高一數學函數知識總結

時間：2022-11-29 17:24:25 總結我要投稿

高一數學函數知識總結6篇

　　總結就是對一個時期的學習、工作或其完成情況進行一次全面系統的回顧和分析的書面材料，它能夠使頭腦更加清醒，目標更加明確，讓我們好好寫一份總結吧。總結怎么寫才能發揮它的作用呢？以下是小編幫大家整理的高一數學函數知識總結，希望對大家有所幫助。

高一數學函數知識總結6篇

高一數學函數知識總結1

　　一：函數及其表示

　　知識點詳解文檔包含函數的概念、映射、函數關系的判斷原則、函數區間、函數的三要素、函數的定義域、求具體或抽象數值的函數值、求函數值域、函數的表示方法等

　　1. 函數與映射的區別：

　　2. 求函數定義域

　　常見的用解析式表示的函數f(x)的定義域可以歸納如下：

　　①當f(x)為整式時，函數的定義域為R.

　　②當f(x)為分式時，函數的定義域為使分式分母不為零的實數集合。

　　③當f(x)為偶次根式時，函數的定義域是使被開方數不小于0的實數集合。

　　④當f(x)為對數式時，函數的定義域是使真數為正、底數為正且不為1的實數集合。

　　⑤如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合，即求各部分有意義的實數集合的交集。

　　⑥復合函數的定義域是復合的各基本的函數定義域的交集。

　　⑦對于由實際問題的背景確定的函數，其定義域除上述外，還要受實際問題的制約。

　　3. 求函數值域

　　(1)、觀察法：通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域;

　　(2)、配方法;如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式，那么將這個函數的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數的值域;

　　(3)、判別式法：

　　(4)、數形結合法;通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域;

　　(5)、換元法;以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域;

　　(6)、利用函數的單調性;如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那么就可以利用端點的函數值來求出值域;

　　(7)、利用基本不等式：對于一些特殊的分式函數、高于二次的函數可以利用重要不等式求出函數的值域;

　　(8)、最值法：對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域;

　　(9)、反函數法：如果函數在其定義域內存在反函數，那么求函數的值域可以轉化為求反函數的定義域。

高一數學函數知識總結2

　　一、復合函數定義：設y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若AB，則y關于x函數的y=f［g(x)］叫做函數f與g的復合函數，u叫中間量.

　　二、復合函數定義域問題：（一）例題剖析：

　　(1)、已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域

　　思路：設函數f(x)的定義域為D，即xD，所以f的作用范圍為D，又f對g(x)作用，作用范圍不變，所以g(x)D，解得xE，E為fg(x)的定義域。

　　例1.設函數f(u)的定義域為（0，1），則函數f(lnx)的定義域為_____________。解析：函數f(u)的定義域為（0，1）即u(0，1)，所以f的作用范圍為（0，1）又f對lnx作用，作用范圍不變，所以0lnx1解得x(1，e)，故函數f(lnx)的定義域為（1，e）

　　1，則函數ff(x)的定義域為______________。x11解析：先求f的作用范圍，由f(x)，知x1

　　x1例2.若函數f(x)即f的作用范圍為xR|x1，又f對f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x應滿足x1

　　f(x)1x1即1，解得x1且x2

　　1x1故函數ff(x)的定義域為xR|x1且x2（2）、已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域

　　思路：設fg(x)的定義域為D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范圍為E，又f對x作用，作用范圍不變，所以xE，E為f(x)的定義域。

　　例3.已知f(32x)的定義域為x1，2，則函數f(x)的定義域為_________。解析：f(32x)的定義域為1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范圍為1，5，又f對x作用，作用范圍不變，所以x1，5

　　即函數f(x)的定義域為1，5

　　x2例4.已知f(x4)lg2，則函數f(x)的定義域為______________。

　　x82x2x20解析：先求f的作用范圍，由f(x4)lg2，知2x8x82解得x44，f的作用范圍為(4，)，又f對x作用，作用范圍不變，所以

　　2x(4，)，即f(x)的定義域為(4，)

　　（3）、已知fg(x)的定義域，求fh(x)的定義域

　　思路：設fg(x)的定義域為D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范圍為E，又f對h(x)作用，作用范圍不變，所以h(x)E，解得xF，F為fh(x)的定義域。

　　例5.若函數f(2x)的定義域為1，1，則f(log2x)的定義域為____________。

　　解析：f(2)的定義域為1，1，即x1，1，由此得2，2

　　2xx11f的作用范圍為，2

　　21又f對log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定義域為

　　2，4

　　評注：函數定義域是自變量x的取值范圍（用集合或區間表示）f對誰作用，則誰的范圍是f的作用范圍，f的作用對象可以變，但f的作用范圍不會變。利用這種理念求此類定義域問題會有“得來全不費功夫”的感覺，值得大家探討。

　　三、復合函數單調性問題

　　（1）引理證明已知函數yf(g(x)).若ug(x)在區間(a,b）上是減函數，其值域為(c，d)，又函數yf(u)在區間(c,d)上是減函數，那么，原復合函數yf(g(x))在區間(a,b）上是增函數.

