二元一次方程與一次函數

時間：2022-03-16 19:09:19 教案我要投稿

二元一次方程與一次函數

二元一次方程與一次函數1

　　一、學情分析：

　　學生能夠正確解方程（組），掌握了一次函數及其圖像的基礎知識，能夠根據已知條件準確畫出一次函數圖象，已經具備了函數的初步思想，在過去已有經驗基礎上能夠加深對“數”和“形”間的相互轉化的認識，有小組合作學習經驗．

　　二、學習目標：

　　本節課通過探索“方程”與“函數圖像”的關系，培養學生數學轉化的思想，通過學習二元一次方程方程組的解與直線交點坐標之間的關系，使學生初步建立了“數”（二元一次方程）與“形”（一次函數的圖像）之間的對應關系，進一步培養了學生數形結合的意識和能力．因此確定本節課的教學目標為：

　　1.初步理解二元一次方程和一次函數兩種數學模型之間的關系；

　　2.掌握二元一次方程組和對應的兩條直線交點之間的關系，通過對兩種模型關系的理解解決問題；

　　3.發展學生數形結合的意識和能力，使學生在自主探索中學會不同數學模型間的聯系．

　　教學重點

　　二元一次方程和一次函數的關系，二元一次方程組和對應的兩條直線交點之間的關系；

　　教學難點

　　通過對數學模型關系的探究發展學生數形結合和數學轉化的思想意識．

　　四、教法學法

　　1．教法學法

　　啟發引導與自主探索相結合．

　　2．課前準備

　　教具：多媒體課件、三角板．

　　學具：鉛筆、直尺、練習本、坐標紙．

　　五、教學過程

　　第一環節:探究二元一次方程和一次函數兩種數學模型之間的關系

　　1.某水箱有5噸水,若用水管向外排水,每小時排水1噸,則X小時后還剩余Y噸水.

　　（1）請找出自變量和因變量

　　（2）你能列出X,Y的關系式嗎

　　（3）X,Y的取值范圍是什么

　　（4）在平面直角坐標系中畫出這個函數的圖形.（注意XY的取值范圍）.

　　2．（1）方程x+y=5的解有多少個？你能寫出這個方程的幾個解嗎？

　　（2）．在直角坐標系內分別描出以這些解為坐標的點，它們在一次函數Y=5-X的圖象上嗎？

　　（3）．在一次函數y=x5的圖像上任取一點，它的坐標適合方程x+y=5嗎？

　　（4）．以方程x+y=5的解為坐標的所有點組成的圖像與一次函數y=x5的圖像相同嗎？

　　x+y=5與y=x5表示的關系相同

　　一般地，以一個二元一次方程的解為坐標的點組成的圖象與相應的一次函數的圖象相同，是一條直線．

　　目的：通過設置問題情景，讓學生感受方程x+y=5和一次函數y=x5相互轉化，啟發引導學生總結二元一次方程與一次函數的對應關系．

　　前面研究了一個二元一次方程和相應的一個一次函數的關系，現在來研究兩個二元一次方程組成的方程組和相應的兩個一次函數的關系．順其自然進入下一環節．

　　第二環節自主探索方程組與一次函數兩種數學模型之間的關系

　　探究方程與函數的相互轉化

　　1．兩個一次函數圖象的交點坐標是相應的二元

　　一次方程組的解

　　（1）一次函數y=5-x圖象上點的坐標適合方程x+y=5，那么一次函數y=2x-1圖象上點的坐標適合哪個方程？

　　（2）兩個函數的交點坐標適合哪個方程？

　　xy5（3）．解方程組驗證一下你的發現。 2xy1

　　練習：隨堂練習1 。鞏固由一次函數的交點坐標找相應的二元一次方程組的解。

　　2．二元一次方程組的解是相應的兩個一次函數圖象的交點坐標。

　　xy2（1）解

　　2xy5（2）以方程x+y=2

　　（3）以方程2x+y=5（4）方程組的解為坐標的點在圖象上是哪個點？

　　（5目的：通過自主探索，使學生初步體會“數”（二元一次方程組的解）與“形”（兩條直線）兩種模型之間的對應關系，

　　由學生自主學習，十分自然地建立了數形結合的意識，學生初步感受到了“數”的問題可以轉化為“形”來處理，反之“形”的問題可以轉化成“數”來處理，培養了學生的創新意識和變式能力．

　　練習：知識技能1。鞏固由方程組的解求相應的一次函數的交點坐標。更深入的體會二元一次方程組的解與一次函數交點坐標之間的對應關系。

　　第三環節模型應用

　　1．某公司要印制產品宣傳材料.

