數學分析教學改革談論文

　　如何不斷深入地進行教學改革,努力提高教學質量是擺在我們面前的重大課題。為此，我們對照中外數學分析(微積分）教學改革的現狀，結合我院的實際情況深入探討，以吸取新的經驗,從而進一步改善我們的教學,提高教學質量，培育高素質人才。

　　1我國近年來數學分析教學改革狀況

　　70年代末，我國數學界迎來了科學的春天。改革開放以后，人們對國際數學研宄的學術動向有了新的了解與認識,看到了我國數學落后的現狀，看到了我國數學教育與歐美等國的差異，開始了對我國數學教育的反思。這時，整個數學界比過去更加關注數學教育的改革。

　　在改革開放初期,數學界對數學教育和數學分析有許多的議論。這些議論歸納起來有兩點:一是課程設置與學時問題，反映分析類課程（包括實變函數、復變函數、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等）太多，而且基礎課程中數學分析的課時太多。相比而言,幾何類、代數類的課程過少，學生在代數、幾何方面的修養較差，應當有所增加。后來大多數學校數學系的數學分析課由4個學期減為3個學期。其二，對數學分析課程內容本身有較廣泛的批評，主要來自“外部”（即非數學分析教師），來自當時的一些老數學家。批評重點是兩條：⑴內容太多，過深、過難，過于形式化；⑵“大頭分析”，即本末倒置、難易倒置。后者主要指，傳統的講法，初學者在一開始就面臨著一大堆抽象艱深的討論：“戴德金分割法”、“e-5”、“實數完備性的8大定理”、“一致連續性”等，一般要花上12周或13周時間，而學生不知道所為何來，這種教學體系遠離了微積分的主題和基本精神，而在實數與極限上大做文章，形成本末倒置,使數學分析像一個身子瘦小，而頭很大的“大頭娃娃”。

　　這樣，在反思與批評中，數學分析課程開始了掙脫舊傳統框架的改革之途。

　　這些年來，數學分析教材改革的努力和討論，主要集中在以下幾個問題上：

　　11淡化“實數理論”。有的教材放棄了用戴德金分割法定義實數的方法，而以十進制小數來表示實數，并在此基礎上說明或證明了單調有界的序列有極限的定理。其它有關實數的定理則由此推出，對于實數的運算則不加定義。

　　有的教材則干脆不討論什么是實數，對實數不加定義,而引出實數所應滿足的一系列公理，作為今后討論的平臺。當然，對此也有不同的聲音與做法。有人認為“數學專業的學生不應該不知道戴德金分割”,有的教材不僅講實數，還添加了新的內容（度量空間、可數、實數的不可數性等)。

　　12“e-5”訓練的問題。所有目前出版的數學分析教材毫無例外地都堅持使用了“e-5”語言來陳述極限，大多數人不贊成取消或不使用“e-5”的作法，大家認為作為數學專業的學生,熟練掌握它依然是必要的。

　　大多數教師已經認識到對于“e-5”的訓練應有一個過程,不宜一開始要求過高，也不宜在開始時做過多專門訓練的題目，而是應該讓學生隨著教學不斷地使用它，而逐步熟悉、逐步達到熟練應用它。

　　13分散處理有關實數與連續函數性質的討論。很多教材已經注意到大頭極限的問題,大家采取了不同方式來著手解決它。比如,有的教材把這些定理只列出，暫時不加證明，留到以后第3學期再講證明；有的教材則把有關實數完備性的7個（或8個）定理不集中在一開頭講述，而是把它們打散到各個適當的地方再講;有的教材把一致連續的概念與閉區間上連續函數一致連續性與其它連續函數的其它性質分開，單獨出來，放在討論函數的黎曼可積的討論之前講。這些安排不僅分散了難點，同時也有利于學生更清楚地看清實數的有關定理以及連續函數性質的意義。

　　14關于內容現代化問題。在近年來的教材中，有的做了如下嘗試:有的教材在多元微積分中講述了外微分形式（不借助于外代數），并給出了一般形式的斯托克斯公式，以統一解釋場論中各個積分公式；有的教材引入了現代數學的一些概念、術語和詞匯，如引入了勒貝格測度和勒貝格積分等。對此看法不一,有一些爭議。

