數學立方根教案
立方根
●教學目標
(一)教學知識點
1.了解立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根.
2.能用立方運算求某些數的立方根，了解開立方與立方互為逆運算.
3.了解立方根的性質.
4.區分立方根與平方根的不同.
(二)能力訓練要求
1.在學了平方根的基礎上，要求學生能用類比的方法學習立方根的有關知識，領會類比思想.
2.發展學生的求同求異思維，使他們能在復雜環境中明辨是非.
(三)情感與價值觀要求
當今社會是科學飛速發展、信息千變萬化的時代，每一個人都不可能把一生中要接觸的知識全部學會，因此讓他們會學知識比學會知識更重要，這就要從小培養良好的學習習慣，能自己解決的問題就自己解決，其中類比的學習方法就是一種重要的學習方法，本節課重點訓練學生的類比思想的養成.
●教學重點
立方根的概念.
●教學難點
1.正確理解立方根的概念.
2.會求一個數的立方根.
3.區分立方根與平方根的不同之處.
●教學方法
類比學習法.
●教具準備
投影片兩張：
第一張：平方根與立方根的聯系與區別(記作2.3 A);
第二張：補充練習(記作2.3 B).
●教學過程
�、�.新課導入
上節課我們學習了平方根的定義，若x2=a，則x叫a的平方根，即x= .
若正方體的棱長為a，體積為8，根據正方體體積的公式得a3=8，那a叫8的什么呢?本節課請大家根據上節課的內容自己來類推出結論，若x3=a，則x叫a的什么呢?
�、�.新課講解
1.[師]請大家先回憶平方根的定義.
[生]若一個數x的平方等于a，即x2=a，則x叫a的平方根.
[師]在平方根定義的基礎上，若x3=a，則x叫a的什么呢?請大家自己猜想然后討論得出結果.
[生]因為x2=a，x叫a的平方根，所以當x的立方等于a時，x叫a的立方根.
[師]當x4=a時，x叫a的什么根呢?
[生]當x的4次方等于a時，x叫a的4次方根.
[師]大家應為這位同學的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根據平方根的寫法來類推立方根的記法呢?
[生]能.若x的平方等于a，則x叫a的平方根，記作x= ，讀作x等于正、負二次根號a，簡稱為x等于正，負根號a.若x的立方等于a，則x叫a的立方根，記作x= ，讀作x等于正、負三次根號a，簡稱x等于正、負根號a.
[師]請大家對這位同學的回答展開討論，小組總結后選代表發言.
[生甲]我認為這位同學回答得不對.如果x2=a，則x= ，x3=a時，x= 也成立的話，那如何區分平方根與立方根呢?
[生乙]因為乘方與開方是互為逆運算，求立方根可通過逆運算立方來求，如x3=8，因為23=8，所以x=2，只有一個根而不是2，所以立方根的個數不正確.
[師]大家的分析非常有道理，請認真看書第13、14頁可知，若一個數x的立方等于a，即x3=a，那么這個數x就叫做a的立方根(cube root;也叫三次方根)如2是8的立方根，記為x= ，讀作x等于三次根號a.
開立方的定義
[師]大家先回憶開平方的定義，再類推開立方的定義.
[生]求一個數a的平方根的運算，叫做開平方，則求一個數a的立方根的運算，叫做開立方，其中a叫做被開方數.
(2)立方根的性質
[師]2的立方等于多少?是否有其他的數，它的立方也是8?
[生]2的立方等于8，(-2)3=-8，所以沒有其他的數的立方等于8.
[師]-3的立方等于多少?是否有其他的數，它的立方也是-27?
[生]-3的立方等于-27，33=27，所以沒有其他的數的立方等于-27.
[師]0的立方等于多少?0有幾個立方根?
[生]0的立方等于0，0有1個立方根是0.
[師]從剛才的討論中，大家總結一下正數有幾個立方根?0有幾個立方根?負數有幾個立方根?
[生]正數有一個立方根，0有一個立方根是0，負數有一個立方根.
[師]對.正數有一個正的立方根、負數有一個負的立方根，0的立方根有一個，是0.
(3)平方根與立方根的區別與聯系.
[師]我們已經學習了平方根與立方根的定義，并會求某些數的平方根和立方根，下面請大家說說它們的聯系與區別.
[生]從定義來看，若一個數x的平方等于a，即x2=a，則x叫a的平方根;若一個數x的立方等于a，即x3=a，則x叫a的立方根，都是一個數x的乘方等于a，但一個是平方，另一個是立方.
[生]一個正數的平方根有兩個，一個負數沒有平方根，零的平方根有一個是零;一個正數的立方根有一個，并且是正數，一個負數有一個負的立方根，零的立方根有一個是零.
[生]它們的表示方法和讀法不同，一個正數a的平方根表示為 ，立方根表示為 .
