高三數學排列教案

時間：2022-12-28 12:15:28 數學教案我要投稿

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高三數學排列教案

　　作為一名教師，就有可能用到教案，教案有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。那么優(yōu)秀的教案是什么樣的呢？以下是小編整理的高三數學排列教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

高三數學排列教案

高三數學排列教案1

　　內容提要：本文把常見的排列問題歸納成三種典型問題，并在排列的一般規(guī)定性下，對每一種類型的問題通過典型例題歸納出相應的解決方案，并附以近年的高考原題及解析，使我們對排列問題的認識更深入本質，對排列問題的解決更有章法可尋。

　　關鍵詞：特殊優(yōu)先，大元素，捆綁法，插空法，等機率法

　　排列問題的應用題是學生學習的難點，也是高考的必考內容，筆者在教學中嘗試將排列

　　問題歸納為三種類型來解決：

　　下面就每一種題型結合例題總結其特點和解法，并附以近年的高考原題供讀者參研。

　　一、能排不能排排列問題（即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題）

　　解決此類問題的關鍵是特殊元素或特殊位置優(yōu)先。或使用間接法。

　　例1：（1）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

　　（2）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

　　（3）7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

　　（4）7位同學站成一排，其中甲不能在排頭、乙不能站排尾的排法共有多少種？

　　解析：

　　（1）先考慮甲站在中間有1種方法，再在余下的6個位置排另外6位同學，共種方法；

　　（2）先考慮甲、乙站在兩端的排法有種，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有種，共種方法；

　　（3）先考慮在除兩端外的5個位置選2個安排甲、乙有種，再在余下的5個位置排另外5位同學排法有種，共種方法；本題也可考慮特殊位置優(yōu)先，即兩端的排法有，中間5個位置有種，共種方法；

　　（4）分兩類乙站在排頭和乙不站在排頭，乙站在排頭的排法共有種，乙不站在排頭的排法總數為：先在除甲、乙外的5人中選1人安排在排頭的方法有種，中間5個位置選1個安排乙的方法有，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有，故共有種方法；本題也可考慮間接法，總排法為，不符合條件的甲在排頭和乙站排尾的排法均為，但這兩種情況均包含了甲在排頭和乙站排尾的情況，故共有種。

　　例2。某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數學、物理、化學、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數學，共有多少種不同的排課方法？

　　解法1：對特殊元素數學和體育進行分類解決

　　（1）數學、體育均不排在第一節(jié)和第六節(jié)，有種，其他有種，共有種；

　　（2）數學排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有一種，其他有種，共有種；

　　（3）數學排在第一節(jié)、體育不在第六節(jié)有種，其他有種，共有種；

　　（4）數學不排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有種，其他有種，共有種；

　　所以符合條件的排法共有種

　　解法2：對特殊位置第一節(jié)和第六節(jié)進行分類解決

　　（1）第一節(jié)和第六節(jié)均不排數學、體育有種，其他有種，共有種；

　　（2）第一節(jié)排數學、第六節(jié)排體育有一種，其他有種，共有種；

　　（3）第一節(jié)排數學、第六節(jié)不排體育有種，其他有種，共有種；

　　（4）第一節(jié)不排數學、第六節(jié)排體育有種，其他有種，共有種；

　　所以符合條件的排法共有種。

　　解法3：本題也可采用間接排除法解決

　　不考慮任何限制條件共有種排法，不符合題目要求的排法有：（1）數學排在第六節(jié)有種；（2）體育排在第一節(jié)有種；考慮到這兩種情況均包含了數學排在第六節(jié)和體育排在第一節(jié)的情況種所以符合條件的排法共有種

　　附：

　　1、（20xx北京卷）五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有（）

　　（A）種（B）種（C）種（D）種

　　解析：本題在解答時將五個不同的子項目理解為5個位置，五個工程隊相當于5個不同的元素，這時問題可歸結為能排不能排排列問題（即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題），先排甲工程隊有，其它4個元素在4個位置上的排法為種，總方案為種。故選（B）。

　　2、（20xx全國卷Ⅱ）在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整除的數共有個。

　　解析：本題在解答時只須考慮個位和千位這兩個特殊位置的限制，個位為1、2、3、4中的某一個有4種方法，千位在余下的4個非0數中選擇也有4種方法，十位和百位方法數為種，故方法總數為種。

