第一章 數和數的運算
考點1 數的認識
整數的知識結構圖
一.整數和自然數
數物體的時候，用來表示物體個數的0，1，2，3，4叫做自然數。0是最小的自然數。一個物體也沒有用0表示。沒有最大的自然數。自然數的個數是無限的。1是自然數的單位。自然數是整數的一部分，在小學里，學習的整數都是自然數。
二.十進制計數法
一（個）、十、百、千、萬都叫計數單位。其中‘‘一’’是計數單位的基本單位。10個一是十，10個十是一百，，10個1百億是一千億，，相鄰兩個計數單位之間的進率都是十。這種計數的方法叫做十進制計數法。
三.整數的讀法
讀數時，要從高位讀起，一級一級往下讀，屬于億級和萬級的要讀出級名，每級末尾的0都不讀，其他數位一個0或連續幾個0都只能讀一個0。
四.整數的寫法
寫數時，都是從高位起，一級一級往下寫，哪個數位上一個單位也沒有就在那一位上寫0。
五.整數的改寫
為了讀寫方便，常把一個比較大的多位數，寫成用‘‘萬’’或‘‘億’做單位的數；有時也可以根據需要省略這個數某一位后面的尾數，寫成近似數。省略一般根據‘‘四舍五入’’法。
六.整數大小的比較
比較整數的大小時，先看位數，位數多的數就大；位數相同，從高位看起，相同數位上的數大的那個數就大。
整數部分
小數部分
… 億級 萬級 個級
數位
… 千億位 百億位 十億位 億位 千萬位 百萬位 十萬位 萬位 千位 百位 十位 個位 十分位 百分位 千分位 …
計數單位
… 千億 百億 十億 億 千萬 百萬 十萬 萬 千 百 十 個 十分之一 百分之一 千分之一 …
小數的知識結構圖
一.小數的意義
把整數‘‘1’’平均分成10份.100份.1000份，這樣的一份或幾份分別是十分之幾.百分之幾.千分之幾，可以用小數表示。小數點右邊第一位叫十分位，計數單位是十分之一（0.1），第二位叫百分位，計數單位是百分之一（0.01）。小數部分的計數單位是十分之一，沒有最小的計數單位。
二.小數的讀法
讀小數時，小數的整數部分按照整數的讀法來讀，小數點讀做‘‘點’’，小數部分順序讀出每個數位上的數字。
三.小數的寫法
寫小數時，小數的整數部分按照整數的寫法來寫，小數點寫在個位右下角，小數部分順次寫出每個數位上的數字。
四.小數大小的比較
比較小數的大小先看它們的整數部分，整數部分大的那個數就大；整數部分相同，十
分位上的數大的那個數就大；十分位上的數也相同，百分位上的數大的那個數就大。。。。。。
五.純小數.帶小數.循環小數
整數部分是0的小數叫做純小數，純小數比1小。整數部分是0的自然數（0除外）的小數叫做帶小數，帶小數比1大。一個小數的小數部分，從某一位起，有一個或幾個數字依次不斷地重復出現，這樣的小數叫做循環小數。依次不斷重復出現的數字叫循環節。循環節從小數部分第一位開始的叫做純循環小數，循環節不是從小數部分第一位開始的叫做混循環小數。
分數和百分數的認識
一.分數的意義
把單位‘‘1’’平均分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數叫做分數。表示其中一份的數就是分數單位。
二.分數和除法的關系
分數是一種數，除法是一種運算，它們是兩個不同的概念，但是它們之間又有著密切的聯系。
B分之A = A / B （B不等0 ） ）0 BB ( BB /b A
三. 分數的分類
四.分數大小的比較
分母相同的，分子大的分數較大。
分子相同的，分母小的分數較大。
分子.分母都不相同的，一般先通分再比較。
五.百分數的意義
表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。百分數又叫做百分率或百分比。
六.分數、小數、百分數的互化
給寫成分母是10,100,1000，……的分數后再約分
用分子除以分母
去 小 先 寫
百 數 寫 成
分 點 成 分
號 向 小 數
小 右 數 形
數 移 再 式
點 動 寫 再
向 兩 成 約
左 位 百 分
移 上 分
動 百 數
兩 分
位 號
七.折扣.稅率與利率
成數：幾成就是十分之幾，農業上常用的名詞。
折扣：幾折就是十分之幾，商業上常用的名詞。
稅率：應納稅額與各種收入（銷售額.營業額.應納稅所得額）的比率。
利率：利息占本金的百分率。（利率由銀行規定，有按年計算的，也有按月計算的）
利息的計算公式：利息=本金×利率×時間。
考點2 數的整數和分數、小數的基本性質
一．數的整除
1.數的整除
（1）整除和除盡
整數a除以整數b（b不為0），除得商是整數而沒有余數，我們就說數a能被數b整除，或數b能整除數a。
數a除以數b（b不為0），除得的商是整數或是有限小數，這就叫做除盡。如果商是無限小數，就叫除不盡。
整除和除盡的關系可以用圖來表示：
整除是除盡的一種特殊形式，能整除的算式一定能除盡，但能除盡的算式不一定能整除。
（2）、約數和倍數
數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。
約數 一個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是1，最大的約數是它本身。 約數和倍數都表示一個數和另一個數之間的關系，它們是互相依存的
倍數 一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。
“倍數”和“倍”的概念不同，“倍數”存在的前提是“整除”，“倍”則表示的是兩個數相除的商，可以是整數、小數、分數等。
（3）.某些整數的整除特征
能被2整除的數的特征：個位上的數字是0,2,4,6,8.
