函數(shù)的定義域教學設計
一. 教學內(nèi)容：
函數(shù)的定義域與值域、單調(diào)性與奇偶性
二. 教學目標：
理解函數(shù)的性質(zhì)，能夠運用函數(shù)的性質(zhì)解決問題。
三. 教學重點：函數(shù)性質(zhì)的運用．
四. 教學難點：函數(shù)性質(zhì)的理解。
［學習過程］
一、知識歸納：
1. 求函數(shù)的解析式
（1）求函數(shù)解析式的常用方法：
①換元法（ 注意新元的取值范圍）
②待定系數(shù)法（已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）
③整體代換（配湊法）
④構造方程組（如自變量互為倒數(shù)、已知f（x）為奇函數(shù)且g（x）為偶函數(shù)等）
（2）求函數(shù)的解析式應指明函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，同時也要注意變量的實際意義。
（3）理解軌跡思想在求對稱曲線中的應用。
2. 求函數(shù)的定義域
求用解析式y(tǒng)＝f（x）表示的函數(shù)的定義域時，常有以下幾種情況：
①若f（x）是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；
②若f（x）是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實數(shù)集；
③若f（x）是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)集合；
④若f（x）是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；
⑤若f（x）是由實際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應符合實際問題.
3. 求函數(shù)值域（最值）的一般方法：
（1）利用基本初等函數(shù)的值域；
（2）配方法（二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)）；
（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如 型的函數(shù)）
（4）函數(shù)的單調(diào)性：特別關注 的圖象及性質(zhì)
（5）部分分式法、判別式法（分式函數(shù)）
（6）換元法（無理函數(shù)）
（7）導數(shù)法（高次函數(shù)）
（8）反函數(shù)法
（9）數(shù)形結合法
4. 求函數(shù)的單調(diào)性
（1）定義法：
（2）導數(shù)法：
（3）利用復合函數(shù)的單調(diào)性：
（4）關于函數(shù)單調(diào)性還有以下一些常見結論：
①兩個增（減）函數(shù)的和為_____；一個增（減）函數(shù)與一個減（增）函數(shù)的差是______；
②奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有_____的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有_____的單調(diào)性；
③互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自定義域上有______的單調(diào)性；
（5）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：定義法、圖象法、復合函數(shù)法、導數(shù)法等
（6）應用：比較大小，證明不等式，解不等式。
5. 函數(shù)的奇偶性
奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關于原點對稱，比較f（x） 與f（－x）的關系。f（x） －f（－x）＝0 f（x） ＝f（－x） f（x）為偶函數(shù)；
f（x）+f（－x）＝0 f（x） ＝－f（－x） f（x）為奇函數(shù)。
判別方法：定義法，圖象法，復合函數(shù)法
應用：把函數(shù)值進行轉(zhuǎn)化求解。
6. 周期性：定義：若函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)的任意x滿足：f（x+T）＝f（x），則T為函數(shù)f（x）的周期。
其他：若函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)的任意x滿足：f（x+a）＝f（x－a），則2a為函數(shù)f（x）的周期.
應用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。
二、典型例題分析
例1. 若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2} 求從集合A到集合B的映射的個數(shù)。
分析：解決這類問題，關鍵是要掌握映射的概念：設A、B是兩個集合，對于集合A中的任何一個元素，按照某種對應法則f，若集合B中都有唯一確定的元素和它對應，這時對應法則f叫做從集合A到集合B的映射。這里要掌握關鍵的兩個詞“任何”、“唯一”。對于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一個元素的象都有b1或b2這兩種情形，由乘法原理可知，A到B的映射的個數(shù)共有N＝222＝8個。
例2. 線段|BC|＝4，BC的中點為M，點A與B、C兩點的距離之和為6，設|AM|＝y(tǒng)，|AB|＝x，求y＝f（x）的函數(shù)表達式及這函數(shù)的定義域。