　　1500元制版費.甲印刷廠:每份材料收1元印制費,另收乙印刷廠:每份材料收2.5元印制費,不收制版費.若公司要印制x份宣傳材料，y甲表示甲印刷廠的費用，y乙表示乙

　　印刷廠的費用。

　　（1）請分別表示出兩個印刷廠費用與X的關系式。

　　（2）在同一直角坐標系中畫出函數的圖象。

　　（3）如何根據印刷材料的份數選擇印刷廠比較合算？

　　第四環節模型特例

　　想一想

　　內容：在同一直角坐標系內，一次函數y = x + 1和y = x - 2的圖象（教材xy1124頁圖5-2）有怎樣的位置關系？方程組解的情況如何？你發現了什xy2

　　么？

　　二元一次方程的解和相應的兩條直線的關系２．

　　（1）觀察發現直線平行無交點；

　　（2）小組研究計算發現方程組無解；

　　（3）從側面驗證了兩直線有交點，對應的方程組有解，反之也成立；

　　（4）歸納小結：兩平行直線的k相等；方程組中兩方程未知數的系數對應成比例方程組無解。

　　目的：進一步揭示“數”與“形”轉化關系．通過想一想，將兩直線的另一種位置關系：平行與方程組無解相結合，這是對第二環節的有益補充。體現了從一般到特殊的的思想方法，有利于培養學生全面考慮問題的習慣．

　　進一步培養了學生數形結合的意識和能力，充分展示了方程與函數的相互轉化．進一步挖掘出兩直線平行與k的關系。

　　效果：加深了兩條直線交點的坐標就是對應的函數表達式所組成的方程組的解的印象，培養了學生的計算能力和數學轉化的能力，使學生進一步領悟到應用數形結合的思想方法解題的重要性．

　　第五環節課堂小結

　　內容：以“問題串”的形式，要求學生自主總結有關知識、方法：

　　1．二元一次方程和一次函數的圖像的關系；

　　以二元一次方程的解為坐標的點都在相應的函數圖像上；

　　一次函數圖像上的點的坐標都適合相應的二元一次方程．

　　2．方程組和對應的兩條直線的關系：

　　方程組的解是對應的兩條直線的交點坐標；

　　兩條直線的交點坐標是對應的方程組的解；

　　第六環節作業布置

　　習題5．7

二元一次方程與一次函數2

　　本節教學內容是《二元一次方程與一次函數》，這節課以“回顧，提問”為先導，以“操作，思考”為手段，以“數，形結合”為要求，以“引導，探究”為主線，處處呈現出師生互動，生生互動的景象，較好地體現了新的課程理念與要求，充分讓學生自主探究，合作交流，時刻注重學生學習過程的體驗與評價。新的課程標準提出：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的生活經驗基礎之上，教師應幫助他們在自主探索的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、教學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。由此，我設計了本節課的教學設計，基于上完課后的感想，我對本節課有如下的反思：

　　一、成功之處：

　　1、從舊識引入，自然過渡

　　這節課由復習一次函數解析式和二元一次方程的形式引入，再提出x+y=5是一次函數還是二元一次方程這一問題，進而引出本節課的第一個內容，激發了學生的興趣，使他們更快的融入課堂。

　　2、在操作中，提出問題，深化認識

　　對于此階段學生來說，他們樂于探索，富于幻想，但他們的數學推理能力以及對知識的主動遷移能力較弱，為幫助學生更好地構建新的認知結構，促進學生主動發現問題，本節課我讓學生親自動手操作畫出一次函數的圖像，并解出二元一次方程的解，在畫圖過程中發現：“以二元一次方程的解為坐標的點都在相應的函數圖像上”，接著引導學生反思：“一次函數圖像的點坐標都適合相應的二元一次方程嗎？”通過舉例、驗證，得出結論。同樣，在探索二元一次方程組與一次函數關系時，也是在操作中發現問題，這樣就給了學生充分體驗、自主探索知識的機會，使他們在自主探索、合作交流中找到了快樂，深化了認識。

