高中導數知識點總結

時間：2024-05-22 13:16:28 秀雯總結我要投稿

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高中導數知識點總結

　　在我們平凡無奇的學生時代，大家都沒少背知識點吧？知識點是傳遞信息的基本單位，知識點對提高學習導航具有重要的作用。哪些才是我們真正需要的知識點呢？以下是小編為大家收集的高中導數知識點總結，僅供參考，大家一起來看看吧。

高中導數知識點總結

　　導數的定義：

　　當自變量的增量Δx=x-x0，Δx→0時函數增量Δy=f(x)- f(x0)與自變量增量之比的極限存在且有限，就說函數f在x0點可導，稱之為f在x0點的導數(或變化率)。

　　函數y=f(x)在x0點的導數f(x0)的幾何意義：表示函數曲線在P0[x0，f(x0)] 點的切線斜率(導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率)。

　　一般地，我們得出用函數的導數來判斷函數的增減性(單調性)的法則：設y=f(x )在(a，b)內可導。如果在(a，b)內，f(x)>0，則f(x)在這個區間是單調增加的(該點切線斜率增大，函數曲線變得“陡峭”，呈上升狀)。如果在(a，b)內，f(x)<0，則f(x)在這個區間是單調減小的。所以，當f(x)=0時，y=f(x )有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值

　　求導數的步驟：

　　求函數y=f(x)在x0處導數的步驟：

　　① 求函數的增量Δy=f(x0+Δx)—f(x0)

　　② 求平均變化率

　　③ 取極限，得導數。

　　導數公式：

　　① C=0(C為常數函數)；

　　② (x^n)= nx^(n—1) (n∈Q*)；熟記1/X的導數

　　③ (sinx) = cosx； (cosx) = — sinx； (tanx)=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 —(cotx)=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)=tanxsecx (cscx)=—cotxcscx (arcsinx)=1/(1—x^2)^1/2 (arccosx)=—1/(1—x^2)^1/2 (arctanx)=1/(1+x^2) (arccotx)=—1/(1+x^2) (arcsecx)=1/(|x|(x^2—1)^1/2) (arccscx)=—1/(|x|(x^2—1)^1/2)

　　④ (sinhx)=hcoshx (coshx)=—hsinhx (tanhx)=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)=—1/(sinhx)^2=—(cschx)^2 (sechx)=—tanhxsechx (cschx)=—cothxcschx (arsinhx)=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)=1/(x^2—1)^1/2 (artanhx)=1/(x^2—1) (|x|<1) xlna="">0，那么函數y=f(x)在這個區間內單調遞增；如果f(x)<0，那么函數y=f(x)在這個區間內單調遞減。>0是f(x)在此區間上為增函數的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在R內是增函數，但x=0時f(x)=0。也就是說，如果已知f(x)為增函數，解題時就必須寫f(x)≥0。

　　(2)求函數單調區間的步驟(不要按圖索驥緣木求魚這樣創新何言？

　　1、定義最基礎求法

　　2、復合函數單調性)

　　①確定f(x)的定義域；

　　②求導數；

　　③由(或)解出相應的x的范圍。

　　當f(x)>0時，f(x)在相應區間上是增函數；當f(x)<0時，f(x)在相應區間上是減函數。

　　2.函數的極值

　　(1)函數的極值的判定

　　①如果在兩側符號相同，則不是f(x)的極值點；

　　②如果在附近的左右側符號不同，那么，是極大值或極小值。

　　3.求函數極值的步驟

　　①確定函數的定義域；

　　②求導數；

　　③在定義域內求出所有的駐點與導數不存在的點，即求方程及的所有實根；

　　④檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值。

　　4.函數的最值

　　(1)如果f(x)在[a，b]上的最大值(或最小值)是在(a，b)內一點處取得的，顯然這個最大值(或最小值)同時是個極大值(或極小值)，它是f(x)在(a，b)內所有的極大值(或極小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在[a，b]的端點a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念。