　　3、（20xx福建卷）從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（）

　　A、300種 B、240種 C、144種 D、96種

　　解析：本題在解答時只須考慮巴黎這個特殊位置的要求有4種方法，其他3個城市的排法看作標有這3個城市的3個簽在5個位置（5個人）中的排列有種，故方法總數為種。故選（B）。

　　上述問題歸結為能排不能排排列問題，從特殊元素和特殊位置入手解決，抓住了問題的本質，使問題清晰明了，解決起來順暢自然。

　　二、相鄰不相鄰排列問題（即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題）

　　相鄰排列問題一般采用大元素法，即將相鄰的元素捆綁作為一個元素，再與其他元素進行排列，解答時注意釋放大元素，也叫捆綁法。不相鄰排列問題（即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題）一般采用插空法。

　　例3：7位同學站成一排，

　　（1）甲、乙和丙三同學必須相鄰的排法共有多少種？

　　（2）甲、乙和丙三名同學都不能相鄰的排法共有多少種？

　　（3）甲、乙兩同學間恰好間隔2人的排法共有多少種？

　　解析：

　　（1）第一步、將甲、乙和丙三人捆綁成一個大元素與另外4人的排列為種，

　　第二步、釋放大元素，即甲、乙和丙在捆綁成的大元素內的排法有種，所以共種；

　　（2）第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共種方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后產生的5個空擋中的任何3個都符合要求，排法有種，所以共有種；（3）先排甲、乙，有種排法，甲、乙兩人中間插入的2人是從其余5人中選，有種排法，將已經排好的4人當作一個大元素作為新人參加下一輪4人組的排列，有種排法，所以總的排法共有種。

　　附：1、（20xx遼寧卷）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有個。（用數字作答）

　　解析：第一步、將1和2捆綁成一個大元素，3和4捆綁成一個大元素，5和6捆綁成一個大元素，第二步、排列這三個大元素，第三步、在這三個大元素排好后產生的4個空擋中的任何2個排列7和8，第四步、釋放每個大元素（即大元素內的每個小元素在捆綁成的大元素內部排列），所以共有個數。

　　2、（20xx。重慶理）某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學參賽，其中一班有3位，

　　二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學恰

　　好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為（）

　　A、B、C、D。

　　解析：符合要求的基本事件（排法）共有：第一步、將一班的3位同學捆綁成一個大元素，第二步、這個大元素與其它班的5位同學共6個元素的全排列，第三步、在這個大元素與其它班的5位同學共6個元素的全排列排好后產生的7個空擋中排列二班的2位同學，第四步、釋放一班的3位同學捆綁成的大元素，所以共有個；而基本事件總數為個，所以符合條件的概率為。故選（ B ）。

　　3、（20xx京春理）某班新年聯歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數為（）

　　A、42 B、30 C、20 D、12

　　解析：分兩類：增加的兩個新節(jié)目不相鄰和相鄰，兩個新節(jié)目不相鄰采用插空法，在5個節(jié)目產生的6個空擋排列共有種，將兩個新節(jié)目捆綁作為一個元素叉入5個節(jié)目產生的6個空擋中的一個位置，再釋放兩個新節(jié)目捆綁成的大元素，共有種，再將兩類方法數相加得42種方法。故選（ A ）。

　　三、機會均等排列問題（即某兩或某些元素按特定的方式或順序排列的排列問題）

　　解決機會均等排列問題通常是先對所有元素進行全排列，再借助等可能轉化，即乘以符合要求的某兩（或某些）元素按特定的方式或順序排列的排法占它們（某兩（或某些）元素）全排列的比例，稱為等機率法或將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決。

　　例4、 7位同學站成一排。

　　（1）甲必須站在乙的左邊？

　　（2）甲、乙和丙三個同學由左到右排列？

　　解析：

　　（1）7位同學站成一排總的排法共種，包括甲、乙在內的7位同學排隊只有甲站在乙的左邊和甲站在乙的右邊兩類，它們的機會是均等的，故滿足要求的排法為，本題也可將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決，即先在7個位置中選出2個位置安排甲、乙，由于甲在乙的左邊共有種，再將其余5人在余下的5個位置排列有種，得排法數為種；

　　（2）參見（1）的分析得（或）。

　　本文通過較為清晰的脈絡把排列問題分為三種類型，使我們對排列問題有了比較系統的認識。但由于排列問題種類繁多，總會有些問題不能囊括其中，也一定存在許多不足，希望讀者能和我一起研究完善。

高三數學排列教案2

　　排列問題的應用題是學生學習的難點，也是高考的必考內容,筆者在教學中嘗試將排列問題歸納為三種類型來解決：

　　下面就每一種題型結合例題總結其特點和解法，并附以近年的高考原題供讀者參研.

