函數知識點總結

時間：2024-08-21 15:53:47 知識點總結我要投稿

函數知識點總結（精）

　　總結就是對一個時期的學習、工作或其完成情況進行一次全面系統的回顧和分析的書面材料，它能幫我們理順知識結構，突出重點，突破難點，不如我們來制定一份總結吧。那么總結要注意有什么內容呢？下面是小編整理的函數知識點總結，希望能夠幫助到大家。

函數知識點總結（精）

函數知識點總結1

　　一、二次函數概念：

　　a0）b，c是常數

　　1．二次函數的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函數，叫做二次函數。這c可以為零．二次函數的定義域是全體實里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數a0，而b，數．

　　2.二次函數yax2bxc的結構特征：

　　⑴等號左邊是函數，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數是2．b，c是常數，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．

　　⑵a，二、二次函數的基本形式

　　1.二次函數基本形式：yax2的性質：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

　　a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上00，00，性質x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨y軸x的增大而減小；x0時，y有最小值0．x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值0．

　　2.yax2c的性質：上加下減。

　　a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上c0，c0，性質x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨y軸x的增大而減小；x0時，y有最小值c．x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值c．

　　3.yaxh的性質：左加右減。

　　2a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上0h，0h，性質xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨X=hx的增大而減小；xh時，y有最小值0．xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y隨a02向下X=hx的增大而增大；xh時，y有最大值0．

　　4.yaxhk的性質：

　　a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a0向上h，kh，kX=hxh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y有最小值k．xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y隨a0向下X=hx的增大而增大；xh時，y有最大值k．

　　三、二次函數圖象的平移

　　1.平移步驟：

　　方法一：

　　⑴將拋物線解析式轉化成頂點式yaxhk，確定其頂點坐標h，k；

　　⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：

　　向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

　　畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.

　　六、二次函數yax2bxc的性質

　　b4acb2b1.當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標為，．

　　2a4a2a當xbbb時，y隨x的增大而減小；當x時，y隨x的增大而增大；當x時，y有最小2a2a2a4acb2值．

　　4ab4acb2bb2.當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點坐標為，時，y隨．當x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；當x時，y隨x的增大而減小；當x時，y有最大值

　　2a2a4a

　　七、二次函數解析式的表示方法

　　1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數，a0）；

　　2.頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數，a0）；

　　3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.

　　注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.

　　八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系

　　1.二次項系數a

　　二次函數yax2bxc中，a作為二次項系數，顯然a0．

　　⑴當a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大；

　　⑵當a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a的值越大，開口越大．

　　總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小．

　　2.一次項系數b

　　在二次項系數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．

　　⑴在a0的前提下，當b0時，當b0時，當b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y軸左側；2ab0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對稱軸在y軸的`右側．2a⑵在a0的前提下，結論剛好與上述相反，即當b0時，當b0時，當b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y軸右側；2ab0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對稱軸在y軸的左側．2a

　　總結起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．

　　ab的符號的判定：對稱軸xb在y軸左邊則ab0，在y軸的右側則ab0，概括的說就是“左同2a右異”總結：

　　3.常數項c

　　⑴當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；

　　⑵當c0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；

　　⑶當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負．總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置．

　　b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．總之，只要a，二次函數解析式的確定：

　　根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

　　1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

　　2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；

　　3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；

　　4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．

　　九、二次函數圖象的對稱

　　二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達

　　1.關于x軸對稱

　　yax2bxc關于x軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

　　yaxhk關于x軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

　　2.關于y軸對稱

　　yax2bxc關于y軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

　　22yaxhk關于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

　　3.關于原點對稱

　　yax2bxc關于原點對稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk關于原點對稱后，得到的解析式是yaxhk；

　　4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）

　　2222b2yaxbxc關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxbxc；

　　2a22yaxhk關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxhk．n對稱

　　5.關于點m，n對稱后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關于點m，根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此a永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．

　　十、二次函數與一元二次方程：

　　1.二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與x軸交點情況）：

　　一元二次方程ax2bxc0是二次函數yax2bxc當函數值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數：

　　①當b24ac0時，圖象與x軸交于兩點Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次

　　b24ac方程axbxc0a0的兩根．這兩點間的距離ABx2x1.

　　②當0時，圖象與x軸只有一個交點；

　　③當0時，圖象與x軸沒有交點.

　　1"當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y0；

　　2"當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y0．

　　2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

　　3.二次函數常用解題方法總結：

　　⑴求二次函數的圖象與x軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；

　　⑵求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；

　　⑶根據圖象的位置判斷二次函數yax2bxc中a，b，c的符號，或由二次函數中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要數形結合；

　　⑷二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.

　　⑸與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數；下面以a0時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：

　　0拋物線與x軸有兩個交點0二次三項式的值可正、可零、可負二次三項式的值為非負二次三項式的值恒為正一元二次方程有兩個不相等實根一元二次方程有兩個相等的實數根一元二次方程無實數根.0拋物線與x軸只有一個交點拋物線與x軸無交點y=2x2y=x2y=3(x+4)2二次函數圖像參考：

　　y=3x2y=3(x-2)2y=x22

　　y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2x2十一、函數的應用

　　剎車距離二次函數應用何時獲得最大利潤

　　最大面積是多少y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

函數知識點總結2

　　一、函數對稱性：

　　1.2.3.4.5.6.7.8.

　　f（a+x）=f（a-x）==>f（x）關于x=a對稱

　　f（a+x）=f（b-x）==>f（x）關于x=（a+b）/2對稱f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）關于點（a，0）對稱f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）關于點（a，b）對稱

　　f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）關于點[（a+b）/2，c/2]對稱y=f（x）與y=f（-x）關于x=0對稱y=f（x）與y=-f（x）關于y=0對稱y=f（x）與y=-f（-x）關于點（0,0）對稱

　　例1：證明函數y=f（a+x）與y=f（b-x）關于x=（b-a）/2對稱。

　　【解析】求兩個不同函數的對稱軸，用設點和對稱原理作解。

　　證明：假設任意一點P（m，n）在函數y=f（a+x）上，令關于x=t的對稱點Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）]

　　∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即證得對稱軸為x=（b-a）/2.

　　例2：證明函數y=f（a-x）與y=f（xb）關于x=（a+b）/2對稱。

　　證明：假設任意一點P（m，n）在函數y=f（a-x）上，令關于x=t的對稱點Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b]

　　∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即證得對稱軸為x=（a+b）/2.

