高二《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)
高二《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)內(nèi)容解析
1．地位與作用：
本章是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》，是高中數(shù)學(xué)解析幾何的第二大部分。解析幾何是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的分支，它聯(lián)系了數(shù)學(xué)中的數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。在北師大版必修2中，學(xué)生已掌握了在平面直角坐標(biāo)系下研究直線和圓的方法，本章教材進(jìn)一步利用三種基本圓錐曲線深化代數(shù)與幾何的關(guān)系。本章教材內(nèi)容的順序是：橢圓→拋物線→雙曲線→曲線與方程。這樣安排的用意是，先學(xué)圓錐曲線，再學(xué)曲線與方程，這樣的順序更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，符合學(xué)生從特殊到一般，具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律。在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，不斷的滲透曲線與方程的思想，為學(xué)生理解并掌握“曲線與方程”這一概念奠定了基礎(chǔ)。
本節(jié)是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》第1節(jié)的內(nèi)容，主要學(xué)習(xí)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的應(yīng)用，分為兩課時(shí)，本節(jié)課是第1課時(shí)，主要學(xué)習(xí)橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。教材以橢圓為基礎(chǔ)和重點(diǎn)說明了求方程并利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法，然后在認(rèn)知拋物線和雙曲線中得到了鞏固和應(yīng)用，因此《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這一節(jié)課起到了承上啟下的作用。
2．教材處理順序
教材在橢圓的定義這個(gè)內(nèi)容的安排上是：先從直觀上認(rèn)識橢圓，再從畫法中提煉出橢圓的幾何特征，由此抽象概括出橢圓的定義，最后是橢圓定義的簡單應(yīng)用。這樣的安排不僅體現(xiàn)出《課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求通過豐富的實(shí)例展開教學(xué)的理念，而且符合學(xué)生從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)和理解。教材在本節(jié)內(nèi)容中只研究了中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生自己去歸納焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。這樣的處理給學(xué)生提供了一次探究和交流的機(jī)會(huì)。有利于學(xué)生對拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，有利于學(xué)生思維能力的提高和學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)。
3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法
本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含了：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想等。在推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程過程中讓學(xué)生體會(huì)移項(xiàng)再平方去根號的方法。
二、教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)
1．教學(xué)目標(biāo)
（1） 知識與技能目標(biāo)：①理解橢圓的定義；②掌握的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
（2） 過程與方法目標(biāo)：①在橢圓定義的獲知和歸納中，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；②通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，鞏固用坐標(biāo)化的方法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，同時(shí)體會(huì)含有兩個(gè)根式的化簡思路。
（3） 情感、態(tài)度和價(jià)值觀：①通過橢圓定義的歸納，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識規(guī)律并利用規(guī)律解決實(shí)際問題的能力；②通過師生、生生合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識。
2．教學(xué)重點(diǎn)
（1） 掌握橢圓的定義與相關(guān)概念；
（2） 掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
3．教學(xué)難點(diǎn)
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。
三、學(xué)情分析
1．學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)
授課班級學(xué)生為高二年級學(xué)生。
橢圓是圓錐曲線中基礎(chǔ)且重要的一種圖形，在實(shí)際生活中經(jīng)常遇到。學(xué)生在高一對解析幾何有了初步的了解和認(rèn)識，對于在平面直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)坐標(biāo)及長度公式已掌握，具有一定的空間想象能力、抽象概括能力和推理運(yùn)算的技能，有較好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和方法。
2．學(xué)生存在的難點(diǎn)
學(xué)生在涉及到需要自己建立坐標(biāo)系，再研究推導(dǎo)出方程仍是一個(gè)難點(diǎn)。且之前未接觸過一個(gè)式子中含兩個(gè)根式相加的情況，故化簡是個(gè)問題。
3．突破策略
由教師引領(lǐng)學(xué)生觀察所繪出的橢圓的特點(diǎn)，定點(diǎn)位置，從而建立合適的直角坐標(biāo)系。
四、教學(xué)策略分析
1．內(nèi)容突破策略
