高一數學知識點總結(合集15篇)
總結是對過去一定時期的工作、學習或思想情況進行回顧、分析，并做出客觀評價的書面材料，它可以明確下一步的工作方向，少走彎路，少犯錯誤，提高工作效益，不如靜下心來好好寫寫總結吧。那么如何把總結寫出新花樣呢？下面是小編整理的高一數學知識點總結，僅供參考，歡迎大家閱讀。
高一數學知識點總結1
集合的有關概念
1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件
2)集合的.表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類：有限集，無限集，空集。
4)常用數集：N，Z，Q，R，N
子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念
1)子集：若對x∈A都有x∈B，則AB(或AB);
2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或，且)
3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}
4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}
5)補集：CUA={x|xA但x∈U}
注意：A，若A≠?，則?A;
若且，則A=B(等集)
集合與元素
掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1)與、?的區別;(2)與的區別;(3)與的區別。
子集的幾個等價關系
①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;
④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。
交、并集運算的性質
①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;
③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;
有限子集的個數：
設集合A的元素個數是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。
練習題：
已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，則M,N,P滿足關系()
A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM
分析一：從判斷元素的共性與區別入手。
解答一：對于集合M：{x|x=,m∈Z};對于集合N：{x|x=,n∈Z}
對于集合P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數，而6m+1表示被6除余1的數，所以MN=P，故選B。
高一數學知識點總結2
圓的方程定義：
圓的標準方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三個參數a、b、r，即圓心坐標為（a，b），只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定，因此確定圓方程，須三個獨立條件，其中圓心坐標是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。
直線和圓的位置關系：
1、直線和圓位置關系的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關系。
①Δ>0，直線和圓相交、②Δ=0，直線和圓相切、③Δ<0，直線和圓相離。
方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較。
①dR，直線和圓相離、
2、直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程、求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況。
3、直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題。
切線的性質
⑴圓心到切線的距離等于圓的半徑；
⑵過切點的半徑垂直于切線；
⑶經過圓心，與切線垂直的直線必經過切點；
⑷經過切點，與切線垂直的'直線必經過圓心；
當一條直線滿足
（1）過圓心；
（2）過切點；
（3）垂直于切線三個性質中的兩個時，第三個性質也滿足。
切線的判定定理
經過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線長定理
從圓外一點作圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角。
高一數學知識點總結3
集合的運算
運算類型交 集并 集補 集
定義域 R定義域 R
值域＞0值域＞0
在R上單調遞增在R上單調遞減
非奇非偶函數非奇非偶函數
函數圖象都過定點（0，1）函數圖象都過定點（0，1）
注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，則 ； 取遍所有正數當且僅當 ；
（3）對于指數函數 ，總有 ；
二、對數函數
（一）對數
1．對數的概念：
一般地，如果 ，那么數 叫做以 為底 的對數，記作： （ — 底數， — 真數， — 對數式）
說明：○1 注意底數的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意對數的書寫格式．
兩個重要對數：
○1 常用對數：以10為底的對數 ；
○2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 ．
指數式與對數式的互化
冪值 真數
＝ N ＝ b
底數
指數 對數
（二）對數的運算性質
如果 ，且 ， ， ，那么：
○1 ＋ ；
○2 － ；
○3 ．
注意：換底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）．
利用換底公式推導下面的結論：（1） ；（2） ．
（3）、重要的公式 ①、負數與零沒有對數； ②、 ， ③、對數恒等式
（二）對數函數
1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．
注意：○1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．
○2 對數函數對底數的限制： ，且 ．
2、對數函數的性質：
a>10 定義域x＞0定義域x＞0 值域為R值域為R 在R上遞增在R上遞減 函數圖象都過定點（1，0）函數圖象都過定點（1，0） （三）冪函數 1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 為常數． 2、冪函數性質歸納． （1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）； （2） 時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間 上是增函數．特別地，當 時，冪函數的圖象下凸；當 時，冪函數的圖象上凸； （3） 時，冪函數的圖象在區間 上是減函數．在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨于 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸． 第四章 函數的應用 一、方程的根與函數的零點 1、函數零點的概念：對于函數 ，把使 成立的實數 叫做函數 的零點。 2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標。 即：方程 有實數根 函數 的.圖象與 軸有交點 函數 有零點． 3、函數零點的求法： ○1 （代數法）求方程 的實數根； ○2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點． 4、二次函數的零點： 二次函數 ． （1）△＞０，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點． （2）△＝０，方程 有兩相等實根，二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點． （3）△＜０，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點． 