數(shù)值計(jì)算方法的課堂教學(xué)論文
一、引言
數(shù)學(xué)是科學(xué)之母。一門(mén)學(xué)科之是否成為科學(xué)，決定于該學(xué)科的問(wèn)題描述是否能化歸為數(shù)學(xué)。工程技術(shù)屬于應(yīng)用科學(xué)范疇，工程技術(shù)問(wèn)題通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)產(chǎn)生直接聯(lián)系。數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析解通常是極難得到的，因此必須歸結(jié)為數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。例如：人造飛船的軌道研究、汽車(chē)耐撞性問(wèn)題研究、大型橋梁設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)等都必須數(shù)值求解。數(shù)值計(jì)算方法作為研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的近似求解方法的課程，既有一般類(lèi)數(shù)學(xué)課程理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有工科類(lèi)課程的實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性特征，是一門(mén)理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的學(xué)科。該課程理論涉及面廣、方法應(yīng)用性強(qiáng)、內(nèi)容豐富，再加上隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，優(yōu)秀數(shù)學(xué)軟件層出不窮，數(shù)值計(jì)算方法更能與計(jì)算機(jī)相結(jié)合，適應(yīng)科學(xué)發(fā)展的需要，現(xiàn)已成為各高校大部分理工科專(zhuān)業(yè)的必修課程。在數(shù)值計(jì)算方法的教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)了很多問(wèn)題。本文對(duì)其中的部分問(wèn)題進(jìn)行了分析，并提出了幾點(diǎn)教學(xué)改革建議。
二、教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題
以筆者所在的機(jī)械工程專(zhuān)業(yè)為例，起初該課程為學(xué)科選修課，選課學(xué)生少，且其中大部分是為了湊學(xué)分而來(lái)的，學(xué)習(xí)興趣不高在所難免。后來(lái)學(xué)科培養(yǎng)計(jì)劃改變，該課程歸入專(zhuān)業(yè)必修課，選課學(xué)生數(shù)量增加了，但是學(xué)習(xí)熱情還是不高。究其原因，主要有以下幾點(diǎn)：
1.課程對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高。本課程主要解決以下幾大類(lèi)問(wèn)題：非線(xiàn)性方程求根、線(xiàn)性代數(shù)方程組求解、矩陣特征值與特征向量的數(shù)值解法、插值與擬合、函數(shù)最佳逼近、數(shù)值微分與積分、常微分方程初值問(wèn)題的求解等。需要先修的數(shù)學(xué)課程包括高等數(shù)學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)等。學(xué)生只有掌握這些課程中的基本內(nèi)容，才能學(xué)好數(shù)值計(jì)算方法課程。而這幾門(mén)課程均是難度較大的數(shù)學(xué)課程，學(xué)生的掌握程度本來(lái)就不好，甚至學(xué)過(guò)后已經(jīng)忘記。由于同時(shí)要學(xué)習(xí)其他機(jī)械專(zhuān)業(yè)課程，學(xué)生不愿再花大量的時(shí)間和精力去學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，特別是本來(lái)就對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的學(xué)生。所以在課程學(xué)習(xí)中，學(xué)生就會(huì)陷入“聽(tīng)不懂，聽(tīng)不懂就沒(méi)興趣，沒(méi)興趣就不想聽(tīng)課，不聽(tīng)課就不懂”這樣一個(gè)死循環(huán)。
2.教學(xué)課時(shí)的限制。該課程的內(nèi)容覆蓋很廣，如“插值方法”這一章，就算法而言就有Lagrange插值、Aitken插值、Nevile插值、差分與差商形式Newton插值、Hermite插值、分段低次插值、三次樣條插值、B-樣條插值等。然而，總學(xué)時(shí)設(shè)置僅為32學(xué)時(shí)。即使不面面俱到，挑選幾種典型的插值方法講解，也需要花費(fèi)不少時(shí)間。因此，教師的課堂時(shí)間主要用來(lái)講解各問(wèn)題相關(guān)算法的理論推導(dǎo)和算法設(shè)計(jì)，幾乎沒(méi)有幫學(xué)生回顧相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)間，且在課堂內(nèi)也沒(méi)有時(shí)間及時(shí)將理論運(yùn)用于具體問(wèn)題。學(xué)生覺(jué)得這是一門(mén)純數(shù)學(xué)課，枯燥無(wú)味又難懂，沒(méi)有學(xué)習(xí)興趣。