　　3、以能力培養為核心，引導探索為主線，數形結合為要求

　　能力的培養是以自主探究為平臺，我通過讓學生小組交流合作并討論來解答幾個問題，進而得出結論，培養了他們的發現、分析、解決問題、歸納總結的能力。再由二元一次方程與一次函數的關系進一步擴展到二元一次方程組與一次函數的關系，層層遞進，學生基本掌握了本節課的重點、難點問題。通過總結二元一次方程組的解法：加減、消元、圖像法，通過分析他們的優缺點可知圖像法得出的解是近似的這一結論，讓學生又體會到了數學的嚴謹性。在教學過程中，我充分滲透了數形結合的思想，讓學生體會了數學的美。

　　二、失敗之處

　　1、學生自己畫圖時不好確定交點坐標，在做這樣的題時，就一定會存在如何確定交點的精確度問題，從而使學生會認為應用圖像法來解二元一次方程組的方法無用處，進而不重視本節課的內容。

　　2、教學過程中，在探索二元一次方程與一次函數關系時，提出的問題與ppt課件中展示的問題部分重復了，浪費了一些時間，板書設計不夠簡潔。

　　三、針對以上不足之處我做了如下改進：

　　1、對于交點坐標問題，應該跟同學們講解清楚，我們要求的是掌握這個解二元一次方程組的圖像解法，我們借助科學技術很容易畫出一次函數的圖像，也就容易找到交點的精確坐標。此外，一般來說如果考試當中是會給出交點的坐標。

　　2、重新整理資料，將一些重復問題刪去，提取結論中一些重點語句，關鍵詞，板書做到精煉。

二元一次方程與一次函數3

　　一、教材分析

　　（一）教材的地位和作用

　　函數、方程和不等式都是人們刻畫現實世界的重要數學模型。用函數的觀點看方程（組）與不等式，學生不僅能加深對方程（組）、不等式的理解，提高認識問題的水平，而且能從函數的角度將三者統一起來，感受數學的統一美，學生在探索過程中體驗到的數形結合以及數學建模思想，既是對前面所學知識的升華，同時也對今后學習高中的解析幾何有著十分重要的意義。

　　（二）教學目標

　　新一輪的課程改革，旨在促進學生全面、持續、和諧的發展，我認為本節課的.教學應達到以下目標：知識技能方面：理解一次函數與二元一次方程組的關系，會用圖象法解二元一次方程組;

　　數學思考方面：經歷一次函數與二元一次方程（組）關系的探索及相關實際問題的解決過程，學會用函數的觀點去思考問題;

　　解決問題方面：能綜合應用一次函數、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（組）解決相關實際問題;

　　情感態度方面：在探究活動中培養學生嚴謹的科學態度和勇于探索的科學精神，在師生、生生的交流活動中，學會與人合作，學會傾聽、欣賞和感悟，體驗數學的價值，建立自信。

　　（三）教學重、難點

　　從以上目標可以看出，學生既要通過對一次函數與二元一次方程（組）關系的探究，習得知識、培養能力，又要用此關系解決相關實際問題，因此，本節課的教學重點應是一次函數與二元一次方程（組）關系的探索。考慮到八年級學生的數學應用意識不強，本節課的難點應是綜合運用方程（組）、不等式和函數的知識解決相關實際問題。而關鍵則是通過問題情境的設計，激發學生的求知欲，引導學生探索、交流，引導學生發現、分析、解決問題。

　　二、教法分析

　　《數學課程標準》明確指出“數學教學是數學活動的教學”，“學生是數學學習的主人”。教師的職責在于向學生提供從事數學活動的機會，在活動中激發學生的學習潛能，引導學生自由探索、合作交流與實踐創新。對于認知主體來說，八年級學生樂于探索，富于幻想，但他們的數學推理能力以及對知識的主動遷移能力較弱，為幫助學生更好地構建新的認知結構，促進學生的主動發展，本節課我采用情境—探究式教學法，以“情境――問題――探究――交流――應用――反思――提高”的模式展開，以學生為中心，使其在“生動活潑、民主開放、主動探索”的氛圍中愉快學習。

　　三、過程分析

　　本著重實際、重探究、重過程、重交流的教學宗旨，我將本節課的教學設計成以下六個環節：情景導入——探究合作——解決問題——鞏固提高——歸納小結——布置作業。

　　這節課，我首先用貼近學生實際、學生感興趣的問題——上網交費問題引導學生進入本節課的學習，充分調動學生的積極性。課件展示學生回答的用列方程組解答的過程，并提出問題：“同學們在解這個二元一次方程組時，基本上都是用的代入法或加減法，那么解二元一次方程組還有其它的方法嗎？”學生討論后可能會感到束手無策，感到原有的知識不夠用了。一石激起千層浪，問題提出來后，如何解決呢？此時，作為教師，應把握好組織者、引導者和合作者的身份，不要急于發表自己的意見，而應啟發學生去思、鼓勵學生去探、激勵學生去說，努力給學生造成“心求通而未能得，口欲言而不能說”的態勢，從而喚起學生強烈的學習熱情，使他們主動積極地投入到探索活動中來。另外，此問題的設置也為后面例題的講解作好鋪墊，有利于教學難點的突破。