　　(2)求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟

　　①求f(x)在(a，b)內的極值；

　　②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。

　　5.生活中的優化問題

　　生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優化問題，優化問題也稱為最值問題。解決這些問題具有非常現實的意義。這些問題通常可以轉化為數學中的函數問題，進而轉化為求函數的最大(小)值問題。

　　求導數的方法

　　（1）基本求導公式

　　（2）導數的四則運算

　　（3）復合函數的導數

　　設在點x處可導，y=在點處可導，則復合函數在點x處可導，且即

　　關于極限

　　1、數列的極限：

　　粗略地說，就是當數列的項n無限增大時，數列的項無限趨向于A，這就是數列極限的描述性定義。記作：=A。如：

　　2、函數的極限：

　　當自變量x無限趨近于常數時，如果函數無限趨近于一個常數，就說當x趨近于時，函數的極限是，記作

　　導數的概念

　　1、在處的導數。

　　2、在的導數。

　　3、函數在點處的導數的幾何意義：

　　函數在點處的導數是曲線在處的切線的斜率，即k=，相應的切線方程是

　　注：函數的導函數在時的函數值，就是在處的導數。

　　例、若=2，則=（）A—1B—2C1D

　　導數的綜合運用

　　（一）曲線的切線

　　函數y=f（x）在點處的導數，就是曲線y=（x）在點處的切線的斜率。由此，可以利用導數求曲線的切線方程。具體求法分兩步：

　　（1）求出函數y=f（x）在點處的導數，即曲線y=f（x）在點處的切線的斜率k=

　　（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為x。

　　高中導數知識點

　　一、理解并牢記導數定義

　　導數定義是考研數學的出題點，大部分以選擇題的形式出題，01年數一考一道選題，考查在一點處可導的充要條件，這個并不會直接教材上的導數充要條件，他是變換形式后的，這就需要同學們真正理解導數的定義，要記住幾個關鍵點：

　　(1)在某點的領域范圍內。

　　(2)趨近于這一點時極限存在，極限存在就要保證左右極限都存在，這一點至關重要，也是01年數一考查的點，我們要從四個選項中找出表示左導數和右導數都存在且相等的選項。

　　(3)導數定義中一定要出現這一點的函數值，如果已知告訴等于零，那極限表達式中就可以不出現，否就不能推出在這一點可導，請同學們記清楚了。

　　(4)掌握導數定義的不同書寫形式。

　　二、導數定義相關計算

　　已知某點處導數存在，計算極限，這需要掌握導數的廣義化形式，還要注意是在這一點處導數存在的前提下，否則是不一定成立的。

　　三、導數、可微與連續的關系

　　函數在一點處可導與可微是等價的，可以推出在這一點處是連續的，反過來則是不成立的，相信這一點大家都很清楚，而我要提醒大家的是可導推連續的逆否命題：函數在一點處不連續，則在一點處不可導。這也常常應用在做題中。

　　四、導數的計算

　　導數的計算可以說在每一年的考研數學中都會涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。要能很好的掌握不同類型題，首先就需要我們把基本的導數計算弄明白：

　　（1)基本的求導公式。指數函數、對數函數、冪函數、三角函數和反三角函數這些基本的初等函數導數都是需要記住的，這也告訴我們在對函數變形到什么形式的時候就可以直接代公式，也為后面學習不定積分和定積分打基礎。

　　（2)求導法則。求導法則這里無非是四則運算，復合函數求導和反函數求導，要求四則運算記住求導公式；復合函數要會寫出它的復合過程，按照復合函數的求導法則一次求導就可以了，也是通過這個復合函數求導法則，我們可求出很多函數的導數；反函數求導法則為我們開辟了一條新路，建立函數與其反函數之間的導數關系，從而也使我們得到反三角函數求導公式，這些公式都將要列為基本導數公式，也要很好的理解并掌握反函數的求導思路，在13年數二的考試中相應的考過，請同學們注意。

