排列數學教案設計

排列數學教案設計

　　教學目標

　　（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；

　　（2）了解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；

　　（3）掌握排列數公式，并能根據具體的問題，寫出符合要求的排列數；

　　（4）會分析與數字有關的排列問題，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；

　　（5）通過對排列應用問題的學習，讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規律，得出結論，以培養學生嚴謹的學習態度。

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點難點分析

　　本小節的重點是排列的定義、排列數及排列數的公式，并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題．難點是導出排列數的公式和解有關排列的應用題．突破重點、難點的關鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用，并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問題當中．

　　從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取m個元素的一個排列．因此，兩個相同排列，當且僅當他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同．排列數是指從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素的所有不同排列的種數，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應的排列數．排列與排列數是兩個概念，前者是具有m個元素的排列，后者是這種排列的不同種數．從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的有序集，相當于一個排列，而這種有序集的個數，就是相應的排列數．

　　公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解．要重點分析好 的推導．

　　排列的應用題是本節教材的難點，通過本節例題的分析，應注意培養學生解決應用問題的能力．

　　在分析應用題的解法時，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時的種數，這樣解釋比較直觀，教學上要充分利用，要求學生作題時也應盡量采用．

　　在教學排列應用題時，開始應要求學生寫解法要有簡要的文字說明，防止單純的只寫一個排列數，這樣可以培養學生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求．

　　三、教法建議

　　①在講解排列數的概念時，要注意區分“排列數”與“一個排列”這兩個概念．一個排列是指“從n個不同元素中，任取出m個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數，而是具體的一件事；排列數是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數”，它是一個數．例如，從3個元素a，b，c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：

　　ab，ac，ba，bc，ca，cb，

　　其中每一種都叫一個排列，共有6種，而數字6就是排列數，符號 表示排列數．

　　②排列的定義中包含兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”．

　　從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列．

　　在定義中“一定順序”就是說與位置有關，在實際問題中，要由具體問題的性質和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與后面學習的組合的根本區別．

　　在排列的定義中 ，如果 有的書上叫選排列，如果 ，此時叫全排列．

　　要特別注意，不加特殊說明，本章不研究重復排列問題．

　　③關于排列數公式的推導的教學．公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解．課本上用的是不完全歸納法，先推導 ，…，再推廣到 ，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學生是不難理解的．

　　導出公式 后要分析這個公式的構成特點，以便幫助學生正確地記憶公式，防止學生在“n”、“m”比較復雜的時候把公式寫錯．這個公式的特點可見課本第229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個因數是n，后面每個因數都比它前面一個因數少1，最后一個因數是 ，共m個因數相乘．”這實際是講三個特點：第一個因數是什么？最后一個因數是什么？一共有多少個連續的自然數相乘．

　　公式 是在引出全排列數公式 后，將排列數公式變形后得到的公式．對這個公式指出兩點：（1）在一般情況下，要計算具體的排列數的值，常用前一個公式，而要對含有字母的排列數的式子進行變形或作有關的論證，要用到這個公式，教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題；（2）為使這個公式在 時也能成立，規定 ，如同 時 一樣，是一種規定，因此，不能按階乘數的原意作解釋．

　　④建議應充分利用樹形圖對問題進行分析，這樣比較直觀，便于理解．

　　⑤學生在開始做排列應用題的作業時，應要求他們寫出解法的簡要說明，而不能只列出算式、得出答數，這樣有利于學生得更加扎實．隨著學生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求．

　　教學設計示例

　　排列

　　教學目標

　　（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；

　　（2）了解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；

　　（3）會分析與數字有關的排列問題，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；

　　教學重點難點

　　重點是排列的定義、排列數并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題。

　　難點是解有關排列的應用題。

　　教學過程設計

　　一、 復習引入

　　上節課我們學習了兩個基本原理，請大家完成以下兩題的練習（用投影儀出示）：

　　1．書架上層放著50本不同的社會科學書，下層放著40本不同的自然科學的書．

　　（1）從中任取1本，有多少種取法？

　　（2）從中任取社會科學書與自然科學書各1本，有多少種不同的取法？

　　2．某農場為了考察三個外地優良品種A，B，C，計劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進行引種試驗，問共需安排多少個試驗小區？

　　找一同學談解答并說明怎樣思考的的過程

　　第1（1）小題從書架上任取1本書，有兩類辦法，第一類辦法是從上層取社會科學書，可以從50本中任取1本，有50種方法；第二類辦法是從下層取自然科學書，可以從40本中任取1本，有40種方法．根據加法原理，得到不同的取法種數是50+40=90．第（2）小題從書架上取社會科學、自然科學書各1本（共取出2本），可以分兩個步驟完成：第一步取一本社會科學書，第二步取一本自然科學書，根據乘法原理，得到不同的取法種數是： 50×40=2000．

