試論數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)構(gòu)性原則論文
教學(xué)原則是以一定的教學(xué)目的和教學(xué)任務(wù)為出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)教學(xué)規(guī)律制定的對教學(xué)工作的基本要求。數(shù)學(xué)教學(xué)除了堅(jiān)持各科通用的、一般的教學(xué)原則外，還應(yīng)堅(jiān)持結(jié)構(gòu)性原則。
一、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性教學(xué)原則的涵義
(一）數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的涵義
法國抽象數(shù)學(xué)的主角布爾巴基（Bour-baki)指出：“數(shù)學(xué)不是研究數(shù)量的，而是研究結(jié)構(gòu)的。”數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)主要是指數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)，它不僅包括數(shù)學(xué)的基本概念和一般原理，而且還包括基本的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)觀念。其大致構(gòu)成如下：f數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)W數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)'數(shù)學(xué)知識(shí)本身的邏輯結(jié)構(gòu)II教材內(nèi)容所里含的方法結(jié)構(gòu)I數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)U決問題所采用的方法結(jié)構(gòu)
數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)既指數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排結(jié)構(gòu)即數(shù)學(xué)內(nèi)容及其排列、組合方式，也指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身所固有的內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)內(nèi)容本身的邏輯結(jié)構(gòu)，如立體幾何中空間的角與距離的概念都是通過轉(zhuǎn)化為平面的角與距離來加以定義的，這些概念同時(shí)都具有科學(xué)性、合理性、簡潔性、最優(yōu)性和實(shí)用性。數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)既指數(shù)學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含思想方法及其排列與組合的方式，也指解決某一數(shù)學(xué)問題所用的具體方法或步驟。如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)兩單元的教材所蘊(yùn)含的思想方法都是：從實(shí)例抽象概括出一般數(shù)學(xué)模型，再用從特殊到一般、從具體到抽象、分類討論、數(shù)形結(jié)合的方法研究函數(shù)的性質(zhì)，最后應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決問題。
由上可知，數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)知識(shí)本身所固有的內(nèi)在的統(tǒng)一性與規(guī)律性。
(二）數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的涵義
數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)者頭腦里的數(shù)學(xué)知識(shí)，按照自己理解的深度、廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維和聯(lián)想等認(rèn)知特點(diǎn)組成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。簡單地說，就是包括學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法在內(nèi)的學(xué)習(xí)者頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。
數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累和總結(jié)，是客觀的、外在的，而數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)習(xí)者頭腦中逐步形成的認(rèn)知模式，是主觀的、內(nèi)在的。數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是教材按序組織起來的，通過學(xué)習(xí)是可以掌握的；數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是通過學(xué)習(xí)這些知識(shí)內(nèi)容，形成的智能活動(dòng)模式，它是一個(gè)人數(shù)學(xué)素質(zhì)的體現(xiàn)，有正誤與優(yōu)劣之分。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是把數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)就是不斷地形成、發(fā)展和完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對于學(xué)習(xí)者的行為有內(nèi)在的調(diào)節(jié)作用，這主要表現(xiàn)在：1.一切外來知識(shí)對學(xué)習(xí)者的影響，都必須通過學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能發(fā)生作用；2.由于作用的主體及其認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不同，外來知識(shí)影響的結(jié)果也不同。
良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)“應(yīng)該是構(gòu)成這樣一種含有種種力量一一簡約化知識(shí)的力量，產(chǎn)生新的診斷的力量，使知識(shí)體形成愈益嚴(yán)密的體系的力量--的知識(shí)系統(tǒng)”（布魯納語）。它具有以下特征：1.簡約性和單純性。即它舍棄了使人發(fā)生混亂的雜亂的枝蔓，突出基本結(jié)構(gòu)。2.遷移性和發(fā)展性。即對學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握新的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想具有積極的影響和遷移作用，是新的知識(shí)的“固著點(diǎn)”和“生長點(diǎn)”；同時(shí)原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)又在學(xué)習(xí)新的知識(shí).新的方法的過程中不斷地完善、豐富和發(fā)展。3.廣泛性和嚴(yán)密性。即它比具體的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法具有更高的抽象性和概括性，不局限于某個(gè)知識(shí)、某種方法、某類問題；同時(shí)學(xué)習(xí)者頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的內(nèi)部組織和結(jié)構(gòu)是嚴(yán)密而有序的。
