1n+1）。證記ψ=E[（1— P（θ）Xn+1）2|θ]，則墜ψ墜P =E 2（1— P（θ）Xn+1）（—1Xn+1P ）|θ P，令墜ψ墜P=0，定理即得證。
函數(shù)P（θ）通常叫做風(fēng)險(xiǎn)隨機(jī)變量X 的風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)，在實(shí)際問(wèn)題中因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)參數(shù)是未知的，所以保費(fèi)P（θ）也是不知道的，因此可以通過(guò)樣本估計(jì)P（θ）。
當(dāng)n=0 時(shí)，也就是索賠樣本沒(méi)有的情況下，這時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)P（θ）我們可以通過(guò)一個(gè)實(shí)數(shù)P 來(lái)估計(jì)，要讓相對(duì)差損失函數(shù)（*）達(dá)到最小，也就是下面最優(yōu)化的問(wèn)題：
minP∈R E[L（P（θ），P）]=minP∈R E（1— P（θ）PP ） P 2 ，得到P= E[P—2（θ）]E[P—1（θ）]。通過(guò)觀察風(fēng)險(xiǎn)X 的索賠樣本Xn，就需要根據(jù)樣本的一個(gè)函數(shù)來(lái)構(gòu)造風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)估計(jì)。記表示樣本Xn 所有的可測(cè)函數(shù)構(gòu)成的一個(gè)集合，在這個(gè)集合中，我們考慮最小化的問(wèn)題：
H1 （ Xn）= minH（Xn）∈E[L（P（θ），H（Xn））]= minH（Xn）∈E 1— H（Xn）θ P（θ） θ2 P P（1）
定理3 最優(yōu)化（1）式，得到最優(yōu)預(yù)測(cè)為H1 （ Xn ）= E[P—（1 θ）]E[P—（2 θ）]，稱(chēng)H1 （ Xn ）為相對(duì)差損失函數(shù)（*）下的Bayes 保費(fèi)。
證由Bayes 定理可知，最優(yōu)化（1）式只需在后驗(yàn)分布下達(dá)到最小，
記ψ=E 1— H（Xn）θ P（θ） θ2| Xn P P，
令墜ψ墜H=0，得到下面的正規(guī)方程：
E 2 1— H（Xn）θ P（θ） θ— 1θP（θ）θ| Xn P P=0，化簡(jiǎn)后定理即得證。H1 （ Xn）是風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)在相對(duì)差損失函數(shù)（*）下最優(yōu)的估計(jì)，這里我們稱(chēng)之為Bayes 估計(jì)。在一些分布的假定下，Bayes 估計(jì)可以得到更加簡(jiǎn)單的式子，但是一般來(lái)說(shuō)Bayes 估計(jì)H1 （ Xn）的表達(dá)式都會(huì)復(fù)雜，甚至有些可能根本沒(méi)有顯示函數(shù)的形式。我們看下面的例子。
例設(shè)X1，X2，…，Xn，Xn+1 在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)Θ=θ 給定時(shí)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且Xi ~ U（1，θ），θ ~ U（2，3），則f（X| Θ）= 1θ—1，π（θ）=1，
那么，風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)為
P（θ）= E[X—2| Θ]E[X—1| Θ] =θ1 乙x—2f（X|θ）dxθ1 乙x—1f（X|θ）dx= 1—θθlnθ，
而π（θ| Xn）=（1—n）（θ—1）—n2—n+1 ，
因此Bayes 估計(jì)為H1 （ Xn）= E[P—（1 θ）]E[P—（2 θ）]= 2—n+1（1—n）32 乙（θ—1）—n+1θlnθdθ。
3 結(jié)論
本文研究了相對(duì)差保費(fèi)原理下風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)的信度估計(jì)問(wèn)題。 利用了損失函數(shù)法， 將相對(duì)差保費(fèi)原理定義為相對(duì)差損失函數(shù)下風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)估計(jì)。 利用保費(fèi)計(jì)算原理，引入相對(duì)差損失函數(shù)得到了下一期的信度保費(fèi)計(jì)算公式，從而得出Bayes 保費(fèi)。
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