《神奇的莫比烏斯帶》教學設計通用
作為一名人民教師，時常要開展教學設計的準備工作，教學設計是根據課程標準的要求和教學對象的特點，將教學諸要素有序安排，確定合適的教學方案的設想和計劃。一份好的教學設計是什么樣子的呢？以下是小編幫大家整理的《神奇的莫比烏斯帶》教學設計通用，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
《神奇的莫比烏斯帶》教學設計通用1
教學內容：
人教版實驗教材四年級上冊第77頁。
教學目標：
1、動手操作將長方形紙條制成一個神奇的莫比烏斯帶。
2、引導學生認識莫比烏斯帶的特點和奇異性質。
3、培養學生大膽猜想、細心求證的精神。
4、在莫比烏斯帶變化中感受數學的無窮魅力，拓展數學視野。進一步激發學生學習數學的興趣，并獲得成功的體驗。
教學重點：
會制作一個神奇的莫比烏斯帶；引導學生發現認識莫比烏斯帶的特點和奇異性質。
教學難點：
莫比烏斯帶面和邊個數的驗證。
教學具準備：
長方形紙條若干、剪刀、膠水、水彩筆。
教學過程：
課前談話：老師給大家講個故事（課件出示故事情節），你知道他是怎么做到的嗎？今天我們就來學習這方面的知識。
一、創設情境，導入新課。
1、變魔術
教師出示一張白紙條，并讓學生拿出自己的長方形紙條，問：這張紙條有幾條邊？幾個面？
生：四條邊，兩個面。
教師拿著紙條，邊比劃邊說：一個正面，一個反面。
師：現在我能變魔術，把它變得只有兩條邊，兩個面。你會嗎？
讓學生嘗試操作，教師展示將紙條變成紙圈。問：是不是兩條邊，兩個面？
生：是。
師：你會嗎？
生：會！（學生都嘗試做成紙圈）
師：這樣大家都會做，老師還能把它變成一條邊、一個面。你會嗎？
教師激發學生的學習興趣，學生都在自主嘗試操作。師：非常好，有同學在大膽嘗試，太棒了！
教師把紙條放在背后操作，做成莫比烏斯帶，然后展示莫比烏斯圈。
師：想想吧，是怎么做的？
2、做紙圈
教師讓學生嘗試做成紙圈，鼓勵同桌互助完成，然后舉起作品展示。
師：可以這樣做（演示：將長方形紙條一端翻轉擰成180°以后再首尾相連），再用膠水粘牢。
讓全班同學都完成莫比烏斯圈的制作，教師巡視指導操作，并集體展示。
師：大家看自己的紙圈，想一想，是不是一條邊、一個面？怎樣檢驗呢？
學生思考、嘗試，猜測結果：用手指沿著紙條的邊和面各走了一圈。
師：我們一起動手檢驗。拿出水彩筆，在紙圈的中間畫一條線，看看它是不是一個面。
教師展示，然后讓學生也在自己的紙圈上畫一條線。
生：真是一個面！
師：像這樣沒有里面和外面之分，只有一個面的，在數學上叫做單側曲面（板書：單側曲面）。
問：那么普通的紙圈有里外之分就叫？
生：雙側曲面。（教師板書：雙側曲面）
3、導課題
師：這樣的怪怪的紙圈叫什么呢？有人知道嗎？
生：莫比烏斯圈。
（教師導入并板書課題"莫比烏斯圈"）。問：你是怎么知道的？
學生嘗試回答。師：我來告訴大家，德國有一位數學家叫莫比烏斯，于1858年一個偶然的機會，他發現了這樣一個奇妙的紙圈。所以，人們將它叫莫比烏斯圈。
二、自主探究，細心求證。
1、沿二分之一線剪
教師在莫比烏斯圈上沿著剛才畫的那條線剪開，示范剪一段。
師：大家別忙著動剪子，想一想，我們沿著中間這條線剪開紙圈，結果會是怎樣呢？
學生猜測，教師鼓勵引導。師：我們應該大膽猜想。（板書：大膽猜想）
生1：會變成兩個圈。
生2：會變成兩個莫比烏斯圈。
生3：會不會變成三個圈。
師：要知道結果，怎么辦？
生：剪一剪就知道了。
師：對，我們只要剪一下就能知道結果。
教師組織全班學生動手剪，完成后集體匯報。
生：不是兩個圈，它還是連在一起的；……
問：是一個圈還是兩個圈？（一個）
師：剪開后的這個圈中間有點扭起來了。我們通常會認為，剪開后會是兩個圈，怎么不是呢？為什么呢？
生1：因為莫比烏斯圈有一條邊，一個面，剪開以后還是整的，是一個大圈。
生2：因為是粘著的，我覺得剪完還是一個整體。
師：很好的回答！大家都可以猜想，究竟是為什么？你可以繼續研究。
教師板書"細心求證"。師：科學的進步，需要細致的驗證！大家仔細地觀察（教師出示剪成的大圈），它還像剛才一樣，只有一個面嗎？
生：應該是一個面。
師：這是我們以為的，要知道準確的結果，怎么辦？
生：用筆畫線。
師：請拿起筆，在紙帶中間畫線，再看看是一個面還是兩個面？
學生回答（1個）后，教師繼續提問：兩個面是不是都被畫上了線？
生：不是，只畫了一面，另一面沒畫。
問：這個紙圈是單側曲面嗎？（不是）
師：對，現在是雙側曲面。我們在想數學問題時，不能想當然，要動手做一做，細心地求證�，F在紙圈中間又畫了一條線，如果再沿著這條線剪開，結果是怎樣呢？
生：還是一個圈；兩個圈；……
師：實踐出真知！大家剪一剪就知道了。
師生一起動手剪一剪，完成后匯報。生：是兩個套著的圈。
師：這次有同學猜對了，真的是兩個圈，但是它們是套在一起的�，F在，你有什么想法？
生：還能剪；為什么是套在一起的；其它想法。
師：這樣的紙圈很奇妙，值得我們去探究。
2、沿三分之一線剪
教師組織學生拿出三等分的長方形紙條，把它再圈成一個莫比烏斯圈。問：能沿著線把這個莫比烏斯圈剪開嗎？（能）
沿三分之一線剪
師：如果沿著三等分線把這個莫比烏斯圈剪開的話，需要幾次？
生：兩次。
師：剪完以后會是什么樣子呢？
生：一個圈；兩個圈套在一起；三個圈套在一起。