　　二、函數的周期性

　　令a,b均不為零，若：

　　1、函數y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函數最小正周期T=|a|

　　2、函數y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函數最小正周期T=|b-a|

　　3、函數y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函數最小正周期T=|2a|

　　4、函數y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函數最小正周期T=|2a|

　　5、函數y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函數最小正周期T=|4a|

　　這里只對第2~5點進行解析。

　　第2點解析：

　　令X=x+a，f[a+（xa）]=f[b+（xa）]∴f（x）=f（x+ba）==>T=ba

　　第3點解析：同理，f（x+a）=-f（x+2a）……

　　①f（x）=-f（x+a）……

　　②∴由①和②解得f（x）=f（x+2a）∴函數最小正周期T=|2a|

　　第4點解析：

　　f（x+2a）=1/f（x+a）==>f（x+a）=1/f（x+2a）

　　又∵f（x+a）=1/f（x）∴f（x）=f（x+2a）

　　∴函數最小正周期T=|2a|

　　第5點解析：

　　∵f（x+a）={2[1f（x）]}/[1f（x）]=2/[1f（x）]1

　　∴1f（x）=2/[f（x）+1]移項得f（x）=12/[f（x+a）+1]

　　那么f（x-a）=12/[f（x）+1]，等式右邊通分得f（x-a）=[f（x）1]/[1+f（x）]∴1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[f（x）1]，即-1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[1-f（x）]∴-1/[f（x-a）=f（x+a），-1/[f（x2a）=f（x）==>-1/f（x）=f（x-2a）①，又∵-1/f（x）=f（x+2a）②，

　　由①②得f（x+2a）=f（x-2a）==>f（x）=f（x+4a）

　　∴函數最小正周期T=|4a|

　　擴展閱讀：函數對稱性、周期性和奇偶性的規律總結

　　函數對稱性、周期性和奇偶性規律總結

　　（一）同一函數的函數的奇偶性與對稱性：（奇偶性是一種特殊的對稱性）

　　1、奇偶性：

　　（1）奇函數關于（0，0）對稱，奇函數有關系式f（x）f（x）0

　　（2）偶函數關于y（即x=0）軸對稱，偶函數有關系式f（x）f（x）

　　2、奇偶性的拓展：同一函數的對稱性

　　（1）函數的軸對稱：

　　函數yf（x）關于xa對稱f（ax）f（ax）

　　f（ax）f（ax）也可以寫成f（x）f（2ax）或f（x）f（2ax）

　　若寫成：f（ax）f（bx），則函數yf（x）關于直線x稱

　　（ax）（bx）ab對22證明：設點（x1,y1）在yf（x）上，通過f（x）f（2ax）可知，y1f（x1）f（2ax1），

　　即點（2ax1,y1）也在yf（x）上，而點（x1,y1）與點（2ax1,y1）關于x=a對稱。得證。

　　說明：關于xa對稱要求橫坐標之和為2a，縱坐標相等。

　　∵（ax1,y1）與（ax1,y1）關于xa對稱，∴函數yf（x）關于xa對稱

　　f（ax）f（ax）

　　∵（x1,y1）與（2ax1,y1）關于xa對稱，∴函數yf（x）關于xa對稱

　　f（x）f（2ax）

　　∵（x1,y1）與（2ax1,y1）關于xa對稱，∴函數yf（x）關于xa對稱

　　f（x）f（2ax）

　　（2）函數的點對稱：

　　函數yf（x）關于點（a,b）對稱f（ax）f（ax）2b

　　上述關系也可以寫成f（2ax）f（x）2b或f（2ax）f（x）2b

　　若寫成：f（ax）f（bx）c，函數yf（x）關于點（abc,）對稱2證明：設點（x1,y1）在yf（x）上，即y1f（x1），通過f（2ax）f（x）2b可知，f（2ax1）f（x1）2b，所以f（2ax1）2bf（x1）2by1，所以點（2ax1,2by1）也在yf（x）上，而點（2ax1,2by1）與（x1,y1）關于（a,b）對稱。得證。

　　說明：關于點（a,b）對稱要求橫坐標之和為2a,縱坐標之和為2b,如（ax）與（ax）之和為2a。

　　（3）函數yf（x）關于點yb對稱：假設函數關于yb對稱，即關于任一個x值，都有兩個y值與其對應，顯然這不符合函數的定義，故函數自身不可能關于yb對稱。但在曲線c（x,y）=0，則有可能會出現關于yb對稱，比如圓c（x,y）x2y240它會關于y=0對稱。

　　（4）復合函數的奇偶性的性質定理：

　　性質1、復數函數y＝f[g（x）]為偶函數，則f[g（－x）]＝f[g（x）]。復合函數y＝f[g（x）]為奇函數，則f[g（－x）]＝－f[g（x）]。

　　性質2、復合函數y＝f（x＋a）為偶函數，則f（x＋a）＝f（－x＋a）；復合函數y＝f（x＋a）為奇函數，則f（－x＋a）＝－f（a＋x）。

　　性質3、復合函數y＝f（x＋a）為偶函數，則y＝f（x）關于直線x＝a軸對稱。復合函數y＝f（x＋a）為奇函數，則y＝f（x）關于點（a,0）中心對稱。

　　總結：x的`系數一個為1，一個為-1，相加除以2，可得對稱軸方程

　　總結：x的系數一個為1，一個為-1，f（x）整理成兩邊，其中一個的系數是為1，另一個為-1，存在對稱中心。

　　總結：x的系數同為為1，具有周期性。

　　（二）兩個函數的圖象對稱性

　　1、yf（x）與yf（x）關于X軸對稱。

　　證明：設yf（x）上任一點為（x1,y1）則y1f（x1），所以yf（x）經過點（x1,y1）

　　∵（x1,y1）與（x1,y1）關于X軸對稱，∴y1f（x1）與yf（x）關于X軸對稱.注：換種說法：yf（x）與yg（x）f（x）若滿足f（x）g（x），即它們關于y0對稱。

函數知識點總結3

　　特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax+bx+c。

　　當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax+bx+c=0。

　　此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

　　1.二次函數y=ax，y=a(x-h)，y=a(x-h)+k，y=ax+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同。當h>0時，y=a(x-h)的圖象可由拋物線y=ax向右平行移動h個單位得到。

　　當h<0時，則向xxx移動|h|個單位得到。

　　當h>0，k>0時，將拋物線y=ax向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)+k的圖象。

　　當h>0，k<0時，將拋物線y=ax向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)+k的圖象。

　　當h<0，k>0時，將拋物線向xxx移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)+k的圖象。

　　當h<0,k<0時，將拋物線向xxx移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)+k的圖象。

　　因此，研究拋物線y=ax+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便。

　　2.拋物線y=ax+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b]/4a)。

　　3.拋物線y=ax+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x≥-b/2a時，y隨x的增大而減小。