　　一. 能排不能排排列問題(即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題)

　　解決此類問題的關鍵是特殊元素或特殊位置優(yōu)先.或使用間接法.

　　例1.(1)7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法?

　　(2)7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種?

　　(3)7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種?

　　(4)7位同學站成一排，其中甲不能在排頭、乙不能站排尾的排法共有多少種?

　　解析:(1)先考慮甲站在中間有1種方法，再在余下的6個位置排另外6位同學，共種方法;

　　(2)先考慮甲、乙站在兩端的排法有種，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有種，共種方法;

　　(3) 先考慮在除兩端外的5個位置選2個安排甲、乙有種，再在余下的5個位置排另外5位同學排法有種，共種方法;本題也可考慮特殊位置優(yōu)先,即兩端的排法有 ,中間5個位置有種，共種方法;

　　(4)分兩類乙站在排頭和乙不站在排頭，乙站在排頭的排法共有種，乙不站在排頭的排法總數為：先在除甲、乙外的5人中選1人安排在排頭的方法有種，中間5個位置選1個安排乙的方法有，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有，故共有種方法;本題也可考慮間接法，總排法為，不符合條件的甲在排頭和乙站排尾的排法均為，但這兩種情況均包含了甲在排頭和乙站排尾的情況，故共有種.

　　例2.某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數學、物理、化學、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數學，共有多少種不同的排課方法?

　　解法1：對特殊元素數學和體育進行分類解決

　　(1)數學、體育均不排在第一節(jié)和第六節(jié)，有種，其他有種，共有種;

　　(2)數學排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有一種，其他有種，共有種;

　　(3)數學排在第一節(jié)、體育不在第六節(jié)有種，其他有種，共有種;

　　(4)數學不排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有種，其他有種，共有種;

　　所以符合條件的排法共有種

　　解法2：對特殊位置第一節(jié)和第六節(jié)進行分類解決

　　(1)第一節(jié)和第六節(jié)均不排數學、體育有種，其他有種，共有種;

　　(2)第一節(jié)排數學、第六節(jié)排體育有一種，其他有種，共有種;

　　(3)第一節(jié)排數學、第六節(jié)不排體育有種，其他有種，共有種;

　　(4)第一節(jié)不排數學、第六節(jié)排體育有種，其他有種，共有種;

　　所以符合條件的排法共有種.

　　解法3：本題也可采用間接排除法解決

　　不考慮任何限制條件共有種排法，不符合題目要求的排法有：(1)數學排在第六節(jié)有種;(2)體育排在第一節(jié)有種;考慮到這兩種情況均包含了數學排在第六節(jié)和體育排在第一節(jié)的情況種所以符合條件的排法共有種

　　附：1、(20xx北京卷)五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有( )

　　(A) 種 (B) 種 (C) 種 (D) 種

　　解析：本題在解答時將五個不同的子項目理解為5個位置，五個工程隊相當于5個不同的元素，這時問題可歸結為能排不能排排列問題(即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題)，先排甲工程隊有，其它4個元素在4個位置上的排法為種，總方案為種.故選(B).

　　2、(20xx全國卷Ⅱ)在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整除的數共有個.

　　解析：本題在解答時只須考慮個位和千位這兩個特殊位置的限制，個位為1、2、3、4中的某一個有4種方法，千位在余下的4個非0數中選擇也有4種方法，十位和百位方法數為種，故方法總數為種.

　　3、(20xx福建卷)從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 ( )

　　A.300種 B.240種 C.144種 D.96種

　　解析：本題在解答時只須考慮巴黎這個特殊位置的要求有4種方法，其他3個城市的排法看作標有這3個城市的3個簽在5個位置(5個人)中的排列有種，故方法總數為種.故選(B).

　　上述問題歸結為能排不能排排列問題，從特殊元素和特殊位置入手解決,抓住了問題的本質，使問題清晰明了，解決起來順暢自然.

　　二.相鄰不相鄰排列問題(即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題)

　　相鄰排列問題一般采用大元素法,即將相鄰的元素捆綁作為一個元素，再與其他元素進行排列，解答時注意釋放大元素，也叫捆綁法.不相鄰排列問題(即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題)一般采用插空法.

　　例3. 7位同學站成一排，

　　(1)甲、乙和丙三同學必須相鄰的排法共有多少種?

