函數的最值教案設計

　　目的 ：

　　（1）理解函數的最大（小）值及其幾何意義；

　　（2）學會運用函數圖象理解和研究函數的性質；

　　重點：

　　函數的最大（小）值及其幾何意義．

　　教學難點：

　　利用函數的單調性求函數的最大（小）值．

　　教學過程：

　　一、引入課題

　　畫出下列函數的圖象，并根據圖象解答下列問題：

　　○1說出y=f(x)的單調區間 ，以及在各單調區間上的單調性；

　　○2指出圖象的最高點或最低點，并說明它能體現函數的什么特征？

　　（1） （2）

　　（3） （4）

　　二、新課教學

　　（一）函數最大（小）值定義

　　1．最大值

　　一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：

　　（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

　　（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M

　　那么，稱M是函數y=f(x)的最大值（MaximumValue）．

　　思考：仿照函數最大值的定義，給出函數y=f(x)的最小值（MinimumValue）的定義．（學生活動）

　　注意：

　　○1函數最大（小）首先應該是某一個函數值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；

　　○2函數最大（小）應該是所有函數值中最大（小）的，即對于任意的 x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

　　2．利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值的方法

　　○1利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值

　　○2利用圖象求函數的最大（小）值

　　○3利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值[來源:Z#xx#k.Com]

　　如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[ b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

　　如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x= b處有最小值f(b)；

　　（二）典型例題

　　例1．（教材P36例3）利用二次函數的性質確定函數的最大（小）值．

　　解：（ 略）

　　說明：對于具有實際背景的問題，首先要仔細審清題意，適當設出變量，建立適當的函數模型，然后利 用二次函數的性質或利用圖象確定函數的最大（小）值．

　　鞏固練習：如圖，把截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩形一邊長為x，面積為y試將y表示成x的函數，并畫出函數的大致圖象，并判斷怎樣鋸才能使得截面面積最大？

　　例2．（新題講解）旅館定價一個星級旅館有150個標準房，經過一段時間的經營，經理得到一些定價和住房率的數據如下：

　　房價（元）住房率（%）

　　16055

　　14065

　　12075

　　10085

　　欲使每天的的營業額最 高，應如何定價？

　　解：根據已知數據，可假設該客房的最高價為160元，并假設在各價位之間，房價與住房率之間存在線性關系．

　　設 為旅館一天的客房總收入， 為與 房價 160相比降低的房價，因此 當房價為 元時，住房率為 ，于是得15．

　　由于 ≤1，可知0≤ ≤90．

　　因此問題轉化為：當0≤ ≤90時，求 的最大值的問題．

　　將 的兩邊同除以一個常數0.75，得 1=－ 2＋50 ＋17600．

　　由于二次函數 1在 =25時取得最大值，可知 也在 =25時取得最大值，此時房價定位應是160－25=135（元），相應的住房率為67.5%，最大住房總收入為13668.75（元）．

　　所以該客房定價應為135元．（當然為了便于管理，定價140元也是比較合理的）

　　例3．（教材P37例4）求函數 在區間[2，6]上的最大值 和最小值．

　　解：（略）

　　注意：利用函數的單調性求函數的最大（小）值的方法與格式．

　　鞏固練習：（教材P38練習4）

　　三、歸納小結，強化思想

　　函數的單調性一般是先根據圖象判斷，再利用定義證明．畫函數圖象通常借助計算機，求函數的單調區間時必須要注意函數的`定義域，單調性的證明一般分五步：

　　取值→作差→變形→定號→下結論

　　四、作業布置

　　1．書面作業：課本P45習題1．3（A組）第6、7、8題．

　　提高作業：快艇和輪船分別從A地和C地同時開出，如下圖，各沿箭頭方向航行，快艇和輪船的速度分別是45km/h和15km/h，已知AC=150km，經過多少時間后，快艇和輪船之間的距離最短？

　　指數概念的擴充

　　3.2.1指數概念的擴充

　　【自學目標】

　　1.掌握正整數指數冪的概念和性質；

　　2.理解n次方根和n次根式的概念，能正確地運用根式表示一個正實數的算術根；

　　3.能熟練運用n次根式的概念和性質進行根式的化簡與運算。

　　【知識要點】

　　1．方根的概念

　　若 ，則稱x是a的平方根；若 ，則稱x是a的立方根。

　　一般地，若一個實數x滿足 ，則稱x為a的n次實數方根。

　　當n是奇數時，正數的n次實數方根是一個正數，負數n次實數方根是一個負數，這時a的n的次實數方根只有一個，記作 ；

　　當n是偶數時，正數的n次實數方根有二個，它們是相反數。這時a的正的n次實數方根用符號 。

　　注意：0的n次實數方根等于0。

　　2．根式的概念

　　式子 叫做根式，其中n叫做根指數，a叫做被開方數。

　　求a的n次實數方根的運算叫做開方運算。

　　3．方根的性質

　　（1） ；

　　（2）當n是奇數時， ，當n是偶數時，

　　【預習自測】

　　例1．試根據n次方根的定義分別寫出下列各數的n次方根。

　　⑴25的平方根 ； ⑵ 27的三次方根 ；

　　⑶－32的五次方根 ； ⑷ 的三次方根 ．

　　例2．求下列各式的值：

　　例3．化簡下列各式：

　　例4．化簡下列各式：

　　【堂練習】

　　1．填空：

　　⑴0的七次方根 ；⑵ 的四次方根 。

　　2．化簡：

　　3．計算：

　　【歸納反思】

　　1．在化簡 時，不僅要注意n是奇數還是偶數，還要注意a的正負；

　　2．配方和分母有理化是解決根式的求值和化簡等問題常用的方法和技巧，而分類討論則是不可忽視的數學思想。

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