　　4.拋物線y=ax+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

　　(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)。

　　(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x，0)和B(x，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x-x|。

　　當△=0．圖象與x軸只有一個交點；當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0。

　　5.拋物線y=ax+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b)/4a。

　　頂點的'橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值。

　　6.用待定系數法求二次函數的解析式

　　(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax+bx+c(a≠0)。

　　(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)+k(a≠0)。

　　(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)。

函數知識點總結4

　　一次函數的定義

　　一般地，形如y=kx+b（k，b是常數，且k≠0）的函數，叫做一次函數，其中x是自變量。當b=0時，一次函數y=kx，又叫做正比例函數。

　　1、一次函數的解析式的形式是y=kx+b，要判斷一個函數是否是一次函數，就是判斷是否能化成以上形式。

　　2、當b=0，k≠0時，y=kx仍是一次函數。

　　3、當k=0，b≠0時，它不是一次函數。

　　4、正比例函數是一次函數的特例，一次函數包括正比例函數。

　　一次函數的圖像及性質

　　1、在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。

　　2、一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b），與x軸總是交于（—b/k，0）。

　　3、正比例函數的圖像總是過原點。

　　4、k，b與函數圖像所在象限的關系：

　　當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小。

　　當k>0，b>0時，直線通過一、二、三象限；

　　當k>0，b<0時，直線通過一、三、四象限；

　　當k<0，b>0時，直線通過一、二、四象限；

　　當k<0，b<0時，直線通過二、三、四象限；

　　當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。

　　這時，當k>0時，直線只通過一、三象限；當k<0時，直線只通過二、四象限。

　　一次函數的圖象與性質的口訣

　　一次函數是直線，圖象經過三象限；

　　正比例函數更簡單，經過原點一直線；

　　兩個系數k與b，作用之大莫小看，

　　k是斜率定夾角，b與y軸來相見，

　　k為正來右上斜，x增減y增減；

　　k為負來左下展，變化規律正相反；

　　k的絕對值越大，線離橫軸就越遠。

　　拓展閱讀：一次函數的'解題方法

　　理解一次函數和其它知識的聯系

　　一次函數和代數式以及方程有著密不可分的聯系。如一次函數和正比例函數仍然是函數，同時，等號的兩邊又都是代數式。需要注意的是，與一般代數式有很大區別。首先，一次函數和正比例函數都只能存在兩個變量，而代數式可以是多個變量；其次，一次函數中的變量指數只能是1，而代數式中變量指數還可以是1以外的數。另外，一次函數解析式也可以理解為二元一次方程。

　　掌握一次函數的解析式的特征

　　一次函數解析式的結構特征：kx+b是關于x的一次二項式，其中常數b可以是任意實數，一次項系數k必須是非零數，k≠0，因為當k = 0時，y = b（b是常數），由于沒有一次項，這樣的函數不是一次函數；而當b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函數，也是一次函數。

　　應用一次函數解決實際問題

　　1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪兩種量是相關聯的量，且其中一種量因另一種量的變化而變化；

　　2、找出具有相關聯的兩種量的等量關系之后，明確哪種量是另一種量的函數；

　　3、在實際問題中，一般存在著三種量，如距離、時間、速度等等，在這三種量中，當且僅當其中一種量時間（或速度）不變時，距離與速度（或時間）才成正比例，也就是說，距離（s）是時間（t）或速度（）的正比例函數；

　　4、求一次函數與正比例函數的關系式，一般采取待定系數法。

　　數形結合

　　方程，不等式，不等式組，方程組我們都可以用一次函數的觀點來理解。一元一次不等式實際上就看兩條直線上下方的關系，求出端點后可以很容易把握解集，至于一元一次方程可以把左右兩邊看為兩條直線來認識，直線交點的橫坐標就是方程的解，至于二元一次方程組就是對應2條直線，方程組的解就是直線的交點，結合圖形可以認識兩直線的位置關系也可以把握交點個數。

　　如果一個交點時候兩條直線的k不同，如果無窮個交點就是k，b都一樣，如果平行無交點就是k相同，b不一樣。至于函數平移的問題可以化歸為對應點平移。k反正不變然后用待定系數法得到平移后的方程。這就是化一般為特殊的解題方法。

函數知識點總結5

　　1.函數的定義

　　函數是高考數學中的重點內容，學習函數需要首先掌握函數的各個知識點，然后運用函數的各種性質來解決具體的問題。

　　設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:A-B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x),xA

　　2.函數的定義域

　　函數的定義域分為自然定義域和實際定義域兩種，如果給定的函數的解析式（不注明定義域），其定義域應指的是使該解析式有意義的自變量的取值范圍（稱為自然定義域），如果函數是有實際問題確定的，這時應根據自變量的實際意義來確定，函數的'值域是由全體函數值組成的集合。

　　3.求解析式

　　求函數的解析式一般有三種種情況：

　　（1）根據實際問題建立函數關系式，這種情況需引入合適的變量，根據數學的有關知識找出函數關系式。

　　（2）有時體中給出函數特征，求函數的解析式，可用待定系數法。

　　（3）換元法求解析式，f[h(x)]=g(x)求f(x)的問題，往往可設h(x)=t，從中解出x,代入g(x)進行換元來解。掌握求函數解析式的前提是，需要對各種函數的性質了解且熟悉。

　　目前我們已經學習了常數函數、指數與指數函數、對數與對數函數、冪函數、三角函數、反比例函數、二次函數以及由以上幾種函數加減乘除，或者復合的一些相對較復雜的函數，但是這種函數也是初等函數。

函數知識點總結6

　　總體上必須清楚的:

　　1)程序結構是三種:順序結構、選擇結構(分支結構)、循環結構。

　　2)讀程序都要從main()入口,然后從最上面順序往下讀(碰到循環做循環,碰到選擇做選擇)，有且只有一個main函數。

　　3)計算機的數據在電腦中保存是以二進制的形式.數據存放的位置就是他的地址.

　　4)bit是位是指為0或者1。 byte是指字節,一個字節=八個位.