能被5整除的數的特征：個位上的數字是0或5.
能被3整除的數的特征：各個數位上的數字之和能被3整除.
能被9整除的數的特征：各個數位上的數字之和能被9整除.
能被4,25整除的數的特征：末兩位能被4或25整除.
能被8,125整除的數的特征：末三位能被8或125整除.
（4）.奇數和偶數
能被2整除的數是偶數。
不能被2整除的數是奇數。
奇數和偶數的運算性質
偶數+（或減去）偶數=偶數 奇數+（或減去）奇數=偶數
偶數+（或減去）奇數=奇數 奇數×奇數=奇數
偶數×偶數=偶數 奇數×偶數=偶數
偶數的平方能被4整除，奇數的平方被4除余1.
（5）.質數與合數
一個數只有一和它本身兩個約數，這樣的數就叫做質數（也叫素數）。
一個數除了一和它本身，還有別的約數，這樣的數就叫做合數。
1既不是質數也不是合數。
（6）．質因數和分解質因數
每個合數都可以寫成幾個指數相乘的形式，這幾個質數就叫做這個合數的質因數。
把一個合數用幾個質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。
（7）.公約數和最大公約數
幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數。其中最大的一個叫做這幾個數的最大公約數。
公約數只有1的兩個數叫做互質數。
求最大公約數的方法：
a． 用分解質因數的方法，把公有的質因數相乘。
b． 用短除法的形式求兩個數的最大公約數
c． 特殊情況如果兩個數互質，它們的最大公約數是1。如果兩個數中較小數是較大數的約數，那么較小數就是這兩個數的最大公約數。
（8）.公倍數和最小公倍數
幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數。其中最小的一個叫做這幾個數的最小公倍數。
求最小公倍數的方法：
a． 用分解質因數的方法，把這兩個數公有的質因數和各自獨有的質因數相乘。
b． 用短除法的形式求。
c． 特殊情況下：如果兩個數是互質數，那么這兩個數的積就是它們的最小公倍數。如果兩個數中較大的數是較小的數的倍數，那么較大的數就是這兩個數的最小公倍數。
2．分數和小數的基本性質
（1）分數的基本性質
分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。
應用分數的基本性質可以通分、約分。
（2）小數的基本性質
小數的末尾添上0或者去掉0，小數的大小不變。
小數點位置移動引起小數大小變化。
小數點向右移動一位，原來的數就擴大10倍；小數點向右移動兩位，原來的數就擴大100倍；小數點向右移動三位，原來的數就擴大1000倍…。
小數點向左移動一位，原來的數就縮小10倍；小數點向左移動兩位，原來的數就縮小100倍；小數點向左移動三位，原來的數就縮小1000倍…。
考點3
一．四則運算的意義
1.加、減、乘、除四種運算統稱四則運算。
2.加法的意義：把兩個（或幾個）數合并成一個數的運算叫做加法
3.減法的意義：已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算，叫做減法。減法中，已知的兩個加數的和叫做被減數，其中的一個加數叫做減數，求出另一個加數叫做差。
4.乘法的意義：一個數乘以另一個數，是求幾個相同加數的和的簡便運算，或是求這個數的幾倍是多少。
5.一個數乘一小數就是求這個數的幾分之幾、百分之幾….是多少。
6.一個數乘以分數就是求這個數的幾分之幾是多少。
7.除法的意義：已知兩個因數的積與其中的一個因數求另一個因數的運算叫做除法。在除法中，已知兩個因數的積叫做被除數，其中的一個因數叫做除數，求出來的另一個因數叫做商。
二．四則運算的法則
整數 小數 分數
加法 1. 相同的數位對齊
2. 從個位加起
3. 哪一個數位上的數相加滿幾十，就向前一位進幾
1. 相同的數位對齊（小數點對齊）
2. 再按整數加減法的法則計算
3. 得數里的小數點要和加數、被減數、減數的小數點對齊
1. 同分母分數相加減，分母不變，分子相加
2. 異分母分數相加減。先同分，然后計算
3. 結果能約分的要約分
減法 1. 同數位對齊
2. 從個位減起
3. 哪一數位上的數不夠減，就從前一位借幾當幾十
同單位相加減，單位不變，單位的個數相加減
整數 小數 分數
乘法 1. 從個位開始，先用乘數每一位上的數分別去乘被除數
2. 用乘數上哪一位的數去乘，乘的得數的積的末位就和哪一位對齊
3. 再把幾次乘的得數加起來 1. 按照整數乘法法則先求出積
2. 看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊數幾位點上小數點 1. 分數乘以分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母
2. 有整數的把整數看做分母是1的假分數
3. 有帶分數的，通常先把帶分數化成假分數
除法 除法是整數的除法：從被除數的高位起，除數是幾位數，就先看被除數的前幾位，如果不夠除，就要多看一位。除到哪一位就要把商寫在那一位的上面。商的小數點和被除數的小數點對齊 除數是小數的除法：先移動除數的小數點，使它變成整數。除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也向右移動相同的位數（位數不夠的補“0”），然后按照除數是整數的除法進行計算 甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘以乙數的倒數
三．四則運算各部分的關系
1.加減法各部分之間的關系：
2.加數+加數=和 一加數=和-另一個加數
3.被減數-減數=差 減數=被減數-差
被減數=差+減數
4.因數×因數=積 一個因數=積÷另一個因數
5.被除數÷除數=商 除數=被除數÷商
被除數=除數×商
6.運用加減法、乘除法互為逆運算的關系，可以對加、減、乘、除進行驗算和求式子中的未知數。
四．有關1和0的運算
1. 一個數與0相加，還得這個數。
2. 一個數減去0，還得這個數。
3. 兩個相同的數相減，差是0。
4. 0同任何數相乘，積都是0.
