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計(jì)算行列式的方法總結(jié)
行列式涉及的方面很多，例如判斷矩陣可逆與否要計(jì)算行列式的值、解線性方程組、特征值等都與求行列式密不可分，所以各種類(lèi)型解行列式的方法一定要掌握好，才能寫(xiě)好行列式，下面是計(jì)算行列式的方法總結(jié)，一起來(lái)看看吧！
計(jì)算行列式的方法總結(jié)
(一)首先，行列式的性質(zhì)要熟練掌握
性質(zhì)1行列互換，行列式的值不變。
性質(zhì)2交換行列式的兩行(列)，行列式的值變號(hào)。
推論若行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式的值為零。
性質(zhì)3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，則k可提到行列式外。
推論1數(shù)k乘行列式，等于用數(shù)k乘該行列式的某一行(列)。
推論2若行列式有兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例，則該行列式的值為零。
性質(zhì)4若行列式中某行(列)的每一個(gè)元素均為兩數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式分別以這兩組數(shù)作為該行(列)的元素，其余各行(列)與原行列式相同。
性質(zhì)5將行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不變。
行列式展開(kāi)法：行列式按某行(列)展開(kāi)也是解行列式常用的方法。
行列式展開(kāi)定理：
定理1：n階行列式D等于它的任一行(列)的各元素與各自的代數(shù)余子式乘積之和。
定理2：行列式D的某一行(列)各元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和必為零。
(二)幾種特殊行列式的值
有關(guān)行列式的若干個(gè)重要公式：
為便于考生綜合復(fù)習(xí)及掌握概念間的聯(lián)系，現(xiàn)將以后各章所涉及的有關(guān)行列式的幾個(gè)重要公式羅列于下：
2017考研數(shù)學(xué)：行列式的計(jì)算
行列式是線性代數(shù)的一部分，題目比較靈活，下面小編為同學(xué)們簡(jiǎn)單講一下行列式的幾種計(jì)算方法，希望同學(xué)們可以有所啟發(fā)，弄清楚這種類(lèi)型題。
對(duì)于數(shù)值型行列式來(lái)說(shuō)，我們先看低階行列式的計(jì)算，對(duì)于二階或者三階行列式其是有自己的計(jì)算公式的，我們可以直接計(jì)算。三階以上的行列式，一般可以運(yùn)用行列式按行或者按列展開(kāi)定理展開(kāi)為低階行列式再進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于較復(fù)雜的三階行列式也可以考慮先進(jìn)行展開(kāi)。在運(yùn)用展開(kāi)定理時(shí)，一般需要先利用行列式的性質(zhì)將行列式化為某行或者某列只有一個(gè)非零元的形式，再進(jìn)行展開(kāi)。特殊低階行列式可以直接利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行求解。
對(duì)于高階行列式的計(jì)算，我們的基本思路有兩個(gè)：
一是利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行三角化，也就是將行列式化為上三角或者下三角行列式來(lái)計(jì)算;
二是運(yùn)用按行或者按列直接展開(kāi)，其中運(yùn)用展開(kāi)定理的行列式一般要求有某行或者某列僅有一個(gè)或者兩個(gè)非零元，如果展開(kāi)之后仍然沒(méi)有降低計(jì)算難度，則可以觀察是否能得到遞推公式，再進(jìn)行計(jì)算。其中在高階行列式中我是用加邊法把其最終化為上(下)三角，或者就直接按行或者列直接展開(kāi)了，展開(kāi)后有的時(shí)候就直接是上或者下三角形行列式了，但有時(shí)其還不是上下三階，可能就要用到遞推的類(lèi)型來(lái)處理此類(lèi)題目了。總之，我們對(duì)于高階行列式要求不是很高，只要掌握幾種常見(jiàn)的情形的計(jì)算方法就可以了。
有的時(shí)候，對(duì)于那些比較特殊的形式，比如范德蒙行列式的類(lèi)型，我們就直接把它湊成此類(lèi)行列式，然后利用范德蒙行列式的計(jì)算公式就可以了，但是，我們一定要把范德蒙行列式的形式，一階其計(jì)算方法給它掌握住，我們?cè)谏险n時(shí)也給同學(xué)們講解了其記憶的方面，希望同學(xué)們課下多多做些練習(xí)題進(jìn)行鞏固。