　　概念常考到的：

　　1、編譯預處理不是C語言的一部分，不占運行時間，不要加分號。C語言編譯的程序稱為源程序，它以ASCII數值存放在文本文件中。

　　2、define PI 3.1415926;這個寫法是錯誤的，一定不能出現分號。 -

　　3、每個C語言程序中main函數是有且只有一個。

　　4、在函數中不可以再定義函數。

　　5、算法：可以沒有輸入，但是一定要有輸出。

　　6、break可用于循環結構和switch語句。

　　7、逗號運算符的級別最低，賦值的級別倒數第二。

　　第一章C語言的基礎知識

　　第一節、對C語言的基礎認識

　　1、C語言編寫的程序稱為源程序，又稱為編譯單位。

　　2、C語言書寫格式是自由的，每行可以寫多個語句，可以寫多行。

　　3、一個C語言程序有且只有一個main函數，是程序運行的起點。

　　第二節、熟悉vc++

　　1、VC是軟件，用來運行寫的C語言程序。

　　2、每個C語言程序寫完后，都是先編譯，后鏈接，最后運行。（.c—.obj—.exe）這個過程中注意.c和.obj文件時無法運行的，只有.exe文件才可以運行。（常考！）

　　第三節、標識符

　　1、標識符（必考內容）：

　　合法的要求是由字母，數字，下劃線組成。有其它元素就錯了。

　　并且第一個必須為字母或則是下劃線。第一個為數字就錯了

　　2、標識符分為關鍵字、預定義標識符、用戶標識符。

　　關鍵字：不可以作為用戶標識符號。main define scanf printf都不是關鍵字。迷惑你的地方If是可以做為用戶標識符。因為If中的`第一個字母大寫了，所以不是關鍵字。

　　預定義標識符：背誦define scanf printf include。記住預定義標識符可以做為用戶標識符。

　　用戶標識符：基本上每年都考，詳細請見書上習題。

　　第四節：進制的轉換

　　十進制轉換成二進制、八進制、十六進制。

　　二進制、八進制、十六進制轉換成十進制。

　　第五節：整數與實數

　　1）C語言只有八、十、十六進制，沒有二進制。但是運行時候，所有的進制都要轉換成二進制來進行處理。（考過兩次）

　　a、C語言中的八進制規定要以0開頭。018的數值是非法的，八進制是沒有8的，逢8進1。

　　b、C語言中的十六進制規定要以0x開頭。

　　2)小數的合法寫法：C語言小數點兩邊有一個是零的話，可以不用寫。

　　1.0在C語言中可寫成1.

　　0.1在C語言中可以寫成.1。

　　3）實型數據的合法形式：

　　a、2.333e-1就是合法的，且數據是2.333×10-1。

　　b、考試口訣：e前e后必有數，e后必為整數。請結合書上的例子。

　　4）整型一般是4個字節,字符型是1個字節，雙精度一般是8個字節：

　　long int x;表示x是長整型。

　　unsigned int x;表示x是無符號整型。

　　第六、七節：算術表達式和賦值表達式

　　核心：表達式一定有數值！

　　1、算術表達式：+，-，*，/，%

　　考試一定要注意：“/”兩邊都是整型的話，結果就是一個整型。 3/2的結果就是1.

　　“/”如果有一邊是小數，那么結果就是小數。 3/2.0的結果就是0.5

　　“%”符號請一定要注意是余數，考試最容易算成了除號。）%符號兩邊要求是整數。不是整數就錯了。[注意!!!]

　　2、賦值表達式：表達式數值是最左邊的數值，a=b=5;該表達式為5，常量不可以賦值。

　　1、int x=y=10:錯啦，定義時，不可以連續賦值。

　　2、int x,y;

　　x=y=10;對滴，定義完成后，可以連續賦值。

　　3、賦值的左邊只能是一個變量。

　　4、int x=7.7；對滴，x就是7

　　5、float y=7；對滴，x就是7.0

　　3、復合的賦值表達式：

　　int a=2；

　　a*=2+3；運行完成后，a的值是12。

　　一定要注意，首先要在2+3的上面打上括號。變成（2+3）再運算。

　　4、自加表達式：

　　自加、自減表達式：假設a=5，++a（是為6），a++（為5）；

　　運行的機理：++a是先把變量的數值加上1，然后把得到的數值放到變量a中，然后再用這個++a表達式的數值為6，而a++是先用該表達式的數值為5，然后再把a的數值加上1為6，

　　再放到變量a中。進行了++a和a++后在下面的程序中再用到a的話都是變量a中的6了。

　　考試口訣：++在前先加后用，++在后先用后加。

　　5、逗號表達式：

　　優先級別最低。表達式的數值逗號最右邊的那個表達式的數值。

　　（2，3，4）的表達式的數值就是4。

　　z=（2，3，4）(整個是賦值表達式)這個時候z的值為4。（有點難度哦！）

　　z= 2，3，4（整個是逗號表達式）這個時候z的值為2。

　　補充：

　　1、空語句不可以隨意執行，會導致邏輯錯誤。

　　2、注釋是最近幾年考試的重點，注釋不是C語言，不占運行時間，沒有分號。不可以嵌套！

　　3、強制類型轉換：

　　一定是（int）a不是int（a），注意類型上一定有括號的。

　　注意（int）（a+b）和（int）a+b的區別。前是把a+b轉型，后是把a轉型再加b。

　　4、三種取整丟小數的情況：

　　１、int a =1.6；

　　２、(int)a；

　　３、1/2；3/2；

　　第八節、字符

　　1）字符數據的合法形式:：

　　‘1’是字符占一個字節，”1”是字符串占兩個字節(含有一個結束符號)。

　　‘0’的ASCII數值表示為48，’a’的ASCII數值是97，’A’的ASCII數值是65。

　　一般考試表示單個字符錯誤的形式：’65’ “1”

　　字符是可以進行算術運算的，記住：‘0’-0=48

　　大寫字母和小寫字母轉換的方法：‘A’+32=’a’相互之間一般是相差32。

　　2）轉義字符：

　　轉義字符分為一般轉義字符、八進制轉義字符、十六進制轉義字符。

　　一般轉義字符：背誦/0、、 ’、 ”、。

　　八進制轉義字符：‘141’是合法的，前導的0是不能寫的。

　　十六進制轉義字符：’x6d’才是合法的，前導的0不能寫，并且x是小寫。

　　3、字符型和整數是近親：兩個具有很大的相似之處

　　char a = 65 ;

　　printf(“%c”, a);得到的輸出結果：a

　　printf(“%d”, a);得到的輸出結果：65

　　第九節、位運算

　　1）位運算的考查：會有一到二題考試題目。

　　總的處理方法：幾乎所有的位運算的題目都要按這個流程來處理（先把十進制變成二進制再變成十進制）。

　　例1：char a = 6, b;

　　b = a<<2;這種題目的計算是先要把a的十進制6化成二進制，再做位運算。

　　例2：一定要記住，異或的位運算符號” ^ ”。0異或1得到1。

　　0異或0得到0。兩個女的生不出來。

　　考試記憶方法：一男(1)一女(0)才可以生個小孩(1)。

　　例3：在沒有舍去數據的時候，<<左移一位表示乘以2；>>右移一位表示除以2。

函數知識點總結7

　　一次函數的圖象與性質的口訣：

　　一次函數是直線，圖象經過三象限;