　　（3)常見考試類型的求導。通常在考研中出現四種類型：冪指函數、隱函數、參數方程和抽象函數。這四種類型的求導方法要熟悉，并且可以解決他們之間的綜合題，有時候也會與變現積分求導結合，94年，96年，08年和10年都查了參數方程和變現積分綜合的題目。

　　五、高階導數計算

　　高階導數的計算在歷年考試出現過，比如03年，07年，10年，都以填空題考查的，00年是一道解答題。需要同學們記住幾個常見的高階導數公式，將其他函數都轉化成我們這幾種常見的函數，代入公式就可以了，也有通過求一階導數，二階，三階的方法來找出他們之間關系的。這里還有一種題型就是結合萊布尼茨公式求高階導數的，00年出的題目就是考察的這兩個知識點。

　　導數公式大全

　　1.y=c(c為常數) y=0

　　2.y=x^n y=nx^(n-1)

　　3.y=a^x y=a^xlna

　　y=e^x y=e^x

　　4.y=logax y=logae/x

　　y=lnx y=1/x

　　5.y=sinx y=cosx

　　6.y=cosx y=-sinx

　　7.y=tanx y=1/cos^2x

　　8.y=cotx y=-1/sin^2x

　　9.y=arcsinx y=1/√1-x^2

　　10.y=arccosx y=-1/√1-x^2

　　11.y=arctanx y=1/1+x^2

　　12.y=arccotx y=-1/1+x^2

　　一、求導數的方法

　　(1)基本求導公式

　　(2)導數的四則運算

　　(3)復合函數的導數

　　設在點x處可導，y=在點處可導，則復合函數在點x處可導，且即

　　關于極限

　　1.數列的極限：

　　粗略地說，就是當數列的項n無限增大時，數列的項無限趨向于A，這就是數列極限的描述性定義。記作：=A。如：

　　2函數的極限：

　　當自變量x無限趨近于常數時，如果函數無限趨近于一個常數，就說當x趨近于時，函數的極限是，記作

　　導數的概念

　　1、在處的導數

　　2、在的導數

　　3.函數在點處的導數的幾何意義：

　　函數在點處的導數是曲線在處的切線的斜率，即k=，相應的切線方程是

　　注：函數的導函數在時的函數值，就是在處的導數。

　　例、若=2，則=（）A-1B-2C1D

　　導數的綜合運用

　　(一)曲線的切線

　　函數y=f(x)在點處的導數，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率.由此，可以利用導數求曲線的切線方程.具體求法分兩步：

　　(1)求出函數y=f(x)在點處的導數，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率k=；

　　(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為_。

　　第一、求函數定義域題忽視細節函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍，考生想要在考場上準確求出定義域，就要根據函數解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數的定義域。在求一般函數定義域時，要注意以下幾點：分母不為0；偶次被開放式非負；真數大于0以及0的0次冪無意義。函數的定義域是非空的數集，在解答函數定義域類的題時千萬別忘了這一點。復合函數要注意外層函數的定義域由內層函數的值域決定。

　　第二、帶絕對值的函數單調性判斷錯誤帶絕對值的函數實質上就是分段函數，判斷分段函數的單調性有兩種方法：第一，在各個段上根據函數的解析式所表示的函數的單調性求出單調區間，然后對各個段上的單調區間進行整合；第二，畫出這個分段函數的圖象，結合函數圖象、性質能夠進行直觀的判斷。函數題離不開函數圖象，而函數圖象反應了函數的所有性質，考生在解答函數題時，要第一時間在腦海中畫出函數圖象，從圖象上分析問題，解決問題。對于函數不同的單調遞增(減)區間，千萬記住，不要使用并集，指明這幾個區間是該函數的單調遞增(減)區間即可。

　　第三、求函數奇偶性的常見錯誤求函數奇偶性類的題最常見的錯誤有求錯函數定義域或忽視函數定義域，對函數具有奇偶性的前提條件不清，對分段函數奇偶性判斷方法不當等等。判斷函數的奇偶性，首先要考慮函數的定義域，一個函數具備奇偶性的必要條件是這個函數的定義域區間關于原點對稱，如果不具備這個條件，函數一定是非奇非偶的函數。在定義域區間關于原點對稱的前提下，再根據奇偶函數的定義進行判斷。在用定義進行判斷時，要注意自變量在定義域區間內的任意性。