　　為使學生更好地掌握本節課的重點知識，我遵循從特殊到一般，再從一般到特殊的認知規律，設計了以下問題“你們能否將方程

　　轉化為一次函數的形式呢？”“如果能，你們能在平面直角坐標系中能畫出它的圖象嗎？”在學生將方程轉化為一次函數的形式并畫出圖象后，我引導學生觀察直線上的幾個點，發現它們的坐標都是方程的解，緊接著問“直線上任意一點的坐標一定是方程的解嗎？”“是否任意的二元一次方程都可以轉化為一次函數的形式呢？”“是否所有直線上任意一點的坐標都是它所對應的二元一次方程的解呢？”學生先獨立思考，然后小組討論，不難發現：每個二元一次方程都對應一個一次函數，于是也就對應一條直線。一連串的問題由淺入深，環環相扣，引導學生發現一次函數與二元一次方程在數與形兩個方面的關系，為探索二元一次方程組的解與直線交點坐標的關系作好鋪墊。

　　緊接著問學生：“你能用剛才的方法研究另一個方程2x—y=1嗎？”學生在同一坐標系中畫出一次函數y=2x—1的圖象后，發現兩條直線有一個交點，我又問“這個交點坐標與這兩條直線所對應的方程的解有什么關系？與這兩個方程組成的方程組的解又有什么關系？”此時，學生慢慢體會到：既然每個二元一次方程都對應一條直線，二元一次方程的每一個解又對應直線上的每一個點，那么兩個二元一次方程的公共解就對應著兩條直線的公共點，也就是說，二元一次方程組的解不就是對應著兩條直線的交點嗎？這個時期，教師應留給學生充分探索交流的時間與空間，對學生可能出現的疑問給予及時幫助，師生共同歸納出：用畫圖象的方法可以解二元一次方程組，從而解決了本節課開頭所提出的問題。然后共同歸納：從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標。這告訴我們，既可用畫圖象的方法可以解二元一次方程組，也可用解方程組的方法求兩條直線交點的坐標。利用剛才已有的探究經驗，學生很容易想到此問題的探究還可以從數的角度看，進一步歸納出：從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，這個函數值是何值。

　　這樣，學生經過自主探索、合作交流，從數和形兩個角度認識了一次函數與二元一次方程組的關系，真正掌握本節課的重點知識，并使學習過程成為一種再創造的過程。學生從一個個小問題的回答，到最后的歸納，充分享受學習、探究帶來的快樂，此時教師應充分肯定學生的探究成果，及時對學生進行鼓勵，關注學生的情感體驗。

　　為滿足學生學以致用、爭強好勝的心理需求，我特意設計了兩個搶答題，既加強了對所學知識的消化理解，又調動了學生的積極性，更讓他們在搶答中品味到了成功的快樂。趁著學生高漲的情緒，我迅速引入開頭部分意猶未盡的上網收費問題，加以變式，再次激起學生強烈的求知欲望和主人翁的學習姿態。經過一番探索，學生可能想到：要選擇合理的收費方式就需要對它們所收費用的大小進行比較，因此一定會有學生用過去的知識——方程或不等式解決問題，對于這部分學生的想法要給予充分的肯定表揚，然后繼續提問“你能用今天所學的圖象法來解決這個問題嗎？”引導學生建立函數模型進行探索。

　　學生在同一坐標系中分別畫出兩個一次函數的圖象后，我引導學生觀察圖象的特征，學生討論后發現當0 ≤ x < 400時，紅色點在藍色點的上方;當x=400時，紅色點與藍色點重合;當x>400時，紅色點在藍色點的下方，這樣利用直線上點位置的高低直觀地比較函數值的大小，從而找到答案。為避免圖象法作圖誤差造成的不足，可引導學生通過代數計算求出交點坐標。為培養學生一題多解的能力，我啟發學生用作差法，類似地用點位置的高低直觀地找到y>0，y=0及y<0時所對應的x的范圍，進而得到答案。通過對實際問題的探究，學生可以發現圖象法的直觀性，體會數形結合這一思想方法的應用，并學會用函數的觀點，動態地分析不等式和方程（組）。

