湘教版高二數(shù)學(xué)解析幾何的初步教學(xué)計(jì)劃
數(shù)學(xué)分析
1.解析幾何是利用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形性質(zhì)的一門(mén)學(xué)科，它包括平面解析幾何和空間解析幾何兩部分.它的主要研究對(duì)象是直線和平面、二次曲線和二次曲面.在大學(xué)階段，“解析幾何”是以圓錐曲線和圓錐曲面為研究對(duì)象的一門(mén)學(xué)科，研究三元二次方程表示的曲線和曲面，如空間直線、平面、柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面的方程等，研究的內(nèi)容比較固定，研究方法比較成熟.高中階段主要研究二元二次方程所表示的曲線，比如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等.
2.“解析幾何思想”代表了研究曲線和曲面的一般方法和手段，即用代數(shù)為工具解決幾何問(wèn)題.用解析幾何的思想方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，思維工程可以表現(xiàn)為以下步驟：第一，用代數(shù)的語(yǔ)言來(lái)描述幾何圖形，例如“點(diǎn)”可以用“數(shù)對(duì)”表示，“曲線”可以用“方程”表示等;第二，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，例如，“兩直線平行”可以轉(zhuǎn)化為“兩直線方程組成的方程組無(wú)解”等;第三，實(shí)施代數(shù)運(yùn)算，求解代數(shù)問(wèn)題;第四，將代數(shù)解轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.隨著數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何等的數(shù)學(xué)分支，而拓?fù)鋵W(xué)、泛函等代數(shù)工具都可以作為研究心得曲線和曲面的工具，這些都是“解析幾何思想”的發(fā)展個(gè)推廣.解析幾何初步的重點(diǎn)是幫助學(xué)生理解解析幾何的基本思想，即把代數(shù)作為一種工具和手段來(lái)研究幾何問(wèn)題.
3.“坐標(biāo)系”是解析幾何思想的主要組成部分，因?yàn)榻⒘俗鴺?biāo)系，就能把曲線和曲面的性質(zhì)用代數(shù)來(lái)表示，從而把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)系可以大大簡(jiǎn)化對(duì)圖形性質(zhì)的研究，但圖形的性質(zhì)不會(huì)豎著坐標(biāo)系的變化而改變.我們要研究的正是那些和坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)的性質(zhì);或者說(shuō)建立坐標(biāo)系正是為了擺脫圖形對(duì)坐標(biāo)系的依賴，這在對(duì)數(shù)上就表現(xiàn)為某個(gè)線性變換群下的不變量和不變關(guān)系.
4.圓錐曲線是我們生活中最基本的圖形.①圓錐曲線(面)可以幫助我們刻畫(huà)一些基本的運(yùn)動(dòng).例如，太陽(yáng)系中，八大行星的運(yùn)動(dòng)軌跡都是橢圓.②光學(xué)性質(zhì)和圓錐曲線是密不可分的，基本的光學(xué)性質(zhì)都是由圓錐曲線體現(xiàn)出來(lái)的.例如，探照燈就是利用拋物面的光學(xué)性質(zhì)制作而成的，它可以將點(diǎn)光源發(fā)出的光折射成平行光，照射到足夠遠(yuǎn)的地方.幾乎所有的光學(xué)儀器都是依照?qǐng)A錐曲線(面)的性質(zhì)制成的`.③研究圓錐曲線(面)的性質(zhì)時(shí)體現(xiàn)解析幾何本質(zhì)的最好載體，即便是在大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)習(xí)中，如何利用方程的系數(shù)確定二次曲線的形狀，揭示其規(guī)律也是數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容.
教育分析
1.有助于學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng).
解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)，它溝通了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想.在解析幾何初步的學(xué)習(xí)中，經(jīng)歷將幾何問(wèn)題代數(shù)化、處理代數(shù)問(wèn)題、分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義、解決幾何問(wèn)題的過(guò)程，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，形成正確的數(shù)學(xué)觀.
2.是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的重要載體.