5.函數的模型 一、集合有關概念 1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。 2、集合的中元素的三個特性： 1.元素的確定性;2.元素的互異性;3.元素的無序性 說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。 (2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。 (3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。 (4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。 3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的'籃球隊員},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法：列舉法與描述法。 二、集合間的基本關系 1.“包含”關系—子集 注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA 2.“相等”關系(5≥5，且5≤5，則5=5) 實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同” 結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B ①任何一個集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同時BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ 規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的運算 1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集. 記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}. 2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}. 3、交集與并集的性質：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A. 1、集合的概念 集合是集合論中的不定義的原始概念，教材中對集合的概念進行了描述性說明：“一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合(或集)”。理解這句話，應該把握4個關鍵詞：對象、確定的、不同的、整體。 對象――即集合中的元素。集合是由它的元素確定的。 整體――集合不是研究某一單一對象的，它關注的是這些對象的全體。 確定的――集合元素的確定性――元素與集合的“從屬”關系。 不同的――集合元素的互異性。 2、有限集、無限集、空集的意義 有限集和無限集是針對非空集合來說的。我們理解起來并不困難。 我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記做Φ。理解它時不妨思考一下“0與Φ”及“Φ與{Φ}”的關系。 幾個常用數集N、N_N+、Z、Q、R要記牢。 3、集合的表示方法 (1)列舉法的表示形式比較容易掌握，并不是所有的集合都能用列舉法表示，同學們需要知道能用列舉法表示的三種集合： ①元素不太多的有限集，如{0，1，8} ②元素較多但呈現一定的規律的'有限集，如{1，2，3，…，100} ③呈現一定規律的無限集，如{1，2，3，…，n，…} ●注意a與{a}的區別 ●注意用列舉法表示集合時，集合元素的“無序性”。 (2)特征性質描述法的關鍵是把所研究的集合的“特征性質”找準，然后適當地表示出來就行了。但關鍵點也是難點。學習時多加練習就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=x2}，{y|y=x2}，{(x，y)|y=x2}是三個不同的集合。 4、集合之間的關系 ●注意區分“從屬”關系與“包含”關系 “從屬”關系是元素與集合之間的關系。 “包含”關系是集合與集合之間的關系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，學會正確使用“”等符號，會用Venn圖描述集合之間的關系是基本要求。 ●注意辨清Φ與{Φ}兩種關系。 圓錐曲線性質： 一、圓錐曲線的定義 1.橢圓：到兩個定點的距離之和等于定長(定長大于兩個定點間的距離)的`動點的軌跡叫做橢圓. 2.雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值(定值小于兩個定點的距離)的動點軌跡叫做雙曲線.即. 3.圓錐曲線的統一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線.當01時為雙曲線. 二、圓錐曲線的方程 1.橢圓：+ =1(a>b>0)或 + =1(a>b>0)(其中,a2=b2+c2) 2.雙曲線：- =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0)(其中,c2=a2+b2) 3.拋物線：y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0) 三、圓錐曲線的性質 1.橢圓：+ =1(a>b>0) (1)范圍：|x|≤a,|y|≤b(2)頂點：(±a,0),(0,±b)(3)焦點：(±c,0)(4)離心率：e= ∈(0,1)(5)準線：x=± 2.雙曲線：- =1(a>0,b>0)(1)范圍：|x|≥a,y∈R(2)頂點：(±a,0)(3)焦點：(±c,0)(4)離心率：e= ∈(1,+∞)(5)準線：x=± (6)漸近線：y=± x 3.拋物線：y2=2px(p>0)(1)范圍：x≥0,y∈R(2)頂點：(0,0)(3)焦點：( ,0)(4)離心率：e=1(5)準線：x=- 一、函數的概念與表示 1、映射 (1)映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應(包括集合A、B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。 注意點：(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射 2、函數 構成函數概念的`三要素 ①定義域②對應法則③值域 兩個函數是同一個函數的條件：三要素有兩個相同 二、函數的解析式與定義域 1、求函數定義域的主要依據： (1)分式的分母不為零; (2)偶次方根的被開方數不小于零，零取零次方沒有意義; (3)對數函數的真數必須大于零; (4)指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1; 三、函數的值域 1求函數值域的方法 ①直接法：從自變量x的范圍出發，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復合函數; ②換元法：利用換元法將函數轉化為二次函數求值域，適合根式內外皆為一次式; ③判別式法：運用方程思想，依據二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式; ④分離常數：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖); ⑤單調性法：利用函數的單調性求值域; ⑥圖象法：二次函數必畫草圖求其值域; ⑦利用對號函數 ⑧幾何意義法：由數形結合，轉化距離等求值域。主要是含絕對值函數 四.函數的奇偶性 1.定義:設y=f(x)，x∈A，如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為偶函數。 如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為奇 函數。 2.性質： ①y=f(x)是偶函數y=f(x)的圖象關于軸對稱,y=f(x)是奇函數y=f(x)的圖象關于原點對稱, ②若函數f(x)的定義域關于原點對稱，則f(0)=0 ③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數的定義域D1，D2，D1∩D2要關于原點對稱] 3.