　　為了鞏固學生的學習成果，我把剛剛結束不久的鐵山礦冶文化旅游節帶進課堂，讓學生欣賞一組美麗的黃石礦冶文化景點圖片，在學生體驗家鄉美好的輕松愉快氛圍中，我再一次出示了一個與之有關的旅游購票問題，并鼓勵學生用不同的方法進行解答，進一步培養學生應用數學的意識，從而更好地促進學生對本節課難點的理解和應用，幫助學生不斷完善新的認知結構。

　　在課堂臨近尾聲時，引導學生對本節課所學進行小結，鼓勵學生從數學知識、數學方法和數學情感等方面進行自我評價。嘗試開放式課堂教學，以真正體現學生的主體地位，使課堂活動民主化，多樣化。

　　本節課的作業由必做題和選做題組成，體現分層教學，讓不同的學生在數學上得到不同的發展。

　　四、設計說明

　　這節課，我始終貫穿以學生為主體的原則，突出數形結合的思想，體現數學建模的價值，滲透應用數學的意識，關注學生個性的發展，讓每一個學生在課堂上都有所感悟，都有著各自的數學體驗，不同的學生在數學的各個不同方面上都得到不同的發展。

二元一次方程與一次函數4

　　學習目標：

　　1.使學生初步理解二元一次方程與一次函數的關系

　　2.能根據一次函數的圖像求二元一次方程組的近似值

　　3.能解二元一次方程組的方法求兩條直線的交點坐標

　　學習重點：

　　1.用作圖像法求二元一次方程組的近似值

　　2.用解二元一次方程組的方法求兩條直線的交點坐標

　　學習難點：

　　1.做圖像時要標準、精確，近似值才接近

　　2.解二元一次方程組時計算準確，方法適宜

　　學習方法：

　　先自學課本，用心思考自主學習部分，努力獨立完成，再與其他同學討論未明白的內容。課上展示，針對自己不明白問題多聽多問。

　　自主學習部分：

　　問題1.（1）方程x+y=5的解有多少組？寫出其中的幾組解。

　　（2）在直角坐標系中分別描出以上這些解為坐標的點，它們在一次函數y=5-x的圖像上嗎？

　　（3）在一次函數y=5-x的圖像上任取一點，它們的坐標適合方程x+y=5嗎？

　　（4）以方程x+y=5的解為坐標的所有點組成的圖像與一次函數y=5-x的圖像相同嗎？

　　（5）由以上的探究過程，你發現了什么？

　　問題2.（1）在同一個直角坐標系內分別作出一次函數y=5-x和y=2x-1的圖像，這兩個圖像有交點嗎？如果有，寫出交點坐標？

　　（2）一次函數y=5-x和y=2x-1的交點坐標與方程組的解有什么關系？你能說明理由嗎？

　　（3）由以上探究過程，我們發現解二元一次方程組的方法除了加減消元法和代入消元法，還可以用法解方程組；我們還發現可以利用解二元一次方程組的方法求兩條直線交點的坐標。

　　合作探究：

　　（1）用做圖像的方法解方程組

　　(2)用解方程的方法求直線y=4-2x與直線y=2x-12交點

二元一次方程與一次函數5

　　教學目標

　　1．知識與能力目標

　　（1）二元一次方程和一次函數的關系。

　　（2）二元一次方程組的圖象解法。

　　（3）通過學生的思考和操作，力圖提示出方程與圖象之間的關系，引入二元一次方程組的圖象解法。同時培養學生初步的數形結合的意識和能力。

　　2．情感態度價值觀目標

　　通過學生的自主探索，提示出方程和圖象之間的對應關系，加強新舊知識的聯系，培養學生的創新意識，激發了學生學習數學的興趣，使學生體驗數學活動充滿探索與創造。

　　教材分析

　　前面已經分別學習了一次函數和二元一次方程組，這節課研究二元一次方程組（數）和一次函數（形）的關系，是這兩章知識的綜合運用。強化了部分與整體的內在聯系，知識與知識的內在聯系，并為今后解析幾何的學習奠定基礎。

