《二次函數》教案
作為一名老師，通常需要準備好一份教案，通過教案準備可以更好地根據具體情況對教學進程做適當的必要的調整。那么優秀的教案是什么樣的呢？以下是小編整理的《二次函數》教案，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
《二次函數》教案1
學習目標：
1、能夠分析和表示變量間的二次函數關系，并解決用二次函數所表示的問題。
2、用三種方式表示變量間二次函數關系，從不同側面對函數性質進行研究。
3、通過解決用二次函數所表示的問題，培養學生的運用能力
學習重點：
能夠分析和表示變量之間的二次函數關系，并解決用二次函數所表示的問題。
能夠根據二次函數的不同表示方式，從不同的側面對函數性質進行研究。
學習難點：
能夠分析和表示變量之間的二次函數關系，并解決用二次函數所表示的問題。
學習過程：
一、學前準備
函數的三種表示方式，即表格、表達式、圖象法，我們都不陌生，比如在商店的廣告牌上這樣寫著：一種豆子的售價與購買數量之間的關系如下：
x（千克） 0 0。5 1 1。5 2 2。5 3
y（元） 0 1 2 3 4 5 6
這是售貨員為了便于計價，常常制作這種表示售價與數量關系的表，即用表格表示函數。用表達式和圖象法來表示函數的情形我們更熟悉。這節課我們不僅要掌握三種表示方式，而且要體會三種方式之間的聯系與各自不同的特點，在什么情況下用哪一種方式更好？
二、探究活動
（一）合作探究：
矩形的周長是20cm，設它一邊長為 ，面積為 cm2。 變化的規律是什么？你能分別用函數表達式、表格和圖象表示出來嗎？
交流完成：
（1）一邊長為x cm，則另一邊長為 cm，所以面積為： 用函數表達式表示： =________________________________。
（2） 表格表示：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10—
（3）畫出圖象
討論：函數的圖象在第一象限，可是我們知道開口向下的拋物線可以到達第四象限和第三象限，思考原因
（二）議一議
（1）在上述問題中，自變量x的取值范圍是什么？
（2）當x取何值時，長方形的面積最大？它的最大面積是多少？你是怎樣得到的？請你描述一下y隨x的變化而變化的情況。
點撥：自變量x的取值范圍即是使函數有意義的自變量的取值范圍。請大家互相交流。
（1）因為x是邊長，所以x應取 數，即x 0，又另一邊長（10—x）也應大于 ，即10—x 0，所以x 10，這兩個條件應該同時滿足，所以x的取值范圍是 。
（2）當x取何值時，長方形的面積最大，就是求自變量取何值時，函數有最大值，所以要把二次函數y=—x2+10x化成頂點式。當x=— 時，函數y有最大值y最大= 。當x= 時，長方形的面積最大，最大面積是25cm2。
可以通過觀察圖象得知。也可以代入頂點坐標公式中求得。。
（三）做一做：學生獨立思考完成P62，P63的函數表達式，表格，圖象問題
（1）用函數表達式表示：y=________。
（2）用表格表示：
（3）用圖象表示：
三、學習體會
本節課你有哪些收獲？你還有哪些疑問？
四、自我測試
1、把長1。6米的鐵絲圍成長方形ABCD，設寬為x（m），面積為y（m2）。則當最大時，所取的值是（ ）
A 0。5 B 0。4 C 0。3 D 0。6
2、兩個數的和為6，這兩個數的積最大可能達到多少？利用圖象描述乘積與因數之間的關系。
3、把一根長120cm的鐵絲分為兩部分，每一部分均彎曲成一個正方形，它們的面積和是多少？它們的面積和的最小值是多少？
（選作題）邊長為12的正方形鐵片，中間剪去一個邊長為x（cm）的小正方形鐵片，剩下的四方框鐵片的面積y（cm2）與x（cm）之間的函數表達式為
《二次函數》教案2
二次函數的應用
教學設計思想：本節主要研究的是與二次函數有關的實際問題，重點是實際應用題，在教學過程中讓學生運用二次函數的知識分析問題、解決問題，在運用中體會二次函數的實際意義。二次函數與一元二次方程、一元二次不等式有密切聯系，在學習過程中應把二次函數與之有關知識聯系起來，融會貫通，使學生的認識更加深刻。另外，在利用圖像法解方程時，圖像應畫得準確一些，使求得的解更準確，在求解過程中體會數形結合的思想。
教學目標：
1.知識與技能
會運用二次函數計其圖像的知識解決現實生活中的實際問題。
2.過程與方法
通過本節內容的學習，提高自主探索、團結合作的能力，在運用知識解決問題中體會二次函數的應用意義及數學轉化思想。
3.情感、態度與價值觀
通過學生之間的討論、交流和探索，建立合作意識和提高探索能力，激發學習的興趣和欲望。
教學重點：解決與二次函數有關的實際應用題。
教學難點：二次函數的應用。
教學媒體：幻燈片，計算器。
教學安排：3課時。
教學方法：小組討論，探究式。
教學過程：
第一課時：
Ⅰ.情景導入：
師：由二次函數的一般形式y= (a0)，你會有什么聯想?
生：老師，我想到了一元二次方程的一般形式 (a0)。
師：不錯，正因為如此，有時我們就將二次函數的有關問題轉化為一元二次方程的問題來解決。
現在大家來做下面這兩道題：(幻燈片顯示)
1.解方程 。
2.畫出二次函數y= 的圖像。
教師找兩個學生解答，作為板書。
Ⅱ.新課講授
同學們思考下面的問題，可以共同討論：
1.二次函數y= 的圖像與x軸交點的橫坐標是什么?它與方程 的根有什么關系?
2.如果方程 (a0)有實數根，那么它的根和二次函數y= 的圖像與x軸交點的橫坐標有什么關系?
生甲：老師，由畫出的圖像可以看出與x軸交點的橫坐標是-1、2;方程的兩個根是-1、2，我們發現方程的兩個解正好是圖像與x軸交點的橫坐標。
生乙：我們經過討論，認為如果方程 (a0)有實數根，那么它的根等于二次函數y= 的圖像與x軸交點的橫坐標。
師：說的很好;
教師總結：一般地，如果二次函數y= 的圖像與x軸相交，那么交點的橫坐標就是一元二次方程 =0的根。
師：我們知道方程的兩個解正好是二次函數圖像與x軸的兩個交點的橫坐標，那么二次函數圖像與x軸的交點問題可以轉化為一元二次方程的根的問題，我們共同研究下面問題。
[學法]：通過實例，體會二次函數與一元二次方程的關系，解一元二次方程實質上就是求二次函數為0的自變量x的取值，反映在圖像上就是求拋物線與x軸交點的橫坐標。
問題：已知二次函數y= 。
(1)觀察這個函數的圖像(圖34-9)，一元二次方程 =0的兩個根分別在哪兩個整數之間?
(2)①由在0至1范圍內的x值所對應的y值(見下表)，你能說出一元二次方程 =0精確到十分位的正根嗎?
x 0 0.1 0.2[ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
y -1 -0.89 -0.76 -0.61 -0.44 -0.25 -0.04 -0.19 0.44 0.71 1
②由在0.6至0.7范圍內的x值所對應的y值(見下表)，你能說出一元二次方程 =0精確到百分位的正根嗎?
x 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70
y -0.040 -0.018 0.004 0.027 0.050 0.073 0.096 0.119 0.142 0.166 0.190
(3)請仿照上面的方法，求出一元二次方程 =0的另一個精確到十分位的根。
(4)請利用一元二次方程的求根公式解方程 =0，并檢驗上面求出的近似解。
第一問很簡單，可以請一名同學來回答這個問題。
生：一個根在(-2，-1)之間，另一個在(0，1)之間;根據上面我們得出的結論。
師：回答的很正確;我們知道圖像與x軸交點的橫坐標就是方程的根，所以我們可以通過觀看圖象就能說出方程的兩個根。現在我們共同解答第(2)問。
教師分析：我們知道方程的一個根在(0，1)之間，那么我們觀看(0，1)這個區間的圖像，y值是隨著x值的增大而不斷增大的，y值也是從負數過渡到正數，而當y=0時所對應的x值就是方程的根。現在我們要求的是方程的近似解，那么同學們想一想，答案是什么呢?
生：通過列表可以看出，在(0.6，0.7)范圍內，y值有-0.04至0.19，如果方程精確到十分位的正根，x應該是0.6。
類似的，我們得出方程精確到百分位的正根是0.62。
對于第三問，教師可以讓學生自己動手解答，教師在下面巡視，觀察其中發現的問題。
最后師生共同利用求根公式，驗證求出的近似解。
教師總結：我們發現，當二次函數 (a0)的圖像與x軸有交點時，根據圖像與x軸的交點，就可以確定一元二次方程 的根在哪兩個連續整數之間。為了得到更精確的近似解，對在這兩個連續整數之間的x的值進行細分，并求出相應得y值，列出表格，這樣就可以得到一元二次方程 所要求的精確度的近似解。
Ⅲ.練習
已知一個矩形的長比寬多3m，面積為6 。求這個矩形的長(精確到十分位)。
板書設計：
二次函數的應用(1)
一、導入 總結：
二、新課講授 三、練習
第二課時：
師：在我們的實際生活中你還遇到過哪些運用二次函數的實例?
生：老師，我見過好多。如周長固定時長方形的面積與它的長之間的關系：圓的面積與它的直徑之間的關系等。
師：好，看這樣一個問題你能否解決：
活動1：如圖34-10，張伯伯準備利用現有的一面墻和40m長的籬笆，把墻外的空地圍成四個相連且面積相等的矩形養兔場。
回答下面的問題：
1.設每個小矩形一邊的長為xm，試用x表示小矩形的另一邊的長。
2.設四個小矩形的總面積為y ，請寫出用x表示y的函數表達式。
3.你能利用公式求出所得函數的圖像的頂點坐標，并說出y的最大值嗎?