　　第2題說，共有A，B，C三個優良品種，而每個品種在甲類型土地上實驗有三個小區，在乙類型的土地上有三個小區……所以共需3×5=15個實驗小區．

　　二、 講授新課

　　學習了兩個基本原理之后，現在我們繼續學習排列問題，這是我們本節討論的重點．先從實例入手：

　　1．北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準備多少種不同飛機票？

　　由學生設計好方案并回答．

　　（1）用加法原理設計方案．

　　首先確定起點站，如果北京是起點站，終點站是上海或廣州，需要制2種飛機票，若起點站是上海，終點站是北京或廣州，又需制2種飛機票；若起點站是廣州，終點站是北京或上海，又需要2種飛機票，共需要2+2+2=6種飛機票．

　　（2）用乘法原理設計方案．

　　首先確定起點站，在三個站中，任選一個站為起點站，有3種方法．即北京、上海、廣泛任意一個城市為起點站，當選定起點站后，再確定終點站，由于已經選了起點站，終點站只能在其余兩個站去選．那么，根據乘法原理，在三個民航站中，每次取兩個，按起點站在前、終點站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種．

　　根據以上分析由學生（板演）寫出所有種飛機票

　　再看一個實例．

　　在航海中，船艦常以“旗語”相互聯系，即利用不同顏色的旗子發送出各種不同的信號．如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號？

　　找學生談自己對這個問題的想法．

　　事實上，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號，所以不同顏色的同時升起可以表示出來的信號種數，也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數．

　　首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個，有3種方法；

　　其次，確定中間位置的旗子，當最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有2種方法．剩下那面旗子，放在最低位置．

　　根據乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數是：3×2×1=6（種）．

　　根據學生的分析，由另外的同學（板演）寫出三面旗子同時升起表示信號的所有情況．（包括每個位置情況）

　　第三個實例，讓全體學生都參加設計，把所有情況（包括每個位置情況）寫出來．

　　由數字1，2，3，4可以組成多少個沒有重復數字的三位數？寫出這些所有的三位數．

　　根據乘法原理，從四個不同的數字中，每次取出三個排成三位數的方法共有4×3×2=24（個）．

　　請板演的學生談談怎樣想的？

　　第一步，先確定百位上的數字．在1，2，3，4這四個數字中任取一個，有4種取法．

　　第二步，確定十位上的數字．當百位上的數字確定以后，十位上的數字只能從余下的三個數字去取，有3種方法．

　　第三步，確定個位上的數字．當百位、十位上的數字都確定以后，個位上的數字只能從余下的兩個數字中去取，有2種方法．

　　根據乘法原理，所以共有4×3×2=24種．

　　下面由教師提問，學生回答下列問題

　　（1）以上我們討論了三個實例，這三個問題有什么共同的地方？

　　都是從一些研究的對象之中取出某些研究的對象．

　　（2）取出的這些研究對象又做些什么？

　　實質上按著順序排成一排，交換不同的位置就是不同的情況．

　　（3）請大家看書，第×頁、第×行． 我們把被取的對象叫做雙元素，如上面問題中的民航站、旗子、數字都是元素．

　　上面第一個問題就是從3個不同的元素中，任取2個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，后來又寫出所有排法．

　　第二個問題，就是從3個不同元素中，取出3個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少排法和寫出所有排法．

　　第三個問題呢？

　　從4個不同的元素中，任取3個，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，并寫出所有的排法．

　　給出排列定義

　　請看課本，第×頁，第×行．一般地說，從n個不同的元素中，任取m（m≤n）個元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情況），按著一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．

　　下面由教師提問，學生回答下列問題

　　（1）按著這個定義，結合上面的問題，請同學們談談什么是相同的排列？什么是不同的排列？

　　從排列的定義知道，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序（即元素所在的位置）也必須相同．兩個條件中，只要有一個條件不符合，就是不同的排列．

　　如第一個問題中，北京—廣州，上海—廣州是兩個排列，第三個問題中，213與423也是兩個排列．

　　再如第一個問題中，北京—廣州，廣州—北京；第二個問題中，紅黃綠與紅綠黃；第三個問題中231和213雖然元素完全相同，但排列順序不同，也是兩個排列．

　　（2）還需要搞清楚一個問題，“一個排列”是不是一個數？

　　生：“一個排列”不應當是一個數，而應當指一件具體的事．如飛機票“北京—廣州”是一個排列，“紅黃綠”是一種信號，也是一個排列．如果問飛機票有多少種？能表示出多少種信號．只問種數，不用把所有情況羅列出來，才是一個數．前面提到的第三個問題，實質上也是這樣的．

　　三、 課堂練習

　　大家思考，下面的排列問題怎樣解？

　　有四張卡片，每張分別寫著數碼1，2，3，4．有四個空箱，分別寫著號碼1，2，3，4．把卡片放到空箱內，每箱必須并且只能放一張，而且卡片數碼與箱子號碼必須不一致，問有多少種放法？（用投影儀示出）

　　分析：這是從四張卡片中取出4張，分別放在四個位置上，只要交換卡片位置，就是不同的放法，是個附有條件的排列問題．

　　解法是：第一步把數碼卡片四張中2，3，4三張任選一個放在第1空箱．

　　第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱．

　　第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱．

　　第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱．具體排法，用下面圖表表示：

　　所以，共有9種放法．

　　四、作業

　　課本：P232練習1，2，3，4，5，6，7．

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