第二章 代數(shù)的初步知識

考點1 簡易方程

一. 用字母表示數(shù)

1. 含有字母的式子不僅可以表示數(shù)量關(guān)系，也可以表示數(shù)量。

2. 含有字母的式子還可以簡明、概括地表達運算定律和計算公式，方便研究和解決實際問題。

3. 如果知道給出的式子中每個字母表示的數(shù)是多少，就可以算出這個這個式子表示的數(shù)值是多少。

注意：

1.含有字母的式子中，數(shù)字和字母、字母和字母相乘時，乘號也可以記作“”，也可以省略不寫。在省略乘號的時候，應(yīng)把數(shù)字寫在字母的前面。例如：a×4可以寫成“a4”或“4a”。

2.當(dāng)“1”和任何字母相乘時，“1”可以省略不寫。例如：a×1都寫成“a”而不寫成“1a”。

3.由于字母可以表示任意數(shù)，在一些式子中，對字母表示數(shù)的要進行說明。例如：7／a（a≠0）。

4.因為字母表示的是數(shù)，所以在式子中每一個字母都不注明單位名稱，計算結(jié)果也不注明單位名稱，只在答句中寫上單位名稱。

二. 簡易方程

1. 表示相等關(guān)系的式子叫做等式。

2. 含有未知數(shù)的等式叫方程

3.一個等式由“等式的左邊”、“等式的右邊”、“等號”三部分組成。例如：23+30=53，x+6=12都是等式。7+8、4x-2、x-7﹥9等都不是等式。在x+6=12這個等式中，因為含有未知數(shù)，所以它是方程。等式不一定是方程，但方程一定是等式。它們的關(guān)系如下圖所示：

4.使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。如：x=10，使方程4x-10=30左右兩邊相等，所以x=10就是方程4x-10=30的解。

5.求方程的解的過程叫做解方程。

6.方程的解是一個值，解方程是求方程的解的演算過程。

7.在小學(xué)階段解簡易方程主要運算用加、減、乘、除法互逆的關(guān)系。

關(guān)系如下：

（1） 一個加數(shù)=和-另一個加數(shù)

（2） 被減數(shù)=差+減數(shù)

（3） 減數(shù)=被減數(shù)-差

（4） 一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)

（5） 被除數(shù)=商×除數(shù)

（6） 除數(shù)=被除數(shù)÷商

8.求出未知數(shù)的值分別代入原方程的兩邊（即求含有字母的式子的值），如果原方程等號左右兩邊相等，則所求得的未知數(shù)的值是原方程的解。

考點二 比和比例

知識要點

一.比和比例的意義和性質(zhì)

1.比和比例的意義：

（1）兩個數(shù)相除又叫做這兩個數(shù)相比。

（2）這里的兩個數(shù)，可以是同類量，也可以是不同類量。

（3）表示兩個比相等的式子叫做比例.

2.基本性質(zhì)：

（1）比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。在比例里，兩個內(nèi)項的積等于兩個外項的積。

3.比和比例的聯(lián)系和區(qū)別：

（1）聯(lián)系：

比和比例有密切的聯(lián)系，比例由兩個相等的比組成。

（2）區(qū)別：

比表示兩個數(shù)相處，表述的是兩個數(shù)（量）關(guān)系的一種形式。有兩項（前項和后項）。

比例是一個等式，表示兩個比相等。有四項（兩個內(nèi)項、兩個外項）。

二.比、分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系

名 稱 意 義 各部分名稱（相互關(guān)系）

比a ：b或

a

b 表示兩個數(shù)相除 前 項 比 號 后 項 比 值

a

b 表示一個數(shù) 分 子 分?jǐn)?shù)線 分 母 分?jǐn)?shù)值

除法

a÷b 表示一種運算 被除數(shù) 除 號 除 數(shù) 商

1. 比的后項、分母、除數(shù)都不能為0.

2. 比和平常比賽中的“幾比幾”的意義不同。

3. 求比值和化簡比的區(qū)別與聯(lián)系

意 義 方 法 結(jié) 果

求比值 前項除以后項所得的商 用前項除以后項 一個數(shù)，可以是整數(shù)、分?jǐn)?shù)或小數(shù)

化簡比 把兩個數(shù)的比化成最簡單的整數(shù)比。 1. 前項和后項同時乘或除以同一個數(shù)（零除外）

2. 也可以先求出比值，再將比值寫成最簡比

一個比

三. 組比例和解比例

根據(jù)比例的基本性質(zhì)，可以判斷兩個比能不能組成比例，還可以求比例中的未知數(shù)，即解比例。

1.組比例：判斷兩個比能否組成比例，一種方法是求兩個比的比值，若比值相等，就可以組成比例；另一種方法是先假設(shè)兩個比已經(jīng)組成比例，求出外項的積和內(nèi)項的積，如果相等，則能組成比例。

2.解比例：求比值中的未知數(shù)，叫做解比例。

四. 正比例和反比例的區(qū)別和聯(lián)系

名 稱 正 比 例 反 比 例

意 義 相 同 點 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一個量變化，另一個量也隨著變化

不 同 點 兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定 兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定

關(guān) 系 式 x／y=k（一定） xy=k（一定）

1. 判斷兩種量是正比例、反比例或不成比例的方法：

（1） 找出兩種相關(guān)聯(lián)的量。

（2） 根據(jù)兩種相關(guān)聯(lián)的量之間的關(guān)系列出數(shù)量關(guān)系式。

（3） 如果兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，就是成正比例的量；若是積一定，就是成反比例的量。

五. 比例尺

1. 圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。

即：圖上距離﹕實際距離=比例尺

圖上距離／實際距離=比例尺

2. 比例尺一般分為數(shù)值比例尺和線段比例尺：

（1）數(shù)值比例尺

例如：一幅圖的比例尺是1﹕200000或1／200000。為了方便，通常把比例尺寫成前項（或后項）是1的比。

（2）線段比例尺

線段比例尺是在圖上附有一條標(biāo)有數(shù)量的線段，用來表示實際上相對應(yīng)的距離。

例如：0 100 200 300 400千米

它表示圖上1厘米的距離相當(dāng)于實際距離100千米。