　　15理論聯系實際的問題。由于外國教材的傳入，受其影響，人們更加重視微積分的應用，并努力在教材或習題中舉出一些較為生動的例子或題目，以便使讀者明了微積分的價值。有的教材把利用微積分從開普勒（IKej-ler)定律導出萬有引力公式,作為應用寫進課文。

　　16改變單一的教學方式，調動學生學習積極性，培養學生的獨立閱讀、獨立思考和善于表達的能力。改革開放以來，單一的教學方式有所改變，以此來調動學生在教學過程中的主動性。有的學校的數學系，已多年在低年級(一年級下）開辦“討論班”或“讀書班”,學生自愿,教師指導，不記學分。這是調動學生學習積極性的好途徑，效果顯著。

　　2美國近幾年微積分教學改革狀況

　　在美國微積分是最大的一門課。美國共有5785所大學，總計1600萬學生，在這些學生當中，每年約有50萬人在他們上大學的第一學年要學習微積分，其中40萬人是來自四年制的大學，10萬人來自兩年制的大學。此外，每年還有25萬高中生學習大學的微積分課程。數學、自然科學、工程、醫學和生物學等學科的學生都要學習微積分。對于商學院和經濟系的學生而言，微積分是必修課。另外文科學生中的一部分，如心理學、社會學、人類學等學科的學生也要學習一年左右的微積分。其它如音樂、英語和法律的學生，雖然沒有強調必須修讀微積分,但仍有不少人自愿選修這門課程。

　　如此多的學生學習微積分的一個重要原因是微積分能教會學生如何解決問題。在微積分教材中有很多習題，學生必須根據他們所學的知識進行解答。對很多學生來說,微積分可能是他們學過的惟一一門教他們如何進行邏輯思維的課程。盡管有的人可能在工作以后再也用不到微積分，但他們仍能從解答習題中獲益。加州大學經濟系主任曾經說他們在錄取研宄生的時候，衡量學生是否適合研讀經濟學博士，以及將來的發展如何的惟一依據就是他們的微積分成績。也就是說,從學生在微積分這門課上的表現可以預測他們繼續深造經濟學的潛力。

　　在美國講授微積分的方式是多樣的，有多種微積分課程。第一種稱為數學分析，對數學的處理非常嚴謹，是面向那些基礎扎實，非常優秀的大學生。這門課在美國不是很普遍，只有在少數幾所著名的大學里可以找到,大概只占1%,但在俄羅斯、歐洲和中國非常普遍。最普遍的一種微積分稱為傳統微積分。傳統微積分包括一定量的理論證明和大量物理學和工程學的應用題。另一種微積分則更側重于應用，主要面向貿易、經濟類以及生物學和醫學的學生。這種課比較普遍，對數學處理不是那么嚴謹，理論和證明部分很少，現實性生活中的應用題比較多，在教學中不斷嘗試新的技術、新的方法。有的課是按照微積分教學改革的宗旨來設計的，與傳統微積分相比,這些課有著不同的教學理念。比如,有人認為學生應該組成學習小組來學習；有人認為應該使用所謂的發現法，如果知識點是學生自己發現的，他們學習起來更有興趣。

　　科技對微積分教學的影響主要有三個方面。一是對教學方法的影響，比如很多教師將課程相關的內容放在網上，用計算圖形軟件制作課件，用PoverpoiU制作講義，圍繞Mahemalica設計課程等。二是計算機對教學內容的影響，比如牛頓方法越來越重要,有了像Mahemalica這樣強大的計算工具和專門的計算方法，求積分的重要性不如以前了。三是微積分的用途，對那些工作中要用到微積分的人來說，計算機相當重要。

　　在美國規模較大的學校里，微積分課堂人數很多，一般是100至400人，每周都會布置家庭作業，有的甚至是每天。批改作業需要大量的時間，一個做法是聘請研宄生助教來幫助批改;另一個作法是布置作業但不批改，這樣學生可能不做;第三個是越來越多被采用的做法,即得用Mymalh]dbWeAssignWAworks等計算機家庭作業軟件，學生在網上登錄,直接完成作業，教師很快就能得到全班的成績單。有的學生經常會把習題答案放在網上，使用這些軟件可以隨機安排題目，讓不同的學生得到不同的題目，這樣可以避免他們投機取巧，從網上抄襲答案。在網上做作業的另一個益處是學生可以立即得到反饋。當學生遇到困難,傳統作法是去找老師、同學或研宄生助教尋求幫助，但這樣花費很多的時間。在線家庭作業可以立即給學生反饋，比如舉出一些類似的例子，給出相關的參考書等。經試用，效果非常不錯。