師：這些都是我們的猜測，那結果究竟是怎樣的，我們還是剪一剪吧！
教師組織學生動手剪，完成后集體匯報。生：剪一次就可以了。
師：明明是兩條線，怎么剪一次就可以了？剪成了幾個圈？
生：兩個；一個大圈套著一個小圈。
師：兩個圈有區別嗎？
學生用前面的方法畫線驗證，得出：小圈是單側曲面（莫比烏斯圈），大圈是雙側曲面。
3、其它剪法
師：剛才我們將一根普通的紙條擰、粘、剪（板書：擰、粘、剪），感受到莫比烏斯圈的神奇。下面，請發揮你的聰明才智，拿出另一張長方形紙條，自己設計制作。
提示：①剛才我們擰了180°，還可以擰成多少度？②剛才我們沿二分之一、三分之一線剪，能不能沿四分之一、五分之一線剪呢？
要求：完成后要求匯報自己的創意。
組織學生獨立嘗試操作，教師巡視指導；讓學生同桌相互交流、欣賞，說說是怎么做的、怎么翻轉、怎么剪開的；最后選擇1-2個有代表性的作品上臺展示。
說明：把紙條一端旋轉180°的奇數倍做的圈是單側曲面，而旋轉180°的偶數倍做成的圈是雙側曲面。
師：真了不起！我們不但動手做，還動腦筋思考，我們探索的規律是否正確，還需要實驗求證，并且從理論上去證明。課后，大家可以繼續探究�，F在來為我們的精彩表演鼓掌吧！
三、聯系生活，拓展應用。
1、聯系生活實例
問：莫比烏斯帶的神奇，你在生活中見過嗎？
學生回憶，舉例說明。
2、常見應用（課件演示）
�、拍葹跛古捞�
�、七^山車（跑道采用的就是莫比烏斯原理）
�、侨~扭結(中國科技館的標志性物體，由莫比烏斯帶演變而成的)
�、乳喿x故事（課前導入）
有一個小偷偷了一位老實農民的東西，并被當場捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發現小偷正是自己的兒子。于是，在一張紙條的正面寫上：小偷應當放掉；而在紙的反面寫了：農民應當關押�？h官將紙條交給執事官由他去辦理。聰明的執事官將紙條扭了個彎，用手指將兩端捏在一起。然后向大家宣布：根據縣太爺的命令放掉農民，關押小偷�？h官聽了大怒，責問執事官。執事官將紙條捏在手上給縣官看，從"應當"二字讀起，確實沒錯。仔細觀看字跡，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認倒霉。
教師出示紙條：小偷應當放掉；農民應當關押。然后現場演示將紙條做成莫比烏斯圈。
師：通過今天的學習，大家應該知道執事官是怎么做的。（教師邊演示邊讀"應當放掉農民，應當關押小偷"）
四、課堂回顧，情感升華。
師：這節課快結束了，你有什么收獲或遺憾？
生：知道了莫比烏斯帶；一條邊、一個面；……
師：同學們，大家對莫比烏斯圈可能還有許多疑問，還有很多為什么沒解答，我想告訴大家，數學中有一門專門研究莫比烏斯圈的學問，叫做拓撲學（板書：拓撲學）。以后，有興趣的同學，可以繼續去學習和研究。
五、板書設計
六、拓展應用
請觀察一下，生活中是否還有這種應用？
《神奇的莫比烏斯帶》教學設計通用2
教學目標：
1、方形紙條制成一個神奇的莫比烏斯圈，在動手操作中了解莫比烏斯帶的特征。
2、經歷動手操作，主動思考，合作交流的“做數學”的過程，探索莫比烏斯帶的神奇特征。
3、通過猜測到驗證這種數學活動，感受數學的無窮魅力，拓展數學視野，進一步激發學習數學的熱情。
教學重點：
經歷動手操作，主動思考，合作交流的“做數學”的過程，探索莫比烏斯帶的神奇特征。
教學過程：
一、創設情境
故事《聰明的執事官》：據說有一個小偷偷了一位很老實農民的東西，并被當場捕獲，將小偷送到縣衙，縣官發現小偷正是自己的兒子。于是在一張紙條的正面寫上：小偷應當放掉，而在紙的反面寫了：農民應當關押�？h官將紙條交給執事官由他去辦理。執事官不想誤判此案，又不敢得罪縣官。聰明的執事官將紙條做了點手腳。然后向大家宣布：根據縣太爺的命令放掉農民，關押小偷�？h官聽了大怒，責問執事官。執事官將紙條捏在手上給縣官看，仔細觀看字跡，也沒有涂改，縣官不知其中奧秘，只好自認倒霉。這位聰明的執事官是用什么方法讓小偷得到懲罰呢?這張小小的紙條里到底隱藏著什么奧秘大家想知道嗎?這節課我們就研究這張小小的紙條，學完這節課大家就會明白了。
二、認識莫比烏斯帶
1、螞蟻吃面包屑
學生動手做一個普通的紙環，紙環內側有一點面包屑，外面有一只螞蟻。如果不讓螞蟻爬過紙環的邊緣，它能吃到面包屑嗎?
2、認識莫比烏斯帶
(1)莫比烏斯帶的由來
公元1858年,德國數學家莫比烏斯發現：把一根紙條扭轉180°后,兩頭再粘接起來做成的紙帶圈,具有魔術般的性質、普通紙帶具有兩個面(即雙側曲面),一個正面,一個反面,兩個面可以涂成不同的顏色;而這樣的紙帶只有一個面(即單側曲面),一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣、這種紙帶被稱為“莫比烏斯帶”
(2)學生動手做莫比烏斯帶
這個紙帶到底怎么做的呢?將長方形紙條的一端翻轉180度，再把它用雙面膠把兩端粘起來。這樣就成了一個怪怪的圈。師演示完后再帶著學生一起做。
做好后在紙環上作個標記A表示面包屑，想一想，小螞蟻從A點出發能吃到面包屑嗎?
學生用色筆從A點開始畫，直到又回到A點。這就是莫比烏斯帶神奇的地方。
3、分別在做好的普通紙環和“神奇的紙環”上各取一點。用色筆涂色，不能翻過邊緣一直涂下去，你發現了什么?