3.沒(méi)有與計(jì)算機(jī)很好結(jié)合。數(shù)值計(jì)算方法的一大特點(diǎn)是面向計(jì)算機(jī)。一個(gè)好的數(shù)值算法要通過(guò)程序設(shè)計(jì)在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，要求用最簡(jiǎn)練的語(yǔ)言、最快的速度、最少的存儲(chǔ)空間來(lái)實(shí)現(xiàn)某種計(jì)算結(jié)果。要達(dá)到上述要求，要求教師和學(xué)生既要掌握數(shù)值計(jì)算算法，又要能熟悉并熟練使用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言。而現(xiàn)在的課堂教學(xué)重點(diǎn)大都側(cè)重在理論講解上，沒(méi)有很好地結(jié)合計(jì)算機(jī)編程，學(xué)生把這門(mén)課當(dāng)成了數(shù)學(xué)課來(lái)上；且學(xué)生在課外也沒(méi)有將課堂上學(xué)到的算法付諸于計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。導(dǎo)致該門(mén)課程理論與實(shí)踐嚴(yán)重脫節(jié)，達(dá)不到預(yù)期的教學(xué)效果和教學(xué)目的。
三、如何提高課程的趣味性
綜合上述教學(xué)中出現(xiàn)的問(wèn)題，要想教好這門(mén)課、使學(xué)生學(xué)到知識(shí)，最重要的是要提高課程本身的趣味性。“興趣是最好的老師”，學(xué)生有了興趣，才會(huì)有學(xué)習(xí)的熱情，才會(huì)把精力付諸于課程學(xué)習(xí)上。那么關(guān)鍵問(wèn)題是如何提高該課程的趣味性，主要從下面幾點(diǎn)出發(fā)。
1.結(jié)合專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)，從實(shí)際出發(fā)，合理安排課時(shí)和教學(xué)內(nèi)容。由于課時(shí)有限，而且授課對(duì)象主要是機(jī)械這樣的工科類(lèi)專(zhuān)業(yè)的本科生，課程的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生具有機(jī)械工程工作所需的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的意識(shí)和能力，并為后續(xù)的工作和學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。那么教師在安排課時(shí)要懂得取舍，選擇與機(jī)械專(zhuān)業(yè)緊密相關(guān)的內(nèi)容講解，課程主要濃縮為如下幾個(gè)主要內(nèi)容：非線(xiàn)性方程的求解、線(xiàn)性方程組的求解、插值與擬合、數(shù)值微分與積分、常微分方程數(shù)值求解。而每個(gè)內(nèi)容應(yīng)該針對(duì)其中的經(jīng)典算法進(jìn)行講解。如非線(xiàn)性方程的求解，只需就二分法、簡(jiǎn)單迭代法、Newton迭代法進(jìn)行詳細(xì)講解，其他算法如弦割法、簡(jiǎn)單Newton法等只需簡(jiǎn)單提及即可；常微分方程的數(shù)值解法，只需對(duì)Euler法和Runge-Kutta方法詳細(xì)講解，其他內(nèi)容略講即可。例如非線(xiàn)性方程求解中，判斷迭代法收斂的充分條件，復(fù)雜的證明過(guò)程可以略去不講。這樣一來(lái)，教學(xué)課時(shí)和內(nèi)容安排合理，整堂課就不會(huì)全在枯燥無(wú)味的數(shù)學(xué)定理推導(dǎo)中度過(guò)，即使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好的學(xué)生也能掌握并運(yùn)用。而且學(xué)生能運(yùn)用定理判斷一種迭代法是否收斂，本身也會(huì)獲得一定程度的滿(mǎn)足感和自信心，而學(xué)習(xí)興趣也可以在這之上建立起來(lái)。
2.對(duì)學(xué)生的計(jì)算機(jī)編程能力要求。該課程研究的是幾大類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值算法，懂得算法之后，一定要結(jié)合計(jì)算機(jī)進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)。但本門(mén)課程又不是專(zhuān)門(mén)的計(jì)算機(jī)編程課程，且由于學(xué)時(shí)限制，課堂上不可能有多余的時(shí)間教授學(xué)生編程知識(shí)，因此該課程的先修課程還需要掌握一門(mén)計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言。現(xiàn)今的主流商用數(shù)學(xué)軟件主要有如下幾種：Matlab、Mathematica、Maple、MathCAD、C/C++、Fortran等，應(yīng)選用一種熟悉或較易掌握的軟件將各種算法進(jìn)行計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。另外，也可選用如Mathematica這類(lèi)商用軟件進(jìn)行編程，該類(lèi)軟件界面簡(jiǎn)潔，語(yǔ)言簡(jiǎn)單，且功能也比較強(qiáng)大，自學(xué)便能很容易上手。