　　(2)甲、乙和丙三名同學都不能相鄰的排法共有多少種?

　　(3)甲、乙兩同學間恰好間隔2人的排法共有多少種?

　　解析：(1)第一步、將甲、乙和丙三人捆綁成一個大元素與另外4人的排列為種，

　　第二步、釋放大元素，即甲、乙和丙在捆綁成的大元素內的排法有種，所以共種;

　　(2)第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共種方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后產生的5個空擋中的任何3個都符合要求，排法有種，所以共有種;(3)先排甲、乙，有種排法，甲、乙兩人中間插入的2人是從其余5人中選，有種排法，將已經排好的4人當作一個大元素作為新人參加下一輪4人組的排列，有種排法，所以總的排法共有種.

　　附：1、(20xx遼寧卷)用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有個.(用數字作答)

　　解析：第一步、將1和2捆綁成一個大元素，3和4捆綁成一個大元素，5和6捆綁成一個大元素，第二步、排列這三個大元素，第三步、在這三個大元素排好后產生的4個空擋中的任何2個排列7和8，第四步、釋放每個大元素(即大元素內的每個小元素在捆綁成的大元素內部排列)，所以共有個數.

　　2、 (20xx. 重慶理)某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學參賽，其中一班有3位，

　　二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學恰

　　好被排在一起(指演講序號相連)，而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為 ( )

　　A. B. C. D.

　　解析：符合要求的基本事件(排法)共有：第一步、將一班的3位同學捆綁成一個大元素，第二步、這個大元素與其它班的5位同學共6個元素的全排列，第三步、在這個大元素與其它班的5位同學共6個元素的全排列排好后產生的7個空擋中排列二班的2位同學，第四步、釋放一班的3位同學捆綁成的大元素，所以共有個;而基本事件總數為個，所以符合條件的概率為 .故選( B ).

　　3、(20xx京春理)某班新年聯歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數為( )

　　A.42 B.30 C.20 D.12

　　三.機會均等排列問題(即某兩或某些元素按特定的方式或順序排列的排列問題)

　　解決機會均等排列問題通常是先對所有元素進行全排列,再借助等可能轉化，即乘以符合要求的某兩(或某些)元素按特定的方式或順序排列的排法占它們(某兩(或某些)元素)全排列的比例，稱為等機率法或將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決.

　　例4、 7位同學站成一排.

　　(1)甲必須站在乙的左邊?

　　(2)甲、乙和丙三個同學由左到右排列?

　　解析：(1)7位同學站成一排總的排法共種,包括甲、乙在內的7位同學排隊只有甲站在乙的左邊和甲站在乙的右邊兩類，它們的機會是均等的，故滿足要求的排法為，本題也可將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決，即先在7個位置中選出2個位置安排甲、乙, 由于甲在乙的左邊共有種，再將其余5人在余下的5個位置排列有種，得排法數為種;

　　(2)參見(1)的分析得 (或 ).

高三數學排列教案3

　　教學目標

　　（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；

　　（2）了解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；

　　（3）會分析與數字有關的排列問題，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力；

　　教學重點難點

　　重點是排列的定義、排列數并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題。

　　難點是解有關排列的應用題。

　　教學過程設計

　　一、復習引入

　　上節(jié)課我們學習了兩個基本原理，請大家完成以下兩題的練習（用投影儀出示）：

　　1、書架上層放著50本不同的社會科學書，下層放著40本不同的自然科學的書。

　　（1）從中任取1本，有多少種取法？

　　（2）從中任取社會科學書與自然科學書各1本，有多少種不同的取法？

　　2、某農場為了考察三個外地優(yōu)良品種A，B，C，計劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進行引種試驗，問共需安排多少個試驗小區(qū)？

　　找一同學談解答并說明怎樣思考的的過程

　　第1（1）小題從書架上任取1本書，有兩類辦法，第一類辦法是從上層取社會科學書，可以從50本中任取1本，有50種方法；第二類辦法是從下層取自然科學書，可以從40本中任取1本，有40種方法。根據加法原理，得到不同的取法種數是50+40=90。第（2）小題從書架上取社會科學、自然科學書各1本（共取出2本），可以分兩個步驟完成：第一步取一本社會科學書，第二步取一本自然科學書，根據乘法原理，得到不同的取法種數是：50×40=20xx。

　　第2題說，共有A，B，C三個優(yōu)良品種，而每個品種在甲類型土地上實驗有三個小區(qū)，在乙類型的土地上有三個小區(qū)……所以共需3×5=15個實驗小區(qū)。