本節(jié)課新知內(nèi)容分兩大板塊：一是總結(jié)概括出橢圓的定義；二是推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。針對第一板塊內(nèi)容，主要采取學(xué)生先動(dòng)手畫橢圓，在實(shí)踐的過程中發(fā)現(xiàn)一些固定不變的量和量與量之間存在的關(guān)系，從而總結(jié)出橢圓的定義，并且深刻領(lǐng)悟定義中所說的一些特別要求。針對第二板塊內(nèi)容，主要是采取教師引導(dǎo)，學(xué)生動(dòng)手，通過一般的求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。
2．啟迪學(xué)生思維策略：
在教學(xué)方法的選擇上，采用教師組織引導(dǎo)，學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式，力求體現(xiàn)教師的引導(dǎo)者、合作者的作用，突出學(xué)生的主體地位。
五、教學(xué)過程
教學(xué)過程
設(shè)計(jì)意圖
一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課
1．讓學(xué)生觀察幾張典型圖片和行星在太陽系中的運(yùn)動(dòng)軌跡，由此看出一個(gè)共同的數(shù)學(xué)圖形“橢圓”。
2．大家還能舉出生活中你所遇到的橢圓嗎？
3．用多媒體演示一個(gè)嫦娥三號運(yùn)行橢圓形軌道的例子。
1．使學(xué)生對橢圓有一個(gè)感性認(rèn)識，明白生活實(shí)踐中有許多數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)于實(shí)踐，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察周圍事物的能力。
2．通過提問激發(fā)學(xué)生課堂上的學(xué)習(xí)興趣。
二、橢圓的定義（分四個(gè)環(huán)節(jié)）
1．畫一畫（畫橢圓）
①將一條繩子的兩端固定在同一個(gè)定點(diǎn)上，用筆尖勾起繩子的中點(diǎn)使繩子繃緊，圍繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，筆尖形成的軌跡是什么？
（由學(xué)生動(dòng)手在黑板上進(jìn)行演示，提高學(xué)生的動(dòng)手能力，同時(shí)激起學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣）
②而將繩子的兩端分別固定在兩個(gè)定點(diǎn)上，筆尖勾直繩子，移動(dòng)筆尖，得到的是軌跡是什么？
（教師提問，讓學(xué)生動(dòng)手，拿出提前準(zhǔn)備好的毛線，兩組同學(xué)上黑板畫，其他同學(xué)同桌合作在練習(xí)本上畫）
動(dòng)畫演示作圖過程
2．認(rèn)一認(rèn)（實(shí)驗(yàn)總結(jié)）
提出問題：①作圖過程中，哪些量沒有變？哪些量變了？
提出問題：②為什么要求作圖過程中筆尖要繃緊？
提出問題：③筆尖所對應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離有什么長度之間的關(guān)系？
總結(jié)：筆尖對應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)M到直線兩個(gè)端點(diǎn)的長度之和固定不變。
3．說一說（總結(jié)定義）
提出問題：根據(jù)剛才動(dòng)手實(shí)踐的過程，能否總結(jié)橢圓的定義？（同學(xué)自由發(fā)言，再由學(xué)生進(jìn)一步補(bǔ)充完善）
我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn) ， 的距離之和等于常數(shù)（大于 ）的點(diǎn)的集合叫作橢圓。
問題1：定義中的常數(shù)等于 ，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？
問題2：定義中的常數(shù)小于 ，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？
4．橢圓相關(guān)概念：兩個(gè)定點(diǎn) ， 叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn) ， 間的距離叫作橢圓的焦距。
1．給學(xué)生提供一個(gè)動(dòng)手、動(dòng)腦的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)；
2．學(xué)生可通過動(dòng)手實(shí)踐的過程去體會(huì)“滿足什么樣的條件下的點(diǎn)的集合為橢圓”，從而對橢圓定義中的條件有直觀深刻的認(rèn)識。
3．通過三個(gè)問題的設(shè)置，為學(xué)生從畫法中發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何特征奠定基礎(chǔ)。
4．通過三個(gè)典型的問題，讓學(xué)生更深刻地理解橢圓的定義
5．使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質(zhì)的認(rèn)識，并逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)。
三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1．求一求（推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）
問題3：回顧圓的軌跡方程是如何求的？
①建系： ②設(shè)點(diǎn)：
③列式： 得： ④化簡：
問題4：以怎樣的建系方式，哪一種針對求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較好？
（補(bǔ)充說明：橢圓具有一定的對稱美，故所求的式子最好簡潔工整）
動(dòng)手演算：讓學(xué)生動(dòng)手，求推導(dǎo)焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
①建系：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？（利用橢圓的對稱性特征）
以直線 為 軸，以線段 的垂直平分線為 軸，建
立平面直角坐標(biāo)系．
②設(shè)點(diǎn)：設(shè)焦距為 ，則 ．設(shè) 為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn) 與點(diǎn) 的距離之和為 ．
③列式：動(dòng)點(diǎn) 滿足的幾何約束條件:
坐標(biāo)化為：
④化簡：化簡橢圓方程是本節(jié)課的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的方法是引導(dǎo)學(xué)生思考如何去根號
預(yù)案一：移項(xiàng)后兩次平方法
兩邊同時(shí)平方、整理得：
將上式兩邊平方、整理得：
分析 的幾何含義，令
得到焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
預(yù)案二：
用等差數(shù)列法：
設(shè)
得4cx=4at，即t=
將t= 代入 式得
③