3.將數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)相結(jié)合。在課堂上利用數(shù)學(xué)軟件，繪制出直觀的可視化圖片，這樣可以把課程中涉及的抽象原理、方法以及復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生對(duì)相關(guān)算法有更直觀和清楚的認(rèn)識(shí)，更容易理解，同時(shí)也可加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行編程計(jì)算的能力。如對(duì)非線(xiàn)性方程求根之前，先要找出有根區(qū)間，這時(shí)可以運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件先畫(huà)出函數(shù)曲線(xiàn)圖，找出有根區(qū)間的大概位置，然后選擇某一算法編程，觀察根在迭代過(guò)程中的收斂性特征；又例如講解最小二乘法擬合曲線(xiàn)時(shí)，可以運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件將擬合出來(lái)的函數(shù)圖與原函數(shù)表對(duì)比，可更加直觀地理解插值和擬合函數(shù)中存在的誤差。
4.課程中穿插實(shí)踐環(huán)節(jié)，讓學(xué)生參與到課堂中來(lái)。某一算法或某類(lèi)問(wèn)題講解完后，應(yīng)舉出一些算例，讓學(xué)生在課堂上分組討論解決的辦法，選擇怎樣的算法合適，怎么編程實(shí)現(xiàn)等。對(duì)于一些相對(duì)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，可以請(qǐng)學(xué)生直接在課堂上編程求解并運(yùn)行結(jié)果，然后一起討論該結(jié)果的可靠性，或者對(duì)編程和運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題怎么改正等。讓所有的學(xué)生都參與到課堂中來(lái)，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而且同時(shí)能提高學(xué)生當(dāng)場(chǎng)解決問(wèn)題的能力、語(yǔ)言表達(dá)能力、計(jì)算機(jī)編程能力等。
5.課堂教學(xué)生動(dòng)多樣化。教學(xué)時(shí)應(yīng)充分利用多媒體提高教學(xué)效果。如在PPT中增加聲音、圖像、動(dòng)畫(huà)等多種形式，在教學(xué)過(guò)程中形成多種感觀刺激，使原來(lái)學(xué)生誤解的枯燥、抽象的數(shù)學(xué)課直觀化、形象化、生動(dòng)化，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，從而大大地提高學(xué)生汲取知識(shí)的效率。另外，還可以將教學(xué)方式多樣化，避免教師“滿(mǎn)堂灌”、“唱獨(dú)角戲”的.尷尬局面出現(xiàn)。除教師講解外，還可讓學(xué)生一起參與到課堂中來(lái)，如分成小組討論某個(gè)算法的優(yōu)缺點(diǎn)，某個(gè)具體問(wèn)題的解法，或采用小組競(jìng)賽模式，針對(duì)某一問(wèn)題看誰(shuí)的算法簡(jiǎn)潔、效率高、結(jié)果可靠等。
6.選擇學(xué)生感興趣的算例。算例的選擇應(yīng)有特點(diǎn)，或與學(xué)生專(zhuān)業(yè)相關(guān)，或與學(xué)生感興趣的事物相關(guān)，而不應(yīng)該是單純的數(shù)學(xué)習(xí)題，應(yīng)聯(lián)系相關(guān)的背景或出處。如對(duì)于車(chē)輛專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，講述曲線(xiàn)擬合這部分內(nèi)容時(shí)，可以計(jì)算汽車(chē)車(chē)身外形曲線(xiàn)輪廓線(xiàn)為例講述曲線(xiàn)擬合的過(guò)程，那么可先給出一些典型車(chē)型的外形輪廓圖，然后針對(duì)某款車(chē)型，給出其輪廓線(xiàn)上某些型值點(diǎn)的數(shù)據(jù)表。學(xué)生在看到豐富多彩的汽車(chē)圖時(shí)，首先會(huì)感到眼前一亮，興趣馬上會(huì)提高，課堂氣氛也會(huì)得到活躍，而曲線(xiàn)擬合的知識(shí)也能很容易領(lǐng)會(huì)。
四、總結(jié)
要想上好數(shù)值計(jì)算方法這門(mén)課，增加課程的趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是關(guān)鍵所在。要讓學(xué)生在這門(mén)課的學(xué)習(xí)中找到成就感并培養(yǎng)起自信心，覺(jué)得這是一門(mén)實(shí)用的課程，從而自身愿意、樂(lè)于學(xué)習(xí)這門(mén)課。為了達(dá)到上述目的，教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的改革是勢(shì)在必行的。教師要根據(jù)不同專(zhuān)業(yè)學(xué)生的特點(diǎn)制定相應(yīng)的教學(xué)計(jì)劃，教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生專(zhuān)業(yè)緊密結(jié)合，懂得取舍；同時(shí)要不斷充實(shí)并提高自己的專(zhuān)業(yè)素質(zhì)，以適應(yīng)課程改革的需要。這無(wú)疑對(duì)教師提出了很大的挑戰(zhàn)，要求投入更多的精力到這門(mén)課程中來(lái)。當(dāng)然，增強(qiáng)課程的趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣只是數(shù)值計(jì)算方法課程教學(xué)改革的一方面，還有待在今后的教學(xué)實(shí)踐中不斷補(bǔ)充、健全和改進(jìn)。
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