二元一次不等式與簡單的線性規(guī)劃問題測試題介紹
一、選擇題
1.(若滿足約束條件 ，則的最小值是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查線性規(guī)劃的有關(guān)概念和求解方法，考查數(shù)形結(jié)合思想.
答案：A.
解析：約束條件對應(yīng)的可行域為內(nèi)部(包括邊界)，其中，，，∴.
2. (2010浙江理)若實數(shù)滿足不等式組，且的最大值為9，則實數(shù)( ).
A. B. C.1 D.2
考查目的：考查二元一次不等式組的平面區(qū)域，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想.
答案：C.
解析：將最大值轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)表示的直線在軸上的截距，將等價為斜率的倒數(shù)，作出前兩個不等式表示的平面區(qū)域為兩條直線的斜上方區(qū)域，由題意可知，直線應(yīng)與此區(qū)域圍成一個三角形區(qū)域，所以必有，且目標(biāo)函數(shù)在直線與直線的交點處取得最大值，因此，解得.
3.給出如圖所示的平面區(qū)域，其中.若使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則的值是( ).
A. B. C.2 D.
考查目的：考查線性規(guī)劃問題、直線的'斜率公式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合和分析判斷能力.
答案：B.
解析：目標(biāo)函數(shù)表示斜率為的直線，是該直線在軸上的截距. 因為目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，所以直線必經(jīng)過的邊或邊(邊所在直線斜率不存在). 若經(jīng)過邊，則取得最小值，不合題意；該直線經(jīng)過邊時，取得最大值，此時，線段上的點都是最優(yōu)解，所以，.
二、填空題
4.(2009山東文)某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)類產(chǎn)品5件和類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)類產(chǎn)品6件和類產(chǎn)品20件. 已知設(shè)備甲每天的租賃費為200元，設(shè)備乙每天的租賃費為300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)類產(chǎn)品50件，類產(chǎn)品140件，則所需租賃費最少為__________元.
考查目的：考查線性規(guī)劃問題在實際中的應(yīng)用.
答案：2300.
解析：設(shè)生產(chǎn)甲種設(shè)備需要天，生產(chǎn)乙種設(shè)備需要天，該公司所需租賃費為元，則，根據(jù)題意得線性約束條件為，即:.作出可行域(圖略).由的幾何意義可知，當(dāng)對應(yīng)的直線過兩直線的交點(4，5)時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值2300元.
5.(2012上海文)滿足約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最小值是 .
考查目的：考查線性規(guī)劃問題、作圖能力和數(shù)形結(jié)合思想.
答案：.
解析：根據(jù)題意得，或，或，或，其可行域為平行四邊形及其內(nèi)部區(qū)域，如圖所示. 目標(biāo)函數(shù)表示斜率為1的直線，由的幾何意義可知，當(dāng)該直線過點時有最小值，此時.
6.(2012江蘇卷)已知正數(shù)滿足則的取值范圍是 .
考查目的：考查線性規(guī)劃問題、直線的斜率概念與公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的方程等基礎(chǔ)知識，以及等價轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想.
答案：.
解析：條件，可化為.設(shè)，，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿足，求的取值范圍.
作出可行域如圖所示(陰影部分)，的幾何意義為陰影部分內(nèi)的點與原點連線的斜率. 求出的過原點的切線方程為，易知切點位于之間，∴的最小值為.∵，∴的最大值為，因此的取值范圍為，即的取值范圍是.
三、解答題
7.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，計劃每天每種產(chǎn)品的生產(chǎn)量不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸需煤9噸，電力4千瓦時，勞力3個；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸需煤4噸，電力5千瓦時，勞力10個；甲產(chǎn)品每噸的利潤為7萬元，乙產(chǎn)品每噸的利潤為12萬元；但每天用煤不超過300噸，電力不超過200千瓦時，勞力只有300個. 問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，才能使利潤總額達到最大？
考查目的：考查線性規(guī)劃問題、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.
答案：20，24.
解析：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為噸、噸，利潤總額為萬元，根據(jù)題意，得線性約束條件為，目標(biāo)函數(shù)為.作出可行域如圖所示.作直線，并將其向可行域平移. 由的幾何意義可知，當(dāng)平移至經(jīng)過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.
解方程組，可得點坐標(biāo)為，∴(萬元).
答：每天應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品20噸，乙產(chǎn)品24噸，才能使利潤總額達到最大，為428萬元.
8.(2010廣東理)某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)定午餐和晚餐. 已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C. 另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.
如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個單位的午餐和晚餐？
考查目的：考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、線性規(guī)劃問題等基礎(chǔ)知識和方法，考查數(shù)形結(jié)合能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.
答案：4個單位的午餐、3個單位的晚餐.
解析：設(shè)該兒童分別預(yù)訂個單位的午餐和晚餐，共花費元，則.根據(jù)題意得，線性約束條件為，即.作出可行域如圖所示，并作出直線.由的幾何意義可知，當(dāng)將平移至經(jīng)過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值.
由方程組可求得恰好為整點，此時.
答：應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，既能滿足營養(yǎng)要求，又可使花費最少.
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