數列測試題及答案

時間：2021-03-18 14:57:15 試題我要投稿

數列測試題及答案

　　數列測試題及答案：

　　一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．

數列測試題及答案

　　1．在等差數列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，則a7為( )

　　A．6 B．7 C．8 D．9

　　解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6.

　　答案：A

　　2．若等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足S33－S22＝1，則數列{an}的公差是( )

　　A.12 B．1 C．2 D．3

　　解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故選C.

　　答案：C

　　3．已知數列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，則a2 011等于( )

　　A．1 B．－4 C．4 D．5

　　解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…

　　故{an}是以6為周期的數列，

　　∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.

　　答案：A

　　4．設{an}是等差數列，Sn是其前n項和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結論錯誤的是( )

　　A．d＜0 B．a7＝0

　　C．S9＞S5 D．S6與S7均為Sn的最大值

　　解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.

　　又S7＞S8，∴a8＜0.

　　假設S9＞S5，則a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.

　　∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假設不成立，故S9＜S5.∴C錯誤.

　　答案：C

　　5．設數列{an}是等比數列，其前n項和為Sn，若S3＝3a3，則公比q的值為( )

　　A．－12 B.12

　　C．1或－12 D．－2或12[

　　解析：設首項為a1，公比為q，

　　則當q＝1時，S3＝3a1＝3a3，適合題意．

　　當q≠1時，a1(1－q3)1－q＝3a1q2，

　　∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，

　　解得q＝1(舍去)，或q＝－12.

　　綜上，q＝1，或q＝－12.

　　答案：C

　　6．若數列{an}的通項公式an＝5 252n－2－425n－1，數列{an}的最大項為第x項，最小項為第y項，則x＋y等于( )

　　A．3 B．4 C．5 D．6

　　解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45，

　　∴n＝2時，an最小；n＝1時，an最大．

　　此時x＝1，y＝2，∴x＋y＝3.

　　答案：A

　　7．數列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，則該數列中相鄰兩項的乘積是負數的是( )

　　A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25

　　解析：∵3an＋1＝3an－2，

　　∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23.

　　∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)．

　　令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5.

　　又n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，而a24＜0，∴a23a24＜0.

　　答案：C

　　8．某工廠去年產值為a，計劃今后5年內每年比上年產值增加10%，則從今年起到第5年，這個廠的總產值為( )

　　A．1.14a B．1.15a

　　C．11×(1.15－1)a D．10×(1.16－1)a

　　解析：由已知，得每年產值構成等比數列a1＝a，w

　　an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)．

　　∴總產值為S6－a1＝11×(1.15－1)a.

　　答案：C

　　9．已知正數組成的`等差數列{an}的前20項的和為100，那么a7a14的最大值為( )

　　A．25 B．50 C．1 00 D．不存在

　　解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. ∴a7＋a14＝10.

　　又a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25.

　　答案：A

　　10．設數列{an}是首項為m，公比為q(q≠0)的等比數列，Sn是它的前n項和，對任意的n∈N*，點an，S2nSn( )

　　A．在直線mx＋qy－q＝0上

　　B．在直線qx－my＋m＝0上

　　C．在直線qx＋my－q＝0上

　　D．不一定在一條直線上

　　解析：an＝mqn－1＝x， ①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y， ②

　　由②得qn＝y－1，代入①得x＝mq(y－1)，即qx－my＋m＝0.

　　答案：B

　　11．將以2為首項的偶數數列，按下列方法分組：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n組有n個數，則第n組的首項為( )

　　A．n2－n B．n2＋n＋2

　　C．n2＋n D．n2－n＋2

　　解析：因為前n－1組占用了數列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2項，所以第n組的首項為數列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1項，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2.

　　答案：D

　　12．設m∈N*，log2m的整數部分用F(m)表示，則F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是( )

　　A．8 204 B．8 192

　　C．9 218 D．以上都不對

　　解析：依題意，F(1)＝0，

　　F(2)＝F(3)＝1，有2 個

　　F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22個．

　　F(8)＝…＝F(15)＝3，有23個．

　　F(16)＝…＝F(31)＝4，有24個．

　　…

　　F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29個．

　　F(1 024)＝10，有1個．

　　故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.

　　令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①

　　則2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②

　　①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝

　　2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，

　　∴T＝8×210＋2＝8 194， m]

　　∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204.

　　答案：A

　　第Ⅱ卷 (非選擇共90分)

　　二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．

　　13．若數列{an} 滿足關系a1＝2，an＋1＝3an＋2，該數列的通項公式為__________．

　　解析：∵an＋1＝3an＋2兩邊加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)，

　　∴{an＋1}是以a1＋1＝3為首項，以3為公比的等比數列，

　　∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1.

　　答案：an＝3n－1

　　14．已知公差不為零的等差數列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，則M與N的大小關系是__________．

　　解析：設{an}的公差為d，則d≠0.

　　M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)]

　　＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N.