5. 任何數同1相乘，還得這個數。
6. 0除以不等于0的數，商是0.
7. 一個數除以1，商還是這個數。
8. 1除以不等于0的數，商都是除數的倒數。
9. 被除數和除數相等（都不是0），商是一
10. 0不能做除數
五.運算定律和運算性質
1. 運算定律
名稱 內容 字母表示 用數舉例
加法交換律 兩個數相加，交換加數的位置，和不變
a+b=b+a
25+14=14+25
加法結合律 三個數相加，先把前面兩個數相加，再同第三個數相加，或者先把后兩個數相加，再同第一個數相加，它們的和不變
a+b+c=a+(b+c)
20+14+36=20+(14+36)
乘法交換律 兩個數相乘，交換因數的位置，它們的積不變
a×b=b×a
10×12=12×10
乘法結合律 三個數相乘，先把前兩個數相乘，再同第三個數相乘，或者先把后兩個數相乘，再同第一個數相乘，它們的積不變
a×b×c=a×(b×c)
12×25×4=12×(25×4)
乘法分配律 兩個數的和同一個數相乘，可以把兩個加數分別同這個數相乘，再把兩個積相加，結果不變
（a+b）×c=a×c+a×b
“(12+15) ×4=12×4+15×4
2.運算性質
名稱 內容 字母表示 用數舉例
減法的性質 一個數連續減去幾個數等于一個數減去這幾個數的和 a-b-c=a-(b+c) 250-18-25=250-(18+52)
除法的性質 一個數連續除去幾個數（0除外）等于一個數除以這幾個數的積 a÷b÷c=a÷(b×c) 1800÷4÷25=1800÷(4×25)
六.和、差、積、商的變化規律
1. 如果一個加數增加（或減少）一個數，另一個加數不變，那么它們的和也增加或減少相同的數。
2. 如果一個加數增加一個數，另一個加數減少相同的數，那么它們的和不變。
3. 如果被減數增加（或減少）一個數，另一個減數不變，那么差也增加（或減少）同一個數。
4. 如果被減數不變，減數增加（或減少）同一個數，那么差反而減少（或增加）同一個數。
5. 如果被減數和減數都增加（或減少）同一個數，那么它們的差不變。
6. 如果一個因數擴大（或縮小）若干倍，另一個因數不變，那么它們的積也擴大（或縮小）相同的倍數。
7. 如果一個因數擴大若干倍，同時另一個因數縮小相同的倍數，那么它們的積不變。
8. 如果被除數擴大（或縮小）若干倍，除數不變，那么它們的商也擴大（或縮小）相同的倍數。
9. 如果被除數不變，除數擴大（或縮小）若干倍，那么它們的商反而縮小（或擴大）相同的倍數。
10. 如果被除數和除數同時擴大（或縮小）若干倍，那么它們的商不變。
七.四則運算的順序
1. 四則運算分為二級。加減法叫做第一級運算，乘除法叫做第二級運算。
2. 運算的順序：在一個沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，要從左往右依次計算；如果含有兩級運算，要先算第二級運算，再算第一級運算。在有括號的算式里，要先算括號里的，再算括號外的。
3. 計算時，要認真審題，選擇合理的計算方法。
運算知識分類整理：
1． 運算種類：加法、減法、乘法、除法。
2． 運算形式：口算、筆算、估算、用計算器計算。
3． 運算法則：在一個沒有括號的算式里，如果只含有同一級運算，要從左往右依次計算；如果含有兩級運算，要先算第二級運算，再算第一級運算。在有括號的算式里，要先算括號里的，再算括號外的。
4． 運算定律：加法交換律和結合律，乘法交換律、結合律和分配律。