4.你能畫出這個函數的圖像，并借助圖像說出y的最大值嗎?
學生思考，并小組討論。
解：已知周長為40m，一邊長為xm，看圖知，另一邊長為 m。
由面積公式得 y= (x )
化簡得 y=
代入頂點坐標公式，得頂點坐標x=4，y=5。y的最大值為5。
畫函數圖像：
通過圖像，我們知道y的最大值為5。
師：通過上面這個例題，我們能總結出幾種求y的最值得方法呢?
生：兩種;一種是畫函數圖像，觀察最高(低)點，可以得到函數的最值;另外一種可以利用頂點坐標公式，直接計算最值。
師：這位同學回答的很好，看來同學們是都理解了，也知道如何求函數的最值。
總結：由此可以看出，在利用二次函數的圖像和性質解決實際問題時，常常需要根據條件建立二次函數的表達式，在求最大(或最小)值時，可以采取如下的方法：
(1)畫出函數的圖像，觀察圖像的最高(或最低)點，就可以得到函數的最大(或最小)值。
(2)依照二次函數的性質，判斷該二次函數的開口方向，進而確定它有最大值還是最小值;再利用頂點坐標公式，直接計算出函數的最大(或最小)值。
師：現在利用我們前面所學的知識，解決實際問題。
活動2：如圖34-11，已知AB=2，C是AB上一點，四邊形ACDE和四邊形CBFG，都是正方形，設BC=x，
(1)AC=______;
(2)設正方形ACDE和四邊形CBFG的總面積為S，用x表示S的函數表達式為S=_____.
(3)總面積S有最大值還是最小值?這個最大值或最小值是多少?
(4)總面積S取最大值或最小值時，點C在AB的什么位置?
教師講解：二次函數 進行配方為y= ，當a0時，拋物線開口向上，此時當x= 時， ;當a0時，拋物線開口向下，此時當x= 時， 。對于本題來說，自變量x的最值范圍受實際條件的制約，應為02。此時y相應的就有最大值和最小值了。通過畫出圖像，可以清楚地看到y的最大值和最小值以及此時x的取值情況。在作圖像時一定要準確認真，同時還要考慮到x的取值范圍。
解答過程(板書)
解：(1)當BC=x時，AC=2-x(02)。
(2)S△CDE= ,S△BFG= ,
因此，S= + =2 -4x+4=2 +2，
畫出函數S= +2(02)的圖像，如圖34-4-3。
(3)由圖像可知：當x=1時， ;當x=0或x=2時， 。
(4)當x=1時，C點恰好在AB的中點上。
當x=0時，C點恰好在B處。
當x=2時，C點恰好在A處。
[教法]：在利用函數求極值問題，一定要考慮本題的實際意義，弄明白自變量的取值范圍。在畫圖像時，在自變量允許取得范圍內畫。
練習：
如圖，正方形ABCD的邊長為4，P是邊BC上一點，QPAP，并且交DC與點Q。
(1)Rt△ABP與Rt△PCQ相似嗎?為什么?
(2)當點P在什么位置時，Rt△ADQ的面積最小?最小面積是多少?
小結：利用二次函數的增減性，結合自變量的取值范圍，則可求某些實際問題中的極值，求極值時可把 配方為y= 的形式。
板書設計：
二次函數的應用(2)
活動1： 總結方法：
活動2： 練習：
小結：
第三課時：
我們這部分學習的是二次函數的應用，在解決實際問題時，常常需要把二次函數問題轉化為方程的問題。
師：在日常生活中，有哪些量之間的關系是二次函數關系?大家觀看下面的圖片。
(幻燈片顯示交通事故、緊急剎車)
師：你知道兩輛車在行駛時為什么要保持一定的距離嗎?
學生思考，討論。
師：汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車后還要向前滑行一段距離才能停住，這段距離叫做剎車距離。剎車距離是分析、處理道路交通事故的一個重要原因。
請看下面一個道路交通事故案例：
甲、乙兩車在限速為40km/h的濕滑彎道上相向而行，待望見對方。同時剎車時已經晚了，兩車還是相撞了。事后經現場勘查，測得甲車的剎車距離是12m，乙車的剎車距離超過10m，但小于12m。根據有關資料，在這樣的濕滑路面上，甲車的剎車距離S甲(m)與車速x(km/h)之間的關系為S甲=0.1x+0.01x2，乙車的剎車距離S乙(m)與車速x(km/h)之間的關系為S乙= 。
教師提問：1.你知道甲車剎車前的行駛速度嗎?甲車是否違章超速?
2.你知道乙車剎車前的行駛速度在什么范圍內嗎?乙車是否違章超速?
學生思考!教師引導。
對于二次函數S甲=0.1x+0.01x2：
(1)當S甲=12時，我們得到一元二次方程0.1x+0.01x2=12。請談談這個一元二次方程這個一元二次方程的實際意義。
(2)當S甲=11時，不經過計算，你能說明兩車相撞的主要責任者是誰嗎?
(3)由乙車的剎車距離比甲車的剎車距離短，就一定能說明事故責任者是甲車嗎?為什么?
生甲：我們能知道甲車剎車前的行駛速度，知道甲車的剎車距離，又知道剎車距離與車速的關系式，所以車速很容易求出，求得x=30km，小于限速40km/h，故甲車沒有違章超速。
生乙：同樣，知道乙車剎車前的行駛速度，知道乙車的剎車距離的取值范圍，又知道剎車距離與車速的關系式，求得x在40km/h與48km/h(不包含40km/h)之間。可見乙車違章超速了。
同學們，從這個事例當中我們可以體會到，如果二次函數y= (a0)的某一函數值y=M。就可利用一元二次方程 =M，確定它所對應得x值，這樣，就把二次函數與一元二次方程緊密地聯系起來了。
下面看下面的這道例題：
當路況良好時，在干燥的路面上，汽車的剎車距離s與車速v之間的關系如下表所示：
v/(km/h) 40 60 80 100 120
s/m 2 4.2 7.2 11 15.6
(1)在平面直角坐標系中描出每對(v，s)所對應的點，并用光滑的曲線順次連結各點。
(2)利用圖像驗證剎車距離s(m)與車速v(km/h)是否有如下關系：
(3)求當s=9m時的車速v。
學生思考，親自動手，提高學生自主學習的能力。
教師提問，學生回答正確答案，教師再進行講解。
課上練習：
某產品的成本是20元/件，在試銷階段，當產品的售價為x元/件時，日銷量為(200-x)件。
(1)寫出用售價x(元/件)表示每日的銷售利潤y(元)的表達式。
(2)當日銷量利潤是1500元時，產品的售價是多少?日銷量是多少件?
(3)當售價定為多少時，日銷量利潤最大?最大日銷量利潤是多少?
課堂小結：本節課主要是利用函數求極值的問題，解決此類問題時，一定要考慮到本題的實際意義，弄明白自變量的取值范圍。在畫圖像時，在自變量允許取的范圍內畫。
板書設計：
二次函數的應用(3)
一、案例 二、例題
分析： 練習：
總結：
數學網
《二次函數》教案3
教學設計
一 教學設計思路
通過小球飛行高度問題展示二次函數與一元二次方程的聯系。然后進一步舉例說明，從而得出二次函數與一元二次方程的關系。最后通過例題介紹用二次函數的圖象求一元二次方程的根的方法。
二 教學目標
1 知識與技能
(1).經歷探索函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系。總結出二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，表述何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根.
(2).會利用圖象法求一元二次方程的近似解。
2 過程與方法
經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系.
三 情感態度價值觀
通過觀察二次函數圖象與x軸的交點個數，討論一元二次方程的根的情況培養學生自主探索意識，從中體會事物普遍聯系的觀點，進一步體會數形結合思想.
四 教學重點和難點
重點：方程與函數之間的聯系，會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解。
難點：二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系。
五 教學方法
討論探索法
六 教學過程設計
(一)問題的提出與解決
問題 如圖，以20m/s的速度將小球沿與地面成30角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線。如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h(單位：m)與飛行時間t(單位：s)之間具有關系
h=20t5t2。
考慮以下問題
(1)球的飛行高度能否達到15m?如能，需要多少飛行時間?
(2)球的飛行高度能否達到20m?如能，需要多少飛行時間?
(3)球的飛行高度能否達到20.5m?為什么?
(4)球從飛出到落地要用多少時間?
分析：由于球的飛行高度h與飛行時間t的關系是二次函數
h=20t-5t2。
所以可以將問題中h的值代入函數解析式，得到關于t的一元二次方程，如果方程有合乎實際的解，則說明球的飛行高度可以達到問題中h的值：否則，說明球的飛行高度不能達到問題中h的值。
解：(1)解方程 15=20t5t2。 t24t+3=0。 t1=1,t2=3。
當球飛行1s和3s時，它的高度為15m。
(2)解方程 20=20t-5t2。 t2-4t+4=0。 t1=t2=2。
當球飛行2s時，它的高度為20m。
(3)解方程 20.5=20t-5t2。 t2-4t+4.1=0。
因為(-4)2-44.10。所以方程無解。球的飛行高度達不到20.5m。
(4)解方程 0=20t-5t2。 t2-4t=0。 t1=0,t2=4。
當球飛行0s和4s時，它的高度為0m，即0s時球從地面飛出。4s時球落回地面。
由學生小組討論，總結出二次函數與一元二次方程的解有什么關系?