　　正比例函數更簡單，經過原點一直線;

　　兩個系數k與b，作用之大莫小看，k是斜率定夾角，b與y軸來相見，k為正來右上斜，x增減y增減;

　　k為負來左下展，變化規律正相反;

　　k的絕對值越大，線離橫軸就越遠。

　　拓展閱讀：一次函數的解題方法

　　理解一次函數和其它知識的聯系

　　一次函數和代數式以及方程有著密不可分的聯系。如一次函數和正比例函數仍然是函數，同時，等號的兩邊又都是代數式。需要注意的是，與一般代數式有很大區別。首先，一次函數和正比例函數都只能存在兩個變量，而代數式可以是多個變量;其次，一次函數中的變量指數只能是1，而代數式中變量指數還可以是1以外的數。另外，一次函數解析式也可以理解為二元一次方程。

　　掌握一次函數的解析式的特征

　　一次函數解析式的結構特征：kx+b是關于x的一次二項式，其中常數b可以是任意實數，一次項系數k必須是非零數，k≠0，因為當k = 0時，y = b(b是常數)，由于沒有一次項，這樣的函數不是一次函數;而當b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函數，也是一次函數。

　　應用一次函數解決實際問題

　　1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪兩種量是相關聯的量，且其中一種量因另一種量的變化而變化;

　　2、找出具有相關聯的兩種量的等量關系之后，明確哪種量是另一種量的函數;

　　3、在實際問題中，一般存在著三種量，如距離、時間、速度等等，在這三種量中，當且僅當其中一種量時間(或速度)不變時，距離與速度(或時間)才成正比例，也就是說，距離(s)是時間(t)或速度( )的正比例函數;

　　4、求一次函數與正比例函數的關系式，一般采取待定系數法。

　　數形結合

　　數學解題方法分別有哪些

　　1、配方法

　　所謂的公式是使用變換解析方程的同構方法，并將其中的一些分配給一個或多個多項式正整數冪的和形式。通過配方解決數學問題的公式。其中，用的最多的是配成完全平方式。匹配方法是數學中不斷變形的重要方法，其應用非常廣泛，在分解，簡化根，它通常用于求解方程，證明方程和不等式，找到函數的極值和解析表達式。

　　2、因式分解法

　　因式分解是將多項式轉換為幾個積分產品的'乘積。分解是恒定變形的基礎。除了引入中學教科書中介紹的公因子法，公式法，群體分解法，交叉乘法法等外，還有很多方法可以進行因式分解。還有一些項目，如拆除物品的使用，根分解，替換，未確定的系數等等。

　　3、換元法

　　替代方法是數學中一個非常重要和廣泛使用的解決問題的方法。我們通常稱未知或變元。用新的參數替換原始公式的一部分或重新構建原始公式可以更簡單，更容易解決。

　　4、判別式法與韋達定理

　　一元二次方程 ax2+ bx+ c=0( a、 b、 c屬于 R， a≠0)根的判別， = b2-4 ac，不僅用來確定根的性質，還作為一個問題解決方法，代數變形，求解方程(組)，求解不等式，研究函數，甚至幾何以及三角函數都有非常廣泛的應用。

　　韋達定理除了知道二次方程的根外，還找到另一根;考慮到兩個數的和和乘積的簡單應用并尋找這兩個數，也可以找到根的對稱函數并量化二次方程根的符號。求解對稱方程并解決一些與二次曲線有關的問題等，具有非常廣泛的應用。

　　5、待定系數法

　　在解決數學問題時，如果我們首先判斷我們所尋找的結果具有一定的形式，其中包含某些未決的系數，然后根據問題的條件列出未確定系數的方程，最后找到未確定系數的值或這些待定系數之間的關系。為了解決數學問題，這種問題解決方法被稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。

　　6、構造法

　　在解決問題時，我們通常通過分析條件和結論來使用這些方法來構建輔助元素。它可以是一個圖表，一個方程(組)，一個方程，一個函數，一個等價的命題等，架起連接條件和結論的橋梁。為了解決這個問題，這種解決問題的數學方法，我們稱之為構造方法。運用結構方法解決問題可以使代數，三角形，幾何等數學知識相互滲透，有助于解決問題。

　　數學經常遇到的問題解答

　　1、要提高數學成績首先要做什么?

　　這一點，是很多學生所關注的，要提高數學成績，首先就應該從基礎知識學起。不少同學覺得基礎知識過于簡單，看兩遍基本上就都會了。這種“自我感覺良好”其實是一種錯覺，而真正考試時又覺得無從下手，這還是基礎不牢的表現，因此要提高數學成績先要把基礎夯實。

　　2、基礎不好怎么學好數學?

　　對于基礎差的同學來說，課本是就是學好數學的秘籍，把課本上的定義、公式、定理全部弄懂，力爭在理解的基礎上全部背熟，每一道例題、每一道課后題都要掌握。我們知道只有把公式、定理爛熟于心，才能舉一反三、活學活用，把課本的知識學透有兩個好處，第一，強化基礎;第二，提高得分能力。

　　3、是否要采用題海戰術?

　　方法君曾不止一次提到了“題海戰術”，題海戰術究竟可不可取呢?“題海戰術”其實也是一種學習方法，但很多學生只知道做題，不懂得總結，體現不出任何的學習效果。因此在做題后要總結至關重要，只有認真總結才能不斷積累做題經驗，這樣才能取得理想成績。

　　4、做題總是粗心怎么辦?