[師]很好.大家現在已經具備了一定的分析判斷能力，這對大家以后的學習和工作非常有幫助，繼續發揚下去，你們都將前途無量，下面我再系統地總結一下.
投影片：(2.3 A)
平方根與立方根的聯系與區別.
聯系：
(1)0的平方根、立方根都有一個是0.
(2)平方根、立方根都是開方的結果.
區別：
(1)定義不同：如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根如果一個數的立方等于a，這個數就叫做a的立方根.
(2)個數不同：一個正數有兩個平方根，一個正數有一個立方根;一個負數沒有平方根，一個負數有一個立方根.
(3)表示法不同
正數a的平方根表示為 ，a的立方根表示為 .
(4)被開方數的取值范圍不同
中的被開方數a是非負數; 中的被開方數可以是任何數.
2.例題講解
[例1]求下列各數的立方根：
(1)-27;(2) ;(3)0.216;(4)-5.
解：(1)因為(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，即 =-3;
(2)因為( )3= ，所以 的立方根是 ，即 = ;
(3)因為0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即 =0.6;
(4)-5的立方根是 .
[師]請大家思考下列問題.
表示a的立方根，則( )3等于什么? 等于什么?
大家可以先舉例后找規律.
[生]∵23=8， =2，( )3=8;
∵(-2)3=-8，
=-2;( )3=-8;
∵( )3= ，
∵(- )3=- ，
( )3=a.
[師]若x3=a，則x= ，x3=( )3=a.
( )3=a.
又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以 =a.下面就這兩個式子進行練習.
[例2]求下列各式的值：
(1) ;(2) ;(3)- ;(4)( )3
解：(1) = =-2;
(2) = ;
(3) = ;
(4)( )3=9.
�、�.課堂練習
(一)隨堂練習
1.求下列各式的值：
解： ;
2.一個正方體，它的體積是棱長為3厘米的正方體體積的8倍，這個正方體的棱長是多少?
解：設正方體的'棱長是x厘米，得
x3=833
x3=216
x=6(厘米)
答：這個正方體的棱長是6厘米.
(二)補充練習
投影片：(2.3 B)
1.求下列各數的立方根：
0，1，- ，6，- ，0.001
2.求下列各式的值：
3.下列說法對不對?
-4沒有立方根;
1的立方根是
的立方根是 ;
-5的立方根是- ;
64的算術平方根是8.
1.解：因為03=0，所以0的立方根為0.
即 =0;
因為13=1，所以1的立方根為1.
即 =1;
因為 的立方根為 .
即 ;
6的立方根為 ;
∵- 的立方根為- ，即 ;
∵0.13=0.001，所以0.001的立方根為0.1，即 =0.1.
2.解： ;
3.答案：錯.因為負數也有立方根;
錯.因為1的立方根是1;
錯. 的立方根是 ，平方根是
對.-5的立方根是 ，- ;
對.
Ⅳ.議一議
1.某化工廠使用一種球形儲氣罐儲藏氣體.現在要造一個新的球形儲氣罐，如果它的體積是原來的8倍，那么它的半徑是原儲氣罐半徑的多少倍?
解：設原來的球形儲氣罐的半徑為r1，后來的儲氣罐的半徑為r2，由球體積公式V= r3得
8r13= r23
8r13=r23
(2r1)3=r23
r2=2r1
即新儲氣罐的半徑是舊儲氣罐半徑的2倍.
2.一個正方體的體積變為原來的n倍，它的棱長變為原來的多少倍?
解：設原正方體的棱長為a，后來的正方體的棱長為b，得
na3=b3
b= .
即后來的棱長變為原來的 倍.
Ⅴ.課時小結
本節課學了如下內容：
1.立方根的定義.
2.立方根的性質.
3.開立方的定義.
4.平方根與立方根的區別與聯系.
5.會求一個數的立方根.
�、�.課后作業
習題2.5.
�、�.活動與探究
1.求下列各式中的x.
(1)8x3+27=0;
(2)(x-1)3-0.343=0;
(3)81(x+1)4=16;
(4)32x5-1=0.
分析：先把每一個式子都化成x3= 的形式，然后再根據平方根或立方根的定義來求，
解：(1)由8x3+27=0.8x3=-27
x3=
(2)由(x-1)3-0.343=0
(x-1)3=0.343
x-1= =0.7
x=1.7;
(3)由81(x+1)4=16
(x+1)4=
x+1=
x= -1x=- 或x=- ;
(4)由32x5-1=0
x5=
x= .
2.求滿足 +1=x的x的值.
解： =x-1
x-1=-1或x-1=0或x-1=1
x=0或x=1或x=2
3.計算
(1)- ;
(2) .
解：(1) ;
(2)
=- .
●板書設計
2.3 立方根
一、(1)立方根開立方的定義
(2)立方根的性質
(3)立方根與平方根的聯系與區別
二、例題講解(求立方根)
三、練習
四、議一議
五、小結
六、作業
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