運(yùn)算思想是數(shù)學(xué)中最重要的思想之一.解析幾何的運(yùn)算，往往有較強(qiáng)的綜合性，設(shè)計(jì)相應(yīng)的代數(shù)方程知識(shí)(包括消元思想、整體思想、函數(shù)思想、同解原理、韋達(dá)定理、方程的解、構(gòu)造不等式、參變量代換、求解不等式)等內(nèi)容，對(duì)學(xué)生計(jì)算能力要求較高.在解決解析幾何問(wèn)題時(shí)，要注重“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一，在計(jì)算時(shí)，要結(jié)合圖形自身的特點(diǎn)，充分挖掘圖形的幾何結(jié)論，這往往是解決問(wèn)題的突破口和簡(jiǎn)化解題過(guò)程的有效方法.比如，涉及圓的問(wèn)題時(shí)，注重運(yùn)用圓的相關(guān)幾何性質(zhì)，對(duì)于直線與圓的位置關(guān)系要強(qiáng)化幾何處理，淡化代數(shù)處理方法，解析幾何獨(dú)有的特點(diǎn)，最培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力起到了獨(dú)特的作用.
課標(biāo)解讀
1.整體定位
“解析幾何初步”研究的問(wèn)題是直線和圓，及其之間的關(guān)系，還有空間直角坐標(biāo)系的概念.高中階段解析幾何內(nèi)容的分布，除了“解析幾何初步”外，在選修系列1,2中，都延續(xù)了解析幾何的內(nèi)容，設(shè)計(jì)了“圓錐曲線與方程”.在選修系列4的《幾何證明選講》中，還將繼續(xù)研究圓錐曲線.研究圓錐曲線有兩種方法：綜合幾何的方法和解析幾何的方法.在選修系列4的《幾何證明選講》中，運(yùn)用了綜合幾何的方法.
“解析幾何初步”是要依托直線的方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生把握用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的基本步驟，初步形成代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力，幫助學(xué)生理解解析幾何的基本思想.
2.具體要求
(1)直線與方程
①在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素;
②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式;
�、勰芨鶕�(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直;
�、芨鶕�(jù)確定直線位置關(guān)系的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系;
�、菽苡媒夥匠探M的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo);
�、尢剿鞑⒄莆諆牲c(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.
(2)圓與方程
�、倩仡櫞_定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程;
②能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系;
③能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.
(3)在平面“解析幾何初步”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.
(4)空間直角坐標(biāo)系
�、偻ㄟ^(guò)具體情境，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置;
�、谕ㄟ^(guò)表示特殊長(zhǎng)方體(所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式.
《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)“解析幾何初步”的要求只是階段性要求，在選修系列1,2中，還將進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程的內(nèi)容.因此，對(duì)本部分內(nèi)容的教學(xué)要把握好“度”，特別是對(duì)于解析幾何思想的理解不能要求一步到位.
3.課標(biāo)解讀
(1)要注重知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展的過(guò)程
解析幾何初步的教學(xué)，要注重知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展的過(guò)程，首先將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何元素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問(wèn)題代數(shù)化;處理代數(shù)問(wèn)題;分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問(wèn)題.同時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)借助幾何直觀理解代數(shù)關(guān)系的意義，即對(duì)代數(shù)關(guān)系的幾何意義的解釋.讓學(xué)生在這樣的過(guò)程中，不斷地體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.
數(shù)學(xué)課程應(yīng)返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)，要通過(guò)學(xué)生的自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法.在解析幾何初步的教學(xué)中，同樣要通過(guò)觀察、操作探索，確定直線與圓的幾何要素，并由此探索掌握直線與圓的幾種形式的方程，探索掌握一些距離公式.
比如如何在平面直角坐標(biāo)系中描述直線，這是解析幾何教學(xué)中遇到的第一個(gè)問(wèn)題.在坐標(biāo)系中，一條直線或者與x軸平行，或者與x軸相交.與x軸平行的直線的代數(shù)特征很簡(jiǎn)單，這條直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是個(gè)常數(shù)，即y=a.除了x=a，還有什么方法可以刻畫(huà)與x軸相交的直線?也就是如何用代數(shù)的方法刻畫(huà)直線的斜率.
(2)在高中階段，直線的斜率一般一般有三種表示方式
�、儆脙A斜角的正切
這是傳統(tǒng)教材的方式，由于傾斜角是大于等于0°小于180°，傾斜角與其正切一一對(duì)應(yīng)的(90°除外);當(dāng)然，也可以用傾斜角的余弦值表示直線的斜率，傾斜角與其余弦值是一一對(duì)應(yīng)的，但這種表示要復(fù)雜一些，一般都選擇使用傾斜角的正切.
