第七單元 軸對稱圖形
一、教學內容
本單元是小學階段第一次教學軸對稱圖形，首先結合實例感知對稱現象，這是課程標準提出的內容與要求。生活中的許多物體具有對稱特征，自然界有許多對稱現象，聯系實際教學軸對稱圖形離不開這些對稱的物體和現象。初步認識對稱的物體或現象，感受對稱的奇妙與對稱美，都有利于軸對稱圖形的教學。教學重點是軸對稱圖形，編排了兩道例題。前一道例題教學軸對稱圖形的特點，讓學生知道怎樣的圖形才是軸對稱圖形，學會判斷一個圖形是不是軸對稱圖形。后一道例題是制作簡單的軸對稱圖形，通過創造性的制作，進一步感受軸對稱圖形的特點。編寫的一篇“你知道嗎”介紹了許多對稱的昆蟲、對稱的自然現象、對稱的著名建筑，有拓寬眼界、豐富知識，激發興趣的作用。“奇妙的剪紙”是一次操作型的實踐活動，指導學生利用軸對稱圖形的特點，剪出圖案或花邊。
二、教材編寫特點和教學建議
1．先感受物體的對稱，再體會圖形的對稱，加強軸對稱圖形的概念。
第56頁例題和“試一試”的教學分四步進行。第一步是觀察天安門、飛機、獎杯三個物體，發現這些物體或是左右兩邊，或是上下兩邊，或是前后兩邊的形狀、結構、大小都完全相同，從而接受這些“物體是對稱的”這個概念。并帶著這樣的概念到身邊去尋找對稱的物體。為什么先教學對稱的物體？有三個原因。一是對稱原先是生活中的概念，如人的臉部左右兩邊基本相同，就說臉是對稱的。隨著概念在各個學科的深入應用，概念也就逐漸分化和嚴格。在數學里就有中心對稱，軸對稱和平面對稱三種情況。聯系生活經驗，先建立生活中的對稱概念，再形成數學里的軸對稱概念，教學比較順暢。二是許多軸對稱圖形就是對稱物體某個面的圖形，認識對稱的物體為認識軸對稱圖形提供寬廣的現實背景。三是可以組織對稱的物體與軸對稱圖形的對比，使軸對稱圖形的概念清晰、準確。盡管天安門、飛機、獎杯都是學生比較熟悉的物體，但要他們發現這三個物體的共同特征仍會有困難，教學時要給予適當的暗示或啟發。如把手指或一根小棒放在天安門的中央，使學生注意到天安門的左右兩邊。
第二步是把天安門、飛機、獎杯的一個面畫下來，得到圖形，使研究的對象從物體轉移為平面圖形。這是教學不能忽視的環節，關系到軸對稱圖形的概念是否正確，會不會與物體的對稱特征相混淆。
第三步通過對折圖形，體會軸對稱圖形的特點，建立軸對稱圖形的概念。教材在第115頁準備了天安門、飛機、獎杯的圖形，可以把圖形剪下來并對折。要求每個學生至少剪、折兩個圖形，發現的才是這些圖形的共同特點。折痕兩邊的部分完全重合是軸對稱圖形的本質特征，也是概念的重要內涵。完全重合的兩邊必定大小一樣、形狀一樣。但是，大小、形狀相同的兩邊有時并不完全重合。所以，要讓學生在對折的活動中仔細體會完全重合的含義，建立準確的數學概念。教材在天安門圖形上介紹了對稱軸，它是折痕所在的直線。介紹對稱軸能幫助學生接受軸對稱圖形這個概念，在本單元不要求學生畫出軸對稱圖形的對稱軸，這是第二學段的教學要求。
第四步是判斷四個幾何圖形是不是軸對稱圖形，進一步加強概念。判斷的依據是圖形對折，折痕的兩邊能不能完全重合。不僅憑視覺和想象作出判斷，還要動手對折進行驗證。平行四邊形是判斷的難點，要在對折活動中體會雖然折痕兩邊形狀、大小一樣，但不能完全重合，因此不是軸對稱圖形。要注意語言的嚴密，這個三角形(梯形)是軸對稱圖形，不能說成三角形(梯形)是軸對稱圖形，因為許多三角形和梯形并不是軸對稱圖形。
“想想做做”選擇了一些常見的圖案、英文字母、部分國家的國旗、部分交通標志，判斷是不是軸對稱圖形。一方面使數學知識與現實生活聯系起來，二方面幫助學生豐富社會知識，三方面能激發學習興趣。教學時要注意三點，一是對個別較難識別與判斷的圖案、字母，要給學生必要的幫助。如紫荊花圖案，英文字母N、S、Z等。二是判斷國旗的時候，不能只看整體形狀，還要看圖案，但不要關注顏色。三是結合判斷交通標志，適當介紹這些標志的意思。
2．做軸對稱圖形，加深體驗。