例如：已知二次函數y=-x2+4x的值為3。求自變量x的值。
分析 可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0) 。反過來，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函數y=x2-4+3的值為0，求自變量x的值。
一般地，我們可以利用二次函數y=ax2+bx+c深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0。
(二)問題的討論
二次函數(1)y=x2+x-2;
(2) y=x2-6x+9;
(3) y=x2-x+0。
的圖象如圖26.2-2所示。
(1)以上二次函數的圖象與x軸有公共點嗎?如果有，有多少個交點，公共點的橫坐標是多少?
(2)當x取公共點的橫坐標時，函數的值是多少?由此，你能得出相應的一元二次方程的根嗎?
先畫出以上二次函數的圖象，由圖像學生展開討論，在老師的引導下回答以上的問題。
可以看出：
(1)拋物線y=x2+x-2與x軸有兩個公共點，它們的橫坐標是-2，1。當x取公共點的橫坐標時，函數的值是0。由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1。
(2)拋物線y=x2-6x+9與x軸有一個公共點，這點的橫坐標是3。當x=3時，函數的值是0。由此得出方程x2-6x+9=0有兩個相等的實數根3。
(3)拋物線y=x2-x+1與x軸沒有公共點， 由此可知，方程x2-x+1=0沒有實數根。
總結：一般地，如果二次函數y= 的圖像與x軸相交，那么交點的橫坐標就是一元二次方程 =0的根。
(三)歸納
一般地，從二次函數y=ax2+bx+c的圖象可知，
(1)如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點，公共點的橫坐標是x0，那么當x=x0時，函數的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一個根。
(2)二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。
由上面的結論，我們可以利用二次函數的圖象求一元二次方程的根。由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般是近似的。
(四)例題
例 利用函數圖象求方程x2-2x-2=0的實數根(精確到0.1)。
解：作y=x2-2x-2的圖象(如圖)，它與x軸的公共點的橫坐標大約是-0.7,2.7。
所以方程x2-2x-2=0的實數根為x1-0.7,x22.7。
七 小結
二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。
。
八 板書設計
用函數觀點看一元二次方程
拋物線y=ax2+bx+c與方程ax2+bx+c=0的解之間的關系
例題
《二次函數》教案4
教學目標：
利用數形結合的數學思想分析問題解決問題。
利用已有二次函數的知識經驗，自主進行探究和合作學習，解決情境中的數學問題，初步形成數學建模能力，解決一些簡單的實際問題。
在探索中體驗數學來源于生活并運用于生活，感悟二次函數中數形結合的美，激發學生學習數學的興趣，通過合作學習獲得成功，樹立自信心。
教學重點和難點：
運用數形結合的思想方法進行解二次函數，這是重點也是難點。
教學過程：
（一）引入：
分組復習舊知。
探索：從二次函數y=x2+4x+3在直角坐標系中的圖象中，你能得到哪些信息？
可引導學生從幾個方面進行討論：
（1）如何畫圖
（2）頂點、圖象與坐標軸的交點
（3）所形成的三角形以及四邊形的面積
（4）對稱軸
從上面的問題導入今天的課題二次函數中的圖象與性質。
（二）新授：
1、再探索：二次函數y=x2+4x+3圖象上找一點，使形成的圖形面積與已知圖形面積有數量關系。例如：拋物線y=x2+4x+3的頂點為點A，且與x軸交于點B、C；在拋物線上求一點E使SBCE= SABC。
再探索：在拋物線y=x2+4x+3上找一點F，使BCE與BCD全等。
再探索：在拋物線y=x2+4x+3上找一點M，使BOM與ABC相似。
2、讓同學討論：從已知條件如何求二次函數的解析式。
例如：已知一拋物線的頂點坐標是C（2，1）且與x軸交于點A、點B，已知SABC=3，求拋物線的解析式。
（三）提高練習
根據我們學校人人皆知的船模特色項目設計了這樣一個情境：
讓班級中的上科院小院士來簡要介紹學校船模組的情況以及在繪制船模圖紙時也常用到拋物線的知識的情況，再出題：船身的龍骨是近似拋物線型，船身的最大長度為48cm，且高度為12cm。求此船龍骨的拋物線的解析式。
讓學生在練習中體會二次函數的圖象與性質在解題中的作用。
（四）讓學生討論小結（略）
（五）作業布置
1、在直角坐標平面內，點O為坐標原點，二次函數y=x2+（k—5）x—（k+4）的圖象交x軸于點A（x1，0）、B（x2，0）且（x1+1）（x2+1）=—8。
（1）求二次函數的解析式；
（2）將上述二次函數圖象沿x軸向右平移2個單位，設平移后的圖象與y軸的交點為C，頂點為P，求 POC的面積。
2、如圖，一個二次函數的圖象與直線y= x—1的交點A、B分別在x、y軸上，點C在二次函數圖象上，且CBAB，CB=AB，求這個二次函數的解析式。
3、盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分，在大橋截面1：11000的比例圖上，跨度AB=5cm，拱高OC=0。9cm，線段DE表示大橋拱內橋長，DE∥AB，如圖1，在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1cm作為數軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖2。
（1）求出圖2上以這一部分拋物線為圖象的函數解析式，寫出函數定義域；
（2）如果DE與AB的距離OM=0。45cm，求盧浦大橋拱內實際橋長（備用數據： ，計算結果精確到1米）
《二次函數》教案5
二次函數的教學設計
教學內容：人教版九年義務教育初中第三冊第108頁
教學目標：
1。 1。 理解二次函數的意義；會用描點法畫出函數y=ax2的圖象，知道拋物線的有關概念；
2。 2。 通過變式教學，培養學生思維的敏捷性、廣闊性、深刻性；
3。 3。 通過二次函數的教學讓學生進一步體會研究函數的一般方法；加深對于數形結合思想認識。
教學重點：二次函數的意義；會畫二次函數圖象。
教學難點：描點法畫二次函數y=ax2的圖象，數與形相互聯系。
教學過程設計：
一 創設情景、建模引入
我們已學習了正比例函數及一次函數，現在來看看下面幾個例子：
1。寫出圓的半徑是R（CM），它的面積S（CM2）與R的關系式
答：S=πR2。 ①
2。寫出用總長為60M的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S（M2）與矩形一邊長L（M）之間的關系
答：S=L（30-L）=30L-L2 ②
分析：①②兩個關系式中S與R、L之間是否存在函數關系？
S是否是R、L的一次函數？
由于①②兩個關系式中S不是R、L的一次函數，那么S是R、L的什么函數呢？這樣的函數大家能不能猜想一下它叫什么函數呢？
答：二次函數。
這一節課我們將研究二次函數的有關知識。（板書課題）
二 歸納抽象、形成概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0) ，
那么，y叫做x的二次函數。
注意：(1)必須a≠0，否則就不是二次函數了。而b，c兩數可以是零。(2) 由于二次函數的解析式是整式的形式，所以x的取值范圍是任意實數。
練習：1。舉例子：請同學舉一些二次函數的例子，全班同學判斷是否正確。
2。出難題：請同學給大家出示一個函數，請同學判斷是否是二次函數。
（若學生考慮不全，教師給予補充。如：；；； 的形式。）
（通過學生觀察、歸納定義加深對概念的理解，既培養了學生的實踐能力，有培養了學生的探究精神。并通過開放性的練習培養學生思維的發散性、開放性。題目用了一些人性化的詞語，也增添了課堂的趣味性。）
由前面一次函數的學習，我們已經知道研究函數一般應按照定義、圖象、性質、求解析式幾個方面進行研究。二次函數我們也會按照定義、圖象、性質、求解析式幾個方面進行研究。
（在這里指出學習函數的一般方法，旨在及時進行學法指導；并將此方法形成技能，以指導今后的學習；進一步培養終身學習的能力。）
三 嘗試模仿、鞏固提高
讓我們先從最簡單的二次函數y=ax2入手展開研究
1。 1。 嘗試：大家知道一次函數的圖象是一條直線，那么二次函數的圖象是什么呢？
請同學們畫出函數y=x2的圖象。
（學生分別畫圖，教師巡視了解情況。）
2。 2。 模仿鞏固：教師將了解到的各種不同圖象用實物投影向大家展示，到底哪一個對呢？下面師生共同畫出函數y=x2的圖象。
解：一、列表：
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Y=x2 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
二、描點、連線： 按照表格，描出各點。然后用光滑的曲線，按照x(點的橫坐標)由小到大的順序把各點連結起來。
對照教師畫的圖象一一分析學生所畫圖象的正誤及原因，從而得到畫二次函數圖象的幾點注意。
練習：畫出函數;的圖象（請兩個同學板演）
X | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Y=0。5X2 | 4。5 | 2 | 0。5 | 0 | 0。5 | 02 | 4。5 |
Y=-X2 | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 |
畫好之后教師根據情況講評，并引導學生觀察圖象形狀得出：二次函數 y=ax2的圖象是一條拋物線。
（這里，教師在學生自己探索嘗試的基礎上，示范畫圖象的方法和過程，希望學生學會畫圖象的方法；并及時安排練習鞏固剛剛學到的新知識，通過觀察，感悟拋物線名稱的由來。）
三 運用新知、變式探究
畫出函數 y=5x2圖象
學生在畫圖象的過程當中遇到函數值較大的困難，不知如何是好。
x | -0。5 | -0。4 | -0。3 | -0。2 | -0。1 | 0 | 0。1 | 0。2 | 0。3 | 0。4 | 0。5 |
Y=5x2 | 1。25 | 0。8 | 0。45 | 0。2 | 0。05 | 0 | 0。05 | 0。2 | 0。45 | 0。8 | 1。25 |
教師出示已畫好的圖象讓學生觀察
注意：1。 畫圖象應描7個左右的點，描的點越多圖象越準確。
2。 自變量X的取值應注意關于Y軸對稱。
3。 對于不同的二次函數自變量X的取值應更加靈活，例如可以取分數。
四。 四。 歸納小結、延續探究
教師引導學生觀察表格及圖象，歸納y=ax2的性質，學生們暢所欲言，各抒己見；互相改進，互相完善。最終得到如下性質：
一般的，二次函數y=ax2的圖象是一條拋物線，對稱軸是Y軸，頂點是坐標原點；當a＞0時，圖象的開口向上，最低點為(0，0)；當a＜0時，圖象的開口向下，最高點為(0，0)。
五 回顧反思、總結收獲
在這一環節中，教師請同學們回顧一節課的學習暢談自己的收獲或多、或少、或幾點、或全面，總之是人人有所得，個個有提高。這也正是新課標中所倡導的新的理念——不同的人在數學上得到不同的發展。
（在整個一節課上，基本上是學生講為主，教師講為輔。一些較為困難的問題，我也鼓勵學生大膽思考，積極嘗試，不怕困難，一個人完不成，講不透，第二個人、第三個人補充，直到完成整個例題。這樣上課氣氛非常活躍，學生之間常會因為某個觀點的不同而爭論，這就給教師提出了更高的要求，一方面要控制好整節課的節奏，另一方面又要察言觀色，適時地對某些觀點作出判斷，或與學生一同討論。）
《二次函數》教案6
目標：
1．使學生掌握用待定系數法由已知圖象上一個點的坐標求二次函數y＝ax2的關系式。
2. 使學生掌握用待定系數法由已知圖象上三個點的坐標求二次函數的關系式。
3．讓學生體驗二次函數的函數關系式的應用，提高學生用數學意識。
重點難點：
重點：已知二次函數圖象上一個點的坐標或三個點的坐標，分別求二次函數y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的關系式是的重點。
難點：已知圖象上三個點坐標求二次函數的關系式是教學的難點。
教學過程：
一、創設問題情境
如圖，某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線型(曲線AOB)的薄殼屋頂。它的拱高AB為4m，拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢?