(三）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性教學(xué)原則的涵義
所謂數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性教學(xué)原則，簡單地說，就是從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)設(shè)計(jì)和組織教學(xué)，以完善和發(fā)展學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)為目的。具體地說，即教師要從數(shù)學(xué)知識(shí)體系高度“結(jié)構(gòu)化”的.特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成、發(fā)展規(guī)律出發(fā)，站在整體、系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)的高度把握和處理教材，引導(dǎo)學(xué)生充分感受和把握數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展全程，同時(shí)努力提髙學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性、穩(wěn)定性與清晰性，為新知識(shí)融入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)創(chuàng)造條件，以最大限度地避免因教學(xué)的盲目性而走不必要的彎路，盡可能地?cái)U(kuò)大、健全學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容、觀念和組織，完善和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提髙教學(xué)效益。在這里，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)既是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要前提和手段，又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)和結(jié)果。
二、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性教學(xué)原則的依據(jù)
（一）有意義學(xué)習(xí)理論
奧蘇伯爾提出，有意義學(xué)習(xí)過程的實(shí)質(zhì)就是符號(hào)所代表的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)觀念建立非人為的（nonarbitrary)和實(shí)質(zhì)性的（substan?tive)聯(lián)系。實(shí)質(zhì)性聯(lián)系是指新的符號(hào)或符號(hào)所代表的觀念與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的表象、已經(jīng)有意義的符號(hào)、概念或命題的聯(lián)系；非人為的聯(lián)系是指新知識(shí)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)觀念在某種合理或邏輯基礎(chǔ)上的聯(lián)系。要促進(jìn)新知識(shí)的學(xué)習(xí)，首先要增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與新知識(shí)有關(guān)的觀念。
(二）培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)
布魯納認(rèn)為：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。這是在運(yùn)用知識(shí)方面的最低要求，它有助于解決學(xué)生在課外所遇到的問題和事件，或者在日后訓(xùn)練中所遇到的問題。”“經(jīng)典的遷移問題的中心，與其說是單純地掌握事實(shí)和技巧，不如說是教授和學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。”[3]由于良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有簡約性和單純性、遷移性和發(fā)展性、廣泛性和嚴(yán)密性，因此從結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)出發(fā)設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)，有利于完善和發(fā)展學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)效益尤其是可持續(xù)發(fā)展效益。
三、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性教學(xué)原則的實(shí)施策略
(一）先行組織者策略
所謂“先行組織者”是指先于學(xué)習(xí)任務(wù)本身呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性材料，它比學(xué)習(xí)任務(wù)本身有更高的抽象、概括和綜合水平，并且能清晰地與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的觀念和新的學(xué)習(xí)任務(wù)關(guān)聯(lián)。設(shè)計(jì)“先行組織者”的目的是為新的學(xué)習(xí)任務(wù)提供觀念上的固定點(diǎn)，增加新舊知識(shí)之間的可辨別性，以促進(jìn)類屬性的學(xué)習(xí)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)教材一般總是包括這個(gè)先行組織者的，如一開始的綜述，或章節(jié)的大綱和標(biāo)題。它起了如下作用：（1)點(diǎn)明了將要呈現(xiàn)的知識(shí)、方法和觀念之間的聯(lián)系；（2)提醒學(xué)生已有知識(shí)和即將學(xué)習(xí)的新材料之間的關(guān)系。
(二）站在整體與結(jié)構(gòu)的高度把握和處理教材