普通紙環上的顏色總是只涂了一面，“神奇的紙環”上正反兩面都涂上了顏色，說明這個帶子已經變成了只有一個面的帶子。
三、剪“神奇的紙環”
1、導入語：剛才我們通過探究，發現了“神奇的紙環”由兩個面變成了一個面，下面，我們一起繼續探究“神奇的紙環”的奧秘。
2、請同學們再取兩張長方形紙條，在每張長方形紙條的中間畫一條線，再分別做一個普通紙環和一個“神奇的紙環”。
3、問：用剪刀沿紙條上的線剪開，你覺得會變成什么樣子?引導學生大膽猜想。
4、請同學們動手剪一剪。
5、匯報結果。
(1)發現普通圓環剪開后變成了兩個。
(2)“神奇的紙環”剪開后還是一個紙環，只是變大變細了，而且扭曲的不止180度了。
6、同學們，這條“神奇的紙環”還有很多神奇之處，你們想知道嗎?引導學生把紙條平均分成三份、四份做成“神奇的紙環”，再沿線剪開，看看有什么發現?
平均分成三份的“神奇的紙環”沿線剪開后變成一個大圈套著一個小圈;平均分成四份的“神奇的紙環”沿線剪開后變成一個大圈套著兩個小圈。
四、這節課你學到了什么?
師小結：這莫比烏斯帶不僅好玩、有趣，而且還被應用到生活中的許多地方，讓我們跟隨“莫比烏斯帶”一起走進生活去看看。
五、揭示課前故事的謎底
同學們，通過這節課的學習，你們知道那個執事官是用什么辦法既救了農民又懲治了小偷嗎?引導學生回答：聰明的、執事官將紙條扭了180度，做成“莫比烏斯帶”，從“應當”讀起，原話就變成了“應當放掉農民，應當關押小偷�！�
《神奇的莫比烏斯帶》教學設計通用3
教學內容
《義務教育課程標準實驗教科書 數學》（人教版）四年級上冊第77頁。
學情與教材分析
莫比烏斯帶屬于拓撲學內容,它是德國數學家莫比烏斯在1858年研究“四色定理”時偶然發現的，如果把一張紙條扭轉180°后再兩頭粘接起來，便具有魔術般的性質。因為普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，而這樣的紙帶只有一個面（即單側曲面）。這個年齡段的學生對身邊的事物有強烈的好奇心和求知欲，喜歡大膽猜想，有一定的動手能力。因此在這一節課上動手實驗，使猜想和實驗結果之間產生強烈的對比，感受到數學的神奇，激發學生的興趣。
教學目標
1、引導學生在對比探究中認識“莫比烏斯帶”，并會制作“莫比烏斯帶”。
2、組織學生動手操作，驗證交流，體驗“猜想—驗證—探究”的數學思想方法。
3、讓學生經歷猜想與現實的沖突，感受“莫比烏斯帶”的神奇變化，感受數學的神奇魅力。激發學生學習數學的興趣，培養探究精神。
教學準備
師：準備若干長方形紙條。
生：每人準備剪刀，水彩筆和若干長方形紙條。
教學過程
活動一：認識“莫比烏斯帶”。
一、制作圓形紙帶。
1、觀察：一張普通長方形紙片，它有幾條邊？幾個面？
2、思考：你能把它變成兩條邊，兩個面嗎？
3、操作：學生動手，取長方形紙條，制作成圓形紙圈。
4、驗證：用手摸一摸，感受兩條邊，兩個面。
5、再思考：你能把它的邊和面變更少一些，把它變成一條邊，一個面嗎？
二、制作“莫比烏斯帶”。
1、操作：學生動手，嘗試制作“一條邊，一個面”的紙圈。
2、介紹做法，強調：一頭不變，另一頭扭轉180度，兩頭粘貼。
3、驗證：
�、刨|疑：這個紙圈真的只有一條邊，一個面嗎？怎么驗證“一條邊，一個面”？
�、平處熤笇炞C方法，學生動手驗證。
⑶交流驗證結果：真的只有一條邊，一個面。
�、葎討B展示，加深認識。
⑸感受：用手摸一摸它的面，感受一下，只有一條邊，一個面。
4、小結：
�、沤榻B：這個“怪圈”是德國數學家莫比烏斯在1858年研究時發現的，所以人們把它叫做“莫比烏斯帶”。
⑵出示課題：“莫比烏斯帶”。
5、比較：圓形紙帶和“莫比烏斯帶”的區別。
1 同一張紙，是什么原因，使“莫比烏斯帶”只有“一條邊，一個面”呢？
教師揭示“莫比烏斯帶”只有“一條邊，一個面”的原因。
⑵和普通的紙圈相比，“莫比烏斯帶”只有“一條邊，一個面”又有什么好處呢？
課件展示“莫比烏斯帶”在生活中的應用。
活動二：研究“莫比烏斯帶”。
一、剪“莫比烏斯帶”（二分之一）
1、猜一猜：如果沿著“莫比烏斯帶”的中間剪下去，剪的結果會怎樣？
2、剪一剪：學生動手，沿著“莫比烏斯帶”中間剪。驗證猜測。
3、交流：沿著紙帶中間剪下去，會變成一個兩倍長的圈。
4、揭密：為什么沒有一分為二變成兩個圈？而是變成一個兩倍長的圈？
5、質疑：這個大圈還是“莫比烏斯帶”嗎？學生動手驗證。
二、剪“莫比烏斯帶”（三分之一）
1、猜一猜：如果我們沿著三等分線剪，剪的結果又會是怎樣呢？
2、剪一剪：取長方形紙片,再做一個“莫比烏斯帶”,學生動手，驗證猜測。
3、交流：發現變成一個大圈套著一個小圈。
4、揭密：和你的猜測一樣嗎？為什么會變成一個大圈套著一個小圈？活動三：介紹“莫比烏斯帶”在生活中的應用。
1、交流“莫比烏斯帶”的理念在生活中的應用。
2、延伸：后來科學家們通過對莫比烏斯帶的深入研究，就慢慢形成了一門新的學說——拓撲幾何學。
活動四：自由剪“莫比烏斯帶”。
如果不是旋轉180度，而是更多的度數，或者沿四分之一，五分之一的寬度剪開“莫比烏斯帶”，又會有什么新的發現呢？大家不妨同桌先猜猜，再動手試試，最后驗證你們的猜測！
