《二面角的一種求法》的說(shuō)課稿
一、教材簡(jiǎn)析:
1．地位與作用:
本節(jié)是高二數(shù)學(xué)下冊(cè)第九章《直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體》中相關(guān)§96二面角的求解問(wèn)題。是在立體幾何知識(shí)學(xué)習(xí)完畢，學(xué)生已具有了一定的空間想象能力，掌握了一定的立體幾何的研究方法的基礎(chǔ)之上，對(duì)二面角求解方法進(jìn)行的一個(gè)補(bǔ)充。二面角的求解是立體幾何部分的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，本節(jié)內(nèi)容為學(xué)生提供一個(gè)新的視角。
2．教學(xué)內(nèi)容及目標(biāo)
教學(xué)內(nèi)容:
將異面直線兩點(diǎn)間距離公式變形應(yīng)用于求二面角，變形所得公式就是本節(jié)所學(xué)主要內(nèi)容，暫且稱這個(gè)公式為二面角余弦公式。
教學(xué)目標(biāo)：
知識(shí)目標(biāo)：異面直線兩點(diǎn)間距離公式在求二面角中的應(yīng)用；
能力目標(biāo)：
（1）.推廣引申不但能加深對(duì)原題的理解，而且對(duì)于擴(kuò)大解題效果，提高解題能力，培養(yǎng)發(fā)散思維，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)，都有不可忽視的積極作用。
（2）.通過(guò)轉(zhuǎn)化問(wèn)題探究公式條件的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生探索問(wèn)題的精神，提高學(xué)生化歸的意識(shí)和轉(zhuǎn)化的能力。
情感目標(biāo)：通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)萬(wàn)物都處于聯(lián)系之中，我們要用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問(wèn)題。
3．教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)
重點(diǎn)：二面角余弦公式條件的發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的確定；
難點(diǎn)：二面角余弦公式條件的發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的確定；
二、學(xué)情分析：
1．起點(diǎn)能力分析
立體幾何知識(shí)學(xué)習(xí)完畢，學(xué)生已具有了一定的空間想象能力，掌握了一定的立體幾何的研究方法，并成為本節(jié)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。
2．一般特點(diǎn)分析
高二學(xué)生觀察力已具有一定的目的性、精細(xì)性、持久性，有意識(shí)記占主導(dǎo)地位、意義識(shí)記以占重要地位，同時(shí)概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和運(yùn)用邏輯法則的能力，但由于認(rèn)知水平的不同，學(xué)生掌握和運(yùn)用邏輯法則的能力存在不平衡性。
三、教法分析：
本節(jié)采用啟導(dǎo)法，以質(zhì)疑啟發(fā)、直觀啟發(fā)為主，通過(guò)一系列帶有啟發(fā)性、思考性的問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生思考，教師適時(shí)演示，利用多媒體的直觀性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，化靜為動(dòng)，使學(xué)生始終處于主動(dòng)探索問(wèn)題的積極狀態(tài)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
四、學(xué)法指導(dǎo)：
根據(jù)學(xué)法指導(dǎo)自主性和差異性原則，讓學(xué)生在“觀察——發(fā)現(xiàn)——推理——應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，自主參與知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成的過(guò)程，使學(xué)生掌握知識(shí)，發(fā)展思維能力。
五、教學(xué)程序
1．教學(xué)思路
設(shè)疑導(dǎo)入→構(gòu)建條件→形成公式→公式應(yīng)用→教學(xué)反思。
2．教學(xué)環(huán)節(jié)安排
（一）．情境設(shè)置：
習(xí)題1：教科書(shū)80頁(yè)題10
設(shè)計(jì)意圖：由此題與學(xué)生共同回顧二面角的定義及其求解方法，并且根據(jù)題設(shè)條件，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)該二面角的求解由異面直線AC、DB的位置關(guān)系來(lái)確定，提出為什么異面直線可以確定二面角，異面直線怎樣確定二面角呢？引出問(wèn)題二，從而進(jìn)入第二環(huán)節(jié)——探索研究。
（二）、探索研究：
問(wèn)題二：
問(wèn)1：什么是異面直線的公垂線？?jī)僧惷嬷本�有多少條公垂線？
問(wèn)2：設(shè)異面直線a、b公垂線為l，則a、b、l三條直線可以確定多少個(gè)平面？
問(wèn)3：這兩相交平面可以構(gòu)成兩對(duì)二面角，這兩對(duì)二面角大小有什么關(guān)系？（設(shè)計(jì)意圖：到此完成由異面直線構(gòu)造二面角）
問(wèn)4：從四個(gè)二面角任選一個(gè)二面角，該二面角的大小與異面直線位置有什么關(guān)系？
