函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)高二數(shù)學(xué)課后練習(xí)題
一、選擇題
1.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，則f(x)()
A.等于0 B.大于0
C.小于0 D.以上都有可能
[答案] A
[解析] ∵M(jìn)=m，y=f(x)是常數(shù)函數(shù)
f(x)=0，故應(yīng)選A.
2.設(shè)f(x)=14x4+13x3+12x2在[-1,1]上的最小值為()
A.0 B.-2
C.-1 D.1312
[答案] A
[解析] y=x3+x2+x=x(x2+x+1)
令y=0，解得x=0.
f(-1)=512，f(0)=0，f(1)=1312
f(x)在[-1,1]上最小值為0.故應(yīng)選A.
3.函數(shù)y=x3+x2-x+1在區(qū)間[-2,1]上的最小值為()
A.2227 B.2
C.-1 D.-4
[答案] C
[解析] y=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)
令y=0解得x=13或x=-1
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-1;當(dāng)x=-1時(shí)，y=2;
當(dāng)x=13時(shí)，y=2227;當(dāng)x=1時(shí)，y=2.
所以函數(shù)的最小值為-1，故應(yīng)選C.
4.函數(shù)f(x)=x2-x+1在區(qū)間[-3,0]上的最值為()
A.最大值為13，最小值為34
B.最大值為1，最小值為4
C.最大值為13，最小值為1
D.最大值為-1，最小值為-7
[答案] A
[解析] ∵y=x2-x+1，y=2x-1，
令y=0，x=12，f(-3)=13，f12=34，f(0)=1.
5.函數(shù)y=x+1-x在(0,1)上的最大值為()
A.2 B.1
C.0 D.不存在
[答案] A
[解析] y=12x-121-x=121-x-xx1-x
由y=0得x=12，在0，12上y0，在12，1上
y0.x=12時(shí)y極大=2，
又x(0,1)，ymax=2.
6.函數(shù)f(x)=x4-4x (|x|1)()
A.有最大值，無(wú)最小值
B.有最大值，也有最小值
C.無(wú)最大值，有最小值
D.既無(wú)最大值，也無(wú)最小值
[答案] D
[解析] f(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).
令f(x)=0，得x=1.又x(-1,1)
該方程無(wú)解，
故函數(shù)f(x)在(-1,1)上既無(wú)極值也無(wú)最值.故選D.
7.函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分別是()
A.5，-15 B.5,4
C.-4，-15 D.5，-16
[答案] A
[解析] y=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，
令y=0，得x=2或x=-1(舍).
∵f(0)=5，f(2)=-15，f(3)=-4，
ymax=5，ymin=-15，故選A.
8.已知函數(shù)y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值為154，則a等于()
A.-32 B.12
C.-12 D.12或-32
[答案] C
[解析] y=-2x-2，令y=0得x=-1.
當(dāng)a-1時(shí)，最大值為f(-1)=4，不合題意.
當(dāng)-1
最大值為f(a)=-a2-2a+3=154，
解得a=-12或a=-32(舍去).
9.若函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)間(k-1，k+1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
()
A.k-3或-11或k3
B.-3
C.-2
D.不存在這樣的實(shí)數(shù)
[答案] B
[解析] 因?yàn)閥=3x2-12，由y0得函數(shù)的增區(qū)間是(-，-2)和(2，+)，由y0，得函數(shù)的減區(qū)間是(-2,2)，由于函數(shù)在(k-1，k+1)上不是單調(diào)函數(shù)，所以有k-1-2
10.函數(shù)f(x)=x3+ax-2在區(qū)間[1，+)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.[3，+) B.[-3，+)
C.(-3，+) D.(-，-3)
[答案] B
[解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1，+)上是增函數(shù)，f(x)=3x2+a0在[1，+)上恒成立
即a-3x2在[1，+)上恒成立
又∵在[1，+)上(-3x2)max=-3
a-3，故應(yīng)選B.
二、填空題
11.函數(shù)y=x32+(1-x)32，01的最小值為_(kāi)_____.
[答案] 22
由y0得x12，由y0得x12.
此函數(shù)在0，12上為減函數(shù)，在12，1上為增函數(shù)，最小值在x=12時(shí)取得，ymin=22.
12.函數(shù)f(x)=5-36x+3x2+4x3在區(qū)間[-2，+)上的最大值________，最小值為_(kāi)_______.
[答案] 不存在;-2834
[解析] f(x)=-36+6x+12x2，
令f(x)=0得x1=-2，x2=32;當(dāng)x32時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)-232時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，所以無(wú)最大值，又因?yàn)閒(-2)=57，f32=-2834，所以最小值為-2834.
13.若函數(shù)f(x)=xx2+a(a0)在[1，+)上的最大值為33，則a的值為_(kāi)_______.