教材里安排了三次制作軸對稱圖形的活動。第一次是第57頁例題，鼓勵學生創造性地制作。第二次是第58頁第3題，在方格紙上畫出圖形的另一半，組成軸對稱圖形。第三次是剪紙，做出軸對稱圖案或花邊。這三次制作的目的，都是加深對軸對稱圖形的體驗。
教學第57頁例題要注意四點。一是適當出示一些材料，如紙和剪刀、釘子板和線、水彩畫顏料和白紙，通過材料給學生啟發，打開創作的思路。二是在制作前提醒學生想一想，怎樣的圖形是軸對稱圖形；在制作后看一看，做出的是不是軸對稱圖形。把數學概念貫穿在制作活動的全過程中，達到加強體驗的目的。三是不要限于教科書里的幾種制作方法，鼓勵學生創新。四是加強作品的交流與評價，調動學生的積極性。
教學“想想做做”第3題要注意兩點。一是讓學生獨立地畫，在畫的過程中體會畫的方法。二是通過交流明白制作的要領：先畫出圖形另一半的各個頂點，再連成圖形。
第八單元 認識分數
一、教學內容
三年級(上冊)初步認識分數，是把一個物體、一個圖形平均分，用分數表示其中的一份或幾份。本單元繼續認識分數，要把若干個物體組成的一個整體平均分，用分數表示其中的一份或幾份。在“想想做做”里還把1元、1米、1分米等計量單位平均分，用分數表示幾角、幾分米或者幾厘米。
教學內容的編排是第64～67頁教學整體的幾分之一，第68～72頁教學整體的幾分之幾，練習七是整個單元內容的綜合練習。教學整體的幾分之一和幾分之幾的教材又都分為兩段，先用分數幾分之一或幾分之幾表示整體里的一份或幾份，再求整體的幾分之一或幾分之幾是多少個物體。安排后一段內容的教學，是為了進一步體會分數的意義。
二、教材編寫特點和教學建議
1．循序漸進，認識整體的幾分之一。
把一個物體(餅、蘋果、圓片)平均分成2份，每份是 個餅、蘋果或圓片，每份是這個餅、蘋果、圓片的 。這里的 既能表示一份的數量是多少，也能表示一份與整個餅、蘋果、圓片的關系。由于這種雙重含義，學生在具體數量的支持下，接受了分數 。把若干個物體組成的整體平均分成2份(如6個蘋果組成一個整體)，其中的一份是3個蘋果，這一份是整體的 。這里的每份個數與每份在整體里的關系不再是同一個數，這就構成了認識分數的難點。為此，教材循序漸進，小步子提升，引導學生體會分數的意義。
例題是每份1個，占整體的 。首先既用文字又配置情境圖呈現實際問題，然后出現把一盤桃平均分成4份的集合圖，指向集合圖里的桃告訴學生，每只小猴分得這盤桃的 。顯然，教材采用意義接受的方式教學分數的含義，集合圖起了很重要的作用。教學要從實際問題出發，結合平均分的活動，使集合圖成為動態的發生、發展過程，突出整體平均分成幾份，它的每一份都是整體的幾分之一。
“想一想”是每份2個，占整體的 。由于學生在例題里已經獲得理解集合圖的圖意的經驗，所以這里直接出現把一盤桃平均分成2份的集合圖，看圖說出每份是整體的 。要讓學生充分交流得出 的思考，突出整體平均分成2份，每份是整體的 。
“想想做做”出現每份3個、4個的情況，不論每份的個數，它總是整體的幾分之一。這些認識，在第1、2兩題中通過比較才能獲得。如每個球是一盒的 ，每個蘑菇是一盤的 ，為什么兩個分數不同？原因是一盒皮球平均分成6份，一盤蘑菇平均分成5份。由于整體被分的份數不同，表示每份的分數也不同。再如6個蘋果平均分成2份和平均分成3份，表示其中一份的分數分別是 和 ；12個正方體平均分成4份和3份，表示每份的分數分別是 和 。這些素材讓學生反復體會，一個整體被平均分成幾份，其中的一份都可以用幾分之一表示。
2．舉一反三，教學幾分之幾。
第68頁例題教學整體的幾分之幾，和教學幾分之一有相似的安排。先圖文結合呈現實際問題，再用集合圖表達實際問題的數學內容，然后指向集合圖講述 的含義。要注意的是， 的意義是在 的基礎上描述的，突出了3個 是 。即一盤桃平均分成4份，每份是這盤桃的 ，3份是3個 ，就是 。
“想一想”變換了素材，讓學生體驗3個 是 。要引導學生應用例題里得到的體驗進行推理，根據10個蘿卜平均分給5只兔子，先想到每只兔子分得這些蘿卜的 ，再想3只兔共分得3個 ，是這些蘿卜的 。
