數(shù)學(xué)教學(xué)中錯(cuò)誤概念的診斷與矯治論文
數(shù)學(xué)教學(xué)的理論和實(shí)踐研究表明，兒童在進(jìn)入學(xué)校之前、在學(xué)習(xí)學(xué)校數(shù)學(xué)之先，頭腦里并非空白一片，像一塊“白板”。事實(shí)上，他們?cè)诿刻斓耐嫠Ｖ泻蜕钪袑W(xué)會(huì)了數(shù)字的加減運(yùn)算，形成了一定的“數(shù)學(xué)概念”。他們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式和數(shù)量關(guān)系有自己的看法和理解，這種在接受正規(guī)的學(xué)校教育之前所擁有的概念一般稱為前概念(也有學(xué)者稱之為觀念)。他們的這種前概念是樸素的，雖不精確，但含有合理的成分，是兒童在現(xiàn)實(shí)生活中認(rèn)識(shí)特殊事物的一個(gè)有價(jià)值的工具，是兒童學(xué)習(xí)新概念、建構(gòu)新意義的基礎(chǔ)，因此，在教學(xué)中不應(yīng)把學(xué)生建立在前概念基礎(chǔ)上的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)看成是一種思維的“垃圾”加以排斥，而應(yīng)作為認(rèn)知的基礎(chǔ)，有待于向高級(jí)的科學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換。然而，與科學(xué)的數(shù)學(xué)概念相比，他們的前概念往往含有錯(cuò)誤的傾向，有的甚至就是錯(cuò)誤的，因而，前概念有時(shí)也稱為錯(cuò)誤概念，它們對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要影響。一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生頭腦中的前概念尤其是錯(cuò)誤概念不但會(huì)妨礙對(duì)新知識(shí)的理解和建構(gòu)，而且會(huì)導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生新的錯(cuò)誤概念。因此，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的前概念特別是錯(cuò)誤概念的研究就成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。本文擬對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的錯(cuò)誤概念的診斷與矯治作一初步探討。
一、錯(cuò)誤概念及其特證
對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤概念，不同的學(xué)者使用了不同的術(shù)語(yǔ)，如相異概念（Viennot，1979)、幼稚概念（Resnick,1983)?相異框架(Driver&Easley,1978)等"。筆者認(rèn)為，將misconception譯為“誤解概念”可能更為恰當(dāng)，因?yàn)楝F(xiàn)代心理學(xué)在研究學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常遇到的L些錯(cuò)誤概念時(shí)普遍采取了一種更為“寬容”的態(tài)度，認(rèn)為學(xué)生所具有的觀念，無(wú)論是在學(xué)習(xí)前就已形成的樸素觀念，還是在各種情景、包括在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的“非標(biāo)準(zhǔn)觀念”，都是學(xué)生建構(gòu)活動(dòng)的產(chǎn)物。一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生的錯(cuò)誤概念主要有以下特征。
1.額固性
研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生頭腦中的錯(cuò)誤概念具有極強(qiáng)的頑固性(或穩(wěn)定性），即使在他們學(xué)習(xí)了科學(xué)的數(shù)學(xué)概念以后，也會(huì)背相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念的形式定義，但是，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，那些錯(cuò)誤概念仍會(huì)潛在地存在著，影響學(xué)生的思維和問(wèn)題解決。這就是說(shuō)，學(xué)生的錯(cuò)誤概念不可能被科學(xué)概念自動(dòng)“抹去”。為什么學(xué)生的錯(cuò)誤概念具有如此的頑固性呢?這是因?yàn)閷W(xué)生花了相當(dāng)多的時(shí)間和精力建構(gòu)了自己的“樸素觀念”，無(wú)論在感情上還是在心理上都是有依賴感的，這些樸素的觀念曾經(jīng)在他們的經(jīng)驗(yàn)中發(fā)揮過(guò)一定的作用。頑固性成為概念轉(zhuǎn)變教學(xué)的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。
2.隱蔽性