這需要先引入0°到180°的正切函數(shù)的概念.
②用向量
內(nèi)容結(jié)構(gòu)
1.知識(shí)內(nèi)容
2. 章節(jié)安排
本章教學(xué)時(shí)間約需18課時(shí)，具體分配如下：
1 直線與直線的方程 8課時(shí)
2 圓與圓的方程 5課時(shí)
3 空間直角坐標(biāo)系 3課時(shí)
小結(jié)與復(fù)習(xí) 2課時(shí)
重點(diǎn)分析
本章的重點(diǎn)有兩個(gè)：一是確定直線和圓的幾何要素(包括直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的幾何要素以及直線與圓的方程中各參數(shù)的幾何意義);二是把幾何要素代數(shù)化，用代數(shù)方程及其解刻畫(huà)直線與圓及其位置關(guān)系.
教材特色
1.突出幾何直觀性，解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì).在這一主導(dǎo)思想的指導(dǎo)下，教材在多方面突出了代數(shù)語(yǔ)言的幾何對(duì)象，將幾何問(wèn)題代數(shù)化的過(guò)程，正是認(rèn)識(shí)與理解“幾何→代數(shù)→幾何”這一循環(huán)上升過(guò)程的體現(xiàn).內(nèi)容安排上重視幾何直觀，如在直線與直線方程、圓與圓的方程中，教材編排了探索確定直線和圓的幾何要素的內(nèi)容.在空間直角坐標(biāo)系的建立一節(jié)中，編排了一些圖片，這樣的編排目的在于讓學(xué)生能夠充分感受幾何直觀，強(qiáng)調(diào)代數(shù)關(guān)系與圖形的對(duì)應(yīng)，同時(shí)感受數(shù)學(xué)與生活的內(nèi)在聯(lián)系.
2.加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)理解和感悟能力的培養(yǎng).學(xué)生對(duì)圖形的把握是指可以直觀地從圖形中提取有價(jià)值的信息，并對(duì)它們進(jìn)行合情推理.這樣的編排不僅培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，同時(shí)也關(guān)注幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)換能力.
3.從具體問(wèn)題出發(fā)，對(duì)每一個(gè)要研究的問(wèn)題幾乎都是先給出一個(gè)具體問(wèn)題，在具體問(wèn)題的解決體驗(yàn)中抽象出一般的結(jié)論.從具體問(wèn)題出發(fā)，明確地畫(huà)出圖形，感受到用代數(shù)研究的是一個(gè)真切的幾何問(wèn)題.從具體問(wèn)題出發(fā)也有利于從特殊到一般的思維方式的培養(yǎng).
4.對(duì)一些重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，盡可能低給出幾何解釋.例如學(xué)習(xí)兩條直線垂直，在斜率存在的條件下，一般都只從代數(shù)角度推導(dǎo)出即可，本教材中，我們利用射影定理給出了這一結(jié)論的幾何解釋，以幫助學(xué)生更直觀地理解這一結(jié)論.
學(xué)法指導(dǎo)
1.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注用解析幾何解決問(wèn)題的基本步驟：(1)將幾何問(wèn)題用代數(shù)語(yǔ)言表達(dá);(2)處理數(shù)量關(guān)系;(3)分析計(jì)算結(jié)果，得出幾何結(jié)論。在學(xué)習(xí)中，邊體會(huì)、邊理解、邊小結(jié)。
2.養(yǎng)成畫(huà)圖習(xí)慣，對(duì)每一個(gè)問(wèn)題，邊審題、邊畫(huà)圖。切忌單純地列方程、解方程。
3.帶著如下問(wèn)題，閱讀課本，：“什么是解析幾何的基本思想”和“笛卡爾對(duì)解析幾何的貢獻(xiàn)”;又如“描述直線的關(guān)鍵因素是什么”“確定一條直線的準(zhǔn)確位置最少需要幾個(gè)條件”。
4.在本章小結(jié)階段，繪制“知識(shí)內(nèi)容表格”，學(xué)生間交流并討論“不同的表格有什么特點(diǎn)”。通過(guò)這種方式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)書(shū)中自然地總結(jié)出數(shù)學(xué)基本思想和數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，獲得學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。
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