　　教學重點

　　1、二元一次方程和一次函數的關系。

　　2、能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解。

　　教學難點

　　方程和函數之間的對應關系即數形結合的意識和能力。

　　教學方法

　　學生操作——————自主探索的方法

　　學生通過自己操作和思考，結合新舊知識的聯系，自主探索出方程與圖象之間的對應關系，以引入二元一次方程組的圖象解法，同時也建立了“數”————二元一次方程組和“形”————函數的圖象（直線）之間的對應關系，培養了學生數形結合的意識和能力。

　　教學過程

　　一．故事引入

　　迪卡兒的故事——————蜘蛛給予的啟示

　　十七世紀法國數學家迪卡兒有一次生病臥床，他看見屋頂上的一只蜘蛛順著絲左右爬行。迪卡兒看到蜘蛛的“表演”猛的機靈一動。他想，可以把蜘蛛看成一個點，它可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的位置用一組數確定下來呢？

　　在蜘蛛爬行的啟示下，迪卡兒創建了直角坐標系，在坐標系下幾何圖形（形）和方程（數）建立聯系。迪卡兒坐標系起到了橋梁和紐帶的作用。從而我們可以把圖形化成方程來研究，也可以用圖象來研究方程。

　　這節課我們就來研究二元一次方程（數）與一次函數（形）的關系。

　　二．嘗試探疑

　　1、Y=x+1

　　你們把我叫一次函數，我也是二元一次方程啊！這是怎么回事，你知道嗎？

　　學生先是疑惑：方程就是方程，函數就是函數，它們能有什么聯系呢？然后通過思考、交流，最后恍然大悟。初步感受一次函數與二元一次方程的內在聯系。

　　2、函數y=x+1上的任意一點的坐標是否滿足方程x—y=—1？

　　以方程x—y=—1的解為坐標的點在不在函數y=x+1的圖象上？方程x—y=—1與函數y=x+1有何關系？

　　學生會迫不及待地拿起筆來計算。從函數y=x+1圖象上找幾個點看它們的坐標是否滿足方程x—y=—1。結果都滿足。然后學生就會自主和同伴交流，問一問同伴函數y=x+1圖象上的點滿足不滿足方程x—y=—1。結果也都滿足。這樣他們就會搭成共識：函數y=x+1上的任意一點的坐標都滿足方程x—y=—1。

　　然后學生會用同樣的方法得出另一個結論：以方程x—y=—1的解為坐標的點一定在函數y=x+1的圖象上。然后開始思索函數y=x+1和方程x—y=—1到底有何關系呢？通過交流自動得出結論：以方程x—y=—1的解為坐標的點組成的圖象與一次函數y=x+1的圖象相同。

　　3。在同一坐標系下，化出y=x+1與y=4x—2的圖象，他們的交點坐標是什么？

　　方程組y=x+1的解是什么？二者有何關系？

　　y=4x—2

　　學生根據畫圖象的方法畫出兩函數圖象，畫出交點坐標。用消元法解出方程組的解。學生會大吃一驚：兩者出奇地相近或者干脆就相同。這是怎么回事呢？然后開始探究二者關系。通過交流、討論得出結論：函數y=x+1和y=4x—2的交點坐標就是由兩個函數表達式組成的方程組

　　y=x+1的解。

　　Y=4x—2

　　教師作最后總結：因為函數和方程有以上關系，所以我們就可以用圖象法解決方程問題，也可以用方程的方法解決圖象問題。

　　三．方程與函數關系的應用

　　解方程組x—2y=—2

　　2x—y=2

　　學生會很快的用消元法解出來。

　　老師發問：誰還有其他的方法？如果有，鼓勵學生大膽提出。并給予口頭表揚。如果沒有人用其他的方法，老師提出問題：你能不能用圖象的方法求方程組的解呢？這時，學生就會去探索新的思路、方法。

　　一回憶方程與函數的關系，有了！方程組的解不就是兩個方程變形得到的兩個函數圖象的交點坐標嗎？學生就會迅速動筆用這種方法把方程解出來。作完之后，互相交流。學生總結一下做題步驟：

　　1。把兩個方程都化成函數表達式的形式。

　　2。畫出兩個函數的圖象。

　　3。畫出交點坐標，交點坐標即為方程組的解。

　　問題又出來了，有的同學的解是x=2有的同學的解是x=2。1 y=2。1

　　y=1。9有的同學的解是……雖然都和消元法得到的結果相近，但各不相同。

　　老師提問：你能說一下用圖象法解方程組的不足嗎？

　　學生爭先恐后的回答：用這種方法求的解是近似值。不準確。學生提出疑問：既然不準確，那學習它有什么用呢？用消元法就足夠了！

　　教師解釋一下：在現實生活和生產中，我們會遇到特別復雜的方程，用消元法解不太容易，我們就可以用電腦繪制成函數圖象，很容易找出交點坐標。教師可以用Z+Z智能教育平臺演示一下。