活動五：課堂小結。
這節課你學到了什么？有什么感受？上了這節課對你今后的學習有什么幫助？
《神奇的莫比烏斯帶》教學設計通用4
【教材說明】
莫比烏斯帶是德國數學家莫比烏斯在1858年研究“四色定理”時偶然發現的一個副產品�！澳葹跛谷Α币驯蛔鳛椤傲私獠⑿蕾p的有趣的圖形”之一寫進了《數學課程標準》，編進了義務教育課程標準實驗教科書《數學》。
【教學內容】
小學數學四上第77頁數學實踐活動課――神奇的莫比烏斯帶
【教學目標】
1、學會做莫比烏斯帶，探究發現莫比烏斯帶的特征。
2、經歷大膽猜想、操作驗證的過程，提高學生思維想象、動手操作的能力。
3、感受數學圖形的神奇與美妙，拓寬數學視野，進一步激發學好數學的志趣。
【教具學具】
�。ɡ蠋煟┮粡堧p色紙條、一個2等分線的普通紙圈 ，剪刀
�。▽W生）每人四張雙色紙條、剪刀、膠水
【教學過程】
一、認識莫比烏斯帶
1、操作演示，鋪墊引入
師：（出示長方形紙條）同學們，誰能告訴我這張紙條有幾個面？幾條邊？哪兩個面，哪四條邊，指給大家看看。
師：大家也拿出紙條，咱們一起來摸摸看跟他說的是不是一樣的。
師：我能把它變成只剩下2個面2條邊，你知道怎么做嗎？ （指名演示，提問：兩個面在哪呢，邊呢?）
師:咱們也一起來體驗一下，（與生一起，邊做邊說）外圈一個面，內圈一個面，左邊一條邊，右邊一條邊。
2、情境創設，激發探索師：瞧，這個圈跑到電腦上了
�。ㄕn件動畫播放：紙圈外有一螞蟻，圈內有一塊小蛋糕。）
師：猜猜看螞蟻這時最想干什么？
猜對了，饑餓的螞蟻特別想吃蛋糕，可是有個要求：咱這只螞蟻啊只能這樣爬（邊說邊演示），不能沿著邊緣翻到內圈也不能打洞到達內圈。你們說它能吃到蛋糕嗎？（不能）
師：咱們還是請螞蟻先生辛苦地爬一趟試試看吧（動畫播放）
師：唉呀，真的不能吃到啊，為什么呢？
預設：（通過觀察）學生可能會說因為螞蟻只能在外圈爬，不能經過邊緣它肯定爬不到內圈，所以就吃不到蛋糕。
師：也就是說要想吃到蛋糕，螞蟻必須從外圈（生：爬到內圈）
師：怎樣才能讓螞蟻從外圈爬到內圈呢？咱們一起來想想辦法，制作一個讓螞蟻能從外圈爬到內圈吃到蛋糕的紙圈。咱們來比賽，看老師先想出為還是你們先想出來。
預設：若學生都無從下手可適當提醒：如果把紙圈拆開，改變它的形狀，有辦法嗎？
�。墼O計意圖：創設“螞蟻吃蛋糕”這一有趣的具體的情境讓學生在思考中探索如何讓螞蟻不沿邊緣也不打洞就能吃到里面的蛋糕，學生的求知欲望被激發，比起以“變魔術”導入，更能體現活動課中數學味的存在，讓學生通過具體的情境去思考問題，探索，體驗到莫比烏斯帶能從內圈直接跑到外圈，并為學生琢磨其中的奧妙做了鋪墊。］
3、匯報評價，演示做法（學生可能有多種生成資源，給予適當評價）預設一：若學生當中有同學做成莫比烏斯帶形狀的，則師： 你這個圈有點特別哦，你是怎么做的？（生做）
師：我明白了，可以請你幫個忙嗎？你當小老師做給大家看，來考考大家，看誰能看得懂。
該生慢動作演示，當把紙條扭一下時（即翻一面）
師：停，等等，你們發現了什么？（生可能會說內圈跑出來了）
師：觀察得很仔細，誰知道接下去應該怎么做？
請一生上去接著做
師：為什么要對接啊？（生可能會說：這樣子能從粉色的外圈跑到白色的內圈）
師：真了不起，你們會做了嗎？拿出紙條，咱們一起這樣做（開口向外），然后一端不動，上面一端怎么樣？（翻一面），然后對接，用膠水馬上粘上，看誰的速度快。
預設二：學生都沒有做出莫比烏斯帶形狀的。
師：我剛才也做了個圈，（舉起來）這個圈形狀還非常特別呢，想想知道老師怎么做的。（接下來”做法”教學設計與預設一相似）
[設計意圖：在磨課過程中，我發現很多學生對于莫比烏斯帶的制作感到很困難，導致學生在后面無法探究、感受莫比烏斯帶的神奇，當然問題主要出在于我原先的設計上，于是后來改成以上設計：慢動作的演示，通過與學生互動，讓觀看的學生試著完成接下去的步驟。為的是能夠照顧到中下學生，讓全體學生都參與到這個數學活動中，讓全體學生都掌握做莫比烏斯帶的技巧，這樣既可以為后面的探究提供材料，也可以使學生在做的過程中感受到“內外圈相接變成一個面”的神奇所在。]
4、質疑問難，觀察發現
師：像這樣的一個圈就一定能讓螞蟻不經過邊緣就能吃到里面的蛋糕嗎？咱們一起來看看
師：（觀察課件）螞蟻現在哪里？（外圈），爬呀爬，咦，爬到哪了？（內圈），終于吃到蛋糕了。
師：如果繼續往前爬，猜猜看會出現什么情況呢？
師：同學們有這么多的想法，咱們再請螞蟻爬爬看吧。（播放課件）
螞蟻邊爬師邊問：剛才從外圈爬到內圈，現在再從內圈爬到哪了？
5、動手實踐，探索發現
師：你們也用手中的筆把螞蟻爬過的路線畫下來。畫完后觀察一下，你能發現什么？（能一筆從外圈畫到內圈又回到原點）
6、介紹：莫比烏斯帶
師：你這樣能一筆從外圈畫到內圈的帶子叫做莫比烏斯帶（板書課題）。
二、變化莫比烏斯帶
�。ㄒ唬┭囟种痪�剪
1、猜想
師：看到這條線，你想干什么？（生可能會說：剪）
師：如果沿莫比烏斯帶的中線剪開，猜猜看會變成什么樣？
2、驗證:到底會變成什么樣的呢，咱們剪一剪看會有什么奇跡發生？