　　3俄羅斯近幾年數學分析教學改革狀況

　　在俄羅斯很多高校中，數學分析這門課的教學情況都十分相似，當然，不同的大學對這個問題有不同的闡釋。在長期的教學過程中，形成了講授數學課程的傳統和方法。其中起重大作用的知名數學家有歐拉、奧斯特洛夫斯基、切比雪夫、馬爾可夫等。他們對數學工作都傾注了大量的心血。下面，簡單地介紹關于數學教學研宄的觀點和方法。

　　r.M.菲赫金哥茨教授所著的三卷（八分冊）套著作《微積分教程〉影響數學分析課程教研長達幾十年。這位著名的學者和他的學生們在圣彼得堡大學任教多年，那些年代的教學風格和講授方法清楚地記錄在著名的三卷套著作《微積分教程》中。這套書至今仍為廣大教師所采用，被視為微積分教學的豐富源泉。在許多有著深厚數學基礎的技術類院校里，所有年級的數學教程都是在科學院院士斯米諾夫的具有重大價值的五卷套著作〈高等數學教程〉!的基礎上編寫的。

　　二十世紀中葉，重新審視數學教學并使其滿足現代化需求已成為必然。在蘇聯的一些領軍高校里，均需在不同程度上解決該問題。當然，用數學的觀點來看，全世界范圍內都反映出了一些深刻的變化。新方向（拓撲學、泛函分析等）的發展，促使了新課題的出現。在當時的一些經典教材的知識結構框架內，大學生所學到的知識是無法解決這些新課題的。因此，在全世界各個教學研宄中心，幾乎同時期很大程度地進行數學教學改革。這導致了高等數學中許多科目，特別是數學分析課程的變化。這些變化首先表現在微積分的表述上。

　　在進行任何教學改革的過程中，都不可能在有限時間內既講完傳統課又講述完未來的專家們所必須熟悉的新課題。理想的情況是,在盡可能短的時間內闡明過去已有的經驗結果。但在很多情況下,不得不做出某些犧牲，即某些傳統課題講解得不夠詳細，而另外一些新課題則完全沒涉及。時間對任何教學工作來講都是重要原因。因此，在系統講授數學分析課程前，必須考慮時間因素。

　　為不同專業的大學生講述的數學分析課應該是有區別的。但是對數學專業學生講授的應該是最詳細的數學分析教程。下面介紹圣彼得堡國立大學數學系為數學專業大學生講授的數學分析教程的情況。講授時間是五個學期,在此期間內由同一位教授同時給所有大學生講授(前四個學期每周兩次課,第五學期每周15次課）。

　　不同教師在為期兩年半的教學過程中數學分析教程的章節目錄及授課先后順序可能有些差別，但總體上應包括如下題目。

　　第一學期：引言（集合理論基礎、映射的概念、實數），極限和連續性，實數軸上的微分運算，不定積分。主要結果是泰勒公式。

　　第二學期：定積分及其應用，反常積分，數列。主要結果是牛頓一萊布尼茲公式。

　　第三學期：函數項級數和函數列，分析運算的排列，在有限度量空間上的微分學（包括泰勒級數，含若干變量的條件極值，給定映射及逆映射的隱含定理）。

　　第四學期：復變函數理論，測度理論初步，可測函數，按測度的積分，測度的乘積，有限度量空間的勒貝格測度，在多重積分中的變量置換。

　　第五學期:含參變量的積分，流形上的積分（包括斯托克斯公式），傅里葉級數和傅里葉積分。

　　下面介紹數學分析課程教學過程中所形成的一些主要課題。

　　1、除課堂教學外，還要進行同等數量的實踐課。實踐課按單獨的教學組進行，每組15-25人。這些實踐課的主要內容是解題。學生們在其他教師的指導下進行，且這些教師同授課教師都必須保持著固定的聯系。