[答案] 3-1
[解析] f(x)=x2+a-2x2(x2+a)2=a-x2(x2+a)2
令f(x)=0，解得x=a或x=-a(舍去)
當(dāng)xa時(shí)，f(x)
當(dāng)x=a時(shí)，f(x)=a2a=33，a=321，不合題意.
f(x)max=f(1)=11+a=33，解得a=3-1.
14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值為M，最小值為m，則M-m=________.
[答案] 32
[解析] f(x)=3x2-12
由f(x)0得x2或x-2，
由f(x)0得-2
f(x)在[-3，-2]上單調(diào)遞增，在[-2,2]上單調(diào)遞減，在[2,3]上單調(diào)遞增.
又f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8，
f(3)=-1，
最大值M=24，最小值m=-8，
M-m=32.
三、解答題
15.求下列函數(shù)的最值：
(1)f(x)=sin2x-x-x
(2)f(x)=x+1-x2.
[解析] (1)f(x)=2cos2x-1.
令f(x)=0，得cos2x=12.
又x2，2，2x，]，
2x=3，x=6.
函數(shù)f(x)在-2上的兩個(gè)極值分別為
f6=32-6，f-6=-32+6.
又f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的取值為
f2，f-2.
比較以上函數(shù)值可得f(x)max=2，f(x)min=-2.
(2)∵函數(shù)f(x)有意義，
必須滿足1-x20，即-11，
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,1].
f(x)=1+12(1-x2)-12(1-x2)=1-x1-x2 .
令f(x)=0，得x=22 .
f(x)在[-1,1]上的極值為
f22=22+1-222=2.
又f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為f(1)=1，f(-1)=-1，比較以上函數(shù)值可得f(x)max=2，f(x)min=-1.
16.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在區(qū)間-34，14上的最大值和最小值.
[解析] f(x)的定義域?yàn)?32，+.
f(x)=2x+22x+3=4x2+6x+22x+3
=2(2x+1)(x+1)2x+3.
當(dāng)-320;
當(dāng)-1
當(dāng)x-12時(shí)，f(x)0，
所以f(x)在-34，14上的最小值為
f-12=ln2+14.
又f-34-f14=ln32+916-ln72-116=ln37+12=121-ln4990，
所以f(x)在區(qū)間-34，14上的最大值為 f14=ln72+116.
17.(2016安徽理，17)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ex-2x+2a，xR.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)求證：當(dāng)aln2-1且x0時(shí)，exx2-2ax+1.
[分析] 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和證明函數(shù)不等式，考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.
解題思路是：(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值.(2)將不等式轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.
[解析] (1)解：由f(x)=ex-2x+2a，xR知f(x)=ex-2，xR.
令f(x)=0，得x=ln2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的'變化情況如下表：
x (-，ln2) ln2 (ln2，+)
f(x) - 0 +
f(x) 單調(diào)遞減 ? 2(1-ln2+a) 單調(diào)遞增 ?
故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，+)，
f(x)在x=ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).
(2)證明：設(shè)g(x)=ex-x2+2ax-1，xR，于是g(x)=ex-2x+2a，xR.
由(1)知當(dāng)aln2-1時(shí)，g(x)最小值為g(ln2)=2(1-ln2+a)0.
于是對(duì)任意xR，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.
于是當(dāng)aln2-1時(shí)，對(duì)任意x(0，+)，都有g(shù)(x)g(0).
而g(0)=0，從而對(duì)任意x(0，+)，g(x)0.
即ex-x2+2ax-10，故exx2-2ax+1.
18.已知函數(shù)f(x)=4x2-72-x，x[0,1].
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(2)設(shè)a1，函數(shù)g(x)=x3-3a2x-2a，x[0,1].若對(duì)于任意x1[0,1]，總存在x0[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范圍.
[解析] (1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得
f(x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2
令f(x)=0解得x=12或x=72.
當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：
x 0 (0，12)
12
(12，1)
1
f(x) - 0 +
f(x) -72
? -4 ? -3
所以，當(dāng)x(0，12)時(shí)，f(x)是減函數(shù);
當(dāng)x12，1時(shí)，f(x)是增函數(shù).
當(dāng)x[0,1]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇-4，-3].
(2)g(x)=3(x2-a2).
因?yàn)閍1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0.
因此當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)為減函數(shù)，從而當(dāng)x[0,1]時(shí)有g(shù)(x)[g(1)，g(0)].
又g(1)=1-2a-3a2，g(0)=-2a，即x[0,1]時(shí)有g(shù)(x)[1-2a-3a2，-2a].
任給x1[0,1]，f(x1)[-4，-3]，存在x0[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立，
則[1-2a-3a2，-2a][-4，-3].
即1-2a-3a2-4，①-2a-3.②
解①式得a1或a解②式得a32.