3：猜想：剪出來的這個大圈是莫比烏斯帶嗎？
4：驗證：拿出筆畫一畫看看能不能把內外圈一筆畫下來？
（二）沿三分之一線剪
1、猜想
師：剛才我們沿著莫比烏斯帶的二分之一線剪開創造了神奇，接下來你還想怎么研究呢？
師：猜一猜，如果沿著三分之一線剪開，又會是怎樣呢？
2、驗證：動手試試看，變成什么了？
3、質疑：它們是莫比烏斯帶嗎？
4、驗證：左邊的同學驗證大圈。右邊的同學驗證小圈。你發現了什么？
[設計意圖：我堅持讓學生先想一想：你想干什么或你還想怎么研究，猜一猜，剪完以后再想一想：為什么會是這樣的？這樣，就不只是讓學生動手做，還要學生動腦想，有效地培養了學生的空間想象能力，“大膽猜測，小心求證”的意識以及勤于反思的習慣。通過猜想--驗證--驚奇--猜想--驗證--驚奇,一次又一次感受數學的神奇魅力,讓學生在活動中參與。]
�。ㄈ┬〗Y：通過剛才的活動，你覺得莫比烏斯帶怎么樣？
三、莫比烏斯帶的應用
1：談話：莫比烏斯帶很神奇，它讓生活變得更神奇。你們看，這是什么？
2：欣賞：過山車、傳送帶、三葉紐結、克萊因瓶，不可能郵票。
3：想象：還有哪些地方可以用到它，大膽的猜想，設計一下。
�。墼O計意圖：數學來源于生活，又服務于生活。本環節通過欣賞生活中的莫比烏斯帶，讓學生直觀地感受到它的作用，在美的享受中再一次感受數學知識的神奇，體驗生活中處處有數學。讓學生大膽設想與設計莫比烏斯帶在生活中的應用，這樣不僅能激發學生對數學的研究熱情，感受數學的魅力所在，又培養了他們的想象能力。］
四、拓展升華
1、談話：其實莫比烏斯帶還有很多玩法。剛才我們是將紙條的一端扭180度，還可以、、剛才我們是沿它的二分之一中線、三分之一線剪開，其實還可以
2、創作：接下來的時間交給你們。發揮你們的聰明才智，大膽地去想象，設計一下。
3、展示：誰愿意來展示一下自己的作品。
五、課堂總結
談話：今天這節課，你最大的感受是什么？
《神奇的莫比烏斯帶》教學設計通用5
【教學目標】
1、動手操作,驗證交流,經歷探索和認識莫比烏斯帶的過程,積累數學活動經驗
2、在動手操作、對比探索中認識莫比烏斯帶,學會將長方形紙條制作成莫比烏斯帶,初步體會莫比烏斯帶的特征。
3、在數學活動中經歷猜想與探索的過程,感受莫比烏斯帶魔術般的神奇變化,感受數學的無窮魅力,進一步激發學生學習數學的興趣和好奇心。
【教學準備】
每位學生若干張長方形紙條、剪刀、固體膠、水彩筆。
【教學過程】
一、魔術引入，揭示課題
1、魔術引入，激發學生對紙條的興趣
師：老師手里有一張紙條和兩個回形針，一會兒老師可以利用紙條變個魔術，讓兩個回形針手牽手，你信嗎？ 如果我做到了你們要送給我掌聲。
師：準備好雙手，請瞪大你們的眼睛仔細看，鑒證奇跡的時刻到了……
師：看來這小小的紙條看似普通，其實還真是挺不簡單的！今天我們這節課就和紙條有關，這節課的名字叫做？
課題：“神奇的莫比烏斯帶”。
2、揭示課題“神奇的莫比烏斯帶”
師：看了這個課題，你們有什么想問的嗎？
生1:莫比烏斯帶是什么樣子的?
生2:莫比烏斯帶有什么神奇的地方?
生3:為什么叫莫比烏斯帶啊？
生4：什么是莫比烏斯帶？
師：啊，大家有這么多的疑問，是啊，說莫比烏斯圈是神奇的，它神奇在哪兒呢？
二、認識“莫比烏斯圈”
�。ㄒ唬┠葹跛谷Φ男纬蛇^程
師：要想研究這個問題，一切都要從這張小小的紙條說起。
師:請同學們拿出學具里的一張紙條
師：請同學們觀察這個紙條，它有幾個面，幾條邊？
生：（齊）兩個面，四條邊。
板書:紙條:兩個面四條邊
師:像這樣粘到一起后呢？幾個面？幾條邊？你們也來做一下，
板書:紙環:兩個面，兩條邊
師:如果紙環里有面包屑，小螞蟻不經過紙環的邊緣，也不打洞能吃到面包屑嗎？看視頻，為什么吃不到呢？
�。ㄒ驗樾∥浵佋谕鈧让妫姘荚趦葌让娌辉谝粋�面）
師:看來在這個紙環里小螞蟻是吃不到面包屑了。我們繼續看視頻。
師:在這個莫比烏斯圈上，不管小螞蟻從哪一點出發，都可以不必爬過邊緣就能吃到面包屑，什么感覺？ （這真是個神奇的紙環）
師:想不想親自動手做一個這樣的紙環？再看視頻，可以一邊看視頻，一邊動手做
師:你的莫比烏斯帶做好了嗎？
�。ǘⅡ炞C
師:先看你手中的普通紙環，拿出水彩筆，像這樣從一點開始涂色，我們再來看看神奇的紙環，也這樣從一點開始涂色，筆尖不離開紙面一直畫一圈，你會有哪些發現？（一個面）
師:我們用手指沿著紙圈的邊走一圈，又回到了起點
你又發現了什么？
生:它只有一條邊。板書（莫比烏斯帶:一個面一條邊）
師:一張普通的紙條，從兩個面四條邊變成一個面一條邊，你覺得莫比烏斯帶神奇嗎？
生:有點兒神奇
師：莫比烏斯圈的神奇之處可不止這些，我們接著來研究。
三、“莫比烏斯圈”的特點
1、用剪刀沿著紙圈的中線剪開
師：莫比烏斯帶誕生以后，引起了很多人的關注，有人就想，如果沿著紙圈的中線剪開，會是什么樣子的呢？ 教師示范:我們先剪普通的紙環，兩個紙環
同學們，讓我們來猜一猜。
生1：它會變成兩個圈。
生2：交叉在一起的兩個圈……
師：為了不把它剪斷，先看老師是怎樣開始剪的？注意安全。
學生動手沿著中線剪開，有什么發現