分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的直角坐標系，再寫出函數關系式，然后根據這個關系式進行計算，放樣畫圖。
如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，以過點O的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標系。這時，屋頂的橫截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以可設它的函數關系式為： y＝ax2 (a＜0) (1)
因為y軸垂直平分AB，并交AB于點C，所以CB＝AB2 ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以點B的坐標為(2，－0.8)。
因為點B在拋物線上，將它的坐標代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以a＝－0.2
因此，所求函數關系式是y＝－0.2x2。
請同學們根據這個函數關系式，畫出模板的輪廓線。
二、引申拓展
問題1：能不能以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標系?
讓學生了解建立直角坐標系的方法不是唯一的，以A點為原點，AB所在的直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標系也是可行的。
問題2，若以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂直為y軸，建立直角坐標系，你能求出其函數關系式嗎?
分析：按此方法建立直角坐標系，則A點坐標為(0，0)，B點坐標為(4，0),OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC＝CB，AC＝2m，O點坐標為(2；0．8)。即把問題轉化為：已知拋物線過(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三點，求這個二次函數的關系式。
二次函數的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求這個二次函數的關系式，跟以前學過求一次函數的關系式一樣，關鍵是確定o、6、c，已知三點在拋物線上，所以它的坐標必須適合所求的函數關系式；可列出三個方程，解此方程組，求出三個待定系數。
解：設所求的二次函數關系式為y＝ax2＋bx＋c。
因為OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，
所以O點坐標為(2，0.8)，A點坐標為(0，0)，B點坐標為(4，0)。
由已知，函數的圖象過(0，0)，可得c＝0，又由于其圖象過(2，0.8)、(4，0)，可得到4a＋2b＝0.816＋4b＝0 解這個方程組，得a＝－15b＝45 所以，所求的二次函數的關系式為y＝－15x2＋45x。
問題3：根據這個函數關系式，畫出模板的輪廓線，其圖象是否與前面所畫圖象相同?
問題4：比較兩種建立直角坐標系的方式，你認為哪種建立直角坐標系方式能使解決問題來得更簡便?為什么?
(第一種建立直角坐標系能使解決問題來得更簡便，這是因為所設函數關系式待定系數少，所求出的函數關系式簡單，相應地作圖象也容易)
請同學們閱瀆P18例7。
三、課堂練習： P18練習1．(1)、(3)2。
四、綜合運用
例1．如圖所示，求二次函數的關系式。
分析：觀察圖象可知，A點坐標是(8，0)，C點坐標為(0，4)。從圖中可知對稱軸是直線x＝3，由于拋物線是關于對稱軸的軸對稱圖形，所以此拋物線在x軸上的另一交點B的坐標是(－2，0)，問題轉化為已知三點求函數關系式。
解：觀察圖象可知，A、C兩點的坐標分別是(8，0)、(0，4)，對稱軸是直線x＝3。因為對稱軸是直線x＝3，所以B點坐標為(－2，0)。
設所求二次函數為y＝ax2＋bx＋c，由已知，這個圖象經過點(0，4)，可以得到c＝4，又由于其圖象過(8，0)、(－2，0)兩點，可以得到64a＋8b＝－44a－2b＝－4 解這個方程組，得a＝－14b＝32
所以，所求二次函數的關系式是y＝－14x2＋32x＋4
練習： 一條拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點(0，0)與(12，0)，最高點的縱坐標是3，求這條拋物線的解析式。
五、小結：
二次函數的關系式有幾種形式，函數的關系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一種常見的形式。二次函數關系式的確定，關鍵在于求出三個待定系數a、b、c，由于已知三點坐標必須適合所求的函數關系式，故可列出三個方程，求出三個待定系數。
六、作業
1．P19習題 26．2 4．(1)、(3)、5。
2．選用課時作業優化設計，
《二次函數》教案7
一、教學目標：
1．經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系．
2．理解拋物線交x軸的點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根．
3．能夠利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根。
二、教學重點、難點：
教學重點：
1．體會方程與函數之間的聯系。
2．能夠利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根。
教學難點：
1．探索方程與函數之間關系的過程。
2．理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系。
三、教學方法：啟發引導 合作交流
四：教具、學具：課件
五、教學媒體：計算機、實物投影。
六、教學過程：
檢查預習 引出課題
預習作業：
1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.
2. 回顧一次函數與一元一次方程的關系，利用函數的圖象求方程3x-4=0的解.
師生行為：教師展示預習作業的內容，指名回答，師生共同回顧舊知，教師做出適當總結和評價。
教師重點關注：學生回答問題結論準確性，能否把前后知識聯系起來，2題的格式要規范。
設計意圖：這兩道預習題目是對舊知識的回顧，為本課的教學起到鋪墊的作用,1題中的三個方程是課本中觀察欄目中的三個函數式的變式，這三個方程把二次方程的根的三種情況體現出來，讓學生回顧二次方程的相關知識；2題是一次函數與一元一次方程的關系的問題，這題的設計是讓學生用學過的熟悉的知識類比探究本課新知識。
《二次函數》教案8
本節課在二次函數y=ax2和y=ax2+c的圖象的基礎上，進一步研究y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象，并探索它們之間的關系和各自的性質.旨在全面掌握所有二次函數的圖象和性質的變化情況.同時對二次函數的研究，經歷了從簡單到復雜，從特殊到一般的過程：先是從y=x2開始，然后是y=ax2，y=ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c.符合學生的認知特點，體會建立二次函數對稱軸和頂點坐標公式的必要性.
在教學中，主要是讓學生自己動手畫圖象，通過自己的觀察、交流、對比、概括和反思[
等探索活動，使學生達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數性質的理解.并能利用它的性質解決問題.
2.4二次函數y=ax2+bx+c的圖象(一)
教學目標
(一)教學知識點[
1.能夠作出函數y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象，并能理解它與y=ax2的圖象的關系.理解a，h，k對二次函數圖象的影響.
2.能夠正確說出y=a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
(二)能力訓練要求
1.通過學生自己的探索活動，對二次函數性質的研究，達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數性質的理解.
2.經歷探索二次函數的圖象的作法和性質的過程，培養學生的探索能力.
(三)情感與價值觀要求
1.經歷觀察、猜想、總結等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.
2.讓學生學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果.
教學重點
1.經歷探索二次函數y=ax2+bx+c的圖象的作法和性質的過程.
2.能夠作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的'圖象，并能理解它與y=ax2的圖象的關系，理解a、h、k對二次函數圖象的影響.
3.能夠正確說出y=a(x-h)2+k圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.
教學難點
能夠作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象，并能夠理解它與y=ax2的圖象的關系，理解a、h、k對二次函數圖象的影響.
教學方法
探索比較總結法.
教具準備
投影片四張
第一張：(記作2.4.1 A)
第二張：(記作2.4.1 B)
第三張：(記作2.4.1 C)
第四張：(記作2.4.1 D)
教學過程
Ⅰ.創設問題情境、引入新課
[師]我們已學習過兩種類型的二次函數，即y=ax2與y=ax2+c，知道它們都是軸對稱圖形，對稱軸都是y軸，有最大值或最小值.頂點都是原點.還知道y=ax2+c的圖象是函數y=ax2的圖象經過上下移動得到的，那么y=ax2的圖象能否左右移動呢?它左右移動后又會得到什么樣的函數形式，它又有哪些性質呢?本節課我們就來研究有關問題.
Ⅱ.新課講解
一、比較函數y=3x2與y=3(X-1)2的圖象的性質.
投影片：(2.4 A)
(1)完成下表，并比較3x2和3(x-1)2的值，
它們之間有什么關系?
X -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3x2
3(x-1)2
(2)在下圖中作出二次函數y=3(x-1)2的圖象.你是怎樣作的?
(3)函數y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?
