淺談立體幾何教學(xué)中學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)教育論文
摘要：技校生學(xué)習(xí)立體幾何重點(diǎn)應(yīng)放在培養(yǎng)綜合能力，即觀察能力、作圖能力和想象能力上。因?yàn)橛^察是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)，作圖是學(xué)好立體幾何的保證，想象是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。
關(guān)鍵詞：立體幾何教學(xué)；能力培養(yǎng)
技校立體幾何課的教師都有這樣的體會(huì)：立體幾何課難教，學(xué)生不愛聽，考試成績(jī)不理想。究其原因有多種，如初中平面幾何知識(shí)掌握得不扎實(shí)；學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣不好；缺乏自我學(xué)習(xí)的能力等等。如何上好立體幾何課？筆者認(rèn)為，針對(duì)技校生的特點(diǎn)，重點(diǎn)不要放在幾何的運(yùn)算技巧而應(yīng)放在培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，即觀察能力、作圖能力和想象能力上。使學(xué)生真正做到會(huì)看、會(huì)畫、會(huì)想，逐步形成新的心理習(xí)慣，使思維上升到自覺的水平。會(huì)看主要是讓學(xué)生排除干擾，形成習(xí)慣，掌握看立體圖的規(guī)律；會(huì)畫主要是掌握畫立體圖的原理、方法和技巧，形成心理適應(yīng)能力，并善于構(gòu)圖；會(huì)想就是指會(huì)在三維空間想象，突出想的范圍、想的方法和規(guī)律，善于把實(shí)物轉(zhuǎn)化為幾何模型，掌握立體幾何的思維規(guī)律。
觀察是學(xué)好立體幾何的基礎(chǔ)
觀察是發(fā)展數(shù)學(xué)表象思維的前提，而表象是在知覺的基礎(chǔ)上所形成的感性形象，即人在思想中形成的事物的印象，例如在知覺金字塔、帳蓬、鉛垂體的形象基礎(chǔ)上，概括出來(lái)的一般的錐體的感覺就是表象。更具體地說(shuō)，構(gòu)成錐體的那些面、線在人腦的表征，就是一種數(shù)學(xué)表象。比如在立體幾何教學(xué)中，一談到“二面角”就能喚起主體頭腦中河流大壩或平緩的山坡；一講到斜線、射影，就會(huì)想起家鄉(xiāng)田野中的電線桿。學(xué)生的表象思維的形成有一個(gè)逐步產(chǎn)生、發(fā)展的自我建構(gòu)空間概念的過(guò)程。從學(xué)習(xí)一開始，學(xué)生就會(huì)努力通過(guò)自身觀察建構(gòu)表象。隨著學(xué)習(xí)的深入，通過(guò)對(duì)表象進(jìn)行加工、調(diào)整、積累、補(bǔ)充、修改、提煉，最后真正建構(gòu)起完整準(zhǔn)確的表象，即通過(guò)原有的表象對(duì)新表象的同化、順應(yīng)，達(dá)到認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡，取得良好的圖式。因此，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生多對(duì)現(xiàn)實(shí)事物進(jìn)行觀察，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形形成正確的表象，抓住圖形的形成特征與幾何結(jié)構(gòu)、個(gè)別不同的各種表象，從而建立起學(xué)生自已的空間觀念。對(duì)于技校學(xué)生而言，由于許多專業(yè)課要求有一定的實(shí)際操作，對(duì)零部件有直觀的了解。所以在立體幾何教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生觀察的能力是至關(guān)重要的。教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察教室內(nèi)哪些是兩個(gè)平行平面，它們具有哪些特點(diǎn)，說(shuō)明為什么。學(xué)生通過(guò)對(duì)教室中墻面位置的觀察看到：（1）兩個(gè)平行平面沒有公共點(diǎn)。（因?yàn)槿绻幸粋�(gè)公共點(diǎn)它們就相交。）（2）一個(gè)平面的一條直線與另一個(gè)平面平行。（天花板上的任一條直線與地面平行，不然兩個(gè)平面就有公共點(diǎn)了，就相交了。）（3）左右的墻與前面的墻相交，得到的兩條交線是平行的。（在教師的啟發(fā)下也很快得到證明。）（4）教室內(nèi)能否找到兩條異面或平行的直線？（天花板墻面交線及地面與墻面的交線，墻面與墻面的交線中能夠?qū)ふ页隹臻g兩條異面、平行、垂直、相交的直線。）（5）通過(guò)書本顯示二面角的特點(diǎn)。
