不定積分的方法總結

時間：2021-03-29 15:46:25 總結我要投稿

不定積分的方法總結

　　不定積分在高等數學中占有非常重要的地位，不管是在教師資格考試還是教師招聘考試中都有出題，另外不定積分的學習為以后學習定積分計算打下了堅實的基礎，所以對于這方面的內容，下面是小編精心收集的不定積分的方法總結，希望能對你有所幫助。

不定積分的方法總結

　　教學過程：

　　在實際問題的解決過程中，我們不僅要用到求導數和微分，還要用到與求導數和微分相反的計算即積分運算.也就是由函數的導數求原函數,它是積分學的基本問題之一-----求不定積分.

　　一、原函數

　　１．引例1：已知物體運動方程s s(t)，則其速度是物體位移s對時間t的導數.反過來,已知物體的速度v是時間t的.函數v v(t),求物體的運動方程s s(t),使它的導數s (t)等于v v(t),這就是求導函數的逆運算問題.引例2:已知某產品的產量P是時間t的函數P P(t),則該產品產量的變化率是產量P對時間t的導數P (t).反之,若已知某產量的變化率是時間t的函數P (t),求該產品產量函數P(t),也是一個求導數運算的逆運算的問題.

　　2.【定義5.1】（原函數）設f(x)是定義在區間I上的函數．若存在可導函數F(x)，對 x I均有F (x) f(x)ordF(x) f(x)dx,則稱F(x)為f(x)在I上的一個原函數.

　　例如：由(sinx) cosx知sinx是cosx的一個原函數；又(sinx 5) cosx,(sinx c) cosx（c是常數），所以sinx 5,sinx c也都是函數cosx的一個原函數.

　　再如：由(2x3) 6x2知2x是6x的一個原函數；32

　　(2x3 c) 6x2，所以2x3 c（c是常數）也是6x2的一個原函數．

　　注意：沒有指明區間時，應默認為區間就是函數定義域．

　　二、不定積分

　　1．原函數性質

　　觀察上述例子知：函數的原函數不唯一，且有性質

　　(1)若f(x) C(I),則f(x)存在I上的原函數F(x).

　　(2)若F(x)為f(x)在I上的一個原函數，則F(x) C都是f(x)的原函數,其中C為任意常數.

　　(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函數，則

　　F(x) G(x) C.

　　證明： F(x) G(x)

　　F (x) G (x) f(x) f(x) 0.

　　C R, s.t.F(x) G(x) C.

　　(4)設F(x)為f(x)在I上的原函數,則f(x)在I上全體原函數為F(x) C（其中C為任意常數）.2.【定義5.2】函數f(x)在I上的全體原函數稱為f(x)在I上的不定積分,記作 C R,s.t. f(x)dx.

　　即若F(x)為f(x)在I上的一個原函數,則有 f(x)dx F(x) C,C為任意常數.

　　說明：(1) ---積分號；(2)f(x)---被積函數；

　　(3)f(x)dx----被積表達式.(4)x----積分變量.

　　3.結論：

　　①連續函數一定有原函數．

　　②f(x)若有原函數,則有一簇原函數.它們彼此只相差一個常數.

　　提問：初等函數在其定義區間上是否有原函數？例：edx,sinxdx， x2 2sinx xdx）

　　（一定有原函數，但原函數不一定還是初等函數.）例1求（1）3xdx；（2）x5dx. 2

　　解（1）∵(x) 3x，∴32233xdx x C.

　　x6 x6

　　55（2） C. x, xdx 6 6

　　例2求解1 1 x2dx. arctanx 1,21 x

　　1 1 x2dx arctanx C.

　　1提問： dx arccotx C對嗎？1 x2

　　1例3求 dx.x

　　11解: (lnx) , dx lnx C.xx

　　例4:某商品邊際成本為100 2x,則總成本函數為C(x) (100 2x)dx 100x x2 C.

　　3．導數與不定積分的關系

　　f (x)dx f(x) C.

　　(1)* df(x) f(x) C.(1)

　　df(x)dx f(x). dx

　　(2)*d f(x)dx f(x)dx.(2)

　　可見：微分運算與求不定積分的運算是互逆的.

　　提問:如何驗證積分的結果是正確的?(積分的導數是被積函數時正確)

　　二、不定積分的幾何意義

　　如圖： f(x)dx F(x) C，

　　函數f(x)的不定積分表示

　　斜率為f(x)的原函數對應的

　　一簇積分曲線.在同一點x0處

　　積分曲線簇的切線平行.

　　此曲線蔟可由F(x)沿y軸上下平行移動而得到．積分曲線：函數f(x)原函數y F(x)的圖形稱為f(x)

　　的積分曲線.

　　不定積分的幾何意義：f(x)的不定積分是一簇積分曲線F(x) C.且在同一點x0處積分曲線簇的切線互相平行.

　　例5設曲線通過點P(1,2),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解設曲線為y f(x),依題意知

　　x2dy 2x,dx 2x, 2xdx x2 C,

　　2于是f(x) x C,

　　由f(1) 2 C 1,

　　所求曲線方程為y x 1.

　　提問：如何驗證積分的結果是正確的？（結果求導必須是被積函數）

　　小結：

　　１．F(x)為f(x)在I上的原函數,則f(x)在I上全體原函數F(x) c為f(x)的不定積分，即2

　　f(x)dx F(x) c

　　２．注意當積分號消失時常數ｃ產生．

　　３．熟記積分公式，注意將被積函數恒等變形后用公式計算不定積分．

　　課后記：存在的問題不能正確理解幾何意義；計算錯誤較多，找不對原函數，寫掉積分常數C.

　　【提問】判斷下列結論是否正確

　　（不正確說明理由）

　　(1)3dx 3x C.(2)xdx

　　(3)

　　515x C6 C.

　　(4) 1

　　x2 1x C.(5) 1

　　x lnx C.

　　(6) 5xdx 5xln5 C.

　　(7) 2exdx ex C.

　　(8) 2sinxdx cosx C.(9) 1

　　1 x2dx arctanx c arccotx C.

　　(10) sec2xdx tanx C.

　　(11) csc2xdx cotx C.

　　(12) arcsinx C arccosx C.

　　(13) secxtanxdx secx C.

　　(12) cscxcotxdx cscx C.

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