　　[點評]用作圖象的方法解方程組，這體現了兩個知識點的內在聯系。學數學知識，探索知識點之間的聯系，可起到化新為舊的作用，達到事半功倍的效果。逐步讓學生學會這種學習新知識的技巧。

　　四．引申

　　方程組x+y=2

　　x+y=5解的情況如何？你能從函數的角度解釋一下嗎？

　　學生用消元法開始解方程組，結果無解，怎么回事呢？學生會嘗試運用方程組的圖象解法。畫出兩個函數圖象。答案有了！圖象是平行的，沒有交點。所以方程組無解了。哇！太神奇了！方程的問題可以用圖象的方法解決了。

　　[點評]因為有了上面的用作圖象法解方程組，在這里，學生就會自覺地從函數的角度探究方程的問題，初步具有了數形結合的意識和能力。

　　五．課后小結

　　本節課我們通過操作和思考，揭示了二元一次方程和函數圖象之間的對應關系，從而引入二元一次方程組的圖象解法，同時也建立了“數”————二元一次方程與“形”——————函數圖象之間的對應關系，培養了學生初步的數形結合的意識和能力。

　　六．作業

　　1。用作圖象法解方程組2x+y=4

　　2x—3y=12

　　2。如圖，直線L、L相交于點A，試求出A點坐標。

二元一次方程與一次函數6

　　一、教材分析

　　1、教材的地位和作用

　　函數、方程和不等式都是人們刻畫現實世界的重要數學模型。用函數的觀點看方程（組）與不等式，使學生不僅能加深對方程（組）、不等式的理解，提高認識問題的水平，而且能從函數的角度將三者統一起來，感受數學的統一美。本節課是學生學習完一次函數、一元一次方程及一元一次不等式的聯系后對一次函數和二元一次方程（組）關系的探究，學生在探索過程中體驗數形結合的思想方法和數學模型的應用價值，這對今后的學習有著十分重要的意義。

　　2、教學重難點

　　重點：一次函數與二元一次方程（組）關系的探索。

　　難點：綜合運用方程（組）、不等式和函數的知識解決實際問題。

　　3、教學目標

　　知識技能：理解一次函數與二元一次方程（組）的關系，會用圖象法解二元一次方程組。

　　數學思考：經歷一次函數與二元一次方程（組）關系的探索及相關實際問題的解決過程，學會用函數的觀點去認識問題。

　　解決問題：能綜合應用一次函數、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（組）解決相關實際問題。

　　情感態度：在探究活動中培養學生嚴謹的科學態度和勇于探索的科學精神，在師生、生生的交流活動中，學會與人合作，學會傾聽、欣賞和感悟，體驗數學的價值，建立自信心。

　　二、教法說明

　　對于認知主體——學生來說，他們已經具備了初步探究問題的能力，但是對知識的主動遷移能力較弱，為使學生更好地構建新的認知結構，促進學生的發展，我將在教學中采用探究式教學法。以學生為中心，使其在“生動活潑、民主開放、主動探索”的氛圍中愉快地學習。

　　三、教學過程

　　（一）感知身邊數學

　　多媒體播放一段發生在電信公司里的情景：一顧客準備辦理上網業務，發現有兩種收費方式：方式A以每分鐘0.1元的價格按上網時間計費；方式B除收月基費20元外再以每分鐘0.05元的價格按上網時間計費。顧客說他每月上網的費用按這兩種收費方式計算都是一樣多。求這位顧客打算每月上網多長時間？多少費用？

　　學生已經學習過列方程（組）解應用題,因此可能列出一元一次方程或二元一次方程組，用方程模型解決問題。結合前面對一次函數與一元一次方程、一元一次不等式之間關系的探究，我自然地提出問題：“一次函數與二元一次方程組之間是否也有聯系呢？”，從而揭示課題。

　　[設計意圖]建構主義認為，在實際情境中學習可以激發學生的學習興趣。因此，用“上網收費”這一生活實際創設情境，并用問題啟發學生去思、鼓勵學生去探、激勵學生去說，努力給學生造成“心求通而未能得，口欲言而不能說”的情勢，從而喚起學生強烈的求知欲，使他們以躍躍欲試的姿態投入到探索活動中來。