　　2、考試考查是教學考查的主要方式，每學期期末進行。該學年課堂討論課的教師負責本門課的考查。考查不合格的學生取消其考試資格。在學生通過測試后，由任課教師給出課堂討論的分數。對學生的考核測試一般一學期是3-5次。在筆試中，學生不允許使用課堂筆記、教科書或參考資料。測試時間是15小時。題目會提前告之學生。該題目通常與課堂討論研宄的題目相一致。未能通過考試的學生會被安排參加一次補考。

　　i每學期的最后一周停止各類講座和各種課堂討論。在此期間進行所有科目的測驗。也正是這周進行考查。

　　4、妾下來是大約持續三周的考期。在這期間學生需要準備并且通過三到五場考試。對于每堂考試，可以準備出一個問題清單，以便更好地應對考試。

　　&考試是口頭進行的，考生拿到的考卷上有從考試大綱中選出的2-3個題目。通常，每個考題都是針對某個理論進行證明的。在一個小時的時間里，考生將要給考官敘述的內容作筆頭準備。主講教師負責監考，主持課堂討論的助教同時參加監考。教研室的研宄生也會一同負責監考工作。如果主考官認為有必要,也會要求學生更詳盡地論證自己的觀點。為此，考生會有幾分鐘的思考時間。在回答完考卷上的問題后，會根據考試大綱上的其他問題進行更快速的回答。在這期間討論公式和最大眾化的一些論證觀點。在給數學系考生的考試中，一直遵循這樣一個老傳統。想獲高分的考生必須解出考官提出的問題，這通常是課堂講義的補充內容或更詳細的論述內容。

　　4我院近幾年數學分析教學的改革及展望

　　我院數學分析課于2004年列為省級重點建設課程,我們已對該課程的教學工作進行了一定的改革，對課程也進行了有益的建設。但是仍存在內容偏多、講述形式化的問題，對數學分析課進行積極而慎重的改革仍然是一項艱巨的任務。

　　我們認為數學分析改革的目標應當是使數學分析課的內容變得平實、自然、有用、有趣。要把數學分析從一個高深莫測、苦澀乏味，讓人望而生畏的舊體系中解放出來,還它樸實的本來面目，以更好地體現它的基本精神、基本內容與應有的基本訓練。國外、院外的經驗與教材，要學習、借鑒,但是不可照搬。要探索出一條適合本院實際的道路，我們正在或準備從以下幾個方面著手建設。

　　41借助現代化教學工具使數學分析的教學更加直觀，更加富有啟發性。對于適合用多媒體技術教學的章節制作多媒體課件，配合黑板,靈活多樣地進行教學。特別是涉及抽象的空間圖形，利用多媒體和數學軟件將其展示在屏幕上，以克服抽象、難于理解的困難。

　　42開展數學實驗教學,教會學生使用MahmatCAmappe等數學軟件。能利用數學軟件求導數、求積分等運算，從而化解求導數、求積分等數學運算的困難，使學生有更多精力來理解數學概念和邏輯推理，使學習變得容易。

　　43改革教學方法。4哦們不但要注意因材施教，還要注意因內容施教，采用靈活多樣的教學方法（如“研宄式”、“發現式”、“自學式”、“精講多練式”等）進行教學,調動學生的學習積極性，培養學生的自學能力、分析問題和解決問題的能力、創新思維的能力。

　　44加強數學分析中對中學數學教學具有直接指導意義的內容的教學。將初等數學與高等數學有機地結合起來，解決大學教學與中學教學脫節的問題。

　　45在教學中補充一些應用類問題。將微積分在經濟、物理、生物、生產等方面的應用問題引入課堂，使學生學會從實際問題中抽象出數學模型，從而利用微積分解決實際問題。

　　46精減教學內容。對于今后在后繼課程中要學習的內容和比較繁雜的內容（如隱函數存在定理等）只介紹定理的條件和結論，有的甚至可以刪去不講。重在理解和應用，而略去其證明。

　　教學改革是一個漫長的過程，不可能一蹴而就，我們必須切合實際，不斷探索，力求最隹,努力提高教學質量。

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