由于數(shù)學(xué)教材是髙度結(jié)構(gòu)化的，因此無論是教還是學(xué)，站在數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)和單元題材結(jié)構(gòu)的高度，用結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)把握教材，用結(jié)構(gòu)化的方法處理教材是非常重要的。我們應(yīng)該讓學(xué)生在“見樹木，更見森林；見森林，才見樹木”的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生充分感受和把握數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展全程。
(三）提高學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的清晰性、穩(wěn)定性、可辨別性
在學(xué)生面對新的學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生尋找他原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中能夠吸收、固定新觀念的上位觀念，并努力使這個(gè)觀念具有清晰性、穩(wěn)定性、可辨別性。因?yàn)檫@個(gè)起固定作用的上位觀念的清晰性、穩(wěn)定性、可辨別性越強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)新觀念就越容易，也越易于保存。
(四）要及時(shí)歸納總結(jié) 增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體性和結(jié)構(gòu)性
認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有整體性和概括性；并且整體性和概括性越強(qiáng)，就越有利于學(xué)習(xí)的保持和遷移。但實(shí)踐表明，不少學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)是零亂的、分散的、彼此孤立的。因此教師應(yīng)及時(shí)組織、引導(dǎo)學(xué)生對前面所學(xué)的知識(shí)、規(guī)律、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納、整理，尋找其內(nèi)在統(tǒng)一性和規(guī)律性，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)整體性、概括性和結(jié)構(gòu)性水平的提高。與此同時(shí)，教師應(yīng)大力培養(yǎng)學(xué)生自己將所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的能力。
(五）從結(jié)構(gòu)入手，分析問題、解決問題
數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)具有豐富性和層次性。數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)決定解決問題的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著方法，結(jié)構(gòu)提示著方法：結(jié)構(gòu)的豐富性決定方法的多樣性；結(jié)構(gòu)的特殊性決定方法的特殊性。因此在問題解決教學(xué)中，我們可用結(jié)構(gòu)分析法來探索解決問題的途徑和方法，從而為數(shù)學(xué)問題的解決、學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng)開辟新的道路，提供新的武器。
四、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性教學(xué)原則的意義
第一，它為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了以建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)為中心的整體認(rèn)識(shí)觀，促進(jìn)學(xué)生從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和觀念，進(jìn)而有效地克服肢解數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的現(xiàn)象。
第二，它提醒我們，發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)和開放性教學(xué)應(yīng)該有一個(gè)“度”，不能走極端。中外教育的歷史已經(jīng)證明：學(xué)生的學(xué)習(xí)不可能是不著邊際的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，“無結(jié)構(gòu)教學(xué)”、極端的‘‘開放性教學(xué)、開放課堂、自由學(xué)習(xí)法”并沒有提高教學(xué)質(zhì)量，反而導(dǎo)致了教學(xué)質(zhì)量的下降。
第三，它有助于學(xué)生克服只注意知識(shí)增長、把解題步驟和程序作為學(xué)習(xí)重點(diǎn)的傾向，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整體意識(shí)和結(jié)構(gòu)意識(shí)。
第四，它使學(xué)生把業(yè)已掌握的知識(shí)提高到簡潔的原理性結(jié)構(gòu)上的可能性增大，也使學(xué)生以已有知識(shí)為基礎(chǔ)，向未知的新事物遷移、洞察的傾向增大，因此有助于提髙數(shù)學(xué)教學(xué)的效率和效益。
五、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性教學(xué)原則應(yīng)用舉例
例1，在學(xué)習(xí)“0°?360°間的角的三角函數(shù)”時(shí)，從概念的來源、科學(xué)性、合理性、必要性角度等結(jié)構(gòu)性特征出發(fā)，教師可自然地引導(dǎo)學(xué)生提出：（1)為什么會(huì)想到要定義0°?360°間的角的三角函數(shù)？（2)我們該如何定義0°?360°間的角的三角函數(shù)？應(yīng)該怎樣去尋找解決辦法？（3)初中時(shí)銳角三角函數(shù)是借助直角三角形定義的，這兩者之間有無必然的聯(lián)系？（4)既然銳角三角函數(shù)值的大小由這個(gè)角的大小本身確定，與這個(gè)銳角所在的三角形是不是直角三角形或者這個(gè)銳角是不是三角形的內(nèi)角無關(guān)，那么我們能否用其他方法來定義銳角三角函數(shù)？（5)如果能，那么我們該如何從原有的定義中得到啟發(fā)，尋找新的定義方法？（6)新的定義科學(xué)嗎？合理嗎？它有什么優(yōu)點(diǎn)？（7)如何運(yùn)用新的定義去解決問題？
例2,在學(xué)習(xí)和研究球體積公式時(shí)，從定理形成、證明的結(jié)構(gòu)性特征出發(fā)，（1)我們很自然地形成這樣的教與學(xué)的思路：在證明一個(gè)定理之前，先猜想這個(gè)定理；在搞清楚證明細(xì)節(jié)之前，先猜想證明的主導(dǎo)思想。（2)我們需要從與此相類似的圓周長、圓面積、球面面積等問題的解決中尋找啟發(fā)。（3)我們可以通過細(xì)沙、水等實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證或探索球體積公式。（4)我們可從祖暱原理的結(jié)構(gòu)出發(fā)，構(gòu)造相應(yīng)的幾何體證明猜想。
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