當(dāng)然對(duì)于行列式我們有時(shí)可能還會(huì)用到克萊默法則和拉普拉斯展開(kāi)來(lái)計(jì)算，只是這些都是些特殊的行列式的計(jì)算，其有一定的局限性，比如1995年數(shù)三就考到了一題用克萊默法則來(lái)處理的填空題。
對(duì)于抽象型行列式來(lái)說(shuō)，其計(jì)算方法就有可能是與后面的知識(shí)相結(jié)合來(lái)處理的。關(guān)于抽象型行列式的計(jì)算：
(1)利用行列式的性質(zhì)來(lái)計(jì)算，這里主要是運(yùn)用單行(列)可拆性來(lái)計(jì)算的，這種大多是把行列式用向量來(lái)表示的，然后利用單行或者列可拆性，把它拆開(kāi)成多個(gè)行列式，然后逐個(gè)計(jì)算，這時(shí)一部分行列式可能就會(huì)出現(xiàn)兩行或者列元素相同或者成比例了，這樣簡(jiǎn)化后便可求出題目中要求的行列式。
(2)利用矩陣的性質(zhì)及運(yùn)算來(lái)計(jì)算，這類(lèi)題，主要是用兩個(gè)矩陣相乘的行列式等于兩個(gè)矩陣分別取行列式相乘，這里當(dāng)然要求必須是方陣才行。這類(lèi)題目的解題思路就是利用已知條件中的式子化和差為乘積的形式，進(jìn)而兩邊再取行列式，便可得到所求行列式。之前很多年考研中都出現(xiàn)過(guò)此類(lèi)填空或者選擇題。因此，此類(lèi)題型同學(xué)們務(wù)必要掌握住其解題思路和方法，多做練習(xí)加以鞏固。
(3)利用單位矩陣的來(lái)求行列式，這類(lèi)題目難度比前面題型要大，對(duì)矩陣的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論要求比較高。早在1995年數(shù)一的考研試卷中出現(xiàn)過(guò)一題6分的解答題，這題就是要利用A乘以A的轉(zhuǎn)置等于單位矩陣E這個(gè)條件來(lái)代換的，把要求的式子中的單位矩陣換成這個(gè)已知條件來(lái)處理的。
(4)利用矩陣特征值來(lái)求行列式，這類(lèi)題在考研中出現(xiàn)過(guò)很多次，利用矩陣的特征值與其行列式的關(guān)系來(lái)求行列式，即行列式等于矩陣特征值之積，這種方法要求同學(xué)們一定要掌握住，課下要多做些練習(xí)加以鞏固。
行列式計(jì)算有哪些方法？
①化成三角形行列式法：這種化成三角形行列式法在用的時(shí)候要求我們將某一個(gè)行或者是列全部的化成1，這樣的話就能方便我們利用行列之間的關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形行列式，從而可以求出來(lái)這個(gè)三角形行列式的值，因?yàn)槲覀兦蟮男辛惺降闹抵g的各個(gè)元素是相等的，各個(gè)元素之外也是相等的，這一點(diǎn)也是需要注意的，在使用的時(shí)候可以直接轉(zhuǎn)化一下，做題就簡(jiǎn)單多了，這種也是一種十分明確的利用行列式的特點(diǎn)來(lái)簡(jiǎn)化行列式的方法。
②降階法：降階法也是一種利用行列式的特點(diǎn)來(lái)簡(jiǎn)化行列式的方法之一，我們?cè)谑褂玫臅r(shí)候，利用行列式的性質(zhì)將一個(gè)行或者一個(gè)列轉(zhuǎn)化為一個(gè)非零的元素的時(shí)候，然后可以按照相關(guān)的展開(kāi)行或者列，每當(dāng)你展開(kāi)一次，這就說(shuō)明行列式降低了一階，直到無(wú)法展開(kāi)之后就是最簡(jiǎn)單的行列式降階法了，不過(guò)這一點(diǎn)只是適用于一些階層比較低的行列式，針對(duì)于一些比較多階的行列式是不可以使用的。
③拆成行列式之和法：這一點(diǎn)不用過(guò)多的描述，其實(shí)意思就是將一個(gè)比較復(fù)雜的行列式拆分成為兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的行列式就可以了，一定在拆分之前看一下是不是滿(mǎn)足拆分條件。
④范德蒙行列式：范德蒙行列式的用法主要是將一些行列式的特點(diǎn)找到變形的一些地方，將我們需要求的一個(gè)行列式化成一個(gè)已知的或者是簡(jiǎn)單的形式，而這一種解題方法我們就叫做范德蒙行列式，這也是一種最為常見(jiàn)最為常用到的解題方法。
⑤數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法也是比較簡(jiǎn)答，通過(guò)觀察行列式之間的關(guān)系，找到同類(lèi)型的行列式，就可以使用數(shù)學(xué)歸納法了。
⑥逆推法：逆推法主要是建立起來(lái)兩個(gè)行列式之間的一個(gè)遞推關(guān)系式，將整個(gè)式子逐步的推下去，從而可以求出來(lái)一個(gè)具體的值。
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