生:發現剪開之后變成了一個大的紙環。
師：那么，這個大的紙環是不是“莫比烏斯帶”呢？
師：學到了這里，你對莫比烏斯帶有了怎樣的感覺呢？
生：太神奇了！ 我也想剪一剪，
師:請你們親自動手試試看。
2、師:那么把紙條平均分成三份，也做成神奇的紙環，再沿虛線剪開，又會是什么樣子呢？
師:動手前，先猜測一下結果， 有困難的同學可以跟同桌合作 動手操作，顯示學生作品
師:把莫比烏斯圈沿四分之一，五分之一的寬度剪開，又會有什么新的發現呢？意猶未盡的同學們課后先猜一猜，再動手試一試，最后驗證你們的猜測。
四、師:那么莫比烏斯帶在生活中有哪些應用呢，我們來看一段視頻看來莫比烏斯帶在生活中的應用也是很廣泛的。
五、總結:這節課就研究到這，誰能說說這節課你有什么收獲最后謝謝同學們的配合，感謝各位的'傾聽，謝謝大家！
【板書設計】
神奇的莫比烏斯帶
紙條：4條邊2個面
紙環：2條邊2個面
莫比烏斯帶：1條邊1個面
《神奇的莫比烏斯帶》教學設計通用6
學情分析
莫比烏斯帶屬于“拓樸學”的內容，這個內容對于教師來說不容易組織教學，但莫比烏斯帶又是一個能拓寬學生視野的好題材，可以讓學生感受到學習數學的樂趣，進而激發學生學習數學興趣，六年級的學生有一定的空間思維能力和動手操作能力，在教學中要引導學生在動手操作的過程中，仔細觀察，自主發現“莫比烏斯帶”的奧秘。
教學目標
1、讓學生認識“莫比烏斯帶”，學會將長方形紙條制成莫比烏斯帶。
2、引導學生通過思考操作發現并驗證“莫比烏斯帶”的特征，培養學生大膽猜測、勇于探索的精神。
3、在“莫比烏斯帶”魔術般的變化中感受數學的無窮魅力，拓展數學視野，進一步激發學生學習數學的興趣，培養學生良好的數學情感。
教學重難點
重點：讓學生認識“莫比烏斯帶”，學會將長方形紙條制成“莫比烏斯帶”。
難點：引導學生通過思考操作發現并驗證“莫比烏斯帶”的特征，培養學生大膽猜測、勇于探索的精神
課前準備
課件、剪刀、雙面膠、長方形紙條
教學過程
第一項：“三個一”習慣養成課程
主持人：“三個一”習慣養成課程現在開始!
主持人：第一項：說背就背，日積月累
口號:知識點，腦中藏，口齒清，聲音亮，記憶大王我來當。
內容：圓柱的側面積=底面周長X高圓柱的表面積=底面積X2+側面積圓柱的體積=底面積X高圓錐的體積=底面積X高X（預設評價：大家口齒清，聲音亮，名副其實的記憶大王呀）
主持人：第二項：說練就練，舉一反三
口號：動手練，爭第一，細心算，腦子轉，計算能手我來干。
內容：口算練習（主持人安排開火車回答）3、14X4=210X3=2、5X4=1、25X1000=3、14X6=90X0、5=2、2X4=3、5X200=
(預設評價：算得快，A、正確率高B、完全正確，個個都不愧是計算小能手呀）
主持人:第三項：說講就講，樂于分享
口號：開口講，表達明，言準確，思路清，數學天才我能行。
主持人：XXX同學來分享一下。
內容：分享北京的中國科學技術館大廳中一座“三葉扭結”模型。
我是xxx,今天我要向大家分享一個神奇的模型。這是北京的中國科學技術館的標志性的物體——“三葉扭結”，它是神奇之處就在于閃爍的燈帶可以游走于模型的各個面，旋轉著美妙的曲線。看了介紹我知道了這個模型它整體寬度為10米，高12米，帶寬1、65米，是由“莫比烏斯帶”演變而成的。我既感嘆于它的神奇，又產生了困惑，到底什么是“莫比烏斯帶”呢？這個“三葉扭結”為什么這樣神奇？今天想請同學們幫我來探究一下。
�。A設主持人評價：A、哇，講得真是精彩，讓我們為他鼓掌吧!B、你積極嘗試、努力認真的樣子真美（帥）!）
主持人：“三個一”習慣養成課程結束,請等待老師上課第二項：教學過程
設計一、定向·誘導
這真是一個神奇的模型啊！有機會我一定要去北京，到中國科學技術館去看一看。
今天，我們就來幫助xxx一起探索一下，什么是莫比烏斯帶。一起走進今天的數學課堂《神奇的莫比烏斯帶》
二、自學·探究活動
一：做一做，認識莫比烏斯帶。
1、每個同學拿出一根長方形紙條。首先，請同學們看一下課桌上都有些什么東西，這些就是我們這節課探究要用到的學具。請同學們先拿起一根長方形紙條�？�，這是一根普通的紙條，但也是一根神奇的紙條呢。先說說它有幾條邊？幾個面？（四條邊，兩個面）
2、誰能把它變成只有只有兩條邊和兩個面？（同學嘗試動手去做）很好，對，大膽的去想，去嘗試！同學們能將它的兩頭對接師：是不是兩條邊，兩個面？
2、同學們能將它兩頭對接起來嗎？（同學們拿紙條試著做一做，請同學上臺展示。）
說說你是怎樣對接的？這樣接起來紙條就成了一個圈。是這樣接的同學把作品舉起來。摸一摸看一看，現在它有幾條邊，幾個面？】
師：神奇嗎？（生：不神奇）是啊，這沒什么神奇的，神奇的在后面，我有辦法把它變成只有一條邊和一個面。（停頓，環視學生。）再試試看。（學生動手嘗試）看來是有點難度，但是很好，在嘗試。有沒做出來的？想不想看我變？仔細看了。像這樣一個，它就是只有一條邊一個面，試著做一下。大家來跟著老師一起做一下：先把它做成一個普通的紙圈，然后將一端翻轉180度，再把它粘好。