　　第四、抽象函數推理不嚴謹很多抽象函數問題都是以抽象出某一類函數的共同“特征”而設計的，在解答此類問題時，考生可以通過類比這類函數中一些具體函數的性質去解決抽象函數。多用特殊賦值法，通過特殊賦可以找到函數的不變性質，這往往是問題的突破口。抽象函數性質的證明屬于代數推理，和幾何推理證明一樣，考生在作答時要注意推理的嚴謹性。每一步都要有充分的條件，別漏掉條件，更不能臆造條件，推理過程層次分明，還要注意書寫規范。

　　第五、函數零點定理使用不當若函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)<>

　　第六、混淆兩類切線曲線上一點處的切線是指以該點為切點的曲線的切線，這樣的切線只有一條；曲線的過一個點的切線是指過這個點的曲線的所有切線，這個點如果在曲線上當然包括曲線在該點處的切線，曲線的過一個點的切線可能不止一條。因此，考生在求解曲線的切線問題時，首先要區分是什么類型的切線。

　　第七、混淆導數與單調性的關系一個函數在某個區間上是增函數的這類題型，如果考生認為函數的導函數在此區間上恒大于0，很容易就會出錯。解答函數的單調性與其導函數的關系時一定要注意，一個函數的導函數在某個區間上單調遞增(減)的充要條件是這個函數的導函數在此區間上恒大(小)于等于0，且導函數在此區間的任意子區間上都不恒為零。

　　第八、導數與極值關系不清考生在使用導數求函數極值類問題時，容易出現的錯誤就是求出使導函數等于0的點，卻沒有對這些點左右兩側導函數的符號進行判斷，誤以為使導函數等于0的點就是函數的極值點，往往就會出錯，出錯原因就是考生對導數與極值關系沒搞清楚。可導函數在一個點處的導函數值為零只是這個函數在此點處取到極值的必要條件，在使用導數求函數極值時，一定要對極值點進行仔細檢查。

　　1.導數的定義：在點處的導數記作.

　　2.導數的幾何物理意義：曲線在點處切線的斜率

　　①k=f/(x0)表示過曲線y=f(x)上P(x0，f(x0))切線斜率。V=s/(t)表示即時速度。a=v/(t)表示加速度。

　　3.常見函數的導數公式:①；②；③；

　　⑤；⑥；⑦；⑧。

　　4.導數的四則運算法則：

　　5.導數的應用：

　　(1)利用導數判斷函數的單調性：設函數在某個區間內可導，如果，那么為增函數；如果，那么為減函數；

　　注意：如果已知為減函數求字母取值范圍，那么不等式恒成立。

　　(2)求極值的步驟：

　　①求導數；

　　②求方程的根；

　　③列表：檢驗在方程根的左右的符號，如果左正右負，那么函數在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么函數在這個根處取得極小值；

　　(3)求可導函數值與最小值的步驟：

　　ⅰ求的根；ⅱ把根與區間端點函數值比較，的為值，最小的是最小值。

　　導數與物理，幾何，代數關系密切：在幾何中可求切線；在代數中可求瞬時變化率；在物理中可求速度、加速度。學好導數至關重要，一起來學習高二數學導數的定義知識點歸納吧!

　　導數是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f(x0)或df(x0)/dx。

　　導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。

　　不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。

　　對于可導的函數f(x)，x？f(x)也是一個函數，稱作f(x)的導函數。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則也來源于極限的四則運算法則。反之，已知導函數也可以倒過來求原來的函數，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。

　　設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx，(x0+Δx)也在該鄰域內時，相應地函數取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy與Δx之比當Δx→0時極限存在，則稱函數y=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數y=f(x)在點x0處的導數記為f(x0)，也記作y│x=x0或dy/dx│x=x0

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