又a1，故a的取值范圍為132.
選修2-2 1.3.3 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
一、選擇題
1.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，則f(x)()
A.等于0 B.大于0
C.小于0 D.以上都有可能
[答案] A
[解析] ∵M(jìn)=m，y=f(x)是常數(shù)函數(shù)
f(x)=0，故應(yīng)選A.
2.設(shè)f(x)=14x4+13x3+12x2在[-1,1]上的最小值為()
A.0 B.-2
C.-1 D.1312
[答案] A
[解析] y=x3+x2+x=x(x2+x+1)
令y=0，解得x=0.
f(-1)=512，f(0)=0，f(1)=1312
f(x)在[-1,1]上最小值為0.故應(yīng)選A.
3.函數(shù)y=x3+x2-x+1在區(qū)間[-2,1]上的最小值為()
A.2227 B.2
C.-1 D.-4
[答案] C
[解析] y=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)
令y=0解得x=13或x=-1
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-1;當(dāng)x=-1時(shí)，y=2;
當(dāng)x=13時(shí)，y=2227;當(dāng)x=1時(shí)，y=2.
所以函數(shù)的最小值為-1，故應(yīng)選C.
4.函數(shù)f(x)=x2-x+1在區(qū)間[-3,0]上的最值為()
A.最大值為13，最小值為34
B.最大值為1，最小值為4
C.最大值為13，最小值為1
D.最大值為-1，最小值為-7
[答案] A
[解析] ∵y=x2-x+1，y=2x-1，
令y=0，x=12，f(-3)=13，f12=34，f(0)=1.
5.函數(shù)y=x+1-x在(0,1)上的最大值為()
A.2 B.1
C.0 D.不存在
[答案] A
[解析] y=12x-121-x=121-x-xx1-x
由y=0得x=12，在0，12上y0，在12，1上
y0.x=12時(shí)y極大=2，
又x(0,1)，ymax=2.
6.函數(shù)f(x)=x4-4x (|x|1)()
A.有最大值，無(wú)最小值
B.有最大值，也有最小值
C.無(wú)最大值，有最小值
D.既無(wú)最大值，也無(wú)最小值
[答案] D
[解析] f(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).
令f(x)=0，得x=1.又x(-1,1)
該方程無(wú)解，
故函數(shù)f(x)在(-1,1)上既無(wú)極值也無(wú)最值.故選D.
7.函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分別是()
A.5，-15 B.5,4
C.-4，-15 D.5，-16
[答案] A
[解析] y=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，
令y=0，得x=2或x=-1(舍).
∵f(0)=5，f(2)=-15，f(3)=-4，
ymax=5，ymin=-15，故選A.
8.已知函數(shù)y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值為154，則a等于()
A.-32 B.12
C.-12 D.12或-32
[答案] C
[解析] y=-2x-2，令y=0得x=-1.
當(dāng)a-1時(shí)，最大值為f(-1)=4，不合題意.
當(dāng)-1
最大值為f(a)=-a2-2a+3=154，
解得a=-12或a=-32(舍去).
9.若函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)間(k-1，k+1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
()
A.k-3或-11或k3
B.-3
C.-2
D.不存在這樣的實(shí)數(shù)
[答案] B
[解析] 因?yàn)閥=3x2-12，由y0得函數(shù)的增區(qū)間是(-，-2)和(2，+)，由y0，得函數(shù)的減區(qū)間是(-2,2)，由于函數(shù)在(k-1，k+1)上不是單調(diào)函數(shù)，所以有k-1-2
10.函數(shù)f(x)=x3+ax-2在區(qū)間[1，+)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.[3，+) B.[-3，+)
C.(-3，+) D.(-，-3)
[答案] B
[解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1，+)上是增函數(shù)，f(x)=3x2+a0在[1，+)上恒成立
即a-3x2在[1，+)上恒成立
又∵在[1，+)上(-3x2)max=-3
a-3，故應(yīng)選B.
二、填空題
11.函數(shù)y=x32+(1-x)32，01的最小值為_(kāi)_____.
[答案] 22
由y0得x12，由y0得x12.
此函數(shù)在0，12上為減函數(shù)，在12，1上為增函數(shù)，最小值在x=12時(shí)取得，ymin=22.
12.函數(shù)f(x)=5-36x+3x2+4x3在區(qū)間[-2，+)上的最大值________，最小值為_(kāi)_______.
[答案] 不存在;-2834
[解析] f(x)=-36+6x+12x2，
令f(x)=0得x1=-2，x2=32;當(dāng)x32時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)-232時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，所以無(wú)最大值，又因?yàn)閒(-2)=57，f32=-2834，所以最小值為-2834.
13.若函數(shù)f(x)=xx2+a(a0)在[1，+)上的最大值為33，則a的值為_(kāi)_______.
