隙積術(shù)與會圓術(shù)翻譯及注釋
隙積術(shù)與會圓術(shù)
【原文】
算術(shù)求積尺①之法，如芻萌②、芻童、方池、冥谷、塹堵、鱉臑③、圓錐、陽馬④之類，物形備矣，獨(dú)未有隙積一術(shù)。古法：凡算方積之物，有立方⑤，謂六冪皆方者。其法再自乘則得之。有塹堵，謂如土墻者，兩邊殺，兩頭齊。其法并上下廣折半以為之廣，以直高乘之⑥，又以直高為股，以上廣減下廣，余者半之為勾。勾股求弦，以為斜高。有芻童，謂如覆斗者，四面皆殺。其法倍上長加入下長，以上廣乘之；倍下長加入上長，以下廣乘之；并二位，以高乘之，六而一。隙積者，謂積之有隙者，如累棋、層壇及酒家積罌⑦之類。雖似覆斗，四面皆殺，緣有刻缺及虛隙之處，用芻童法求之，常失于數(shù)少。余思而得之，用芻童法為上位、下位，別列⑧下廣，以上廣減之，余者以高乘之，六而一，并入上位。假令積罌：最上行縱廣各二罌，最下行各十二罌，行行相次。先以上二行相次，率至十二，當(dāng)十一行也。以芻童法求之，倍上行長得四，并入下長得十六，以上廣乘之，得之三十二；又倍下行長得二十四，并入上長，得二十六，以下廣乘之，得三百一十二；并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列⑨下廣十二，以上廣減之，余十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此為罌數(shù)也。芻童求見實(shí)方之積，隙積求見合角不盡，益出羨積也。履畝之法，方圓曲直盡矣，未有會圓之術(shù)⑩。凡圓田，既能拆之，須使會之復(fù)圓。古法惟以中破圓法拆之，其失有及三倍者。余別為拆會之術(shù)，置圓田，徑半之以為弦，又以半徑減去所割數(shù)，余者為股；各自乘，以股除弦，余者開方除為勾，倍之為割田之直徑。以所割之?dāng)?shù)自乘倍之，又以圓徑除所得，加入直徑，為割田之弧。再割亦如之，減去已割之弧，則再割之弧也。假令有圓田，徑十步，欲割二步。以半徑為弦，五步自乘得二十五；又以半徑減去所割二步，余三步為股，自乘得九；用減弦外，有十六，開平方，除得四步為勾，倍之為所割直徑。以所割之?dāng)?shù)二步自乘為四，倍之得為八，退上一位為四尺，以圓徑除。今圓徑十，已足盈數(shù)，無可除。只用四尺加入直徑，為所割之孤，凡得圓徑八步四尺也。再割亦依此法。如圓徑二十步求弧數(shù)，則當(dāng)折半，乃所謂以圓徑除之也。此二類皆造微之術(shù)，古書所不到者，漫志于此。
【注釋】
①積尺：在本文中泛指體積，也就是立方尺的意思。積：數(shù)學(xué)名詞，兩個(gè)或多個(gè)數(shù)相乘的結(jié)果稱為這些數(shù)的積。在古代算學(xué)書籍里常借用長度單位名稱來兼表面積單位或者體積單位，因此，積尺在古代既可以表示平方尺，也可以表示立方尺。
②芻萌：長方楔形狀，其底面為長方形，兩個(gè)側(cè)面為梯形，也稱為芻甍（hōnɡ）。
③鱉臑：一種錐體，底面為直角三角形且有一棱與底面垂直。
④陽馬：四棱錐，有時(shí)指底面為長方形且有一棱與底面垂直的錐體。
⑤立方：文中指正方體。
⑥以直高乘之：用梯形面的垂直高相乘，文中指用上句中所得的數(shù)值（梯形的上下寬相加除以二）與高相乘。至此，實(shí)際上就得到了這個(gè)梯形的面積，也為下一步乘以長度得到物體的體積作了準(zhǔn)備。
⑦罌：古代一種腹大口小的陶制容器。
⑧別列：文中指另外計(jì)算。
⑨重列：另外列出。
⑩會圓之術(shù)：會圓術(shù)，沈括所創(chuàng)的一種計(jì)算圓弓形弧長的近似方法，其近似公式為C＝a+h2r×6，其中r為半徑，h為矢高，a為弦長。沈括并未給出這一公式的推導(dǎo)，它很可能與《九章算術(shù)》中弧田術(shù)有著某種密切的關(guān)系。
別：另，另外。古代無另字，用另的地方常寫作別。
各自乘：文中指將弦、股各自平方。
再割亦如之：再次切割也如此類推。
減去已割之弧，則再割之弧也：（用總的弧長）減去已割部分的弧長，就是再切割之田的弧長了。