解：1若A、B、C三點不共線，如圖所示，由余弦定理可知，
x2＝22+y2－4ycosAMB ①
（6－x）2＝22+y2－4ycos（180－AMB） ②
①+② x2+（6－x）2＝2y2+8 y2＝x2－6x+14
又 x2－6x+14＝（x－3）2+5恒正，
又三點A、B、C能構成三角形
1＜x＜5
2若三點A、B、C共線，由題意可知，
x+4＝6－x，x＝1 或4+6－x＝x x＝5
綜上所述：
說明：第一，首先要分析三點A、B、C是否在同一條直線上，因為由題意，A、B、C不一定能構成三角形，它們也可在同一條直線上，所以要分兩種情形來討論。第二，實際問題在求解析式時要特別注意函數(shù)的定義域。
例3. 設f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當x－1時，y＝f（x）的圖象是經(jīng)過點（－2，0），斜率為1的射線，又在y＝f（x）的圖象中有一部分是頂點在（0，2），且過點（－1，1）的一段拋物線，試寫出函數(shù)f（x）的表達式，并在圖中作出其圖象。
解：（1）當x－1時，設f（x）＝x+b
∵射線過點（－2，0） 0＝－2+b即b＝2，f（x）＝x+2
（2）當－11時，設f（x）＝ax2+2
∵拋物線過點（－1，1），1＝a（－1）2+2，即a＝－1
f（x）＝－x2+2
（3）當x1時，f（x）＝－x+2
綜上可知：f（x）＝ 作圖由讀者來完成。
例4. 求下列函數(shù)的定義域
（1） （2）
解：（1）
x4或x－1且x－3，即函數(shù)的定義域為（－，－3）（－3，－1）[4，+]
（2） ，則
0x2－3x－108，即
－3x＜－2或5＜x6即定義域為[－3，－2]（5，6）
說明：求函數(shù)的定義域，我們常常可以從以下三個方面來考慮：若有分母則分母不為零、若有偶次根式則被開方數(shù)大于或等于零、若有對數(shù)式，則真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1。求函數(shù)的定義域，實質(zhì)上就是求由以上不等式組成的'不等式組的解集。
變、已知函數(shù)f（x）的定義域為[－1，4]，求 的定義域。
解： ，則
又 ， 或
則 或 即為所求函數(shù)的定義域。
說明：此題實質(zhì)上是求復合函數(shù)的定義域，我們把 看成是由y＝f（u）、 兩個函數(shù)復合而成的，因為－1u＜4，則 ，從而求出x的范圍，另外，對不等式進行倒數(shù)運算時，應注意不等式兩邊必須同號，取倒數(shù)后不等號的方向改變，這里也是學習時常常容易發(fā)生錯誤的地方，應加以重視。
例5. 若對于任何實數(shù)x，不等式： 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。
解：令f（x）＝|x－1|+2|x－2|，去絕對值把f（x）表示成分段函數(shù)后為
5－3x x＜1
f（x）＝ 3－xx2
3x－5 x＞2
作出y＝f（x）的圖象如圖，由此可知f（x）的最小值為1，f（x）＞a對一切實數(shù)x恒成立，則a＜1。
說明：該題看上去是一個不等式的問題，若用去絕對值分類討論的方法來求解則比較繁鎖，而如果注意到不等式左邊是一個關于x的函數(shù)，只要利用數(shù)形結合的思想求出此函數(shù)的最小值就很快解決了問題，這種解題思想應引起我們的注意。另外，對于函數(shù)f（x）＝|x－1|+2|x－2|只要把它寫成分段函數(shù)的形式，作出函數(shù)的圖象，則該函數(shù)的所有性質(zhì)，包括函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，值域等一切問題都可以迎刃而解了。
例6. 求函數(shù) 的值域。
解：令 ，則13－4x＝t2
該二次函數(shù)的對稱軸為t＝1，又t0由二次函數(shù)的性質(zhì)可知y4，當且僅當t＝1即x＝3時等式成立，原函數(shù)的值域為（－，4）。
說明：對于所有形如 的函數(shù)，求值域時我們可以用換元法令
轉(zhuǎn)化為關于t的二次函數(shù)在區(qū)間[0，+）上的最值來處理。這里要注意t0的范圍不能少。如：已知f（x）的值域為 ，試求函數(shù) 的值域。該題我們只需要把f（x）看成是一個變量，則求值域時仍可用上述換元法，但是如果被開方數(shù)不是關于x的一次式，而含x的平方項，則就不能用上述換元法了。如求函數(shù) 的值域，若令 ，則x無法用t來表示。這里我們?nèi)绻⒁獾絰的取值范圍：－22，則－11的話，我們就可以用三角換元：令 [0，]，問題也就轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值了。同樣我們作三角換元時，要注意的限制條件，因為當取遍0到之間的每一個值時， 恰好可以取遍－1到1之間的每一個值，若不限制的范圍，則根號無法直接去掉，就會給我們解題增添麻煩。
例7. 求下列函數(shù)的最值。
（1） （2）
解：（1）先求出函數(shù)的定義域：
－27，又在區(qū)間[－2，7]上函數(shù) 單調(diào)遞增， 單調(diào)遞增，所以 在定義域內(nèi)也單調(diào)遞增。
當x＝－2時， ；當x＝7時，
（2）∵ 0 y2＝x2（1－x2）由基本不等式可知：
y2＝x2（1－x2） ，又y， 。
說明：對于一些比較復雜的函數(shù)，求值域或最值時，如果我們能利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性或運用基本不等式，問題往往會很快得到解決。在運用基本不等式求最值時，要注意“一正二定三相等”的條件，特別是要注意等號能否成立。
