激活思維的教案
----數(shù)學(xué)習(xí)題課“一題多問”“一題多變”教學(xué)案例與評(píng)析
數(shù)學(xué)習(xí)題課對(duì)所學(xué)過的知識(shí)能夠起到檢查、鞏固、提高、拓展的功效，在進(jìn)行概念教學(xué)的過程中，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)安排一些習(xí)題課。然而，習(xí)題課的選題，容量怎樣安排才合理，效益如何提高，如何培養(yǎng)學(xué)生的良好思維品質(zhì)？我一直在思考、在嘗試。我認(rèn)為習(xí)題課絕不是簡(jiǎn)單的習(xí)題介紹，也絕不是教輔資料的處理之需，我覺得習(xí)題課題目的選擇和教學(xué)安排應(yīng)該遵循兩個(gè)原則：一是整理知識(shí)，整頓習(xí)慣，整合思維的原則；一是引導(dǎo)思考，自主探究，激活思維的原則。高二這段時(shí)間進(jìn)行橢圓單元的教學(xué)，在習(xí)題課上，我備課時(shí)，首先確定好這一節(jié)課的目標(biāo)以及每個(gè)選題的目標(biāo)，然后圍繞這一目標(biāo)進(jìn)行廣泛閱讀、篩選、重組，盡量編成“一題多問”、“一題多變”的題目，這樣，教學(xué)容量、效益有了很大提高。以下是本人高二橢圓單元教學(xué)習(xí)題課設(shè)置的“一題多問”、“一題多變”教學(xué)案例。
【教學(xué)案例一】
○教學(xué)背景：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)上完后，為了使學(xué)生掌握標(biāo)準(zhǔn)方程及相關(guān)的量，我安排了習(xí)題課，編成“一題多問”的題。
教學(xué)目標(biāo)：
1）加強(qiáng)學(xué)生對(duì)橢圓方程的認(rèn)識(shí)，鞏固有關(guān)概念、性質(zhì)。
2）能夠根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
問題設(shè)置：例1：已知橢圓方程，回答下列問題：
（1）出該橢圓的長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)，焦距，離心率
（2）寫出該橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程
（3）作出該橢圓的圖形。
教學(xué)要求：
1）三位同學(xué)板演。
2）把1、2中涉及到的量在圖中標(biāo)出。
3）體會(huì)橢圓中的量與焦點(diǎn)的位置關(guān)系。
教學(xué)意圖：1）檢查、鞏固，2）數(shù)形結(jié)合，3）引導(dǎo)學(xué)生比較、思考
○教學(xué)背景：根據(jù)性質(zhì)求橢圓方程，能夠強(qiáng)化對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)認(rèn)識(shí)，這是教學(xué)的重點(diǎn)。
教學(xué)目標(biāo)：鞏固橢圓的性質(zhì)，熟練掌握求橢圓方程的方法和注意四項(xiàng)。
問題設(shè)置：例2.根據(jù)條件,寫出對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)過點(diǎn)P(3,0),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的三倍的橢圓。
(2)以直線3x+4y－12=0和兩軸的交點(diǎn)分別作為頂點(diǎn)和焦點(diǎn)的.橢圓。
(3)一個(gè)焦點(diǎn)把長(zhǎng)軸分成長(zhǎng)度為7和1兩段的橢圓。
(4)已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2：1,一條準(zhǔn)線方程為x+4=0的橢圓。
(5)長(zhǎng)軸在x軸上,離心率為,一條準(zhǔn)線是x=3的橢圓。
(6)焦點(diǎn)在x軸上,其長(zhǎng)軸端點(diǎn)與相近的焦點(diǎn)相距為1,與相近的一條準(zhǔn)線距離為。
教學(xué)要求：1）前三題學(xué)生板演。
2）要求學(xué)生進(jìn)行解題反思，整合求橢圓的一般思路及注意事項(xiàng)。
3）后三題課外作業(yè)。
教學(xué)意圖：1、引導(dǎo)思考，自主探究，激活思維。
2、整理知識(shí)，整頓習(xí)慣，整合思維。
【評(píng)析】