　　很多學生成績不好，會說自己是因為粗心導致的，其實“粗心”只是借口，真正的原因就是題做得少、基礎知識不牢、沒有清晰的解題思路、計算能力不強。因此在平時的學習中，一定要注重熟練度和精準度的練習。如果總是給自己找“粗心”的借口，也就變相否定了自己的學習弱點，所以，要告訴自己，高中數學沒有“粗心”只有“不用心”。

　　為什么要學習數學

　　作為一門普及度極廣的學科，數學在人類文明的發展史上一直占據著重要的地位。雖然很多人可能會對數學產生排斥，認為它枯燥無味，但事實上，數學是所有學科的基石之一，對我們日常生活以及未來的職業發展有著重大影響。下面我將詳細闡述學習數學的重要性。

　　首先，數學可以幫助我們提高邏輯思維能力。數學的學科性質使我們在學習的過程中時時刻刻面臨著思考、推理、證明等諸多問題，而這些問題正是鍛煉我們邏輯思維的好機會。通過長期的學習和練習，我們的思維能力得到提升，可以更加清晰地分析問題，更快速地找到正確的答案。這對我們在工作和生活中都非常有幫助，尤其是在解決復雜問題時更能得心應手。

　　其次，數學在現代科技中起著至關重要的作用。在計算機科學、物理學、經濟學、工程學等領域，數學可以幫助我們建立模型、分析數據、預測趨勢，并且可以在實際應用中優化和改進。例如，在人工智能領域，深度學習技術所涉及的數學概念包括線性代數、微積分和概率論等，如果沒有深厚的數學基礎，很難理解和應用這些技術。同時，在工程學領域，許多機械、電子、化工等產品的設計和制造過程，也需要運用到數學知識，因此學習數學可以使我們更好地參與到現代科技的發展中。

　　除此之外，數學也是一種普遍使用的語言，許多學科和領域都使用數學語言進行表達和交流。例如，在自然科學領域，生物學、化學、物理學等學科都使用數學語言來描述自然世界的規律和現象。在社會科學和商科領域，經濟學和金融學運用的數學概念，如微積分、線性代數和統計學等，使得我們能夠更好地理解經濟和財務數據，并進行決策。因此，學習數學可以讓我們更好地理解、溝通和交流各個領域的知識。

　　最后，學習數學也可以為我們的職業發展帶來廣泛的機遇和發展空間。在許多領域，數學專業的畢業生都有很廣泛的就業機會，如金融界、數據科學、研究機構、教育等。數學專業的人才，不只會提供理論支持，同時也能夠解決現實中具體的問題，使其在各自領域脫穎而出。

函數知識點總結8

　　I.定義與定義表達式

　　一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關系：y=a_^2+b_+c

　　(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為_的二次函數。

　　二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

　　II.二次函數的三種表達式

　　一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c為常數，a≠0)

　　頂點式：y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]

　　交點式：y=a(_-_?)(_-_?)[僅限于與_軸有交點A(_?，0)和B(_?，0)的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函數的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數y=_^2的.圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線_=-b/2a。

　　對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線_=0)

　　2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在_軸上。

　　3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

　　當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

　　5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于(0，c)

　　6.拋物線與_軸交點個數

　　Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與_軸有2個交點。

　　Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點。

　　Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與_軸沒有交點。

　　_的取值是虛數(_=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

　　V.二次函數與一元二次方程

　　特別地，二次函數(以下稱函數)y=a_^2+b_+c，

　　當y=0時，二次函數為關于_的一元二次方程(以下稱方程)，即a_^2+b_+c=0

　　此時，函數圖像與_軸有無交點即方程有無實數根。函數與_軸交點的橫坐標即為方程的根。

函數知識點總結9

　　1．常量和變量

　　在某變化過程中可以取不同數值的量，叫做變量．在某變化過程中保持同一數值的量或數，叫常量或常數．

　　2．函數

　　設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x在某一范圍的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數．

　　3．自變量的取值范圍

　　(1)整式：自變量取一切實數．(2)分式：分母不為零．

　　(3)偶次方根：被開方數為非負數．

　　(4)零指數與負整數指數冪：底數不為零．

　　4．函數值

　　對于自變量在取值范圍內的一個確定的值，如當x＝a時，函數有唯一確定的對應值，這個對應值，叫做x＝a時的函數值．

　　5．函數的表示法

　　(1)解析法；(2)列表法；(3)圖象法．

　　6．函數的圖象

　　把自變量x的一個值和函數y的對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，可以在平面直角坐標系內描出一個點，所有這些點的集合，叫做這個函數的圖象．由函數解析式畫函數圖象的步驟：

　　(1)寫出函數解析式及自變量的取值范圍；

　　(2)列表：列表給出自變量與函數的一些對應值；

　　(3)描點：以表中對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點；

　　(4)連線：用平滑曲線，按照自變量由小到大的順序，把所描各點連接起來．

　　7．一次函數

　　(1)一次函數

　　如果y＝kx＋b(k、b是常數，k≠0)，那么y叫做x的一次函數．

　　特別地，當b＝0時，一次函數y＝kx＋b成為y＝kx(k是常數，k≠0)，這時，y叫做x的正比例函數．

　　(2)一次函數的圖象

　　一次函數y＝kx＋b的圖象是一條經過(0，b)點和點的直線．特別地，正比例函數圖象是一條經過原點的直線．需要說明的是，在平面直角坐標系中，“直線”并不等價于“一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象”，因為還有直線y＝m(此時k＝0)和直線x＝n(此時k不存在)，它們不是一次函數圖象．

　　(3)一次函數的性質

　　當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減小．直線y＝kx＋b與y軸的交點坐標為(0，b)，與x軸的交點坐標為．

　　(4)用函數觀點看方程(組)與不等式

　　①任何一元一次方程都可以轉化為ax＋b＝0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：一次函數y＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)，當y＝0時，求相應的自變量的值，從圖象上看，相當于已知直線y＝kx＋b，確定它與x軸交點的橫坐標．

　　②二元一次方程組對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線，從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數值相等，以及這兩個函數值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線的交點的坐標．

　　③任何一元一次不等式都可以轉化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b為常數，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：當一次函數值大于0或小于0時，求自變量相應的取值范圍．