（意圖：由“這張紙條幾條邊，幾個面”到“誰能將這張紙條變成兩條邊，兩個面”，再到“怎樣變成一個面，問題一層一層深入，一個比一個更有難度，進一步激發了學生學習數學的興趣。有趣的問題能促使學生思考和探究，在探究過程中問題層層深入，提高了思維能力。）
師：剛才我說了這是只有一條邊一個面。你有什么想法？為什么是一條邊？你試了嗎？哪位同學說說。
�。ㄓ檬盅刂垪l的任意一邊一直摸下去）看上去是兩條邊，實際上兩條邊已經連在了一起。
師：第二個問題，是不是一個面？我們一起動手，都來檢驗一下吧，我們用筆來（師示范）從這面起，在紙條的中間畫一條線（師生操作）畫好了有什么發現？
生：所有的面都畫上了，真是一個面。師：好玩嗎？舉起剛做好的紙帶，有人知道這個怪怪的圈叫什么名字么？知道嗎？對的，這個圈就叫做莫比烏斯帶。
�。ò鍟n題：莫比烏斯帶）師：1858年德國的數學家莫比烏斯一次偶然的機會發現了這樣一個神奇的紙圈，只有一條邊，一個面的圈。所以就用他的名字命名叫莫比烏斯圈或莫比烏斯帶�？吹竭@個莫比烏斯帶，你還想研究什么呢？你有什么想法？
預設學生回答：
1、為什么這個紙條能變成只有一條邊一個面的圈？（我非常佩服你，有時候我們就應該去問為什么？）
2、怎么求它的面積和周長？太棒了，大家提了這么多的好問題，每一個問題都提到我的心里面去了。我們先來看，本來這個紙條是四條邊和兩個面的，為什么會變成一條邊和一個面的？
大家再拿一張紙條做做看這個莫比烏斯帶，一邊做一邊想想，為什么變成一個面和一條邊？學生再次動手操作，然后找同學說一說。當你知道怎么做，再追問為什么的時候，你就會理解的更深入。
�。ㄒ鈭D：從紙條到普通紙圈再到“莫比烏斯帶”，學生經歷了一個從熟悉到陌生，從普通到神奇的知識形成過程，這個過程對學生來說是新鮮、有趣的，它指引著學生一步步揭開“莫比烏斯帶”的神秘面紗。）
三、討論·解疑
這個紙條神奇嗎？莫比烏斯帶還有更神奇的呢！下面我們就用“剪”的辦法來研究。探究一：沿二分之一線剪師：（展示普通紙圈）如果我沿著紙帶的中間剪下去，會變成什么樣呢？
生：會變成2個同樣大小的紙圈。師：是嗎？請同學們認真觀察老師是怎么剪的。（師示范）還真是。
師：（展示一個莫比烏斯帶）剛才你們不是在這個莫比烏斯帶中間畫了一條線嗎？如果我們沿著這條線把這個紙圈剪開的話？會怎么樣呢？（學生猜測）
師：要知道究竟是什么樣的，應該怎么辦呢？
生：動手剪一剪。師：是啊，實踐出真知�。▽W生動手剪）學生匯報生：在我剪完后，不像剛才同學說的那樣是兩個圈，是連在一起。
師：是一個圈還是兩個圈？
生：一個圈。師：我們都認為從中間剪開應該是兩個圈，結果是一個圈，這就是莫比烏斯的神奇之處，
（展示剪開后的紙圈）這個還是一個面的嗎？現在你們驗證一下，用筆畫一畫，說說你的發現。
生：畫完之后只畫了一個面，還有一個面沒畫上。師：那么是莫比烏斯帶嗎？
生：不是（板書：大膽猜想，小心求證）來，一起讀這句話！師：現在在中間又畫一條線，如果再沿著這條線剪開，想想，又會是什么結果？生1：還是一個圓。
生2：我覺得是兩個圓。
師：大家做做看（學生動手操作，教師也動手操作）匯報結果生：是兩個套著的圈。哇，又是你沒想到的，是不是很神奇？
探究二：沿三分之一線剪
師：我們繼續來感受這個紙圈的神奇，好嗎？請同學們再拿出畫有三等分線的紙條，把中間的部分涂上你喜歡的顏色，兩面都涂再做成莫比烏斯帶。
師：好，現在你們有什么想法？
生：能沿著線把這個莫比烏斯帶剪開嗎？師：可以的，如果我們沿著三等分的線把這個莫比烏斯帶剪開的話，需要剪幾次呢？生：兩次。
師：剪完以后會是什么樣呢？
生1：可能會是三個圈套在一起。
生2：會變成一個大圈。師：真佩服你們的想象力，那究竟會怎樣，還是動手做一做吧！指名回答（剪一次，兩個圈套在一起）小結：一個大圈套著一個小圈。師：這個大圈和小圈是莫比莫斯帶嗎？（生：不是）請用剛才的方法證明一下。
師：小圈就是原來長方形紙條的哪一部分？學生匯報（通過讓學生動手沿二分之一，三分之一線剪，使學生經歷了一個從猜測到驗證的過程，不僅滿足了學生的好奇心，也向學生初步滲透了猜測、驗證、探索等數學思想，并引導孩子們尋找生活中的“莫比烏斯帶”，發揮想象看到能否創造性地用上它，這讓孩子們體會到，數學來源于生活，又回到生活。）四、生活中的應用師：一個看似簡單的小紙圈竟如此神奇（板書課題：神奇的）
莫比烏斯帶可不光好玩有趣，還被應用到生活的方方面面，讓我們跟隨莫比烏斯帶一起走進生活中去吧，欣賞圖片（課件出示）（1）過山車（2）莫比烏斯爬梯（3）可回收標志（4）工廠傳送帶（5）20xx特奧會會標“眼神”
五、反饋·總結
師：這節課即將結束，上了今天這節課你有什么收獲？
最后，老師用莫比烏斯帶做了一個禮物送給大家——兩顆緊緊相連的心，一顆代表你一顆代表我，希望同學們帶著仔細的觀察、大膽的猜想和小心的驗證去探索更多的數學奧秘！
《神奇的莫比烏斯帶》教學設計通用7
一、教學內容：
人教版小學數學四年級上冊70頁《神奇的莫比烏斯帶》
二、活動目標：
1、知識與技能
引導學生在對比探究中認識“莫比烏斯帶”，并會制作“莫比烏斯帶”，初步體會莫比烏斯帶的特征。
2、過程與方法
