二次函數及其圖象和性質(學案)

　　學習內容：

　　1、二次函數的概念；

　　2、二次函數的圖象；

　　3、二次函數的性質。

　　學習要求：

　　1、理解二次函數的概念，會用描點法畫出二次函數的圖象，理解二次函數與拋物線的有關概念

　　2、通過二次函數的圖象，理解并掌握二次函數的性質，會判斷二次函數的開口方向；會求頂點坐標，

　　會判頂點坐標，對稱軸方程；會判斷并求出最大值或最小值；會判斷增減性，等等。

　　3、由圖象能確定a、b、c、△的符號，及判定。

　　學習重點：

　　二次函數的圖象和性質及運用。

　　學習難點：

　　二次函數的圖象的畫法以及理解y=a（x—h）2+h型拋物線是由拋物線y=ax2平移而得到的。

　　例題分析

　　第一階梯

　　例1、在同一坐標系中畫出下列二次函數的圖象。

　　1、 2、y=3x2

　　3、 4、y=－3x2

　　提示：

　　以上四個二次函數我們在列表時首先在所列的表正中位置選擇點（0，0），然后再在兩邊找對應的

　　點，畫好圖象后就能發現首先確定點（0，0）的重要性。

　　參考答案：

　　觀察圖象我們應掌握以下幾點。

　　二次函數的圖象是一條拋物線。

　　1、拋物線當a>0時，向上無限延伸，同時a>0，拋物線開口向上拋物線當a<0時，向上無限延伸，同時當a<0時，拋物線開口向下。

　　2、拋物線以y軸為對稱軸，由于y軸上的點的橫坐標為零，我們也說對稱軸方程為x=0。

　　3、拋物線的頂點是這樣定義：拋物線與對稱軸交點叫拋物線的頂點。所以拋物線y=ax2（a≠0）的頂點坐標為（0，0）。這就是我們在畫圖象時首先確定點（0，0）的理由，再根據拋物線關于y軸對稱，我們在確定其它點時，也選對稱的點，這樣既能減少運算量，又能使圖象畫的優美、準確。

　　4、二次函數的最大、最小值。

　　①當a>0時，拋物線開口向上，它有最底點，所以存在最小值。這個最小值就是當x取頂點橫坐標，頂點縱坐標的值就是二次函數的最小值。

　　②當a<0時，拋物線開口向下，它有最高點，所以存在最大值。這個最大值就是當x取頂點橫坐標，頂點縱坐標的值就是二次函數的最大值。

　　5、二次函數的'增、減性。

　　①當a>0時，在對稱軸左側，y隨x增大而減小；在對稱軸右側，y隨x增大而增大。

　　②當a<0時，在對稱軸左側，y隨x增大而增大；在對稱軸右側，y隨x增大而減小。

　　例2、在同一坐標系下畫出二次函數y=x2和的圖象，尋求兩條拋物線的聯系并探索拋物線與拋物線的聯系。

　　參考答案：

　　一般情況下由于（可轉化為的圖象可由函數y=x2的圖象先向左平移個單位，再向上平移個單位得到。

　　例3、畫拋物線的圖象。

　　提示：為了能更好的畫出圖象，我們對原關系式進行配方變形，即：

　　參考答案：

　　第二階梯

　　例1、分別指出下列二次函數圖象的開口方向、頂點坐標，對稱軸方程、最大或最小值。

　　提示：

　　每一個二次函數都可利用配方法將其轉化成的形式，在這種形式下比較容易解決上述問題，也可根據對二次函數一般式的研究結果直接得出結論。

　　參考答案：

　　又∵二次項系數為—2<0

　　∴拋物線開口向下，y有最大值－3

　　頂點坐標（－1，－3），對稱軸方程x=－1

　　說明：

　　通過二次函數的系數得到二次函數圖象的性質指導人們正確的作出函數圖象，體現數形結合的思想

　　方法。

　　例2、已知拋物線經過三點a（－1，0），b（6，0），c（0，－6），求二次函數的解析式。

　　參考答案：

　　解1：設所求二次函數的解析式為：

　　由已知有：

　　解得：a=1，b=－5，c=－6

　　即所求二次函數的解析式為

　　解2：由已知設所求二次函數解析式為：

　　∵函數圖象經過c（0，－6）點

　　∴－6=a（0+1）（0－6）

　　解得：a=1

　　∴所求函數解析式為

　　即：

　　例3、已知拋物線經過a（0，－1）點，且其頂點坐標為（－1，2），求二次函數的解析式。

　　提示：

　　若利用二次函數的一般式，需布列關于a、b、c的三個方程，由于頂點是很特殊的點，利用它可得到兩個方程①和②，再由已知可得第三個方程c=－1，通過解方程組可以求出解析式。但如果我們把①，②整體代入有：，問題就簡便多了。一般情況下，若已知拋物線頂點為（m，n），可將解析式設為。

　　參考答案：

　　說明：

　　當已知函數解析式形式時，先設出所求的解析式，再根據已知條件布列方程，通過解方程得到待定的系數，這種方法叫待定系數法，一般情況下解決同一個求解析式問題，待定系數越少，解題過程越簡單。另外根據已知條件布列方程（或方程組）和解方程（或方程組）是學好數學的基礎，必須熟練掌握。

　　練習題

　　1、函數中，自變量x的取值范圍是（）

　　（a）

　　（b）

　　（c）

　　（d）

　　2、二次函數的頂點關于原點對稱點的坐標是（）

　　（a）

　　（b）

　　（c）

　　（d）

　　3、函數中，自變量x的取值范圍是_______。

　　4、函數中y的最小值是_______。

　　5、已知二次函數的圖象經過a（－3，0）、b（2，0）和c（－2，－4）三點求二次函數的解析式。

　　6、已知二次函數的圖象經過a（－1，2）、b（3，2）和c（1，0）三點，求二次函數的解析式。

　　7、在△abc中，ab=ac=3，，e是bc邊上的點，ep⊥ab于p，ef∥ab交ac于f，設bp=x，

　　梯形apef的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍。

　　參考答案：

　　1、c

　　2、d

　　3、全體實數

　　4、0

　　5、答案：

　　6、提示1：用一般式解方程

　　提示2：由于a（－1，2）和b（3，2）關于直線x=1對稱，故x=1是拋物線對稱軸，又過c（1，0），

　　故c為拋物線頂點可設拋物線方程為，最終求出解析式為

　　7、答案：