所謂隱蔽性，就是學(xué)生本人不能自覺(jué)地意識(shí)到自己的錯(cuò)誤概念，常常堅(jiān)持和使用自己的錯(cuò)誤概念去觀察、思考和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。這是因?yàn)閷W(xué)生的前概念是潛移默化地形成的，以潛在的形式存在著，平時(shí)并不表現(xiàn)出來(lái)。由于這種隱蔽性，為錯(cuò)誤概念的揭示增加了難度，所以需要數(shù)學(xué)教師采用各種方法來(lái)幫助學(xué)生拋棄錯(cuò)誤概念。
3.表象性
學(xué)生認(rèn)知事物的能力有限，他們的前概念主要形成于日常生活的直接經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)中對(duì)知識(shí)的字面理解，往往比較膚淺、直觀，一般停留在表象水平上，還不能脫離具體表象而形成抽象的概念。因而，自然也就無(wú)法擺脫局部事物或個(gè)別現(xiàn)象的片面性和局限性而把握其本質(zhì)，使得錯(cuò)誤概念具有表象性的特征，這也就為錯(cuò)誤概念的診斷和矯治提供了可能。
二、錯(cuò)誤概念的診斷
在數(shù)學(xué)教學(xué)中錯(cuò)誤概念診斷的有效方法是實(shí)施診斷性評(píng)價(jià)（diagnosticassessment)。所謂診斷性評(píng)價(jià)，就是通過(guò)一定的方式(定量的和定性的)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，并分析這些問(wèn)題產(chǎn)生的原因，從而為改進(jìn)和調(diào)整教學(xué)策略提供依據(jù)。診斷性評(píng)價(jià)能夠幫助教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤概念，查明學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中產(chǎn)生困難的真正原因，從而采取教學(xué)對(duì)策，促進(jìn)學(xué)生概念的生成和轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)。具體來(lái)說(shuō)，有以下幾種方法。
1.出聲思考
出聲思考（thinkingaloud)是認(rèn)知心理學(xué)研究的一種方法，是指被試在進(jìn)行操作的同時(shí)，報(bào)告其頭腦中的思維過(guò)程。學(xué)生的思維活動(dòng)是我們無(wú)法感知的，出聲思考好似學(xué)生把思維過(guò)程直接呈現(xiàn)在我們面前，因而能讓我們比較有效地進(jìn)行考查。這是發(fā)現(xiàn)隱蔽在學(xué)生頭腦中錯(cuò)誤概念的一種簡(jiǎn)便、有效的方法。這種方法要求被試報(bào)告頭腦中想到了什么,而不是為什么這樣想。邊思考邊報(bào)告可能會(huì)影響被試的思維活動(dòng)和報(bào)告的真實(shí)性,但研究表明，只要被試經(jīng)過(guò)有效的訓(xùn)練，出聲思考并不會(huì)影響思維的正常進(jìn)行。因此，出聲思考是考查學(xué)生錯(cuò)誤概念的一種有效方法。
2.制作概念圖
所謂概念圖（conceptmapping)就是把兩個(gè)以上以及它們之間的關(guān)系通過(guò)連接詞以圖解的形式表示出來(lái)形成的概念關(guān)系圖。它要求學(xué)生將有關(guān)某一主題不同層級(jí)的概念置于方框或圓圈中，再以各種連線將相關(guān)的概念或命題連接起來(lái)，以形象化的方式表征學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及對(duì)某一主題概念的理解。制作概念圖，可以幫助教師了解學(xué)生對(duì)有關(guān)主題概念的理解(包括前概念)。例如，通過(guò)制作數(shù)系圖，就能了解初一學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)情況。
3.診斷性測(cè)試
這是指以診斷學(xué)生普遍存在的前概念、揭示其錯(cuò)誤概念產(chǎn)生的原因?yàn)槟康牡囊环N特殊的測(cè)試。診斷性測(cè)試需要編制測(cè)試題，測(cè)試題的.編制和選擇要針對(duì)所學(xué)內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)，要將學(xué)生容易產(chǎn)生錯(cuò)誤理解的知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生的前概念(錯(cuò)誤概念)在測(cè)試中“曝光”。例如，要求小學(xué)生作出鈍角三角形三邊上的高，即可發(fā)現(xiàn)學(xué)生關(guān)于“垂直”的前概念。垂直，作為幾何概念的本質(zhì)特征是點(diǎn)跟直線的位置關(guān)系，而相應(yīng)的生活概念(前概念)的本質(zhì)特征是方向的上或下。測(cè)試表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何概念中的垂直時(shí)，大多以日常概念的“垂直”去置換幾何概念的相互垂直，從而導(dǎo)致作圖錯(cuò)誤。
4.訪談