當(dāng)然，除了借助周圍實(shí)物來(lái)進(jìn)行觀察引導(dǎo)，還可以通過(guò)制作模型進(jìn)行觀察、分析，然后抽象概括出準(zhǔn)確的概念。比如在三垂線教學(xué)中，做一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，將一塊三角板的一條直角邊放在平面內(nèi)，而另一條直角邊移動(dòng)成平面的斜線，讓學(xué)生觀察模型，可幫助學(xué)生理解和掌握三垂線定理。直觀教具的使用，能培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解數(shù)學(xué)知識(shí)，有利于抽象思維能力的培養(yǎng)。然而，在實(shí)際授課中，由于班內(nèi)學(xué)生人數(shù)多，用直觀教具很難使全體學(xué)生都能獲得模型的整體印象，可以通過(guò)多媒體展示立體幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算機(jī)觀察實(shí)物模型，幫助學(xué)生樹立空間概念。觀察是作圖、類比、想象的基礎(chǔ)，通過(guò)觀察實(shí)物、模型能加強(qiáng)對(duì)空間圖形的直觀了解，對(duì)作圖、演算極為有益。但要注意的是，觀察的目的不是為了說(shuō)明存在相應(yīng)概念的原委以及它的基本形狀，重要的是借此分析、概括出準(zhǔn)確的概念。比如黑板代表平面，但要理解平面的“無(wú)限延展性”。
作圖是學(xué)好立體幾何的保證
掌握立體圖形的作圖方法，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有很大的幫助，如求體積和表面積、解析幾何、微積分以及專業(yè)課制圖的學(xué)習(xí)。技校生立體幾何掌握不好的一個(gè)很大因素是空間圖形不會(huì)做或作不準(zhǔn)，教材中這部分內(nèi)容所占的篇幅不大，主要介紹了水平放置的平面直觀圖畫法，然而一旦叫學(xué)生真的去畫三個(gè)平面相交圖，學(xué)生往往不知所措，學(xué)生作圖錯(cuò)誤主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：（1）畫圖特殊化。例如：兩條異面直線畫成如圖1所示，直線與平面相交畫成如圖2所示。（2）畫出圖形不直觀，虛線、實(shí)線畫不清楚。特別是在畫幾個(gè)平面相交時(shí)。（3）平面圖形與空間圖形混淆，把空間圖形畫成平面圖形。例如水平位置內(nèi)的直角三角形、正三角形、圓都畫成正面圖了。
究其原因，主要是受“平面圖形”影響太深，沒有很好地區(qū)別平面圖形與空間圖形的不同；觀察不夠，缺乏空間想象能力。針對(duì)此種現(xiàn)象，教師要多示范、多練習(xí)，在學(xué)習(xí)立體幾何初期，在課堂上可做一定量的畫圖練習(xí)，通過(guò)反復(fù)練習(xí)，使學(xué)生迅速掌握畫圖方法。在畫比較復(fù)雜的直觀圖之前，應(yīng)根據(jù)文字?jǐn)⑹龌蚰Ｐ瓦M(jìn)行一定的空間想象，構(gòu)想出一幅直觀圖來(lái)，先畫個(gè)草圖，以確定圖形的形狀、大小和空間位置；再?gòu)膱D中判別各元素的前后、左右等位置關(guān)系，分清哪些是可見的輪廓線，哪些不可見；然后再動(dòng)手正式畫直觀圖。畫圖的順序應(yīng)是由前到后、由明到暗、先實(shí)后虛。為了培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，教師可引導(dǎo)學(xué)生繪制正多面體圖形，在教科書上大多是正面與反面對(duì)稱的圖形，容易看懂，容易畫出，不妨引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度畫，先畫正四面體、正六面體然后嘗試畫正十二面體。 作圖并不是單純地將空間圖形在平面上顯示，有時(shí)需要結(jié)合點(diǎn)、線、面的基本概念。學(xué)生如果對(duì)這方面知識(shí)掌握不牢，遇到此類作圖題時(shí)會(huì)感到“束手無(wú)策”，不知從哪著手，不會(huì)想也不會(huì)做。教師可以指導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手，在計(jì)算機(jī)上制作模型。這種做法可以加速培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，同時(shí)也可以提高課內(nèi)外練習(xí)的質(zhì)量。立體幾何的作圖，著重于邏輯上的敘述，并不在于真實(shí)作圖。教師在計(jì)算機(jī)上邊講解邊作圖，能極大地提高學(xué)生的空間想象能力和畫圖能力，學(xué)生不會(huì)被課本上的所謂標(biāo)準(zhǔn)圖所束縛。