　　證明：在區間(a,b）內任取兩個數x1,x2，使ax1x2b

　　因為ug(x)在區間(a,b）上是減函數，所以g(x1)g(x2),記u1g(x1),

　　u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)

　　因為函數yf(u)在區間(c,d)上是減函數，所以f(u1)f(u2),即

　　f(g(x1))f(g(x2))，

　　故函數yf(g(x))在區間(a,b）上是增函數.（2）．復合函數單調性的'判斷

　　復合函數的單調性是由兩個函數共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結成一個圖表：

　　yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增減減增減減減增以上規律還可總結為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）、復合函數yf(g(x))的單調性判斷步驟：確定函數的定義域；

　　將復合函數分解成兩個簡單函數：yf(u)與ug(x)。分別確定分解成的兩個函數的單調性；

　　若兩個函數在對應的區間上的單調性相同（即都是增函數，或都是減函數），則復合后的函數yf(g(x))為增函數；若兩個函數在對應的區間上的單調性相異（即一個是增函數，而另一個是減函數），則復合后的函數yf(g(x))為減函數。

　　（4）例題演練

　　例1、求函數ylog1(x2x3)的單調區間，并用單調定義給予證明22解：定義域x2x30x3或x1

　　單調減區間是(3,)設x1,x2(3,)且x1x2則

　　y1log1(x12x13)y2log1(x22x23)

　　2222(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)

　　∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底數0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是減函數2222112同理可證：y在(,1)上是增函數

高一數學函數知識總結3

　　知識點總結

　　本節知識包括函數的單調性、函數的奇偶性、函數的周期性、函數的最值、函數的對稱性和函數的圖象等知識點。函數的單調性、函數的奇偶性、函數的周期性、函數的最值、函數的對稱性是學習函數的圖象的基礎，函數的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點，函數的圖象就迎刃而解了。

　　一、函數的單調性

　　1、函數單調性的定義

　　2、函數單調性的判斷和證明：(1)定義法 (2)復合函數分析法 (3)導數證明法 (4)圖象法

　　二、函數的奇偶性和周期性

　　1、函數的奇偶性和周期性的定義

　　2、函數的奇偶性的判定和證明方法

　　3、函數的周期性的判定方法

　　三、函數的圖象

　　1、函數圖象的作法 (1)描點法 (2)圖象變換法

　　2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。

　　常見考法

　　本節是段考和高考必不可少的考查內容，是段考和高考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有，并且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數學的每一章聯合考查，多屬于拔高題。多考查函數的單調性、最值和圖象等。

　　誤區提醒

　　1、求函數的單調區間，必須先求函數的定義域，即遵循“函數問題定義域優先的原則”。

　　2、單調區間必須用區間來表示，不能用集合或不等式，單調區間一般寫成開區間，不必考慮端點問題。

　　3、在多個單調區間之間不能用“或”和“ ”連接，只能用逗號隔開。

　　4、判斷函數的奇偶性，首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關于原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數。

　　5、作函數的圖象，一般是首先化簡解析式，然后確定用描點法或圖象變換法作函數的圖象。

高一數學函數知識總結4

　　一、函數的概念與表示

　　1、映射

　　(1)映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應(包括集合A、B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。

　　注意點：(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射

　　2、函數

　　構成函數概念的三要素

　　①定義域②對應法則③值域

　　兩個函數是同一個函數的條件：三要素有兩個相同

　　二、函數的解析式與定義域

　　1、求函數定義域的主要依據：

　　(1)分式的分母不為零;

　　(2)偶次方根的被開方數不小于零，零取零次方沒有意義;

　　(3)對數函數的真數必須大于零;

　　(4)指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;

　　三、函數的值域

　　1求函數值域的方法

　　①直接法：從自變量x的范圍出發，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復合函數;

　　②換元法：利用換元法將函數轉化為二次函數求值域，適合根式內外皆為一次式;

　　③判別式法：運用方程思想，依據二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式;

　　④分離常數：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);

　　⑤單調性法：利用函數的單調性求值域;

　　⑥圖象法：二次函數必畫草圖求其值域;