組織學生動手操作，驗證交流，讓學生經歷“猜想—驗證—結論”的過程，掌握觀察、猜想、驗證、歸納概括發現的數學結論等探索方法，從中獲得一些數學活動的經驗。
3、情感態度與價值觀
經歷猜想與現實的沖突，感受“莫比烏斯帶”的神奇變化，感受數學的無窮魅力，拓展數學視野，培養創新精神。
三、教學重難點
【教學重點】經歷“猜想—驗證—結論”的過程，掌握觀察、猜想、驗證等探索方法。
【教學難點】探索、發現莫比烏斯帶的特征。
四、活動準備：
每位學生若干張長方形紙條，剪刀，固體膠（雙面膠）、水彩筆。
五、活動過程：
（一）魔術引入，激發興趣
同學們，喜歡看魔術表演嗎？盧老師也會變魔術，你想看嗎？看，老師手里有一張紙條和兩個回形針，一會兒老師可以利用紙條變個魔術，讓兩個回形針手牽手，你們信嗎？
魔術表演確實很吸引人，今天老師讓每一個同學都來當一回魔術師，好不好？
1、觀察：請同學們拿出手中的紙條，“今天我們變魔術的道具就是這張普通的長方形紙條，仔細觀察，它有幾條邊，幾個面？”
2、思考：接下來你們來變魔術，能不能把它變成只有2條邊、2個面試試看（學生自主思考，嘗試）。
3、操作：引導學生將紙條首尾相連圍成一個紙圈。
4、驗證：教師帶領學生一起驗證紙圈只有2條邊2個面。
自主制作，驗證特征
活動一：制作莫比烏斯帶（驗證特征）
1、你能不能再變，把它變得只有1條邊，1個面再試試看。
先請找到方法的學生講解示范，然后視頻播放制作方法。請同學們用手中的紙條制作出這個只有1條邊1個面的紙圈。
2、面對這樣一個紙圈，你有什么疑問嗎
學生提出疑問：
預設1：這個紙圈真的只有1條邊1個面嗎
預設2：為什么變成1條邊1個面了
預設3：這個紙圈有名字嗎
預設4：這個圖形在哪里可以用得著
接下來我們就帶著這些疑問來探索這個紙圈。
3、這個紙圈真的只有1條邊1個面嗎
�。�1）驗證紙圈只有1個面。
師：首先驗證只有一個面，你有什么方法請學生上臺借助教具模型演示。
教師強化方法：借助彩筆，先定一個起點，再沿著紙圈畫線，最后又回到了起點。（強調必須經過所有的面。）
�。�2）驗證紙圈只有1條邊。
驗證只有一條邊，你又有什么方法學生上臺借助教具模型演示，教師強化方法后，全班自主驗證。（強調必須經過所有的邊。）
師：它真的只有1條邊，1個面，神奇嗎
4、驗證總結，揭示課題。
紙圈為什么從2條邊2個面變成1條邊1個面了呢學生先嘗試解釋，教師后補充演示說明。
這個神奇的紙圈有個名字，有同學知道嗎借用課件介紹莫比烏斯帶的歷史起源。（板書課題）播放3D視頻，感受神奇。
【設計意圖】從紙條到普通紙圈再到“莫比烏斯帶”，學生經歷了一個從熟悉到陌生，從普通到神奇的知識形成過程，這個過程對學生來說是新鮮、有趣的，它指引著學生一步步揭開“莫比烏斯帶”的神秘面紗。
�。ㄈ┖献魈骄浚w驗神奇
活動二：我的“怪圈”我做主（動手剪一剪）
1、同學們請看，一個普通圈，沿二分之一線剪開是這個樣子的，那莫比烏斯圈沿二分之一線剪開是什么樣的呢？
教師示范操作方法：先對折紙圈，剪開一個小口，再把剪刀穿進去，然后沿著虛線剪。（強調只要前面還有虛線，就繼續剪。）
2、請看大屏幕，老師這里有1號（1/2線），2號（1/3線），3號（1/N線）三種紙條，任意選擇你們想玩的一種，小組合作，根據活動報告單上的提示，動手剪一剪，看看會有什么更有趣的發現。
小組活動匯報單：
我們組選擇的是X號紙條。
�、俨孪耄合劝阉龀赡葹跛谷�，然后大膽猜測一下，如果我們沿著莫比烏斯圈的X分之一線剪開，莫比烏斯圈會變成什么樣得到的這一個圈或幾個圈還是莫比烏斯圈嗎？
�、隍炞C：說一說你們是用什么方法驗證的。
�、劢Y論：驗證后得到的結果是X。
3、請小組展示并匯報活動成果。
【設計意圖】通過讓學生動手沿二分之一，三分之一，N分之一線剪，使學生經歷了一個從猜測到驗證的過程，不僅滿足了學生的好奇心，也向學生初步滲透了猜測、驗證、探索等數學思想，并從中獲得一些數學活動經驗。
�。ㄋ模┝私鈶�，欣賞創造
老師常說：“數學來源于生活，同時又服務于生活。”那么莫比烏斯帶除了好玩有趣，它在生活中又有哪些應用？（課件展示）
1、傳輸帶、傳動帶如果設計成莫比烏斯圈，正反兩面交替使用，輪流磨損，就不會只磨損一面，從而延長使用壽命。
打印機的色帶就是莫比烏斯圈，這樣就節約了油墨。
2、過山車：有些過山車的跑道采用的就是莫比烏斯原理。
3、中國科技館的大廳里聳立著一個巨型的三葉紐結．這個三葉紐結就是莫比烏斯帶的原理設計的。
�。ㄎ澹┎贾米鳂I
一張普通的長方形紙條，經過翻轉、粘、剪，變成了這么多神奇的紙圈，就像在變魔術一樣。你還能想出其它的玩法嗎？有興趣的同學可以在課下繼續探索，研究。如果是你自創的新的玩法以你自己的名字命名，將研究的結果寫成數學日記，下節課在全班交流。
【設計意圖】引導學生尋找生活中的“莫比烏斯帶”，發揮想象看能否創造性地用上它，這讓學生們體會到，數學來源于生活，又回到生活。
（六）課堂小結，反饋提高
通過這節課，你有什么收獲嗎
（七）板書設計
神奇的莫比烏斯帶
�。ú孪腧炞C結論）
一個面
一條邊
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