(4)x取哪些值時，函數y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時，函數y=3(x-1)2的值隨x值的增大而減小?
[師]請大家先自己填表，畫圖象，思考每一個問題，然后互相討論，總結.
[生](1)第二行從左到右依次填：27.12，3，0，3， 12，27，48;第三行從左到右依次填48，27，12，3，0，3， 12，27.
(2)用描點法作出y=3(x-1)2的圖象，如上圖.
(3)二次函數)y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標不同，y=3(x-1)2的圖象的對稱軸是直線x=1，頂點坐標是(1，0).
(4)當x1時，函數y=3(x-1)2的值隨x值的增大而增大，x1時，y=3(x-1)2的值隨x值的增大而減小.
[師]能否用移動的觀點說明函數y=3x2與y=3(x-1)2的圖象之間的關系呢?
[生]y=3(x-1)2的圖象可以看成是函數)y=3x2的圖象整體向右平移得到的.
[師]能像上節課那樣比較它們圖象的性質嗎?
[生]相同點：
a.圖象都中拋物線，且形狀相同，開口方向相同.
b. 都是軸對稱圖形.
c.都有最小值，最小值都為0.
d.在對稱軸左側，y都隨x的增大而減小.在對稱軸右側，y都隨x的增大而增大.
不同點：
a.對稱軸不同,y=3x2的對稱軸是y軸y=3(x-1)2的對稱軸是x=1.
b. 它們的位置不問.[來源:Www.zk5u.com]
c. 它們的頂點坐標不同. y=3x2的頂點坐標為(0，0),y=3(x-1)2的頂點坐標為(1，0)，
聯系：
把函數y=3x2的圖象向右移動一個單位，則得到函數y=3(x-1)2的圖像.
二、做一做
投影片：(2.4.1 B)
在同一直角坐標系中作出函數y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象.并比較它們圖象的性質.
[生]圖象如下
它們的圖象的性質比較如下：
相同點：
a.圖象都是拋物線，且形狀相同，開口方向相同.
b. 都足軸對稱圖形，對稱軸都為x=1.
c. 在對稱軸左側，y都隨x的增大而減小，在對稱軸右側，y都隨x的增大而增大.
不同點：
a.它們的頂點不同，最值也不同.y=3(x-1)2的頂點坐標為(1.0)，最小值為0.y=3(x-1)2+2的頂點坐標為(1，2)，最小值為2.
b. 它們的位置不同.
聯系：
把函數y=3(x-1)2的圖象向上平移2個單位，就得到了函數y=3(x-1)2+2的圖象.
三、總結函數y=3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的圖象之間的關系.
[師]通過上畫的討論，大家能夠總結出這三種函數圖象之間的關系嗎?
[生]可以.
二次函數y=3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的圖象都是拋物線.并且形狀相同，開口方向相同，只是位置不同，頂點不同，對稱軸不同，將函數y=3x2的圖象向右平移1個單位，就得到函數y=3(x-1)2的圖象;再向上平移2個單位，就得到函數y=3(x-1)2+2的圖象.
[師]大家還記得y=3x2與y=3x2-1的圖象之間的關系嗎?
[生]記得，把函數y=3x2向下平移1個平位，就得到函數y=3x2-1的圖象.
[師]你能系統總結一下嗎?
[生]將函數y=3x2的圖象向下移動1個單位，就得到了函數y=3x2-1的圖象，向上移動1個單位，就得到函數y=3x2+1的圖象;將y=3x2的圖象向右平移動1個單位，就得到函數y=3(x-1)2的圖象：向左移動1個單位，就得到函數y=3(x+1)2的圖象;由函數y=3x2向右平移1個單位、再向上平移2個單位，就得到函數y=3(x-1)2+2的圖象.
[師]下面我們就一般形式來進行總結.
投影片：(2.4.1 C)
一般地，平移二次函數y=ax2的圖象便可得到二次函數為y=ax2+c，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的圖象.
(1)將y=ax2的圖象上下移動便可得到函數y=ax2+c的圖象，當c0時，向上移動，當c0時，向下移動.
(2)將函數y=ax2的圖象左右移動便可得到函數y=a(x-h)2的圖象，當h0時，向右移動，當h0時，向左移動.
(3)將函數y=ax2的圖象既上下移，又左右移，便可得到函數y=a(x-h)+k的圖象.
因此，這些函數的圖象都是一條拋物線，它們的開口方向，對稱軸和頂點坐標與a，h，k的值有關.
下面大家經過討論之后，填寫下表：
y=a(x-h)2+k 開口方向 對稱軸 頂點坐標
a0
a0
四、議一議
投影片：(2，4.1 D)
(1)二次函數y=3(x+1)2的圖象與二次函數y=3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?
(2)二次函數y=-3(x-2)2+4的圖象與二次函數y=-3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?
(3)對于二次函數y=3(x+1)2，當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而增大?當x取哪些值時，y的值隨x值的增大而減小?二次函數y=3(x+1)2+4呢?
[師]在不畫圖象的情況下，你能回答上面的問題嗎?
[生](1)二次函數y=3(x+1)2的圖象與y=3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標不同，y=3(x+1)2的圖象的對稱軸是直線x=-1，頂點坐標是(-1，0).只要將y=3x2的圖象向左平移1個單位，就可以得到y=3(x+1)2的圖象.
(2)二次函數y=-3(x-2)2+4的圖象與y=-3x2的圖象形狀相同，只是位置不同，將函數y=-3x2的圖象向右平移2個單位，就得到y=-3(x-2)2的圖象，再向上平移4個單位，就得到y=-3(x-2)2+4的圖象y=-3(x-2)2+4的圖象的對稱軸是直線x=2，頂點坐標是(2，4).
(3)對于二次函數y=3(x+1)2和y=3(x+1)2+4，它們的對稱軸都是x=-1，當x-1時，y的值隨x值的增大而減小;當x-1時，y的值隨x值的增大而增大.
Ⅲ.課堂練習
隨堂練習
Ⅳ.課時小結
本節課進一步探究了函數y=3x2與y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的圖象有什么關系，對稱軸和頂點坐標分別是什么這些問題.并作了歸納總結.還能利用這個結果對其他的函數圖象進行討論.
Ⅴ.課后作業
習題2.4
Ⅵ.活動與探究
二次函數y= (x+2)2-1與y= (x-1)2+2的圖象是由函數y= x2的圖象怎樣移動得到的?它們之間是通過怎樣移動得到的?
解：y= (x+2)2-1的圖象是由y= x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到的，y= (x-1)2+2的圖象是由y= x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的.
y= (x+2)2-1的圖象向右平移3個單位，再向上平移3個單位得到y= (x-1)2+2的圖象.
y= (x-1)2+2的圖象向左平移3個單位，再向下平移3個單位得到y= (x+2)2-1的圖象.
板書設計
4.2.1 二次函數y=ax2+bx+c的圖象(一) 一、1. 比較函數y=3x2與y=3(x-1)2的
圖象和性質(投影片2.4.1 A)
2.做一做(投影片2.4.1 B)
3.總結函數y=3x2，y=3(x-1)2y= 3(x-1)2+2的圖象之間的關系(投影片2.4.1 C)
4.議一議(投影片2.4.1 D)
二、課堂練習
1.隨堂練習
2.補充練習
三、課時小結
四、課后作業
備課資料
參考練習
在同一直角坐標系內作出函數y=- x2,y=- x2-1,y=- (x+1)2-1的圖象，并討論它們的性質與位置關系.
解：圖象略
它們都是拋物線，且開口方向都向下;對稱軸分別為y軸y軸，直線x=-1;頂點坐標分別為(0，0)，(0，-1)，(-1，-1).
y=- x2的圖象向下移動1個單位得到y=- x2-1 的圖象;y=- x2的圖象向左移動1個單位，向下移動1個單位，得到y=- (x+1)2-1的圖象.
《二次函數》教案9
教學目標：
會用待定系數法求二次函數的解析式，能結合二次函數的圖象掌握二次函數的性質，能較熟練地利用函數的性質解決函數與圓、三角形、四邊形以及方程等知識相結合的綜合題。
重點難點：
重點；用待定系數法求函數的解析式、運用配方法確定二次函數的特征。
難點：會運用二次函數知識解決有關綜合問題。
教學過程：
一、例題精析，強化練習，剖析知識點
用待定系數法確定二次函數解析式．
例：根據下列條件，求出二次函數的解析式。
（1）拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點（0，1），（1，3），（－1，1）三點。
（2）拋物線頂點P（－1，－8），且過點A（0，－6）。
（3）已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象過（3，0），（2，－3）兩點，并且以x＝1為對稱軸。
（4）已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象經過一次函數y＝－3/2x＋3的圖象與x軸、y軸的交點；且過（1，1），求這個二次函數解析式，并把它化為y＝a（x－h）2＋k的形式。
學生活動：學生小組討論，題目中的四個小題應選擇什么樣的函數解析式？并讓學生闡述解題方法。
教師歸納：二次函數解析式常用的有三種形式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
（2）頂點式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）（3）兩根式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）
當已知拋物線上任意三點時，通常設為一般式y＝ax2＋bx＋c形式。
當已知拋物線的頂點與拋物線上另一點時，通常設為頂點式y＝a（x－h）2＋k形式。
當已知拋物線與x軸的交點或交點橫坐標時，通常設為兩根式y＝a（x－x1）（x－x2）
強化練習：已知二次函數的圖象過點A（1，0）和B（2，1），且與y軸交點縱坐標為m。
（1）若m為定值，求此二次函數的解析式；
（2）若二次函數的圖象與x軸還有異于點A的另一個交點，求m的取值范圍。
二、知識點串聯，綜合應用
例：如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c過點A（－1，0），且經過直線y＝x－3與坐標軸的兩個交
《二次函數》教案10
教學目標
(一)教學知識點
1.能夠利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根.