　　8．反比例函數(1)反比例函數

　　（1）如果(k是常數，k≠0)，那么y叫做x的反比例函數．

　　(2)反比例函數的圖象反比例函數的圖象是雙曲線．

　　(3)反比例函數的性質

　　①當k＞0時，圖象的兩個分支分別在第一、三象限內，在各自的象限內，y隨x的增大而減小．

　　②當k＜0時，圖象的兩個分支分別在第二、四象限內，在各自的象限內，y隨x的增大而增大．

　　③反比例函數圖象關于直線y＝±x對稱，關于原點對稱．

　　(4)k的兩種求法

　　①若點(x0，y0)在雙曲線上，則k＝x0y0．②k的幾何意義：

　　若雙曲線上任一點A(x，y)，AB⊥x軸于B，則S△AOB

　　(5)正比例函數和反比例函數的交點問題

　　若正比例函數y＝k1x(k1≠0)，反比例函數，則當k1k2＜0時，兩函數圖象無交點；

　　當k1k2＞0時，兩函數圖象有兩個交點，坐標分別為由此可知，正反比例函數的'圖象若有交點，兩交點一定關于原點對稱．

　　1．二次函數

　　如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)，那么y叫做x的二次函數．

　　幾種特殊的二次函數：y＝ax2(a≠0)；y＝ax2＋c(ac≠0)；y＝ax2＋bx(ab≠0)；y＝a(x－h)2(a≠0)．

　　2．二次函數的圖象

　　二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象是對稱軸平行于y軸的一條拋物線．由y＝ax2(a≠0)的圖象，通過平移可得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的圖象．

　　3．二次函數的性質

　　二次函數y＝ax2＋bx＋c的性質對應在它的圖象上，有如下性質：

　　(1)拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點是，對稱軸是直線，頂點必在對稱軸上；

　　(2)若a＞0，拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向上，因此，對于拋物線上的任意一點(x，y)，當x＜時，y隨x的增大而減小；當x＞時，y隨x的增大而增大；當x＝，y有最小值；若a＜0，拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，因此，對于拋物線上的任意一點(x，y)，當x＜，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小；當x＝時，y有最大值；

　　(3)拋物線y＝ax2＋bx＋c與y軸的交點為(0，c)；

　　(4)在二次函數y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0可得到拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交點的情況：

　　＜0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸沒有公共點．＝0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸只有一個公共點，即為此拋物線的頂點；當＝b2－4ac＞0，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有兩個不同的公共點，它們的坐標分別是和，這兩點的距離為；當當4．拋物線的平移

　　拋物線y＝a(x－h)2＋k與y＝ax2形狀相同，位置不同．把拋物線y＝ax2向上(下)、向左(右)平移，可以得到拋物線y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距離要根據h、k的值來決定．

函數知識點總結10

　　倍角公式

　　二倍角公式

　　正弦形式：sin2α=2sinαcosα

　　正切形式：tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))

　　余弦形式：cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

　　三倍角公式

　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

　　tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

　　四倍角公式

　　sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

　　cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

　　tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

　　半角公式

　　正弦

　　sin(A/2)=√((1-cosA)/2)

　　sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

　　余弦

　　cos(A/2)=√((1+cosA)/2)

　　cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

　　正切

　　tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))

　　tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

　　積化和差

　　sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

　　cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

　　cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

　　sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/2

　　和差化積

　　sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

　　sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]

　　cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

　　cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

　　誘導公式

　　任意角α與-α的三角函數值之間的關系：

　　sin(-α)=-sinα

　　cos(-α)=cosα

　　tan(-α)=-tanα

　　cot(-α)=-cotα

　　設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系：

　　sin(π+α)=-sinα

　　cos(π+α)=-cosα

　　tan(π+α)=tanα

　　cot(π+α)=cotα

　　利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系：

　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　tan(π-α)=-tanα

　　cot(π-α)=-cotα

　　設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：

　　sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

　　cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

　　tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

　　cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系：

　　sin(2π-α)=-sinα

　　cos(2π-α)=cosα

　　tan(2π-α)=-tanα

　　cot(2π-α)=-cotα

　　π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系：

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=-sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　cot(π/2+α)=-tanα

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　tan(π/2-α)=cotα

　　cot(π/2-α)=tanα

　　sin(3π/2+α)=-cosα

　　cos(3π/2+α)=sinα

　　tan(3π/2+α)=-cotα

　　cot(3π/2+α)=-tanα

　　sin(3π/2-α)=-cosα

　　cos(3π/2-α)=-sinα

　　tan(3π/2-α)=cotα

　　cot(3π/2-α)=tanα

　　(以上k∈Z)

　　拓展閱讀：三角函數常用知識點

　　1、勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。

　　2、在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角三角函數為(∠A可換成∠B)

　　3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意銳角的余弦值等于它的'余角的正弦值。

　　4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值;任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。

　　5、正弦、余弦的增減性：當0°≤α≤90°時，sinα隨α的增大而增大，cosα隨α的增大而減小。

　　6、正切、余切的增減性：當0°<α<90°時，tanα隨α的增大而增大，cotα隨α的增大而減小。

函數知識點總結11

　　一：函數及其表示

　　知識點詳解文檔包含函數的概念、映射、函數關系的判斷原則、函數區間、函數的三要素、函數的定義域、求具體或抽象數值的函數值、求函數值域、函數的表示方法等

　　1. 函數與映射的區別：

　　2. 求函數定義域

　　常見的用解析式表示的函數f(x)的定義域可以歸納如下：

　　①當f(x)為整式時，函數的定義域為R.

　　②當f(x)為分式時，函數的定義域為使分式分母不為零的實數集合。

　　③當f(x)為偶次根式時，函數的定義域是使被開方數不小于0的實數集合。

　　④當f(x)為對數式時，函數的定義域是使真數為正、底數為正且不為1的實數集合。

　　⑤如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的.，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合，即求各部分有意義的實數集合的交集。

　　⑥復合函數的定義域是復合的各基本的函數定義域的交集。

　　⑦對于由實際問題的背景確定的函數，其定義域除上述外，還要受實際問題的制約。

　　3. 求函數值域

　　(1)、觀察法：通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域;

　　(2)、配方法;如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式，那么將這個函數的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數的值域;

　　(3)、判別式法：

　　(4)、數形結合法;通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域;

　　(5)、換元法;以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域;

　　(6)、利用函數的單調性;如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那么就可以利用端點的函數值來求出值域;

　　(7)、利用基本不等式：對于一些特殊的分式函數、高于二次的函數可以利用重要不等式求出函數的值域;

　　(8)、最值法：對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域;

　　(9)、反函數法：如果函數在其定義域內存在反函數，那么求函數的值域可以轉化為求反函數的定義域。

函數知識點總結12

　　一次函數：一次函數圖像與性質是中考必考的內容之一。中考試題中分值約為10分左右題型多樣，形式靈活，綜合應用性強。甚至有存在探究題目出現。

　　主要考察內容：

　　①會畫一次函數的圖像，并掌握其性質。

　　②會根據已知條件，利用待定系數法確定一次函數的解析式。

　　③能用一次函數解決實際問題。

　　④考察一ic函數與二元一次方程組，一元一次不等式的關系。

　　突破方法：

　　①正確理解掌握一次函數的概念，圖像和性質。

　　②運用數學結合的思想解與一次函數圖像有關的問題。

　　③掌握用待定系數法球一次函數解析式。

　　④做一些綜合題的訓練，提高分析問題的能力。

　　函數性質：

　　1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k.即：y=kx+b（k，b為常數，k≠0），∵當x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