奇偶性的判斷 ①看定義域是否關于原點對稱②看f(x)與f(-x)的關系 五、函數的單調性 1、函數單調性的定義： 2設是定義在M上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相反，則在M上是減函數;若f(x)與g(x)的單調性相同，則在M上是增函數。 棱錐 棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐 棱錐的的性質： (1)側棱交于一點。側面都是三角形 (2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方 正棱錐 正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。 正棱錐的性質： (1)各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的.高相等，它叫做正棱錐的斜高。 (3)多個特殊的直角三角形 esp： a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。 b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。 數學是利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。小編準備了高一數學必修1期末考知識點，希望你喜歡。 一、集合有關概念 1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素. 2、集合的中元素的三個特性： 1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性 說明：(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素. (2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素. (3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣. (4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性. 3、集合的表示：{ } 如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法：列舉法與描述法. 注意啊：常用數集及其記法： 非負整數集(即自然數集)記作：N 正整數集 N*或N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R 關于屬于的概念 集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如：a是集合A的元素,就說a屬于集合A 記作 aA ,相反,a不屬于集合A 記作 a?A 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上. 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合的方法.用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法. ①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②數學式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32} 4、集合的分類： 1.有限集 含有有限個元素的集合 2.無限集 含有無限個元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝ 二、集合間的基本關系 1.包含關系子集 注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A 2.相等關系(55,且55,則5=5) 實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} 元素相同 結論：對于兩個集合A與B,如果集合A的.任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即：A=B ① 任何一個集合是它本身的子集.AA ②真子集:如果AB,且A1 B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB 同時 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為 規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集. 三、集合的運算 1.交集的定義：一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集. 記作AB(讀作A交B),即AB={x|xA,且xB}. 2、并集的定義：一般地,由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作：AB(讀作A并B),即AB={x|xA,或xB}. 3、交集與并集的性質：AA = A, A=, AB = BA,AA = A, A= A ,AB = BA. 4、全集與補集 (1)補集：設S是一個集合,A是S的一個子集(即 ),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集) (2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集.通常用U來表示. (3)性質：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA) ⑶(CUA)A=U 歸納1 1、“包含”關系—子集 注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。 反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA 2、“相等”關系（5≥5，且5≤5，則5=5） 實例：設A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同” 結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時，集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B ①任何一個集合是它本身的子集。AíA ②真子集：如果AíB，且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA） ③如果AíB，BíC，那么AíC ④如果AíB同時BíA那么A=B 3、不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ 規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 歸納2 形如y=k/x（k為常數且k≠0）的函數，叫做反比例函數。 自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。 反比例函數圖像性質： 反比例函數的圖像為雙曲線。 由于反比例函數屬于奇函數，有f（—x）=—f（x），圖像關于原點對稱。 另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。 上面給出了k分別為正和負（2和—2）時的函數圖像。 當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數 當K<0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數 反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。 知識點： 1、過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。 