通過(guò)問(wèn)題的層層深入，讓學(xué)生自己觀察、思考得出異面直線的位置可以確定二面角的大小的結(jié)論。再通過(guò)教具的演示讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)線段AM、BN、AB、MN任意一個(gè)的改變都會(huì)影響異面直線的位置，說(shuō)明這四條線段可以共同確定二面角，從而發(fā)現(xiàn)公式的結(jié)構(gòu)，突破難點(diǎn)；
問(wèn)5：令a∩l＝A，b∩l＝B，M∈a，N∈b且MA＝m，NB＝n，AB＝d，MN＝l，求二面角α―l―β。
通過(guò)問(wèn)題5將異面直線的位置量化，由學(xué)生自己推導(dǎo)，得出二面角的余弦公式
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題5設(shè)出四條線段的長(zhǎng)，求二面角的大小，從做輔助線、確定二面角平面角，到在三角形中計(jì)算求值，最后整理解題過(guò)程，由學(xué)生自主解決，教師適時(shí)引導(dǎo)，多問(wèn)學(xué)生為什么，糾正學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)上的錯(cuò)誤，提示解題不符邏輯關(guān)系的地方，讓學(xué)生在相互補(bǔ)充，相互找不足的這一自我評(píng)價(jià)、自我調(diào)整過(guò)程中，完善推理過(guò)程，得出二面角的余弦公式。通過(guò)這一數(shù)學(xué)交流活動(dòng)，暴露學(xué)生的思維過(guò)程，提高學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力，注重學(xué)生作為個(gè)體發(fā)展能力的同時(shí)，也注重培養(yǎng)學(xué)生協(xié)同合作共同探索、的精神。并且讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅重在學(xué)習(xí)一個(gè)結(jié)論，而是注重學(xué)習(xí)的過(guò)程，讓學(xué)生在自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論、自己推得公式中體驗(yàn)成功。
問(wèn)題三：用問(wèn)題二的'方法求解習(xí)題一
設(shè)計(jì)意圖：鞏固公式的應(yīng)用，明確如何應(yīng)用公式；通過(guò)對(duì)比公式與習(xí)題一的條件，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到本節(jié)所學(xué)求二面角的方法是對(duì)教科書(shū)習(xí)題一般化所得的結(jié)論，體會(huì)數(shù)學(xué)從“特殊”到“一般”，再?gòu)摹耙话恪钡健疤厥狻钡难芯窟^(guò)程。
問(wèn)題四：將公式條件中二面角兩半平面的線段放到了以棱上線段為公共邊的三角形中，作為了兩三角形的高。
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這一過(guò)程，進(jìn)一步深化所推公式中量的理解，其作用是半平面用三角形表示，更有利于在柱體或錐體中解決二面角的求解問(wèn)題；
（三）、鞏固訓(xùn)練
習(xí)題2
1．（改編自教科書(shū)80頁(yè)題11）把長(zhǎng)、寬分別為4、3的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使BD長(zhǎng)為7/5，求二面角B―AC―D。
2．（教科書(shū)80頁(yè)題11）把長(zhǎng)、寬分別為4、3的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線AC折疊成直二面角，求頂點(diǎn)B與D之間的距離。
設(shè)計(jì)意圖：
題1是對(duì)問(wèn)題四結(jié)論的簡(jiǎn)單應(yīng)用。此題題設(shè)是將平面圖形折成立體圖形，求形成的二面角的大小，鞏固平面圖形折疊過(guò)程中量的變化情況。
題2讓學(xué)生認(rèn)識(shí)：二面角余弦公式建立了四個(gè)線段、一個(gè)角五個(gè)量間的關(guān)系，知道其中任意四個(gè)，都可以求第五個(gè)量，加深對(duì)公式的認(rèn)識(shí)，熟悉公式的變形應(yīng)用。
習(xí)題3：（選自2005年湖南高考題）已知四邊形ABCD是上、下底邊分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO′折成直二面角，求二面角O―AC―O′的大小。
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生創(chuàng)設(shè)公式應(yīng)用條件，自主解決問(wèn)題，同時(shí)再次鞏固立體空間中量的求解用平面解決的思想方法。
（四）．總結(jié)提煉：
1．說(shuō)明本節(jié)所學(xué)求二面角方法的可行性；
2．說(shuō)明本節(jié)所學(xué)求二面角方法的合理性；
3．本節(jié)所學(xué)求二面角的方法不是教科書(shū)中的定理、公式，因此不能作為已知結(jié)論在解答題中應(yīng)用。但學(xué)習(xí)重視結(jié)果，更注重學(xué)習(xí)的過(guò)程，這節(jié)課學(xué)習(xí)的意義，不是公式本身，而是用已知的知識(shí)探究出新的解決問(wèn)題的方法的過(guò)程。
（五）：作業(yè)
習(xí)題4、為必做題，習(xí)題5為選做題
設(shè)計(jì)意圖：布置作業(yè)有彈性，避免一刀切，將上述思維發(fā)散的過(guò)程延伸到課后，使學(xué)生活躍的思維得以發(fā)展，進(jìn)而形成思維習(xí)慣。
總之，在整個(gè)課堂教學(xué)中，努力挖掘蘊(yùn)含于知識(shí)生成過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想方法，有機(jī)結(jié)合，有意滲透，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
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