訪談是以口頭形式，根據(jù)被詢問(wèn)者的回答而收集的客觀的、不帶偏見(jiàn)的事實(shí)材料，以正確把握對(duì)象知識(shí)結(jié)構(gòu)的一種方式。訪談的核心是準(zhǔn)備好訪談?dòng)?jì)劃，包括所提問(wèn)題。問(wèn)題要簡(jiǎn)單明了，易于口頭回答。訪談時(shí)要做好心理調(diào)控，營(yíng)造一種平等、民主、坦誠(chéng)、和諧的氛圍。由于直面交談，訪談法具有較好的靈活性和適應(yīng)性，能夠勘察學(xué)生的深層思維，是診斷學(xué)生對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)的理解和揭示錯(cuò)誤概念的一種最佳方法。但它對(duì)訪談?wù)咭筝^高，工作量也較大，適合個(gè)案研究。
一般來(lái)說(shuō)，為了全面、準(zhǔn)確地揭示學(xué)生的錯(cuò)誤概念，在實(shí)際操作過(guò)程中不是單獨(dú)使用某一種方法，而是幾種方法常常結(jié)合起來(lái)使用，發(fā)揮各種方法的優(yōu)勢(shì)。
三、矯治錯(cuò)誤概念的教學(xué)策略
診斷學(xué)生的錯(cuò)誤概念只是一種手段，不是目的，目的是為教學(xué)決策提供依據(jù)，以便矯治學(xué)生的錯(cuò)誤概念。針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤概念，西方學(xué)者進(jìn)行了大量研究，提出了概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)現(xiàn)，被認(rèn)為是矯治學(xué)生錯(cuò)誤概念，實(shí)現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)的一種有效策略。
在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，認(rèn)為只要向?qū)W生傳授科學(xué)的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生的錯(cuò)誤概念便會(huì)自動(dòng)得到更正或?yàn)榭茖W(xué)的數(shù)學(xué)概念所代替。建構(gòu)主義指出，知識(shí)是不能被傳遞的，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者根據(jù)自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程。大量的教學(xué)實(shí)踐也表明，學(xué)生錯(cuò)誤概念的頑固性，致使這種做法是低效的甚至是無(wú)效的。實(shí)現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)，最有效的方法是進(jìn)行概念轉(zhuǎn)變教學(xué)（conceptualchangeteach?ing)。所謂概念轉(zhuǎn)變教學(xué)，就是促使學(xué)生原有概念改變、發(fā)展和重建的過(guò)程，就是學(xué)生由前概念(錯(cuò)誤概念）向科學(xué)概念轉(zhuǎn)變的過(guò)程。
1.了解學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)前概念向科學(xué)的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)變
建構(gòu)主義的概念轉(zhuǎn)變教學(xué)觀認(rèn)為，有效教學(xué)始于學(xué)生原有的知識(shí)和技能。通過(guò)對(duì)專家教師與新手的比較研究發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)策略上，專家教師更關(guān)注學(xué)生的巳有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，了解學(xué)生可能面對(duì)的困難，知道如何挖掘?qū)W生已有知識(shí)以使新的信息有意義。因此，針對(duì)學(xué)生前概念的干擾，在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)了解、正視學(xué)生的前概念，發(fā)揮前概念的經(jīng)驗(yàn)性、淺顯性和通俗性的特點(diǎn)，使學(xué)校教學(xué)的數(shù)學(xué)概念以此為鋪墊，促進(jìn)學(xué)生由淺人深、由表及里地從經(jīng)驗(yàn)性概念轉(zhuǎn)變到理論性概念，即通過(guò)對(duì)前概念的充實(shí)、區(qū)分或增加層級(jí)組織，使前概念轉(zhuǎn)變成科學(xué)的數(shù)學(xué)概念。
事實(shí)上，“學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思考往往來(lái)自于個(gè)別范例和活動(dòng)”。課堂上教授的數(shù)學(xué)概念的抽象性、概括性、精確性的特點(diǎn)也迫切需要以日常概念的具體性、特殊性和操作性成分為依托，以便能分化它的理論側(cè)面，使之借助學(xué)生的具體經(jīng)驗(yàn)和事實(shí)，變得容易理解。在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的失敗在很多情況下是學(xué)生在學(xué)校中所學(xué)到的正規(guī)數(shù)學(xué)概念與源于日常生活的數(shù)學(xué)概念相脫離而導(dǎo)致的。實(shí)踐表明，一旦教師注意到學(xué)習(xí)者帶到學(xué)習(xí)任務(wù)中已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，并將這些當(dāng)作新概念的起點(diǎn)時(shí)，在教學(xué)過(guò)程中監(jiān)控學(xué)生的概念轉(zhuǎn)化，就能促進(jìn)學(xué)生的概念學(xué)習(xí)。