　　（二）享受探究樂趣

　　1、探究一次函數與二元一次方程的關系

　　填空：二元一次方程可以轉化為________。

　　思考：（1）直線上任意一點一定是方程的解嗎？（2）是否任意的二元一次方程都可以轉化為這種一次函數的形式？

　　（3）是否直線上任意一點的坐標都是它所對應的二元一次方程的解？

　　[設計意圖]用一連串的問題引導學生發現一次函數與二元一次方程在數與形兩個方面的關系，為探索二元一次方程組的解與直線交點坐標的關系作好鋪墊。

　　2、探究一次函數與二元一次方程組的關系

　　（1）在同一坐標系中畫出一次函數和的圖象，觀察兩直線的交點坐標是否是方程組的解？并探索：是否任意兩個一次函數的交點坐標都是它們所對應的二元一次方程組的解？

　　此時教師留給學生充分探索交流的時間與空間，對學生可能出現的疑問給予幫助，師生共同歸納出：從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標。

　　（2）當自變量取何值時，函數與的值相等？這個函數值是什么？這一問題與解方程組是同一問題嗎？

　　進一步歸納出：從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這個函數值是何值。

　　[設計意圖]學生經過自主探索、合作交流，從數和形兩個角度認識一次函數與二元一次方程組的關系，真正掌握本節課的重點知識，從而在頭腦中再現知識的形成過程，避免單純地記憶，使學習過程成為一種再創造的過程。此時教師及時對學生進行鼓勵，充分肯定學生的探究成果，關注學生的情感體驗。

　　（三）乘坐智慧快車

　　例題：我市一家電信公司給顧客提供兩種上網收費方式：方式Ａ以每分０.１元的價格按上網時間計費；方式Ｂ除收月基費20元外再以每分0 .05元的價格按上網時間計費。如何選擇收費方式能使上網者更合算？

　　解法１：設上網時間為分，若按方式Ａ則收元；若按方式Ｂ則收元。然后在同一坐標系中分別畫出這兩個函數的圖象，計算出交點坐標，結合圖象，利用直線上點位置的高低直觀地比較函數值的大小，得到當一個月內上網時間少于400分時，選擇方式A省錢；當上網時間等于400分時，選擇方式A、B沒有區別；當上網時間多于400分時，選擇方式B省錢。

　　解法2：設上網時間為分，方式B與方式A兩種計費的差額為元，得到一次函數：，即，然后畫出函數的圖象，計算出直線與軸的交點坐標，類似地用點位置的高低直觀地找到答案。

　　注意：所畫的函數圖象都是射線。

　　[設計意圖]為培養學生的發散思維和規范解題的習慣，引導學生將上網問題延伸為例題，并用問題：“你家選擇的上網收費方式好嗎？”再次激起學生強烈的求知欲望和主人翁的學習姿態。通過此問題的探究，使學生有效地理解本節課的難點，體會數形結合這一思想方法的應用。

　　（四）體驗成功喜悅

　　1、搶答題

　　（1）、以方程的解為坐標的所有點都在一次函數_____的圖象上。

　　（2）、方程組的解是________,由此可知,一次函數與的圖象必有一個交點,且交點坐標是________。

　　2、旅游問題

　　古城荊州歷史悠久，文化燦爛。今年，大型歷史劇《萬歷首輔張居正》在荊州封鏡后，來荊州的游客更是絡繹不絕。據悉，張居正紀念館門票標價20元/張，近期正在進行優惠活動，購買時有兩種方式：方式A是團隊中每位游客按8折購買；方式B是團隊中除5張按標價購買外，其余按7折購買。如果你是團隊的負責人，你會如何選擇購買方式使整個團隊更合算？

　　[設計意圖]抓住學生對競爭充滿興趣的心理特征，用搶答題使學生的眼、耳、腦、口得到充分的調動，并在搶答中品味成功的快樂，提高思維的速度。在學生感興趣的旅游問題中，進一步培養學生應用數學的意識，更好地促進學生對本節課難點的理解和應用，幫助學生不斷完善新的認知結構。

　　（五）分享你我收獲

　　在課堂臨近尾聲時，向學生提出：通過今天的學習，你有什么收獲？你印象最深的是什么？

　　[設計意圖]培養學生歸納和語言表達能力，鼓勵學生從數學知識、數學方法和數學情感等方面進行自我評價。

　　（六）開拓嶄新天地

　　1、數學日記

　　姓名日期

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