　　⑦利用對號函數

　　⑧幾何意義法：由數形結合，轉化距離等求值域。主要是含絕對值函數

　　四.函數的奇偶性

　　1.定義:設y=f(x)，x∈A，如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為偶函數。

　　如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為奇

　　函數。

　　2.性質：

　　①y=f(x)是偶函數y=f(x)的圖象關于軸對稱,y=f(x)是奇函數y=f(x)的圖象關于原點對稱,

　　②若函數f(x)的定義域關于原點對稱，則f(0)=0

　　③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數的定義域D1，D2，D1∩D2要關于原點對稱]

　　3.奇偶性的判斷

　　①看定義域是否關于原點對稱②看f(x)與f(-x)的關系

　　五、函數的單調性

　　1、函數單調性的定義：

　　2、設是定義在M上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相反，則在M上是減函數;若f(x)與g(x)的單調性相同，則在M上是增函數。

高一數學函數知識總結5

　　【(一)、映射、函數、反函數】

　　1、對應、映射、函數三個概念既有共性又有區別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射.

　　2、對于函數的概念，應注意如下幾點：

　　(1)掌握構成函數的三要素，會判斷兩個函數是否為同一函數.

　　(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數關系式，特別是會求分段函數的解析式.

　　(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數，其中g(x)為內函數，f(u)為外函數.

　　3、求函數y=f(x)的反函數的一般步驟：

　　(1)確定原函數的值域，也就是反函數的定義域;

　　(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

　　(3)將x，y對換，得反函數的習慣表達式y=f-1(x)，并注明定義域.

　　注意①：對于分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然后再合并到一起.

　　②熟悉的應用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結論，可以避免求反函數的過程，從而簡化運算.

　　【(二)、函數的解析式與定義域】

　　1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數的定義域.求函數的定義域一般有三種類型：

　　(1)有時一個函數來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮;

　　(2)已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：

　　①分式的分母不得為零;

　　②偶次方根的被開方數不小于零;

　　③對數函數的真數必須大于零;

　　④指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;

　　⑤三角函數中的正切函數y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

　　應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).

　　(3)已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.

　　已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.

　　2、求函數的解析式一般有四種情況

　　(1)根據某實際問題需建立一種函數關系時，必須引入合適的變量，根據數學的有關知識尋求函數的解析式.

　　(2)有時題設給出函數特征，求函數的解析式，可采用待定系數法.比如函數是一次函數，可設f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.

　　(3)若題設給出復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法求函數f(x)的表達式，這時必須求出g(x)的值域，這相當于求函數的定義域.

　　(4)若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達式.

　　【(三)、函數的值域與最值】

　　1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：

　　(1)直接法：亦稱觀察法，對于結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域.

　　(2)換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數換元，當根式里是二次式時，用三角換元.

　　(3)反函數法：利用函數f(x)與其反函數f-1(x)的定義域和值域間的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如(a≠0)的函數值域可采用此法求得.

　　(4)配方法：對于二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法.

　　(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.

　　(6)判別式法：把y=f(x)變形為關于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

　　(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性，可采用單調性法求出函數的值域.

　　(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.

　　2、求函數的最值與值域的區別和聯系

　　求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小(大)數，這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.

　　如函數的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數無值和最小值，只有在改變函數定義域后，如x>0時，函數的最小值為2.可見定義域對函數的值域或最值的影響.

　　3、函數的最值在實際問題中的應用

　　函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.

　　【(四)、函數的奇偶性】

　　1、函數的奇偶性的定義：對于函數f(x)，如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數f(x)就叫做奇函數(或偶函數).

　　正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點：(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數定義域上的整體性質).

　　2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便于判斷函數的奇偶性，有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式：

　　注意如下結論的運用：

　　(1)不論f(x)是奇函數還是偶函數，f(|x|)總是偶函數;

　　(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函數，f(x)·g(x)是偶函數，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

　　(3)奇偶函數的復合函數的奇偶性通常是偶函數;

　　(4)奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。

　　3、有關奇偶性的幾個性質及結論

　　(1)一個函數為奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱;一個函數為偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱.

　　(2)如要函數的定義域關于原點對稱且函數值恒為零，那么它既是奇函數又是偶函數.

　　(3)若奇函數f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.

　　(4)若f(x)是具有奇偶性的區間單調函數，則奇(偶)函數在正負對稱區間上的單調性是相同(反)的。

　　(5)若f(x)的定義域關于原點對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數.

　　(6)奇偶性的推廣

　　函數y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數.函數y=f(x)對定義域內的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數。

　　【(五)、函數的單調性】

　　1、單調函數

　　對于函數f(x)定義在某區間[a，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，稱f(x)在[a，b]上單調遞增(或遞減);增函數或減函數統稱為單調函數.