例8. 設a＞0，x[－1，1]時函數(shù)y＝－x2－ax+b有最小值－1，最大值1，求使函數(shù)取得最小值和最大值時相應的x的值。
解：
∵a＞0， ＜0，又定義域為[－1，1]
x＝1時 ，即－1－a+b＝－1 a－b＝0
下面分a的情形來討論：
1當0＞ －1即0＜a2時，
當 時， 即 ，則
a2+4a－4＝0，
又a（0，2），則
2當 ＜－1，即a＞2時，當x＝－1時
－1+a+b＝1，a+b＝2 又a＝b a＝1 與a＞2矛盾，舍去
綜上所述：x＝1時， ， 時 。
例9. 已知函數(shù)y＝f（x）＝ （a，b，cR，a0，b0）是奇函數(shù)，當x0時，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）
（1）試求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）問函數(shù)f（x）的圖象上是否存在關于點（1，0）對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由
解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
f（－x）＝－f（x），即
c＝0，∵a0，b0，x0，f（x）＝ 2 ，
當且僅當x＝ 時等號成立，于是2 ＝2，a＝b2，
由f（1）＜ 得 ＜ 即 ＜ ，2b2－5b+2＜0，解得 ＜b＜2，又bN，b＝1，a＝1，f（x）＝x+
（2）設存在一點（x0，y0）在y＝f（x）的圖象上，并且關于（1，0）的對稱點（2－x0，－y0）也在y＝f（x）的圖象上，則
消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1
y＝f（x）的圖象上存在兩點（1+ ，2 ），（1－ ，－2 ）關于（1，0）對稱
例10. 已知奇函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）在［0，+）上是增函數(shù)，是否存在實數(shù)m，使f（cos2－3）+f（4m－2mcos）f（0）對所有［0， ］都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由
解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且在［0，+）上是增函數(shù)，f（x）是R上的增函數(shù) 于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f（cos2－3）f（2mcos－4m），
即cos2－32mcos－4m，即cos2－mcos+2m－2
設t＝cos，則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)
g（t）?＝t2－mt+2m－2＝（t－ ）2－ +2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（t）在［0，1］上的最小值為正
當 0，即m0時，g（0）＝2m－21與m0不符；
當01時，即02時，g（m）＝－ +2m－20
4－2 4+2 ，?4－2 2
當 1，即m2時，g（1）＝m－11 m2
綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m4－2
另法（僅限當m能夠解出的情況）cos2－mcos+2m－20對于［0， ］恒成立，
等價于m（2－cos2）/（2－cos） 對于［0， ］恒成立
∵當［0， ］時，（2－cos2）/（2－cos） 4－2 ，
m4－2
例11. 設a為實數(shù)，記函數(shù)f（x）＝a 的最大值為g（a）。
（1）設t＝ ，求t的取值范圍并把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）；
（2）求g（a）；
（3）求滿足g（a）＝g（ ）的所有實數(shù)a.
解：（1）∵t＝
要使t有意義，必須有1+x0且1－x0，即－11.
∵t2＝2+2 [2，4]，t ……①
t的取值范圍是[ ，2]由①得 ＝ x2－1
m（t）＝a（ t2－１）＋t＝ at2+t－a， t[ ，2]
（2）由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）＝ at2+t－a， t[ ，2]的最大值.
注意到直線t＝－ 是拋物線m（t）＝ at2+t－a的對稱軸，分下列情況討論.
當a0時，函數(shù)y＝m（t）， t[ ，2]的圖像是開口向上的拋物線的一段，由t＝－ 0知m（t）在[ ，2]上單調(diào)遞增，
g（a）＝m（2）＝a+2.
當a＝0時，m（t）＝t， t[ ，2]， g（a）＝2.
當a0時，函數(shù)y＝m（t）， t[ ，2]的圖像是開口向下的拋物線的一段，
若有t＝－ [0， ]，即a－ ，則g（a）＝m（ ）＝ .
若有t＝－ （ ，2），即a ，則g（a）＝m（－ ）＝－a－ .
若有t＝－[0， ]，即a ，則g（a）＝m（2）＝a+2.
綜上有g（a）＝
（3）當a－ 時，g（a）＝a+2 ，
當 時，－a ，，所以 ，
g（a）＝ 2 ＝ .因此當a－ 時，g（a）.
當a0時， 0，由g（a）＝g（ ）知a+2＝ +2解得a＝1.
當a0時， ＝1，因此a－1或 －1，從而g（a）＝ 或g（ ）＝ .
要使g（a）＝g（ ），必須有a－ 或 － ，即－ －
此時g（a）＝ ＝g（ ）.
綜上知，滿足g（a）＝g（ ）的所有實數(shù)a為：－ － 或a＝1.
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