2.引發(fā)認(rèn)知沖突,辨清新舊界限，實(shí)現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)
當(dāng)學(xué)生的前概念與新概念不一致或矛盾時(shí)，必須辨清它們之間的分歧所在，學(xué)生才能轉(zhuǎn)變、重組自己的已有觀念。學(xué)生在真正學(xué)習(xí)新概念之前，需要對(duì)根深蒂固的錯(cuò)誤概念進(jìn)行重組，因?yàn)檫@些錯(cuò)誤概念會(huì)干擾學(xué)習(xí)。格勞斯認(rèn)為,改變“錯(cuò)誤概念對(duì)新概念學(xué)習(xí)排斥”現(xiàn)象的唯一可能方法是迫使學(xué)生正確面對(duì)他們的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)與所學(xué)的科學(xué)原理之間的矛盾。
因此，教師必須讓學(xué)生意識(shí)到他們的錯(cuò)誤(前)概念，他們才能改變自己的觀念，進(jìn)行認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建。而促使學(xué)生轉(zhuǎn)變錯(cuò)誤概念的最好方式是引發(fā)認(rèn)知沖突，認(rèn)知沖突使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)前(或錯(cuò)誤)概念的不滿。只有經(jīng)過(guò)這種沖突才能促使學(xué)生產(chǎn)生重建概念的心理表征。通過(guò)挑選涉及已知錯(cuò)誤概念的關(guān)鍵任務(wù)，教師能夠幫助學(xué)生檢驗(yàn)他們的思維，弄清楚為什么他們的各種各樣的想法需要改變，以及怎么改變，這種模式便會(huì)使學(xué)生進(jìn)人認(rèn)知沖突。
一般來(lái)說(shuō)，認(rèn)知沖突的產(chǎn)生主要有以下三種情況：一是認(rèn)知沖突產(chǎn)生于學(xué)生的預(yù)測(cè)同其經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果相反時(shí)；二是認(rèn)知沖突產(chǎn)生于學(xué)生的觀點(diǎn)與教師的觀點(diǎn)不一致時(shí)；三是認(rèn)知沖突產(chǎn)生于學(xué)生之間不同觀念的碰撞中。認(rèn)知沖突激起學(xué)生的求知欲和探索心向，促使學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知結(jié)構(gòu)的同化和順應(yīng)。因此,引發(fā)認(rèn)知沖突是激勵(lì)學(xué)生實(shí)現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)的契機(jī)和條件。
1.重視概念生成的凝聚,構(gòu)建概念網(wǎng)絡(luò)
凝聚（encapsulation)是數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)的一^有效策略,是指概念由“過(guò)程”向“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化。因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中很多概念最初是作為一個(gè)過(guò)程得到引進(jìn)的，如函數(shù)概念最初是作為對(duì)應(yīng)法則引進(jìn)的,但隨著學(xué)習(xí)的不斷深入,其最終又轉(zhuǎn)化成了一個(gè)研究對(duì)象--對(duì)其性質(zhì)等進(jìn)行研究，如單調(diào)性、連續(xù)性、可導(dǎo)性等,從而函數(shù)就獲得了新的意義,變成了數(shù)學(xué)對(duì)象。正因如此，函數(shù)概念的表征學(xué)習(xí)就經(jīng)歷了一個(gè)凝聚的過(guò)程:對(duì)應(yīng)說(shuō)一映射說(shuō)一關(guān)系說(shuō),使函數(shù)概念實(shí)現(xiàn)了由過(guò)程到對(duì)象的轉(zhuǎn)變,從而達(dá)到“凝聚”。可見(jiàn),在概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生僅憑單純的機(jī)械記憶概念的形式定義是不行的，是不可能真正理解新概念并在新的情境中進(jìn)行正確的應(yīng)用的，而必須搞淸概念的來(lái)龍去脈--建立概念網(wǎng)絡(luò)。由于數(shù)學(xué)概念是相互聯(lián)系的,具有一定的復(fù)雜性,所以只有在與其他概念所形成的網(wǎng)絡(luò)中才能全面地理解它。