“想想做做”第1、2題在豐富的素材中繼續體會整體的幾分之幾，仍然要突出有條理地思考。從整體被平均分成幾份，先想到其中的一份是整體的幾分之一；再想這樣的若干份，可以用分數幾分之幾來表示。如每朵紅花是花的總數的 ，5朵紅花占花的總數的 。在寫山羊只數占羊的總數的幾分之幾時，學生中會出現 和 兩個分數。要引導學生用 表示山羊只數與羊的總數的關系，因為只要把羊的總數平均分成3份，比 簡便。
3．求整體的幾分之一或幾分之幾是多少個，進一步體會分數的意義。
第66頁例題求整體的幾分之一是多少個，第71頁例題求整體的幾分這有多少個。解決這些問題，要聯系具體的材料解釋分數的含義，并根據分數含義進行操作或列式計算。所以，起進一步體會分數意義的作用。
這些實際問題的教學，分成三個層次逐漸提高要求。首先在例題前鋪墊，第65頁第2、3兩題，在圖里涂顏色表示 、 、 和 ，在12根小棒里拿出 和 ，滲透了求整體的幾分之一的內容。第69頁第3、4兩題，隱含了求整體的幾分之幾的思想。然后通過例題的教學，完成“想想做做”的第1、2兩題，依據分數的意義，先操作再列式計算解決實際問題，讓操作活動成為聯系分數意義和算式的紐帶，成為從分數意義到列出算式的中介。最后是“想想做做”第3、4兩題，根據分數的意義直接列式計算，解決一些不容易操作的實際問題。
教學兩道例題要注意三點。一是抓住分數的意義引導思考。無論求總數的幾分之一還是幾分之幾有多少個的實際問題，都給出了一個確定的分數，這個分數的意義就是實際問題里的數量關系。讓學生結合具體情境解釋分數的意義，能夠組織起解決問題的思路，從而找到解決問題的方法。如第66頁例題“分得一盤桃的 ”就是把這盤桃平均分成4份，分得其中的1份。由此引發“分一分”的操作。通過分析數量關系和實物操作又能想到4÷4=1(個)的計算。學生經歷“說分數意義-實物操作-列式計算-回答問題”等一系列學習活動，是把實際問題進行數學化處理，獲得知識技能的過程，是進行推理發展數學思考的過程，分數意義是貫穿一系列學習活動的紅線。二是讓學生動手分一分。動手把整體平均分是對分數意義的理性思考拉動的操作行為，在解釋分數意義的時候，會很自然地激起分一分的愿望。動手操作也是解決問題的一種有效方法，往往分一分就得出問題的答案，教材為學生創造了動手分一分的條件，也多次提出分一分的要求。三是本單元給學生解決的實際問題都以現實的情境圖出現，不要出現純文字敘述的應用題。
4．教學十分之幾的分數，為認識小數作準備。
第70頁第7～11題都是十分之幾的分數，編排這些題的主要目的有兩個。一是進一步認識分數。這些習題把自然數1以及1米、1分米、1元等計量單位平均分，用分數表示其中的一份或幾份。這樣，學生在三年級上、下兩冊教科書里學習分數知識，從1個物體或圖形的幾分之幾，到若干個物體組成的整體的幾分之幾，又擴展到1個計量單位的幾分之幾，被平均分的對象不斷發展，對分數的認識也隨之逐漸深化。二是為后面認識小數作準備。因為十分之幾的分數可以寫成一份小數，一位小數表示十分之幾。所以理解一位小數的意義需要十分之幾的分數作基礎。
四道題的編排是有層次的。第7題是認識十分之幾的第一步，把一條線段平均分成10份，其中1份是這條線段的 ，7份是這條線段的 。學生首次學習十分之幾，體會了十分之幾與十分之一的關系。線段的兩端分別表示整數0和1，在線段上能清楚地看到， 、 …… 這些十分之幾的分數都在0和1之間。第8、9兩題是認識十分之幾的第二步，也是最重要的一步。在直觀圖形的支持下聯系已經掌握的1分米=10厘米、1元=10角這些進率，以及對十分之幾分數的理解，把幾厘米寫成十分之幾分米，把幾角寫成十分之幾元。第10、11兩題是認識十分之幾的第三步，提升前兩步的學習，滲透有關概率的初步知識。
這些題要盡量讓學生獨立思考、獨立完成。因為他們已經初步理解了分數的含義，有用分數表示圖形、整體的一部分的經驗。再加上多數題為學生提供了圖形直觀的有利條件，能支持他們思考。要充分組織學生相互交流，形成寫分數的正確思路，培養推理能力，發展數學思考。