　　答案：M＜N

　　15．在數列{an}中，a1＝6，且對任意大于1的正整數n，點(an，an－1)在直線x－y＝6上，則數列{ann3(n＋1)}的前n項和Sn＝__________.

　　解析：∵點(an，an－1)在直線x－y＝6上，

　　∴an－an－1＝6，即數列{an}為等差數列．

　　∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n，

　　∴an＝6n2.

　　∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1

　　∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1.

　　答案：6nn＋1

　　16．觀察下表：

　　2 3 4

　　3 4 5 6 7

　　4 5 6 7 8 9 10

　　…

　　則第__________行的各數之和等于2 0092.

　　解析：設第n行的各數之和等于2 0092，

　　則此行是一個首項a1＝n，項數為2n－1，公差為1的等差數列．

　　故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092，解得n＝1 005.

　　答案：1 005

　　三、解答題：本大題共6小題，共70分．

　　17．(10分)已知數列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2.

　　(1)求證：{bn}是等比數列，并求bn；

　　(2)求通項an并求{an}的前n項和Sn.

　　解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12，

　　∴{bn}是等比數列．

　　∵b1＝a1－2＝－32，

　　∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n.

　　(2)an＝bn＋2＝－32n＋2，

　　Sn＝a1＋a2＋…＋an

　　＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2

　　＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3.

　　18．(12分)若數列{an}的前n項和Sn＝2n.

　　(1)求{an}的通項公式；

　　(2)若數列{bn}滿足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求數列{cn}的通項公式及其前n項和Tn.

　　解析：(1)由題意Sn＝2n，

　　得Sn－1＝2n－1(n≥2)，

　　兩式相減，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)．

　　當n＝1時，21－1＝1≠S1＝a1＝2.

　　∴an＝2 (n＝1)，2n－1 (n≥2).

　　(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，

　　∴b2－b1＝1，

　　b3－b2＝3，

　　b4－b3＝5，

　　…

　　bn－bn－1＝2n－3.

　　以上各式相加，得

　　bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)

　　＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2.

　　∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n，

　　∴cn＝－2 (n＝1)，(n－2)×2n－1 (n≥2)，

　　∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1，

　　∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n.

　　∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n

　　＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n

　　＝2n－2－(n－2)×2n

　　＝－2－(n－3)×2n.

　　∴Tn＝2＋(n－3)×2n.

　　19．(12分)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比數列．

　　(1)求數列{an}的通項公式；

　　(2)若從數列{an}中依次取出第2項，第4項，第8項，…，第2n項，…，按原來順序組成一個新數列{bn}，記該數列的前n項和為Tn，求Tn的表達式．

　　解析：(1)依題意，得

　　3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2.

　　∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，

　　即an＝2n＋1.

　　(2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1，

　　∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

　　＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)

　　＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n.

　　20．(12分)設數列{an}的前n項和為Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn.

　　(1)證明：當b＝2時，{an－n2n－1}是等比數列；

　　(2)求通項an. 新課標第一網

　　解析：由題意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，

　　ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，

　　兩式相減，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，

　　即an＋1＝ban＋2n.①

　　(1)當b＝2時，由①知，an＋1＝2an＋2n.

　　于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n

　　＝2an－n2n－1.

　　又a1－ 120＝1≠0，

　　∴{an－n2n－1}是首項為1，公比為2的等比數列．

　　(2)當b＝2時，

　　由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1

　　當b≠2時，由①得

　　an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n

　　＝ban－12－b2n，

　　因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn.

　　得an＝2， n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]， n≥2.

　　21．(12分)某地在抗洪搶險中接到預報，24小時后又一個超歷史最高水位的洪峰到達，為保證萬無一失，抗洪指揮部決定在24小時內另筑起一道堤作為第二道防線．經計算，如果有 20輛大型翻斗車同時作業25小時，可以筑起第二道防線，但是除了現有的一輛車可以立即投入作業外，其余車輛需從各處緊急抽調，每隔20分鐘就有一輛車到達并投入工作．問指揮部至少還需組織多少輛車這樣陸續工作，才能保證24小時內完成第二道防線，請說明理由．

　　解析：設從現有這輛車投入工作算起，各車的工作時間依次組成數列{an}，則an－an－1＝－13.

　　所以各車的工作時間構成首項為24，公差為－13的等差數列，由題知，24小時內最多可抽調72輛車．

　　設還需組織(n－1)輛車，則

　　a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25.

　　所以n2－145n＋3 000≤0，

　　解得25≤n≤120，且n≤73.

　　所以nmin＝25，n－1＝24.

　　故至少還需組織24輛車陸續工作，才能保證在24小時內完成第二道防線．

　　22．(12分)已知點集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，點列Pn(an，bn)在點集L中，P1為L的軌跡與y軸的交點，已知數列{an}為等差數列，且公差為1，n∈N*.

　　(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；

　　(3)設cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．

　　解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，