2、對于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數（即y=k/（x±m）m為常數），就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數時向左平移，減一個數時向右平移） 歸納3 方程的根與函數的零點 1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。 2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點。 3、函數零點的求法： （1）（代數法）求方程的實數根； （2）（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的.性質找出零點。 4、二次函數的零點： （1）△>0，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點。 （2）△=0，方程有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點。 （3）△<0，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點。 歸納3 形如y=k/x（k為常數且k≠0）的函數，叫做反比例函數。 自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。 反比例函數圖像性質： 反比例函數的圖像為雙曲線。 由于反比例函數屬于奇函數，有f（—x）=—f（x），圖像關于原點對稱。 另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。 如圖，上面給出了k分別為正和負（2和—2）時的函數圖像。 當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數 當K<0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數 反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。 知識點： 1、過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。 2、對于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數（即y=k/（x±m）m為常數），就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數時向左平移，減一個數時向右平移） 歸納4 冪函數的性質： 對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性： 首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^（p/q）=q次根號（x的p次方），如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞）。當指數n是負整數時，設a=—k，則x=1/（x^k），顯然x≠0，函數的定義域是（—∞，0）∪（0，+∞）、因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道： 排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實數； 排除了為0這種可能，即對于x<0x="">0的所有實數，q不能是偶數； 排除了為負數這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數，a就不能是負數。 總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數，則函數的定義域為大于0的所有實數； 如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小于0，這時函數的定義域為大于0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等于0的所有實數。 在x大于0時，函數的值域總是大于0的實數。 在x小于0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。 而只有a為正數，0才進入函數的值域。 由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況、 可以看到： （1）所有的圖形都通過（1，1）這點。 （2）當a大于0時，冪函數為單調遞增的，而a小于0時，冪函數為單調遞減函數。 （3）當a大于1時，冪函數圖形下凹；當a小于1大于0時，冪函數圖形上凸。 （4）當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。 （5）a大于0，函數過（0，0）；a小于0，函數不過（0，0）點。 （6）顯然冪函數無界。 解題方法：換元法 解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這種方法叫換元法，換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。 換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。 它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。 二次函數 I.定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax^2+bx+c (a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.) 則稱y為x的二次函數。 二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。 II.二次函數的三種表達式 一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0) 頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)] 交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線] 注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系： h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a III.二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的`圖像是一條拋物線。 IV.拋物線的性質 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。 特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0) 2.拋物線有一個頂點P，坐標為 P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a) 當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。 3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。 當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。 一：函數及其表示 知識點詳解文檔包含函數的概念、映射、函數關系的判斷原則、函數區間、函數的三要素、函數的定義域、求具體或抽象數值的函數值、求函數值域、函數的表示方法等 1. 函數與映射的區別： 2. 求函數定義域 常見的用解析式表示的函數f(x)的定義域可以歸納如下： ①當f(x)為整式時，函數的定義域為R. ②當f(x)為分式時，函數的定義域為使分式分母不為零的實數集合。 ③當f(x)為偶次根式時，函數的定義域是使被開方數不小于0的實數集合。 ④當f(x)為對數式時，函數的定義域是使真數為正、底數為正且不為1的實數集合。 ⑤如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合，即求各部分有意義的實數集合的交集。 ⑥復合函數的定義域是復合的各基本的函數定義域的交集。 ⑦對于由實際問題的背景確定的函數，其定義域除上述外，還要受實際問題的'制約。 3. 求函數值域 (1)、觀察法：通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域; (2)、配方法;如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式，那么將這個函數的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數的值域; (3)、判別式法： (4)、數形結合法;通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域; (5)、換元法;以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域; (6)、利用函數的單調性;如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那么就可以利用端點的函數值來求出值域; (7)、利用基本不等式：對于一些特殊的分式函數、高于二次的函數可以利用重要不等式求出函數的值域; (8)、最值法：對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域; (9)、反函數法：如果函數在其定義域內存在反函數，那么求函數的值域可以轉化為求反函數的定義域。 內容子交并補集，還有冪指對函數。性質奇偶與增減，觀察圖象最明顯。 復合函數式出現，性質乘法法則辨，若要詳細證明它，還須將那定義抓。 指數與對數函數,初中學習方法，兩者互為反函數。底數非1的正數，1兩邊增減變故。 函數定義域好求。分母不能等于0，偶次方根須非負，零和負數無對數; 正切函數角不直，余切函數角不平;其余函數實數集，多種情況求交集。 兩個互為反函數，單調性質都相同;圖象互為軸對稱，Y=X是對稱軸; 求解非常有規律，反解換元定義域;反函數的定義域，原來函數的值域。 冪函數性質易記，指數化既約分數;函數性質看指數，奇母奇子奇函數， 奇母偶子偶函數，偶母非奇偶函數;圖象第一象限內，函數增減看正負。 形如y=k/x(k為常數且k≠0)的函數，叫做反比例函數。 自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。 反比例函數圖像性質： 反比例函數的圖像為雙曲線。 由于反比例函數屬于奇函數，有f(-x)=-f(x)，圖像關于原點對稱。 另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線,高中地理，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為?k?。 如圖，上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函數圖像。 當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數 當K<0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數 反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。 知識點： 1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的.垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為k。 2.對于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數(即y=k/(x±m)m為常數)，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數時向左平移，減一個數時向右平移) 函數圖象知識歸納 (1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的函數C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上. (2)畫法 A、描點法： B、圖象變換法 常用變換方法有三種 1)平移變換 2)伸縮變換 3)對稱變換 4.高中數學函數區間的概念 (1)函數區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間 (2)無窮區間 5.映射 一般地，設A、B是兩個非空的`函數，如果按某一個確定的對應法則f，使對于函數A中的任意一個元素x，在函數B中都有確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從函數A到函數B的一個映射。記作“f(對應關系)：A(原象)B(象)” 對于映射f：A→B來說，則應滿足： (1)函數A中的每一個元素，在函數B中都有象，并且象是的; (2)函數A中不同的元素，在函數B中對應的象可以是同一個; (3)不要求函數B中的每一個元素在函數A中都有原象。 6.高中數學函數之分段函數 (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。 (2)各部分的自變量的取值情況. (3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集. 補充：復合函數 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。 1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域. 注意：2如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;3函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式. 定義域補充 能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開方數不小于零;(3)對數式的真數必須大于零;(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零(6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義. 構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域 再注意：(1)構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致(兩點必須同時具備) 值域補充 (1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域.(2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。 3.函數圖象知識歸納 (1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的.點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象. C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A} 圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。 (2)畫法 A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來. B、圖象變換法(請參考必修4三角函數) 常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換 (3)作用： 1、直觀的看出函數的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。 【高一數學知識點總結】相關文章： 高一數學函數的知識點總結05-28 高一數學知識點總結11-09 高一數學必修知識點總結08-01 高一數學必修知識點總結12-15 高一數學集合知識點總結12-01 高一數學必修知識點總結08-30 高一數學知識點總結06-06 高一數學函數知識點總結12-01 高一數學的知識點歸納總結07-11 高一數學知識點總結06-10高一數學知識點總結4
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