值得注意的是，立體幾何中的圖形只能畫出幾何體的直觀圖，它雖有立體感，卻不能完全真實(shí)地表現(xiàn)相應(yīng)的幾何體，所以不能像平面幾何中的.圖形那樣給人以有效的直觀啟發(fā)，借助圖形去探索解（證）題就比較困難。學(xué)生不能從直觀圖直接看出有關(guān)相等線段與等角，往往習(xí)慣于從圖形中“直觀地”看到某些線段或角的“不等”而拒絕承認(rèn)它們相等的事實(shí)。為此，要結(jié)合觀察實(shí)物模型來(lái)識(shí)別、分析立體圖形中各種元素。
想象是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵
空間想象能力就是對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象思考的能力。要正確地把客觀事物的空間形式反映為數(shù)學(xué)中的幾何圖形，并通過(guò)對(duì)幾何圖形的分析和研究，理解客觀事物的空間形式的特征。學(xué)習(xí)立體幾何想象與思考是不可缺少的，當(dāng)我們觀察周圍空間形象時(shí)，自然會(huì)去類比、想象這些空間現(xiàn)象有什么特征、規(guī)律。在教學(xué)中，教師尤其要重視培養(yǎng)學(xué)生的這種能力。
例如，我們通過(guò)觀察教室中線、面各種位置關(guān)系后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）直線與直線、直線與平面、平面與平面之間沒有公共點(diǎn)就是平行，而平行就沒有公共點(diǎn)。這兩句話對(duì)嗎？為什么？這里突出直線與直線是在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)才平行，而異面直線沒有公共點(diǎn)，但不在同一平面內(nèi)。（2）直線與直線、直線與平面、平面與平面之間有一個(gè)公共點(diǎn)就相交，相交就有一個(gè)公共點(diǎn)。這兩句話對(duì)嗎？為什么？這里突出平面與平面有一個(gè)公共點(diǎn)就相交，且相交于過(guò)這點(diǎn)的一條直線，并指出公共點(diǎn)、公共直線的雙重性，以及交點(diǎn)交線在解決問(wèn)題中的重要性。（3）直線與直線、直線與平面、平面與平面之間有兩個(gè)公共點(diǎn)？它們的位置關(guān)系如何？這時(shí)兩條直線重合，直線在平面內(nèi)，平面與平面就相交于過(guò)兩點(diǎn)的定直線。（4）如果平面與平面有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)位置關(guān)系如何？這里突出相交與重合兩種情況。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察所學(xué)的直線與直線、直線與平面平行的判定，引出聯(lián)想問(wèn)題。
另外，立體幾何許多問(wèn)題可以歸結(jié)為平面問(wèn)題來(lái)解決。對(duì)于角的概念，我們要弄清平面上的角的定義是什么？有什么特點(diǎn)？異面直線所成的角、直線與平面所在角、平面與平面所成的角，它們都可以轉(zhuǎn)為平面上的角來(lái)計(jì)算。對(duì)于“二面角”的定義，為什么這樣定義？如何作“二面角”？這些都需要學(xué)生去思考和想象。
平面幾何的許多結(jié)論也可類推到空間去。從平面幾何中兩直線的位置關(guān)系，類推出空間兩直線的相互位置關(guān)系，再類推出空間兩平面的相互關(guān)系。又從平行四邊形類推平行六面體，從多邊形類推出多面體，從圓類推出球，等等。要學(xué)好立體幾何，上述種種問(wèn)題和思路都必須在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行思索和想象，才能領(lǐng)會(huì)它的真諦。
“看、畫、想”是培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)眼、動(dòng)手、動(dòng)腦的能力，但卻不是孤立的，而是同一過(guò)程的共同行為。只有觀察透了，才能對(duì)作圖做到心中有數(shù)；只有在頭腦中形成清晰的空間圖形，才能正確分析、思考、想象各元素之間的關(guān)系，進(jìn)而演繹和計(jì)算各種空間度量。對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的技校生而言，提高觀察能力、作圖能力和想象能力是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。
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