　　2.當x=0時，b為函數在y軸上的點,坐標為(0，b)。

　　3當b=0時(即y=kx)，一次函數圖像變為正比例函數，正比例函數是特殊的一次函數。

　　4.在兩個一次函數表達式中：

　　當兩一次函數表達式中的k相同，b也相同時，兩一次函數圖像重合；當兩一次函數表達式中的k相同，b不相同時，兩一次函數圖像平行；當兩一次函數表達式中的k不相同，b不相同時，兩一次函數圖像相交；當兩一次函數表達式中的k不相同，b相同時，兩一次函數圖像交于y軸上的`同一點（0，b）。若兩個變量x,y間的關系式可以表示成Y=KX+b(k,b為常數，k不等于0）則稱y是x的一次函數圖像性質

　　1、作法與圖形：通過如下3個步驟：

　　（1）列表.

　　（2）描點；[一般取兩個點,根據“兩點確定一條直線”的道理，也可叫“兩點法”。一般的y=kx+b(k≠0）的圖象過（0，b）和（-b/k，0）兩點畫直線即可。

　　正比例函數y=kx(k≠0）的圖象是過坐標原點的一條直線，一般取（0,0）和（1，k）兩點。（3）連線，可以作出一次函數的圖象一條直線。因此，作一次函數的圖象只需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數圖象與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0，0與b）.

　　2、性質：

　　（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。

　　（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數的圖像都是過原點。

　　3、函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系。

　　4、k，b與函數圖像所在象限：

　　y=kx時（即b等于0，y與x成正比例)：

　　當k>0時，直線必通過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當k0,b>0,這時此函數的圖象經過第一、二、三象限；當k>0,b

函數知識點總結13

　　當h>0時，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位得到，

　　當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.

　　當h>0,k>0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(_-h)^2+k的圖象;

　　當h>0,k<0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象;

　　當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象;

　　當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象;

　　因此，研究拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

　　2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的.圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線_=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

　　3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>0，當_≤-b/2a時，y隨_的增大而減小;當_≥-b/2a時，y隨_的增大而增大.若a<0，當_≤-b/2a時，y隨_的增大而增大;當_≥-b/2a時，y隨_的增大而減小.

　　4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標軸的交點：

　　(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);

　　(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與_軸交于兩點A(_?，0)和B(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0

　　(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|_?-_?|

　　當△=0.圖象與_軸只有一個交點;

　　當△<0.圖象與_軸沒有交點.當a>0時，圖象落在_軸的上方，_為任何實數時，都有y>0;當a<0時，圖象落在_軸的下方，_為任何實數時，都有y<0.

　　5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>0(a<0)，則當_=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

　　頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值.

　　6.用待定系數法求二次函數的解析式

　　(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知_、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

　　y=a_^2+b_+c(a≠0).

　　(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).

　　(3)當題給條件為已知圖象與_軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).

　　7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現.

函數知識點總結14

　　1、定義與定義表達式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a

　　二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

　　2、二次函數的三種表達式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)

　　頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點p(h，k)]

　　交點式：y=a(x-x)(x-x ) [僅限于與x軸有交點a(x，0)和b(x，0)的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　3、二次函數的圖像

　　在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

　　4、拋物線的性質

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

　　2.拋物線有一個頂點p，坐標為：p ( -b/2a，(4ac-b^2)/4a )當-b/2a=0時，p在y軸上;當δ= b^2-4ac=0時，p在x軸上。

　　3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口;當a

　　4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

　　當a與b異號時(即ab

　　5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于(0，c)

　　6.拋物線與x軸交點個數

　　δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　δ= b^2-4ac

　　5、二次函數與一元二次方程

　　特別地，二次函數(以下稱函數)y=ax^2+bx+c，

　　當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax^2+bx+c=0

　　此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

　　1.二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸：

　　當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

　　當h

　　當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象;

　　當h>0,k

　　當h0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;

　　當h

　　因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

　　2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a

　　3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大.若a

　　4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

　　(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);

　　(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點a(x，0)和b(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　(a≠0)的.兩根.這兩點間的距離ab=|x-x|

　　當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

　　當△0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0;當a

　　5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a

　　頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值

　　6.用待定系數法求二次函數的解析式

　　(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

　　y=ax^2+bx+c(a≠0).

　　(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).

　　(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0).

函數知識點總結15

　　一、函數的概念與表示

　　1、映射

　　(1)映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應(包括集合A、B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。

　　注意點：(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射

　　2、函數

　　構成函數概念的三要素

　　①定義域②對應法則③值域

　　兩個函數是同一個函數的條件：三要素有兩個相同

　　二、函數的解析式與定義域

　　1、求函數定義域的主要依據：

　　(1)分式的分母不為零;

　　(2)偶次方根的被開方數不小于零，零取零次方沒有意義;

　　(3)對數函數的真數必須大于零;

　　(4)指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;

　　三、函數的值域

　　1求函數值域的方法

　　①直接法：從自變量x的范圍出發，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復合函數;

　　②換元法：利用換元法將函數轉化為二次函數求值域，適合根式內外皆為一次式;

　　③判別式法：運用方程思想，依據二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的`分式;

　　④分離常數：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);

　　⑤單調性法：利用函數的單調性求值域;

　　⑥圖象法：二次函數必畫草圖求其值域;

　　⑦利用對號函數

　　⑧幾何意義法：由數形結合，轉化距離等求值域。主要是含絕對值函數

　　四.函數的奇偶性

　　1.定義:設y=f(x)，x∈A，如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為偶函數。

　　如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為奇

　　函數。

　　2.性質：

　　①y=f(x)是偶函數y=f(x)的圖象關于軸對稱,y=f(x)是奇函數y=f(x)的圖象關于原點對稱,

　　②若函數f(x)的定義域關于原點對稱，則f(0)=0

　　③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數的定義域D1，D2，D1∩D2要關于原點對稱]

　　3.奇偶性的判斷

　　①看定義域是否關于原點對稱②看f(x)與f(-x)的關系

　　五、函數的單調性

　　1、函數單調性的定義：

　　2設是定義在M上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相反，則在M上是減函數;若f(x)與g(x)的單調性相同，則在M上是增函數。

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