2.進一步發展估算能力.
(二)能力訓練要求
1.經歷用圖象法求一元二次方程的近似根的過程，獲得用圖象法求方程近似根的體驗.
2.利用圖象法求一元二次方程的近似根，重要的是讓學生懂得這種求解方程的思路，體驗數形結合思想.
(三)情感與價值觀要求
通過利用二次函數的圖象估計一元二次方程的根，進一步掌握二次函數圖象與x軸的交點坐標和一元二次方程的根的關系，提高估算能力.
教學重點
1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系.
2.能夠利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根.
教學難點
利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似根.
教學方法
學生合作交流學習法.
教具準備
投影片三張
第一張：(記作§2.8.2A)
第二張：(記作§2.8.2B)
第三張：(記作§2.8.2C)
教學過程
Ⅰ.創設問題情境，引入新課
[師]上節課我們學習了二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的交點坐標和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的關系，懂得了二次函數圖象與x軸交點的橫坐標，就是y=0時的一元二次方程的根，于是，我們在不解方程的情況下，只要知道二次函數與x軸交點的橫坐標即可.但是在圖象上我們很難準確地求出方程的解，所以要進行估算.本節課我們將學習利用二次函數的圖象估計一元二次方程的根.
《二次函數》教案11
教學目標：
1、經歷描點法畫函數圖像的過程；
2、學會觀察、歸納、概括函數圖像的特征；
3、掌握 型二次函數圖像的特征；
4、經歷從特殊到一般的認識過程，學會合情推理。
教學重點：
型二次函數圖像的描繪和圖像特征的歸納
教學難點：
選擇適當的自變量的值和相應的函數值來畫函數圖像，該過程較為復雜。
教學設計：
一、回顧知識
前面我們在學習正比例函數、一次函數和反比例函數時時如何進一步研究這些函數的？ 先（用描點法畫出函數的圖像，再結合圖像研究性質。）
引入：我們仿照前面研究函數的方法來研究二次函數，先從最特殊的形式即 入手。因此本節課要討論二次函數 （ ）的圖像。
板書課題：二次函數 （ ）圖像
二、探索圖像
1、 用描點法畫出二次函數 和 圖像
（1） 列表
引導學生觀察上表，思考一下問題：
①無論x取何值，對于 來說，y的值有什么特征？對于 來說，又有什么特征？
②當x取 等互為相反數時，對應的y的值有什么特征？
（2） 描點（邊描點，邊總結點的位置特征，與上表中觀察的結果聯系起來）.
（3） 連線，用平滑曲線按照x由小到大的順序連接起來，從而分別得到 和 的圖像。
2、 練習：在同一直角坐標系中畫出二次函數 和 的圖像。
學生畫圖像，教師巡視并輔導學困生。（利用實物投影儀進行講評）
3、二次函數 （ ）的圖像
由上面的四個函數圖像概括出：
（1） 二次函數的 圖像形如物體拋射時所經過的路線，我們把它叫做拋物線，
（2） 這條拋物線關于y軸對稱，y軸就是拋物線的對稱軸。
（3） 對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點。注意：頂點不是與y軸的交點。
（4） 當 時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線上的最低點，圖像在x軸的上方(除頂點外)；當 時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線上的最高點圖像在x軸的 下方(除頂點外)。
（最好是用幾何畫板演示，讓學生加深理解與記憶）
三、課堂練習
觀察二次函數 和 的圖像
(1) 填空：
拋物線
頂點坐標
對稱軸
位 置
開口方向
(2)在同一坐標系內，拋物線 和拋物線 的位置有什么關系？如果在同一個坐標系內畫二次函數 和 的圖像怎樣畫更簡便？
(拋物線 與拋物線 關于x軸對稱，只要畫出 與 中的一條拋物線，另一條可利用關于x軸對稱來畫)
四、例題講解
例題：已知二次函數 （ ）的圖像經過點（-2，-3）。
（1） 求a 的值，并寫出這個二次函數的解析式。
（2） 說出這個二次函數圖像的頂點坐標、對稱軸、開口方向和圖像的位置。
練習：（1）課本第31頁課內練習第2題。
(2) 已知拋物線y=ax2經過點a（-2，-8）。
（1）求此拋物線的函數解析式；
（2）判斷點b（-1，- 4）是否在此拋物線上。
《二次函數》教案12
一.學習目標
1.經歷對實際問題情境分析確定二次函數表達式的過程，體會二次函數意義。
2.了解二次函數關系式，會確定二次函數關系式中各項的系數。
二.知識導學
（一）情景導學
1．一粒石子投入水中，激起的波紋不斷向外擴展，擴大的圓的面積S與半徑r之間的函數關系式是 。
2．用16米長的籬笆圍成長方形的生物園飼養小兔,怎樣圍可使小兔的活動范圍較大?
設長方形的長為x 米，則寬為 米，如果將面積記為y平方米，那么變量y與x之間的函數關系式為 .
3．要給邊長為x米的正方形房間鋪設地板，已知某種地板的價格為每平方米240元，踢腳線的價格為每米30元，如果其他費用為1000元，門寬0.8米，那么總費用y為多少元？
在這個問題中，地板的費用與 有關，為 元,踢腳線的費用與 有關，為 元；其他費用固定不變為 元，所以總費用y（元）與x（m）之間的函數關系式是 。
（二）歸納提高。
上述函數函數關系有哪些共同之處？它們與一次函數、反比例函數的關系式有什么不同？
一般地，我們稱 表示的函數為二次函數。其中 是自變量， 函數。
一般地，二次函數 中自變量x的取值范圍是 ，你能說出上述三個問題中自變量的取值范圍嗎？
（三）典例分析
例1、判斷：下列函數是否為二次函數，如果是，指出其中常數a.b.c的值.
(1) y＝1— (2)y＝x(x－5) (3)y＝ － x＋1 (4) y＝3x(2－x)＋ 3x2
(5)y＝ (6) y＝ (7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c
例2．當k為何值時，函數 為二次函數？
例3．寫出下列各函數關系，并判斷它們是什么類型的函數．
⑴正方體的表面積S（cm2）與棱長a（cm）之間的函數關系；
⑵圓的面積y（cm2）與它的周長x（cm）之間的函數關系；
⑶某種儲蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不計利息，求本息和y（元）與所存年數x之間的函數關系；
⑷菱形的兩條對角線的和為26cm，求菱形的面積S（cm2）與一對角線長x（cm）之間的函數關系．
三.鞏固拓展
1.已知函數 是二次函數，求m的值.
2. 已知二次函數 ，當x=3時，y= -5，當x= -5時，求y的值．
3.一個長方形的長是寬的1.6倍，寫出這個長方形的面積S與寬x之間函數關系式。
4.一個圓柱的高與底面直徑相等，試寫出它的表面積S與底面半徑r之間的函數關系式
5.用一根長為40 cm的鐵絲圍成一個半徑為r的扇形，求扇形的面積y與它的半徑x之間的函數關系式．這個函數是二次函數嗎？請寫出半徑r的取值范圍．
6. 一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個半圓，下部是一個矩形，矩形的一邊長2.5 m．
⑴求隧道截面的面積S（m2）關于上部半圓半徑r（m）的函數關系式；
⑵求當上部半圓半徑為2 m時的截面面積．（π取3.14，結果精確到0.1 m2）
課堂練習:
1.判斷下列函數是否是二次函數,若是,請指出它的二次項系數、一次項系數、常數項。
（1）y=2-3x2; (2)y=x2+2x3; (3)y= ; (4)y= .
2.寫出多項式的對角線的條數d與邊數n之間的函數關系式。
3.某產品年產量為30臺，計劃今后每年比上一年的產量增長x%，試寫出兩年后的產量y（臺）與x的函數關系式。
4.圓柱的高h(cm)是常量，寫出圓柱的體積v(cm3)與底面周長C(cm)之間的函數關系式。
課外作業：
A級：
1.下列函數：（1）y=3x2+ +1;(2)y= x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x- ,屬于二次函數的
是 (填序號).
2.函數y=(a-b)x2+ax+b是二次函數的條件為 .
3.下列函數關系中,滿足二次函數關系的是( )
A.圓的周長與圓的半徑之間的關系; B.在彈性限度內,彈簧的長度與所掛物體質量的關系;
C.圓柱的高一定時,圓柱的體積與底面半徑的關系;
D.距離一定時,汽車行駛的速度與時間之間的關系.
4.某超市1月份的營業額為200萬元,2、3月份營業額的月平均增長率為x，求第一季度營業額y（萬元）與x的函數關系式.
B級：
5、一塊直角三角尺的形狀與尺寸如圖，若圓孔的半徑為 ，三角尺的厚度為16，求這塊三角尺的體積V與n的函數關系式.
6.某地區原有20個養殖場，平均每個養殖場養奶牛20xx頭。后來由于市場原因，決定減少養殖場的數量，當養殖場每減少1個時，平均每個養殖場的奶牛數將增加300頭。如果養殖場減少x個，求該地區奶牛總數y（頭）與x（個）之間的函數關系式。
C級：
7.圓的半徑為2cm，假設半徑增加xcm 時，圓的面積增加到y(cm2).
(1)寫出y與x之間的函數關系式；
（2）當圓的半徑分別增加1cm、 時，圓的面積分別增加多少？
（3）當圓的面積為5πcm2時，其半徑增加了多少?
8.已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2).