新課程改革要求我們重新樹立教材觀，教師對(duì)教材、教輔進(jìn)行再加工，再創(chuàng)造。習(xí)題課如果只是把課本、資料上的題目照搬照抄，使用起來(lái)總感到凌亂、目標(biāo)不集中，講解單調(diào)，題目功效較弱等缺憾。這樣，備課時(shí)考慮好想要達(dá)到的目標(biāo)，廣泛閱讀，仔細(xì)篩選，大膽重組編成需要的題目，使用起來(lái)很方便，講解起來(lái)易透徹，教學(xué)意圖特明顯。另外，新課改積極倡導(dǎo)“探究式課堂教學(xué)”，就是以探究為主的教學(xué)。具體說它是指教學(xué)過程是在教師設(shè)置的問題引領(lǐng)下，以學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)和合作討論為前提，以現(xiàn)行教材為基本探究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑嘗試活動(dòng)，將自己所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題的一種教學(xué)形式。一題多問，根據(jù)老師的預(yù)設(shè)，層層深入探究，發(fā)展了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了自學(xué)能力；一題多變，讓學(xué)生在做題中自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，促使他們自己去獲取知識(shí)、發(fā)展能力；一題多人板演，有比較，互展示，教師為學(xué)生的學(xué)習(xí)設(shè)置探究的情境，建立探究的氛圍，讓學(xué)生在求解過程中求創(chuàng)新、求速度、求最佳。
【教學(xué)案例二】
○教學(xué)背景：對(duì)于橢圓方程，學(xué)生對(duì)焦點(diǎn)在X軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程比較熟悉，解題時(shí)往往疏忽焦點(diǎn)在Y軸上的情形。于是我設(shè)置了這樣一個(gè)題目，以期引起學(xué)生重視。
教學(xué)目標(biāo)：加強(qiáng)對(duì)橢圓方程的認(rèn)識(shí)，在解題中注意焦點(diǎn)的位置。
問題設(shè)置：例：設(shè)方程，回答下列問題：
（1）方程表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
（2）方程的準(zhǔn)線與X軸平行，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
（3）方程的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），求m的值。
（4）方程的離心率e=，求m的值。
教學(xué)要求：四個(gè)組每組一題，選代表板演，并說出老師選這題的意圖。
教學(xué)意圖：引導(dǎo)思考，合作交流，比較歸納。
【評(píng)析】
兩相比照辨異同，舉一反三旁類通。比較是確定客觀事物彼此之間的不同點(diǎn)和相同點(diǎn)的一種思維方法。通過比較，能使我們認(rèn)識(shí)事物本身所固有的特點(diǎn)（即在比較中求異），也能夠認(rèn)識(shí)同類事物的共點(diǎn)特點(diǎn)（即在比較中求同）。通過這一題多問，反復(fù)強(qiáng)調(diào)求解時(shí)要考慮焦點(diǎn)位置，意識(shí)得到強(qiáng)化。同時(shí)告訴學(xué)生把橢圓方程換一下，課后在去做，問題迎刃而解。通過對(duì)題目的背景的改變，讓學(xué)生不斷思考，互相啟發(fā)，總結(jié)歸納出解題規(guī)律。這類題具有很強(qiáng)的嚴(yán)密性和發(fā)散性，通過訓(xùn)練把學(xué)生的思維引到一個(gè)廣闊的空間，培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣度和深度。這樣，通過“一題多問”和“一題多變”，拓展了思維空間，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。對(duì)高中學(xué)生來(lái)說，有利于培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣和創(chuàng)新精神。
【教學(xué)案例三】○教學(xué)背景：橢圓單元里有一類圍繞焦點(diǎn)三角形而設(shè)置的題目，有規(guī)律可循。
問題設(shè)置：例：設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，
（1）若，求P點(diǎn)坐標(biāo)，三角形F1AF2的面積。
（2）若，求P點(diǎn)坐標(biāo)，三角形F1AF2的面積。
（3）為鈍角，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)x0的取值范圍。