　　二、講授新課

　　學習了兩個基本原理之后，現在我們繼續(xù)學習排列問題，這是我們本節(jié)討論的重點。先從實例入手：

　　1、北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準備多少種不同飛機票？

　　由學生設計好方案并回答。

　　（1）用加法原理設計方案。

　　首先確定起點站，如果北京是起點站，終點站是上海或廣州，需要制2種飛機票，若起點站是上海，終點站是北京或廣州，又需制2種飛機票；若起點站是廣州，終點站是北京或上海，又需要2種飛機票，共需要2+2+2=6種飛機票。

　　（2）用乘法原理設計方案。

　　首先確定起點站，在三個站中，任選一個站為起點站，有3種方法。即北京、上海、廣泛任意一個城市為起點站，當選定起點站后，再確定終點站，由于已經選了起點站，終點站只能在其余兩個站去選。那么，根據乘法原理，在三個民航站中，每次取兩個，按起點站在前、終點站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種。

　　根據以上分析由學生（板演）寫出所有種飛機票

　　再看一個實例。

　　在航海中，船艦常以“旗語”相互聯系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號。如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號？

　　找學生談自己對這個問題的想法。

　　事實上，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號，所以不同顏色的同時升起可以表示出來的信號種數，也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數。

　　首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個，有3種方法；

　　其次，確定中間位置的旗子，當最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有2種方法。剩下那面旗子，放在最低位置。

　　根據乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數是：3×2×1=6（種）。

　　根據學生的分析，由另外的同學（板演）寫出三面旗子同時升起表示信號的所有情況。（包括每個位置情況）

　　第三個實例，讓全體學生都參加設計，把所有情況（包括每個位置情況）寫出來。

　　由數字1，2，3，4可以組成多少個沒有重復數字的三位數？寫出這些所有的三位數。

　　根據乘法原理，從四個不同的數字中，每次取出三個排成三位數的方法共有4×3×2=24（個）。

　　請板演的學生談談怎樣想的？

　　第一步，先確定百位上的數字。在1，2，3，4這四個數字中任取一個，有4種取法。

　　第二步，確定十位上的數字。當百位上的數字確定以后，十位上的數字只能從余下的三個數字去取，有3種方法。

　　第三步，確定個位上的數字。當百位、十位上的數字都確定以后，個位上的數字只能從余下的兩個數字中去取，有2種方法。

　　根據乘法原理，所以共有4×3×2=24種。

　　下面由教師提問，學生回答下列問題

　　（1）以上我們討論了三個實例，這三個問題有什么共同的地方？

　　都是從一些研究的.對象之中取出某些研究的對象。

　　（2）取出的這些研究對象又做些什么？

　　實質上按著順序排成一排，交換不同的位置就是不同的情況。

　　（3）請大家看書，第×頁、第×行。我們把被取的對象叫做雙元素，如上面問題中的民航站、旗子、數字都是元素。

　　上面第一個問題就是從3個不同的元素中，任取2個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，后來又寫出所有排法。

　　第二個問題，就是從3個不同元素中，取出3個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少排法和寫出所有排法。

　　第三個問題呢？

　　從4個不同的元素中，任取3個，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，并寫出所有的排法。

　　給出排列定義

　　請看課本，第×頁，第×行。一般地說，從n個不同的元素中，任取m（m≤n）個元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情況），按著一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

　　下面由教師提問，學生回答下列問題

　　（1）按著這個定義，結合上面的問題，請同學們談談什么是相同的排列？什么是不同的排列？

　　從排列的定義知道，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序（即元素所在的位置）也必須相同。兩個條件中，只要有一個條件不符合，就是不同的排列。

　　如第一個問題中，北京?廣州，上海?廣州是兩個排列，第三個問題中，213與423也是兩個排列。

　　再如第一個問題中，北京?廣州，廣州?北京；第二個問題中，紅黃綠與紅綠黃；第三個問題中231和213雖然元素完全相同，但排列順序不同，也是兩個排列。

　　（2）還需要搞清楚一個問題，“一個排列”是不是一個數？

　　生：“一個排列”不應當是一個數，而應當指一件具體的事。如飛機票“北京?廣州”是一個排列，“紅黃綠”是一種信號，也是一個排列。如果問飛機票有多少種？能表示出多少種信號。只問種數，不用把所有情況羅列出來，才是一個數。前面提到的第三個問題，實質上也是這樣的。