(1)證明y是x的二次函數；
(2)當k=-2時，寫出y與x的函數關系式。
《二次函數》教案13
〖大綱要求〗
1． 理解二次函數的概念；
2． 會把二次函數的一般式化為頂點式，確定圖象的頂點坐標、對稱軸和開口方向，會用描點法畫二次函數的圖象；
3． 會平移二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象得到二次函數y＝a(ax＋m)2＋k的圖象，了解特殊與一般相互聯系和轉化的思想；
4． 會用待定系數法求二次函數的解析式；
5． 利用二次函數的圖象，了解二次函數的增減性，會求二次函數的圖象與x軸的交點坐標和函數的最大值、最小值，了解二次函數與一元二次方程和不等式之間的聯系，數學教案－二次函數。
內容
（1）二次函數及其圖象
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0),那么，y叫做x的二次函數。
二次函數的圖象是拋物線，可用描點法畫出二次函數的圖象。
（2）拋物線的頂點、對稱軸和開口方向
拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點是 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
20．某幢建筑物，從10米高的窗口A用水管和向外噴水，噴的水流呈拋物線（拋物線所在平面與墻面垂直，（如圖）如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面米，則水流下落點B離墻距離OB是（ ）
（A）2米 （B）3米 （C）4米 （D）5米
三．解答下列各題（21題6分，22----25每題4分，26-----28每題6分，共40分）
21．已知：直線ｙ＝ｘ＋ｋ過點A（4，－3）。（1）求ｋ的值；（2）判斷點B（－2，－6）是否在這條直線上；（3）指出這條直線不過哪個象限。
22．已知拋物線經過A（0，3），B（4,6）兩點，對稱軸為ｘ＝，
（1） 求這條拋物線的解析式；
（2） 試證明這條拋物線與X軸的兩個交點中，必有一點C，使得對于ｘ軸上任意一點D都有AC＋BC≤AD＋BD。
23．已知：金屬棒的長1是溫度ｔ的一次函數，現有一根金屬棒，在O℃時長度為200ｃｍ，溫度提高1℃，它就伸長0.002ｃｍ。
（1） 求這根金屬棒長度ｌ與溫度ｔ的函數關系式；
（2） 當溫度為100℃時，求這根金屬棒的長度；
（3） 當這根金屬棒加熱后長度伸長到201.6ｃｍ時，求這時金屬棒的溫度。
24．已知ｘ1，ｘ2，是關于ｘ的方程ｘ2－3ｘ＋ｍ＝0的兩個不同的實數根，設ｓ＝ｘ12＋ｘ22
（1） 求S關于ｍ的解析式；并求ｍ的取值范圍；
（2） 當函數值ｓ＝7時，求ｘ13＋8ｘ2的值；
25．已知拋物線ｙ＝ｘ2－（ａ＋2）ｘ＋9頂點在坐標軸上，求ａ的值。
２６、如圖，在直角梯形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｄ＝Ｒｔ∠，截取ＡＥ＝ＢＦ＝ＤＧ＝ｘ，已知ＡＢ＝６，ＣＤ＝３，ＡＤ＝４，求：
（１） 四邊形ＣＧＥＦ的面積Ｓ關于ｘ的函數表達式和Ｘ的取值范圍；
（２） 當ｘ為何值時，Ｓ的數值是ｘ的４倍。
２７、國家對某種產品的稅收標準原定每銷售１００元需繳稅８元（即稅率為８％），臺洲經濟開發區某工廠計劃銷售這種產品ｍ噸，每噸２０００元。國家為了減輕工人負擔，將稅收調整為每１００元繳稅（８－ｘ）元（即稅率為（８－ｘ）％），這樣工廠擴大了生產，實際銷售比原計劃增加２ｘ％。
（１） 寫出調整后稅款ｙ（元）與ｘ的函數關系式，指出ｘ的取值范圍；
（２） 要使調整后稅款等于原計劃稅款（銷售ｍ噸，稅率為８％）的７８％，求ｘ的值．
２８、已知拋物線ｙ＝ｘ２＋（２－ｍ）ｘ－２ｍ（ｍ≠２）與ｙ軸的交點為Ａ，與ｘ軸的交點為Ｂ，Ｃ（Ｂ點在Ｃ點左邊）
（１） 寫出Ａ，Ｂ，Ｃ三點的坐標；
（２） 設ｍ＝ａ２－２ａ＋４試問是否存在實數ａ，使△ＡＢＣ為Ｒｔ△？若存在，求出ａ的值，若不存在，請說明理由；
（３） 設ｍ＝ａ２－２ａ＋４，當∠ＢＡＣ最大時，求實數ａ的值。
習題2:
一．填空（20分）
1．二次函數=2（x - ）2 +1圖象的對稱軸是 。
2．函數y= 的自變量的取值范圍是 。
3．若一次函數y=（m-3）x+m+1的圖象過一、二、四象限，則的取值范圍是 。
4．已知關于的二次函數圖象頂點（1，-1），且圖象過點（0，-3），則這個二次函數解析式為 。
5．若y與x2成反比例，位于第四象限的一點P（a，b）在這個函數圖象上，且a,b是方程x2-x -12=0的兩根，則這個函數的關系式 。
6．已知點P（1，a）在反比例函數y= （k≠0）的圖象上，其中a=m2+2m+3（m為實數），則這個函數圖象在第 象限。
7． x,y滿足等式x= ，把y寫成x的函數 ，其中自變量x的取值范圍是 。
8．二次函數y=ax2+bx+c+（a 0）的圖象如圖，則點P（2a-3，b+2）
在坐標系中位于第 象限
9．二次函數y=（x-1）2+（x-3）2，當x= 時，達到最小值 。
10．拋物線y=x2-（2m-1）x- 6m與x軸交于（x1，0）和（x2，0）兩點，已知x1x2=x1+x2+49，要使拋物線經過原點，應將它向右平移 個單位。
二．選擇題（30分）
11．拋物線y=x2+6x+8與y軸交點坐標（ ）
（A）（0，8） （B）（0，-8） （C）（0，6） （D）（-2，0）（-4，0）
12．拋物線y=- （x+1）2+3的頂點坐標（ ）
（A）（1，3） （B）（1，-3） （C）（-1，-3） （D）（-1，3）
13．如圖，如果函數y=kx+b的圖象在第一、二、三象限，那么函數y=kx2+bx-1的圖象大致是（ ）
14．函數y= 的自變量x的取值范圍是（ ）
（A）x 2 （B）x<2 x="">- 2且x 1 （D）x 2且x –1
15．把拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得拋物線的解析式是（ ）
（A）=3（x+3）2 -2 （B）=3（x+2）2+2 （C）=3（x-3）2 -2 （D）=3（x-3）2+2
16．已知拋物線=x2+2mx+m -7與x軸的兩個交點在點（1，0）兩旁，則關于x的方程 x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情況是（ ）
（A）有兩個正根 （B）有兩個負數根 （C）有一正根和一個負根 （D）無實根
17．函數y=- x的圖象與圖象y=x+1的交點在（ ）
（A） 第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
18．如果以y軸為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c的圖象，如圖，
則代數式b+c-a與0的關系（ ）
（A）b+c-a=0 （B）b+c-a>0 （C）b+c-a<0 （D）不能確定
19．已知：二直線y=- x +6和y=x - 2，它們與y軸所圍成的三角形的面積為（ ）
（A）6 （B）10 （C）20 （D）12
20．某學生從家里去學校，開始時勻速跑步前進，跑累了后，再勻速步行余下的路程，初中數學教案《數學教案－二次函數》。下圖所示圖中，橫軸表示該生從家里出發的時間t，縱軸表示離學校的路程s，則路程s與時間t之間的函數關系的圖象大致是（ ）
三．解答題（21~23每題5分，24~28每題7分，共50分）
21．已知拋物線y=ax2+bx+c（a 0）與x軸的兩交點的橫坐標分別是-1和3，與y軸交點的縱坐標是- ；
（1）確定拋物線的解析式；
（2）用配方法確定拋物線的開口方向，對稱軸和頂點坐標。
22、如圖拋物線與直線 都經過坐標軸的正半軸上A，B兩點，該拋物線的對稱軸x=—1，與x軸交于點C,且∠ABC=90°求：
(1)直線AB的解析式；
(2)拋物線的解析式。
23、某商場銷售一批名脾襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施．經調查發現每件襯衫降價1元， 商場平均每天可多售出2件：
(1)若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫要降價多少元，
(2)每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多?