教學(xué)要求：講解問1，學(xué)生自做問2、3
【評(píng)析】
類比、聯(lián)想是重要的數(shù)學(xué)思想，求同、求異是數(shù)學(xué)思考的常見方法。“一題多問”和“一題多變”巧妙地把同類的放在一起讓學(xué)生去感受，去體會(huì)，去總結(jié)。原本被動(dòng)的行為在潛移默化中變?yōu)樽杂X行為。教學(xué)中不僅要求學(xué)生的思維活躍，教師的思維更應(yīng)開放，教師只要細(xì)心大膽挖掘，從問題個(gè)性中探求共性，尋求變異，多角度、多層次去構(gòu)思、延伸、開拓，這樣引導(dǎo)思考，自主探究，有利于激活學(xué)生思維。
【教學(xué)案例四】
○教學(xué)背景：最值題對(duì)學(xué)生來(lái)說是個(gè)難點(diǎn)，橢圓與雙曲線有許多相近之處，講好橢圓有利于全局。仔細(xì)研究橢圓單元的有關(guān)最值題，萬(wàn)變不離其宗，有通法。
教學(xué)目標(biāo)：掌握一些橢圓有關(guān)的最值問題，探求解決這類問題的一般思路。
問題設(shè)置：例：已知x、y滿足，探究下列問題：
（1）求U=x2+y2-2y的取值范圍。
（2）求U=2x+3y+4的取值范圍。
（3）求點(diǎn)P（x,y）到A（1，1）距離最小值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)。
（4）求點(diǎn)P（x,y）到直線L：x+2y=4距離的最值。
（5）求U=的取值范圍。
（6）設(shè)該橢圓與坐標(biāo)軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，在劣弧上取一點(diǎn)C使四邊形OACB面積最大，求面積最大值。
教學(xué)要求：教師啟發(fā)，學(xué)生口答，師生合作完成。回頭比較，總結(jié)出規(guī)律：
1）建立目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于目標(biāo)函數(shù)采用的手段有：消元：法一，代入消元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)；如1.3.
法二，參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)；如1.2.3.4
聯(lián)想：數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何意義，如斜率、距離等。如5
2）找臨界狀態(tài)。如6
【評(píng)析】
在教學(xué)中，教師的“導(dǎo)”：需精心創(chuàng)設(shè)問題情境，組織學(xué)生進(jìn)行生動(dòng)有趣的“活動(dòng)”，留給學(xué)生想象和思維的“空間”，充分揭示獲取知識(shí)的思維過程，使學(xué)生在過程中“學(xué)會(huì)”并“會(huì)學(xué)”，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，從而得到主體的智力發(fā)展。現(xiàn)代教育論指出，教育是教師的導(dǎo)引與學(xué)生的知行的統(tǒng)一，教育過程是師生交往、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過程。交往的本質(zhì)屬性是主體性，是動(dòng)態(tài)的表現(xiàn)出來(lái)的主體之間的相互作用、相互交流、相互溝通、相互理解，在這個(gè)過程中，要消除教師中心和管理中心的傾向，實(shí)現(xiàn)師生互動(dòng)、相互溝通、相互影響、相互補(bǔ)充、從而達(dá)到共識(shí)、共享、共進(jìn)，這是教學(xué)相長(zhǎng)的真諦。習(xí)題課題目的選擇重組，給師生共同探究提供了一個(gè)平臺(tái)，問題的設(shè)置，有序，遞進(jìn)，通過探究能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律，便于總結(jié)歸納，很有一點(diǎn)“潤(rùn)物無(wú)聲”的教育功效。
實(shí)踐讓我體會(huì)到“一題多問”和“一題多變”對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行再加工，再創(chuàng)新，能夠引導(dǎo)學(xué)生思考，便于學(xué)生自主探究，有利于激活學(xué)生思維。同時(shí)也能夠方便師生共同整理知識(shí)，整頓解題習(xí)慣，整合思維。“一題多問”和“一題多變”設(shè)置問題使教師的預(yù)設(shè)促學(xué)生的生成，使習(xí)題課更精彩。
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