　　三、課堂練習

　　大家思考，下面的排列問題怎樣解？

　　有四張卡片，每張分別寫著數碼1，2，3，4。有四個空箱，分別寫著號碼1，2，3，4。把卡片放到空箱內，每箱必須并且只能放一張，而且卡片數碼與箱子號碼必須不一致，問有多少種放法？（用投影儀示出）

　　分析：這是從四張卡片中取出4張，分別放在四個位置上，只要交換卡片位置，就是不同的放法，是個附有條件的排列問題。

　　解法是：第一步把數碼卡片四張中2，3，4三張任選一個放在第1空箱。

　　第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱。

　　第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱。

　　第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱。具體排法，用下面圖表表示：

　　所以，共有9種放法。

　　四、作業(yè)

　　課本：P232練習1，2，3，4，5，6，7。

高三數學排列教案4

　　教學目標

　　（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；

　　（2）了解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；

　　（3）掌握排列數公式，并能根據具體的問題，寫出符合要求的排列數；

　　（4）會分析與數字有關的排列問題，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力；

　　（5）通過對排列應用問題的學習，讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律，得出結論，以培養(yǎng)學生嚴謹的學習態(tài)度。

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點難點分析

　　本小節(jié)的重點是排列的定義、排列數及排列數的公式，并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題。難點是導出排列數的公式和解有關排列的應用題。突破重點、難點的關鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用，并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問題當中。

　　從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取m個元素的一個排列。因此，兩個相同排列，當且僅當他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同。排列數是指從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素的所有不同排列的種數，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應的排列數。排列與排列數是兩個概念，前者是具有m個元素的排列，后者是這種排列的不同種數。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的有序集，相當于一個排列，而這種有序集的個數，就是相應的排列數。

　　公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解。要重點分析好的推導。

　　排列的應用題是本節(jié)教材的難點，通過本節(jié)例題的分析，應注意培養(yǎng)學生解決應用問題的能力。

　　在分析應用題的解法時，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時的種數，這樣解釋比較直觀，教學上要充分利用，要求學生作題時也應盡量采用。

　　在教學排列應用題時，開始應要求學生寫解法要有簡要的文字說明，防止單純的只寫一個排列數，這樣可以培養(yǎng)學生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求。

　　三、教法建議

　　①在講解排列數的概念時，要注意區(qū)分“排列數”與“一個排列”這兩個概念。一個排列是指“從 n 個不同元素中，任取出 m 個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數，而是具體的一件事；排列數是指“從 n 個不同元素中取出 m 個元素的所有排列的個數”，它是一個數。例如，從3個元素 a ， b ， c 中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：

　　ab ， ac ， ba ， bc ， ca ， cb ，

　　其中每一種都叫一個排列，共有6種，而數字6就是排列數，符號表示排列數。

　　②排列的定義中包含兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”。

　　從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列。

　　在定義中“一定順序”就是說與位置有關，在實際問題中，要由具體問題的性質和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與后面學習的組合的根本區(qū)別。

　　在排列的定義中，如果有的書上叫選排列，如果，此時叫全排列。

　　要特別注意，不加特殊說明，本章不研究重復排列問題。

　　③關于排列數公式的推導的教學。公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解。課本上用的是不完全歸納法，先推導，，…，再推廣到，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學生是不難理解的。

　　導出公式后要分析這個公式的構成特點，以便幫助學生正確地記憶公式，防止學生在“ n ”、“ m ”比較復雜的時候把公式寫錯。這個公式的特點可見課本第229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個因數是 n ，后面每個因數都比它前面一個因數少1，最后一個因數是，共 m 個因數相乘。”這實際是講三個特點：第一個因數是什么？最后一個因數是什么？一共有多少個連續(xù)的自然數相乘。

　　公式是在引出全排列數公式后，將排列數公式變形后得到的公式。對這個公式指出兩點：

　　（1）在一般情況下，要計算具體的排列數的值，常用前一個公式，而要對含有字母的排列數的式子進行變形或作有關的論證，要用到這個公式，教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題；

　　（2）為使這個公式在時也能成立，規(guī)定，如同時一樣，是一種規(guī)定，因此，不能按階乘數的原意作解釋。

　　④建議應充分利用樹形圖對問題進行分析，這樣比較直觀，便于理解。

　　⑤學生在開始做排列應用題的作業(yè)時，應要求他們寫出解法的簡要說明，而不能只列出算式、得出答數，這樣有利于學生得更加扎實。隨著學生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求。

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