24、已知：二次函數 和 的圖象都經過x軸上兩個不同的點M、N，求a、b的值。
25、如圖，已知⊿ABC是邊長為4的正三角形，AB在x軸上，點C在第一象限，AC與y軸交于點D，點A的坐標為{—1，0)，求
(1)B，C，D三點的坐標；
(2)拋物線 經過B，C，D三點，求它的解析式；
(3)過點D作DE∥AB交過B，C，D三點的拋物線于E，求DE的長。
26 某市電力公司為了鼓勵居民用電，采用分段計費的方法計算電費：每月用電不超100度
時，按每度0．57元計費：每月用電超過100度時．其中的100度仍按原標準收費，超過部分按每度0．50元計費。
(1)設月用電x度時，應交電費y元，當x≤100和x>100時，分別寫出y關于x的函數
關系式；
(1)求證；不論m取何值，拋物線與x軸必有兩個交點，并且有一個交點是A(2，0)；
(2)設拋物線與x軸的另一個交點為B，AB的長為d，求d與m之間的函數關系式；
(3)設d=10，P(a，b)為拋物線上一點：
①當⊿AＢＰ是直角三角形時，求b的值；
②當⊿ABＰ是銳角三角形，鈍角三角形時，分別寫出b的取值范圍(第2題不要求寫出過程)
28、已知二次函數的圖象 與x軸的交點為A，B(點Ｂ在點A的右邊)，與y軸的交點為C；
(1)若⊿ABC為Rt⊿，求m的值；
(1)在⊿ABC中，若AC=ＢＣ，求sin∠ACB的值；
(3)設⊿ABC的面積為S，求當m為何值時，s有最小值．并求這個最小值。
《二次函數》教案14
一、教材分析
1．教材的地位和作用
（1）函數是初等數學中最基本的概念之一，貫穿于整個初等數學體系之中，也是實際生活中數學建模的重要工具之一，二次函數在初中函數的教學中有重要地位，它不僅是初中代數內容的引申，也是初中數學教學的重點和難點之一，更為高中學習一元二次不等式和圓錐曲線奠定基礎。在歷屆佛山市中考試題中，二次函數都是必不可少的內容。
（2）二次函數的圖像和性質體現了數形結合的數學思想，對學生基本數學思想和素養的形成起推動作用。
（3）二次函數與一元二次方程、不等式等知識的聯系，使學生能更好地將所學知識融會貫通。
2．課標要求：
①通過對實際問題情境的分析確定二次函數的表達式，并體會二次函數的意義。
②會用描點法畫出二次函數的圖象，能從圖象上認識二次函數的性質。
③會根據公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸（公式不要求記憶和推導）。
④會根據二次函數的性質解決簡單的實際問題。
3．學情分析：
（1）初三學生在新課的學習中已掌握二次函數的定義、圖像及性質等基本知識。
（2）學生的分析、理解能力較學習新課時有明顯提高。
（3）學生學習數學的熱情很高，思維敏捷，具有一定的自主探究和合作學習的能力。
（4）學生能力差異較大，兩極分化明顯。
4．教學目標
◆認知目標
(1)掌握二次函數 y=圖像與系數符號之間的關系。通過復習，掌握各類形式的二次函數解析式求解方法和思路，能夠一題多解，發散提高學生的創造思維能力。
◆能力目標
提高學生對知識的整合能力和分析能力。
◆ 情感目標
制作動畫增加直觀效果，激發學生興趣，感受數學之美。在教學中滲透美的教育，滲透數形結合的思想，讓學生在數學活動中學會感受探索與創造，體驗成功的喜悅。
5．教學重點與難點：
重點：(１)掌握二次函數y=圖像與系數符號之間的關系。
(２) 各類形式的二次函數解析式的求解方法和思路。
（３）本節課主要目的，對歷屆中考題中的二次函數題目進行類比分析，達到融會貫通的作用。
難點：(1)已知二次函數的解析式說出函數性質
(2)運用數形結合思想,選用恰當的數學關系式解決幾何問題.
二、教學方法：
1. 運用多媒體進行輔助教學，既直觀、生動地反映圖形變換，增強教學的條理性和形象性，又豐富了課堂的內容，有利于突出重點、分散難點，更好地提高課堂效率。
2．將知識點分類，讓學生通過這個框架結構很容易看出不同解析式表示的二次函數的內在聯系，讓學生形成一個清晰、系統、完整的知識網絡。
3．師生互動探究式教學，以課標為依據，滲透新的教育理念，遵循教師為主導、學生為主體的原則，結合初三學生的求知心理和已有的認知水平開展教學．形成學生自動、生生助動、師生互動，教師著眼于引導，學生著眼于探索，側重于學生能力的提高、思維的訓練。同時考慮到學生的個體差異，在教學的各個環節中進行分層施教，讓每一個學生都能獲得知識，能力得到提高。
三、學法指導：
1．學法引導
“授人之魚，不如授人之漁”在教學過程中，不但要傳授學生基本知識，還要培育學生主動思考，親自動手，自我發現等能力，增強學生的綜合素質，從而達到教學終極目標。
2．學法分析：新課標明確提出要培養“可持續發展的學生”，因此教師有組織、有目的、有針對性的引導學生并參入到學習活動中，鼓勵學生采用自主學習，合作交流的研討式學習方式，培養學生“動手”、“動腦”、“動口”的習慣與能力，使學生真正成為學習的主人。
3、設計理念：《課標》要求，對于課程實施和教學過程，教師在教學過程中應與學生積極互動、共同發展，要處理好傳授知識與培養能力的關系，關注個體差異，滿足不同學生的學習需要．”
4、設計思路：不把復習課簡單地看作知識點的復習和習題的訓練，而是通過復習舊知識，拓展學生思維，提高學生學習能力，增強學生分析問題，解決問題的能力。
四、教學過程：
1、教學環節設計：
根據教材的結構特點，緊緊抓住新舊知識的內在聯系，運用類比、聯想、轉化的思想，突破難點．
本節課的教學設計環節：
◆創設情境，引入新知 ：復習舊知識的目的是對學生新課應具備的“認知前提能力”和“情感前提特征進行檢測判斷”。學生自主完成，不僅體現學生的自主學習意識，調動學生學習積極性，也能為課堂教學掃清障礙。為了更好地理解、掌握二次函數圖像與系數之間的關系，根據不同學生的學習需要，按照分層遞進的教學原則，設計安排了6個由淺入深的題型，讓每一個學生都能為下一步的探究做好準備。
◆自主探究，合作交流：本環節通過開放性題的設置，發散學生思維，學生對二次函數的性質作出全面分析。讓學生在教師的引導下，獨立思考，相互交流，培養學生自主探索，合作探究的能力。通過學生觀察、思考、交流，經歷發現過程，加深對重點知識的理解。
◆運用知識，體驗成功：根據不同層次的學生，同時配有兩個由低到高、層次不同的鞏固性習題，體現漸進性原則，希望學生能將知識轉化為技能。讓每一個學生獲得成功，感受成功的喜悅。
安排三個層次的練習。
(一)從定義出發的簡單題目。
(二)典型例題分析，通過反饋使學生掌握重點內容。
(三)綜合應用能力提高。
既培養學生運用知識的能力，又培養學生的創新意識。引導學生對學習內容進行梳理，將知識系統化，條理化，網絡化，對在獲取新知識中體現出來的數學思想、方法、策略進行反思，從而加深對知識的理解。并增強學生分析問題，運用知識的能力。
(四)方法與小結
由總結、歸納、反思，加深對知識的理解，并且能熟練運用所學知識解決問題。
2、作業設計：(見課件)
3、板書設計：(見課件)
五、評價分析：
本節課的設計，我以學生活動為主線，通過“觀察、分析、探索、交流”等過程，讓學生在復習中溫故而知新，在應用中獲得發展，從而使知識轉化為能力。本節教學過程主要由創設情境，引入新知――合作交流；探究新知――運用知識，體驗成功；知識深化――應用提高；歸納小結――形成結構等環節構成，環環相扣，緊密聯系，體現了讓學生成為行為主體即“動手實踐、自主探索、合作交流“的《數學新課標》要求。本設計同時還注重發揮多媒體的輔助作用，使學生更好地理解數學知識；貫穿整個課堂教學的活動設計，讓學生在活動、合作、開放、探究、交流中，愉悅地參與數學活動的數學教學。
《二次函數》教案15
一、由實際問題探索二次函數
某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結600個橙子，現準備多種一些橙子樹以提高產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子.
(1) 問題中有哪些變量?其中哪些是自變量?哪些因變量
(2)假設果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹?這時平均每棵樹結多少個橙子?
(3)如果果園橙子的總產量為y個，那么請你寫出y與x之間的關系式.
果園共有(100+x)棵樹，平均每棵樹結(600-5x)個橙子，因此果園橙子的總產 量
y=(100+z)(6005x)=-5x2+100x+ 60000.
二、想一想
在上述問題中，種多少棵橙子樹，可以使果園橙子的產量最多?
我們可以列表 表示橙子的總產量隨橙子樹的增加而變化情況.你能根據 表格中的數據作出猜測嗎 ?自己試一試.
x/棵
y/個
三.做一做
銀行的儲蓄利率是隨時間的變化而變化的。也就是說，利率是一個變量.在我國利率的調整是由中國人民銀行根據國民經濟發展的情況而決定的.設人民幣一年定期儲蓄的年利率是x，一年到期后，銀行將本金和利 息自動按一年定期儲蓄轉存. 如 果存款額是100元，那么請你寫出兩年后的本息和y(元)的表 達式(不考慮利息稅).
四、二次函數的定義
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a0)的函數叫做x的二次函數(quadratic function)
注意：定義中只要求二次項系數不為零，一次項系數、常數項可以為 零。
例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函數.我們以前學過的正方形面積A與邊長a的關系A=a2， 圓面積s與半徑r的 關系s=Try2等也都是二次函數的例子.
隨堂練習
1.下列函數中(x,t是自變量)，哪些是二次 函數?
y=- +3x.y= x-x+25,y=2 + 2x,s=1+t+5t
2.圓的半徑是l㎝，假設半徑增加x㎝時，圓的面積增加y㎝.
(1)寫出y與x之間的關系表達式;
(2)當圓的半徑分別增加lcm、 ㎝、2㎝時，圓的面積增加多少?
五、課時小結
1. 經歷探索和表 示二次函數關系的過程，猜想并歸納二次函數的定義及一般形式。
2.用嘗試求值的方法解決種多少棵橙子樹，可以使果園橙子的總產量最多。
六、活動與探究
若 是二次函數，求m的值.
七、作業
習題2.1
1.物體從某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的時間t(s)的關系是：h=4.9t ， 填 表表示物體在前5s下落的高度：
t/s 1 2 3 4 5
h/m
⒉某工廠計劃為一批長方體形狀的產品涂上油漆，長方體的長和寬相等，高比長多0.5m。
(1)長方體的長和寬用x(m)表示，長方體需要涂漆的表面積S(㎡)如何表示?
(2) 如果涂漆每平方米所需要的費用是5元，油漆每個長方體所需要費用用y(元)表示，那么y的表達式是什么?
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