將③式兩邊平方得出結(jié)論。以下同預(yù)案一
預(yù)案三：三角換元法：
設(shè)
得
即 即
代入 式得
以下同預(yù)案一
2．問一問
問題5 ：焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？
（由學(xué)生動(dòng)手列式， ，引導(dǎo)學(xué)生觀察焦點(diǎn)在 軸上與焦點(diǎn)在 軸上式子的差異，從而用類比的方法得到焦點(diǎn)在 軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）
如果橢圓的焦點(diǎn)在 軸上，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ， ，用同樣的方法可以推出它的標(biāo)準(zhǔn)方程
問題6：如何用幾何圖形解釋 ？ ， ， 在橢圓中分別表示哪些線段的長？
1．讓學(xué)生由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，類比的推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
2．橢圓方程不止一種，建立的坐標(biāo)系不同，橢圓方程的表達(dá)形式也不同，在高中階段只掌握焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
3．進(jìn)一步熟悉用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，掌握化簡含根號等式的方法，提高運(yùn)算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神，感受數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美
4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想的靈活應(yīng)用，進(jìn)一步深化鞏固數(shù)學(xué)思想方法
做好準(zhǔn)備，以備個(gè)別學(xué)生想到此種方法
四、課堂探究
探究一：判斷分別滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn) 的軌跡是否為橢圓
（1）到點(diǎn) 和點(diǎn) 的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡；（是）
（2）到點(diǎn) 和點(diǎn) 的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡； （不是）
（3）到點(diǎn) 和點(diǎn) 的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡； （不是）
(4).已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，請?zhí)羁眨篴=_____,b=_____,c=_____,焦點(diǎn)坐標(biāo)為_________________,焦距等于_________.
探究二：判定下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在哪個(gè)軸上，并寫出焦點(diǎn)的坐標(biāo)
（1） ；（在 軸上，焦點(diǎn)為 ， ）
（2） ；（在 軸上，焦點(diǎn)為 ， ）
（3） 。（在 軸上，焦點(diǎn)為 ， ）
1．鞏固橢圓的定義
2．通過本題的練習(xí)，使學(xué)生能加深橢圓的焦距與標(biāo)準(zhǔn)方程之間關(guān)系的理解，同時(shí)會(huì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的基本量，教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生逐層深入，養(yǎng)成求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程先看焦點(diǎn)位置的良好習(xí)慣。
五、課堂小結(jié)
問題：這節(jié)課你學(xué)到了什么？請談?wù)勀愕氖斋@.
1．知識內(nèi)容收獲：一個(gè)定義（橢圓的定義）；兩個(gè)方程（橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程）；及橢圓中 之間的關(guān)系。
2．學(xué)習(xí)過程收獲：①鞏固了動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法；②通過推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，學(xué)會(huì)了兩個(gè)根式相加的式子的化簡方法，同時(shí)提高了自己的運(yùn)算能力。
3．?dāng)?shù)學(xué)思想和方法：數(shù)形結(jié)合思想；轉(zhuǎn)化化歸思想；分類討論思想。
目的：培養(yǎng)學(xué)生的概括總結(jié)能力
六、課后鞏固練習(xí)
1．課后思考：當(dāng)把橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)合二為一了后，得到的圖形是什么？你能總結(jié)出什么樣的規(guī)律？
2．書面作業(yè)：
課本 練習(xí)2: 1, 2, 3
是對本節(jié)課新知內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法的鞏固，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生更有興趣繼續(xù)研究橢圓
七、板書設(shè)計(jì)
橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程
一、畫橢圓
二、定義：
注明：①若 ，則點(diǎn)的軌跡不存在；
②若 ，則軌跡為線段
三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)在 軸上時(shí)，
焦點(diǎn)在 軸上時(shí)，
八、設(shè)計(jì)感想
上本節(jié)課前本人閱讀了大量圓錐曲線的知識，對各種不同的橢圓定義引題進(jìn)行了分析比較，通過各位同事耐心的指導(dǎo)和多次的討論，最終采用了以現(xiàn)實(shí)生活中橢圓的應(yīng)用引入，充分展現(xiàn)了知識的形成過程，有利于學(xué)生自主探究與創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。但在設(shè)計(jì)過程仍遇到很多我無法解決的問題，比如如何將圓錐曲線背景知識融入到課堂；如何用幾何畫板將紙張的翻折更形象的演示等等。如何加以改進(jìn)，這是在后續(xù)教學(xué)中需要思考的問題。這也反映了我在新課程面前的不足，認(rèn)識到教師自身專業(yè)發(fā)展與能力提高的重要性與緊迫感；認(rèn)識到新課程下的教師不再是靜態(tài)的蠟燭、明燈抑或是航標(biāo)，而是一名充滿激情的主持人，一名銳意進(jìn)取的先行者這樣一個(gè)角色的轉(zhuǎn)換；認(rèn)識到新課改的成功要從我做起，從現(xiàn)在做起！
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