[答案] 3-1
[解析] f(x)=x2+a-2x2(x2+a)2=a-x2(x2+a)2
令f(x)=0，解得x=a或x=-a(舍去)
當(dāng)xa時(shí)，f(x)
當(dāng)x=a時(shí)，f(x)=a2a=33，a=321，不合題意.
f(x)max=f(1)=11+a=33，解得a=3-1.
14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值為M，最小值為m，則M-m=________.
[答案] 32
[解析] f(x)=3x2-12
由f(x)0得x2或x-2，
由f(x)0得-2
f(x)在[-3，-2]上單調(diào)遞增，在[-2,2]上單調(diào)遞減，在[2,3]上單調(diào)遞增.
又f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8，
f(3)=-1，
最大值M=24，最小值m=-8，
M-m=32.
三、解答題
15.求下列函數(shù)的最值：
(1)f(x)=sin2x-x-x
(2)f(x)=x+1-x2.
[解析] (1)f(x)=2cos2x-1.
令f(x)=0，得cos2x=12.
又x2，2，2x，]，
2x=3，x=6.
函數(shù)f(x)在-2上的兩個(gè)極值分別為
f6=32-6，f-6=-32+6.
又f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的取值為
f2，f-2.
比較以上函數(shù)值可得f(x)max=2，f(x)min=-2.
(2)∵函數(shù)f(x)有意義，
必須滿足1-x20，即-11，
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,1].
f(x)=1+12(1-x2)-12(1-x2)=1-x1-x2 .
令f(x)=0，得x=22 .
f(x)在[-1,1]上的極值為
f22=22+1-222=2.
又f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為f(1)=1，f(-1)=-1，比較以上函數(shù)值可得f(x)max=2，f(x)min=-1.
16.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在區(qū)間-34，14上的最大值和最小值.
[解析] f(x)的定義域?yàn)?32，+.
f(x)=2x+22x+3=4x2+6x+22x+3
=2(2x+1)(x+1)2x+3.
當(dāng)-320;
當(dāng)-1
當(dāng)x-12時(shí)，f(x)0，
所以f(x)在-34，14上的最小值為
f-12=ln2+14.
又f-34-f14=ln32+916-ln72-116=ln37+12=121-ln4990，
所以f(x)在區(qū)間-34，14上的最大值為 f14=ln72+116.
17.(2016安徽理，17)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ex-2x+2a，xR.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)求證：當(dāng)aln2-1且x0時(shí)，exx2-2ax+1.
[分析] 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和證明函數(shù)不等式，考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力.
解題思路是：(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值.(2)將不等式轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.
[解析] (1)解：由f(x)=ex-2x+2a，xR知f(x)=ex-2，xR.
令f(x)=0，得x=ln2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：
x (-，ln2) ln2 (ln2，+)
f(x) - 0 +
f(x) 單調(diào)遞減 ? 2(1-ln2+a) 單調(diào)遞增 ?
故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，+)，
f(x)在x=ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).
(2)證明：設(shè)g(x)=ex-x2+2ax-1，xR，于是g(x)=ex-2x+2a，xR.
由(1)知當(dāng)aln2-1時(shí)，g(x)最小值為g(ln2)=2(1-ln2+a)0.
于是對(duì)任意xR，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.
于是當(dāng)aln2-1時(shí)，對(duì)任意x(0，+)，都有g(shù)(x)g(0).
而g(0)=0，從而對(duì)任意x(0，+)，g(x)0.
即ex-x2+2ax-10，故exx2-2ax+1.
18.已知函數(shù)f(x)=4x2-72-x，x[0,1].
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;
(2)設(shè)a1，函數(shù)g(x)=x3-3a2x-2a，x[0,1].若對(duì)于任意x1[0,1]，總存在x0[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范圍.
[解析] (1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得
f(x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2
令f(x)=0解得x=12或x=72.
當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：
x 0 (0，12)
12
(12，1)
1
f(x) - 0 +
f(x) -72
? -4 ? -3
所以，當(dāng)x(0，12)時(shí)，f(x)是減函數(shù);
當(dāng)x12，1時(shí)，f(x)是增函數(shù).
當(dāng)x[0,1]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇-4，-3].
(2)g(x)=3(x2-a2).
因?yàn)閍1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0.
因此當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)為減函數(shù)，從而當(dāng)x[0,1]時(shí)有g(shù)(x)[g(1)，g(0)].
又g(1)=1-2a-3a2，g(0)=-2a，即x[0,1]時(shí)有g(shù)(x)[1-2a-3a2，-2a].
任給x1[0,1]，f(x1)[-4，-3]，存在x0[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立，
則[1-2a-3a2，-2a][-4，-3].
即1-2a-3a2-4，①-2a-3.②
解①式得a1或a解②式得a32.
又a1，故a的取值范圍為132.
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