概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，新概念的學(xué)習(xí)是以已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的一個(gè)主動(dòng)的意義建構(gòu)過(guò)程，建構(gòu)的方式是同化和順應(yīng)。同化和順應(yīng)是概念轉(zhuǎn)變的機(jī)制。同化，使原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)容在量上得到充實(shí)和豐富;順應(yīng),使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到重組或重構(gòu),統(tǒng)攝程度更高，發(fā)生了結(jié)構(gòu)性的變化。這也說(shuō)明，學(xué)生頭腦中所擁有的概念的心理表征是相互聯(lián)系的,是具有一定的結(jié)構(gòu)關(guān)系的。
對(duì)學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)概念來(lái)說(shuō),結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵。當(dāng)不同數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在表征之間建立了一定的聯(lián)系時(shí)，就可稱謂建立了概念網(wǎng)絡(luò)。組織良好的概念網(wǎng)絡(luò)是一種“立體結(jié)構(gòu)”:在層與層之間,可比喻為垂直的譜系,在同一層級(jí)上則像蜘蛛網(wǎng)一樣。“當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)像譜系那樣時(shí),一些表征從屬于另一些表征，即作為后者的細(xì)節(jié)從屬于更為一般的表征……在第二個(gè)比喻中，網(wǎng)絡(luò)就像一張蛛網(wǎng)，其中的結(jié)點(diǎn)可以被看成所代表的各條信息，結(jié)點(diǎn)間的線則代表信息間的聯(lián)系或關(guān)系。蛛網(wǎng)中的各個(gè)點(diǎn)最終都是相互聯(lián)結(jié)的,從而可按照已建立的聯(lián)系在其中轉(zhuǎn)移”。例如，多邊形就可形成一種立體結(jié)構(gòu)概念網(wǎng)絡(luò)，它是“譜系”與“蛛網(wǎng)”的混合。
運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)新概念的轉(zhuǎn)化過(guò)程，在本質(zhì)上就是不斷豐富和建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成縱橫交錯(cuò)、聯(lián)系密切的概念網(wǎng)絡(luò)，就是將一個(gè)新概念納入已有的概念網(wǎng)絡(luò)，或者由于新概念的進(jìn)入與原有觀念中的錯(cuò)誤概念的沖突而引起概念網(wǎng)絡(luò)的重組或重構(gòu)，從而組織成為一個(gè)聯(lián)系更為合理、觀念更為恰當(dāng)?shù)男戮W(wǎng)絡(luò)。將一個(gè)新概念納人已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，其與概念網(wǎng)絡(luò)中結(jié)點(diǎn)的聯(lián)系越為密切且為多層級(jí)間的聯(lián)系,反映主體對(duì)其理解就越為全面和深刻。理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念就是指新概念的心理表征已經(jīng)成為主體已有的概念網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)組成部分，即與主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立了廣泛的聯(lián)系。這種聯(lián)系既有邏輯的聯(lián)系,也有認(rèn)知之間的聯(lián)系，且理解的程度就取決于聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度。說(shuō)一個(gè)數(shù)學(xué)概念被理解了，就是指其和現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)是由更強(qiáng)或更多的關(guān)系聯(lián)結(jié)著的。
因此，在數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)中，我們就不能著眼于或滿足于學(xué)生已有(記住)數(shù)學(xué)概念的數(shù)量;與其相比,概念間的良好組織更為重要。總之,只有新概念與頭腦中組織良好的概念網(wǎng)絡(luò)建立穩(wěn)定、靈活、密切的聯(lián)系之后，才可說(shuō)是獲得了新概念和實(shí)現(xiàn)了概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)。
綜上所述，開(kāi)展關(guān)于學(xué)生頭腦中的前概念或錯(cuò)誤概念的研究，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要，是運(yùn)用建構(gòu)主義理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要。如何揭示學(xué)生頭腦中那些樸素的、不精確的、甚至是錯(cuò)誤的概念，采用何種教學(xué)策略幫助學(xué)生將這些錯(cuò)誤概念轉(zhuǎn)變?yōu)榭茖W(xué)的數(shù)學(xué)概念，仍是擺在我們面前的需要深入探討的重要而又有意義的課題。
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