步：古代計(jì)量單位，一步為五尺。
造微之術(shù)：比較精確的計(jì)算方法。
志：記，記述。
【譯文】
算術(shù)中求物體體積的方法，如芻萌、芻童、方池、冥谷、塹堵、鱉臑、圓錐、陽馬等，各種形狀的物體都具備了，只是沒有隙積術(shù)。古代的算法：凡計(jì)算物體的體積，有立方體，是指六個(gè)面都是正方形的物體，其計(jì)算方法是把一條邊自乘兩次就可以求得了。有塹堵，是指有點(diǎn)像土墻形狀的物體，兩邊是斜的，兩頭的面是垂直的。它的截面面積的算法是：先把上、下底的寬相加，除以二，作為截面的寬，用直高與它相乘就求得了一個(gè)值；再將直高作為股，用上底面的寬減去下底面的寬，所得之差除以二作為勾，用勾股定理算出弦，就是它的斜邊長。有芻童，是指有點(diǎn)像翻過來的方斗形狀，四側(cè)都是斜面。它的計(jì)算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一（就求得了它的體積）。隙積，是指堆累起來而其中有空隙的物體，像堆疊起來的'棋子、分層建造起來的土壇以及酒館里堆累起來的酒壇子一類的物體。它們雖像倒扣著的斗，四側(cè)都是斜面，但是由于邊緣存在著一定的殘缺或空隙，如果用芻童法計(jì)算，所得數(shù)量往往比實(shí)際的要少。我想出了一種計(jì)算方法：用芻童法算出它的上位、下位數(shù)值，另外單獨(dú)列出它的下底寬，減去上底寬，將所得之差乘高，取其六分之一，再并入前面的數(shù)目就可以了。假設(shè)有用酒壇子累成的堆垛，最上層的長、寬都是兩只壇子，最下層的長、寬都是十二只壇子，一層層交錯(cuò)堆垛好。先從最上層數(shù)起，數(shù)到有十二只壇子的地方，正好是十一層。用芻童法來計(jì)算，把上層的長乘二得四，與下層的長相加得十六，與上層的寬相乘，得三十二；再把下層的長乘二得二十四，與上層的長相加得二十六，與下層的寬相乘，得三百一十二；上、下兩數(shù)相加，得三百四十四，乘高得三千七百八十四。另外將下層的寬十二減去上層的寬，得十，與高相乘，得一百一十，與前面的數(shù)字相加，得三千八百九十四；取它的六分之一，得六百四十九。這就是這堆酒壇的數(shù)量。運(yùn)用芻童法算出的是實(shí)方的體積，運(yùn)用隙積法算出的是空缺部分拼合成的體積，也就可以算出多余的體積。丈量土地的方法，方、圓、曲、直的算法都有，不過沒有會圓的算法。凡是圓形的土地，既能夠拆開來，也應(yīng)該能讓它拼合起來恢復(fù)圓形。古代的算法，只用中破圓法把圓形拆開來計(jì)算，它的誤差有達(dá)三倍之多的。我另外設(shè)計(jì)了一種拆開、會合的計(jì)算方法。假設(shè)有一塊圓形的土地，用它的直徑的一半作為弦，再以半徑減去所割下的弧形的高，用它們的差作為股；弦、股各自平方，用弦的平方減去股的平方，將它們的差開平方后作為勾，再乘二，就是所割弧形田的弦長。把所割的弧形田的高平方，乘二，再除以圓的直徑，所得的商加上弧形的弦長，便是所割弧形田的弧長。再割一塊田也像這樣計(jì)算，用總的弧長減去已割部分的弧長，就是再割之田的弧長了。假如有塊圓形的土地，直徑是十步，想使割出的圓弧高二步，就用圓半徑五步作為弦，五步自乘得二十五；又用半徑減去弧形的高二步，它們的差三步作為股，自乘得九；用它與弦二十五相減得十六，開平方得四，這就是勾，再乘二，就是弧的弦長。把圓弧的高二步自乘，得四，再乘二得八，退上一位為四尺，用圓的直徑相除。現(xiàn)今圓的直徑為十，已經(jīng)滿了整十?dāng)?shù)，不可除。只用四尺加下圓弧直徑，就是所割圓的弧長，共得圓弧直徑八步四尺。再割一塊圓田，也依照這種方法。如果圓直徑是二十步，要求弧長，就應(yīng)當(dāng)折半，也就是所說的要用圓弧的半徑來除它。這兩種方法都涉及精確的算法，是古書里沒有說到的，隨筆記錄于此。
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