專題一：利用不等式性質，判斷其它不等式是否成立

　　1、a、b∈R,則下列命題中的真命題是(　C )

　　A、若a>b，則|a|>|b| B、若a>b，則1/a<1/b

　　C、若a>b，則a3>b3　　　　　　　D、若a>b，則a/b>1

　　2、已知a<0.-1

　　A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a

　　C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a

　　3、當0

　　A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)b

　　C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b

　　4、若loga3>logb3>0，則a、b的關系是( B )

　　A、0a>1

　　C、0

　　5、若a>b>0，則下列不等式①1/a<1/b;②a2>b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是(　A )

　　A、①②③④　　B、①②③　　　C、①②　　　　D、③④

　　(二)比較大小

　　1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，則( A　)

　　A、ab　　　　　C、ab<1　　　　　D、ab>2

　　2、a、b為不等的正數(shù)，n∈N，則(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符號是( C　)

　　A、恒正　　　　　　　　　　　　B、恒負

　　C、與a、b的大小有關　　　　　 D、與n是奇數(shù)或偶數(shù)有關

　　3、設1lg2x>lg(lgx)

　　4、設a>0,a≠1,比較logat/2與loga(t+1)/2的大小。

　　分析：要比較大小的式子較多，為避免盲目性，可先取特殊值估測各式大小關系，然后用比較法(作差)即可。

　　(三)利用不等式性質判斷P是Q的充分條件和必要條件

　　1、設x、y∈R,判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關系

　　⑴命題甲：x>0且y>0，　　命題乙：x+y>0且xy>0 充要條件

　　⑵命題甲：x>2且y>2，　　命題乙：x+y>4且xy>4　　　　　充分不必要條件

　　2、已知四個命題，其中a、b∈R

　　①a2

　　3、"a+b>2c"的一個充分條件是( C　)

　　A、a>c或b>c B、a>c或bc且b>c　　D、a>c且b

　　(四)范圍問題

　　1、設60

　　2、若二次函數(shù)y=f(x)的圖象過原點，且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(2)的范圍。

　　(五)均值不等式變形問題

　　1、當a、b∈R時,下列不等式不正確的是( D　)

　　A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab

　　C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)

　　2、x、y∈(0,+∞)，則下列不等式中等號不成立的是( A　)

　　C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2

　　3、已知a>0,b>0,a+b=1，則(1/a21)(1/b21)的最小值為( D　)

　　A、6　　　　　　　B、7　　　　　　　C、8　　　　　　　D、9

　　4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求證：1/a+1/b+1/c≥9

　　5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證：

　　(六)求函數(shù)最值

　　1、若x>4,函數(shù)

　　5、大、-6

　　2、設x、y∈R, x+y=5，則3x+3y的最小值是(　)D

　　A、10　　　　　　B、　　　　　　C、　　　　　　D、

　　3、下列各式中最小值等于2的是(　)D

　　A、x/y+y/x B、 C、tanα+cotα D、2x+2-x

　　4、已知實數(shù)a、b、c、d滿足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。

　　5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。

　　(七)實際問題

　　1、98(高考)如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬為2cm的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為am，高度為bm，已知流出的水中該雜質的質量分數(shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60m2，問當a、b各為多少米時，沉淀后流出的水中該雜質的質量分數(shù)最小(A、B孔的面積忽略不計)。

　　解一：設流出的水中雜質的質量分數(shù)為y，

　　由題意y=k/ab，其中k為比例系數(shù)(k>0)

　　據(jù)題設2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)

　　由a>0,b>0可得0

　　令t=2+a，則a=t-2從而當且僅當t=64/t，即t=8,a=6時等號成立。∴y=k/ab≥k/18

　　當a=6時,b=3，

　　綜上所述，當a=6m,b=3m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質的質量分數(shù)最小。

　　解二：設流出的水中雜質的質量分數(shù)為y，由題意y=k/ab，其中k為比例系數(shù)(k>0)

　　要求y的最小值，即要求ab的最大值。

　　據(jù)題設2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30

　　即a=6,b=3時，ab有最大值，從而y取最小值。

　　綜上所述，當a=6m,b=3m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質的質量分數(shù)最小。

　　2、某工廠有舊墻一面長14米,現(xiàn)準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126　　米2的廠房，工程條件是：①建1米新墻的費用為a元;②修1米舊墻的費用為a/4元;③拆去1米舊墻用所得材料建1米新墻的費用為a/2元.經(jīng)過討論有兩種方案：⑴利用舊墻的一段x(x<14)米為矩形廠房的一面邊長;⑵矩形廠房的一面長為x(x≥14).問如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省?⑴⑵兩種方案哪種方案最好?

　　解：設總費用為y元，利用舊墻的一面矩形邊長為x米，則另一邊長為126/x米。

　　⑴若利用舊墻的一段x米(x<14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為x?a/4元，剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為(14-x)?a/2元，其余的建新墻的費用為(2x+ 2?126/x-14)?a元，故總費用　當且僅當x=12時等號成立，∴x=12時ymin=7a(6-1)=35a。

　　⑵若利用舊墻的一段x米(x≥14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為x?a/4元，建新墻的費用為(2x+ 2?126/x-14)?a元，故總費用

　　設f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，則f(x2)-f(x1)= x2+126/x2-(x1+126/x1)

　　=(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在[14，+∞)上遞增，∴f(x)≥f(14)

　　∴x=14時ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a

　　綜上所述，采用方案⑴，即利用舊墻12米為矩形的一面邊長，建墻費用最省。

　　(八)比較法證明不等式

　　1、已知a、b、m、n∈R+,證明：am+n+bm+n≥ambn+anbm

　　變：已知a、b∈R+,證明：a3/b+b3/a≥a2+b2

　　2、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,證明：對任意實數(shù)p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)

　　(九)綜合法證明不等式

　　1、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：

　　2、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3

　　3、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，且abc=1,求證：

　　4、已知a、b∈R+，a+b=1,求證：

　　(十)分析法證明不等式

　　1、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c

　　2、已知函數(shù)f(x)=lg(1/x-1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求證：

　　3、設實數(shù)x,y滿足y+x2=0,0

　　(十一)反證法、放縮法、構造法、判別式法、換元法等證明不等式

　　1、設f(x)=x2+ax+b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于1/2。

　　2、若x2+y2≤1,求證|x2+2xy-y2|≤.

　　3、已知a>b>c,求證：

　　4、已知a、b、c∈R+，且a+b>c求證：.

　　5、已知a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等號何時成立。

　　分析：整理成關于a的二次函數(shù)f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2

　　∵Δ=(c+3b)2-4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)≤0

　　∴f(a)≥0

　　6、已知：x2-2xy + y2 + x + y + 1=0，求證：1/3≤y/x≤3

　　7、在直角三角形ABC中，角C為直角，n≥2且n∈N，求證：cn≥an + bn

　　(十二)解不等式

　　1、解不等式：

　　2、解關于x的不等式：