　　對于函數單調性的定義的理解，要注意以下三點：

　　(1)單調性是與“區間”緊密相關的概念.一個函數在不同的區間上可以有不同的單調性.

　　(2)單調性是函數在某一區間上的“整體”性質，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.

　　(3)單調區間是定義域的子集，討論單調性必須在定義域范圍內.

　　(4)注意定義的兩種等價形式：

　　設x1、x2∈[a，b]，那么：

　　①在[a、b]上是增函數;

　　在[a、b]上是減函數.

　　②在[a、b]上是增函數.

　　在[a、b]上是減函數.

　　需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數圖象上任意兩點(x1，f(x1))、(x2，f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零.

　　(5)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數，且(或x1>x2)，這說明單調性使得自變量間的不等關系和函數值之間的不等關系可以“正逆互推”.

　　5、復合函數y=f[g(x)]的單調性

　　若u=g(x)在區間[a，b]上的單調性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調性相同，則復合函數y=f[g(x)]在[a，b]上單調遞增;否則，單調遞減.簡稱“同增、異減”.

　　在研究函數的單調性時，常需要先將函數化簡，轉化為討論一些熟知函數的單調性。因此，掌握并熟記一次函數、二次函數、指數函數、對數函數的單調性，將大大縮短我們的判斷過程.

　　6、證明函數的單調性的方法

　　(1)依定義進行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根據定義，得出結論.

　　(2)設函數y=f(x)在某區間內可導.

　　如果f′(x)>0，則f(x)為增函數;如果f′(x)<0，則f(x)為減函數.

　　【(六)、函數的圖象】

　　函數的圖象是函數的直觀體現，應加強對作圖、識圖、用圖能力的培養，培養用數形結合的思想方法解決問題的意識.

　　求作圖象的函數表達式

　　與f(x)的關系

　　由f(x)的圖象需經過的變換

　　y=f(x)±b(b>0)

　　沿y軸向平移b個單位

　　y=f(x±a)(a>0)

　　沿x軸向平移a個單位

　　y=-f(x)

　　作關于x軸的對稱圖形

　　y=f(|x|)

　　右不動、左右關于y軸對稱

　　y=|f(x)|

　　上不動、下沿x軸翻折

　　y=f-1(x)

　　作關于直線y=x的對稱圖形

　　y=f(ax)(a>0)

　　橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變

　　y=af(x)

　　縱坐標伸長到原來的|a|倍，橫坐標不變

　　y=f(-x)

　　作關于y軸對稱的圖形

　　【例】定義在實數集上的函數f(x)，對任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.

　　①求證：f(0)=1;

　　②求證：y=f(x)是偶函數;

　　③若存在常數c，使求證對任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數f(x)是不是周期函數，如果是，找出它的一個周期;如果不是，請說明理由.

　　思路分析：我們把沒有給出解析式的函數稱之為抽象函數，解決這類問題一般采用賦值法.

　　解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因為f(0)≠0，所以f(0)=1.

　　②令x=0，則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這說明f(x)為偶函數.

　　③分別用(c>0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=

　　所以，所以f(x+c)=-f(x).

　　兩邊應用中的結論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

　　所以f(x)是周期函數，2c就是它的一個周期.

高一數學函數知識總結6

　　一、復合函數定義：設y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若AB，則y關于x函數的y=f［g(x)］叫做函數f與g的復合函數，u叫中間量.

　　二、復合函數定義域問題：

　　（一）例題剖析：

　　(1)、已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域

　　思路：設函數f(x)的定義域為D，即xD，所以f的作用范圍為D，又f對g(x)作用，作用范圍不變，所以g(x)D，解得xE，E為fg(x)的定義域。

　　例1.設函數f(u)的定義域為（0，1），則函數f(lnx)的定義域為_____________。解析：函數f(u)的定義域為（0，1）即u(0，1)，所以f的作用范圍為（0，1）又f對lnx作用，作用范圍不變，所以0lnx1解得x(1，e)，故函數f(lnx)的定義域為（1，e）例2.若函數f(x)1x1，則函數ff(x)的定義域為______________。

　　1x1解析：先求f的作用范圍，由f(x)，知x1

　　即f的作用范圍為xR|x1，又f對f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x應滿足x1即1，解得x1且x2

　　1x1x1f(x)1

　　故函數ff(x)的定義域為xR|x1且x2（2）、已知fg(x)的定義域，求f(x)的定義域

　　思路：設fg(x)的定義域為D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范圍為E，又f對x作用，作用范圍不變，所以xE，E為f(x)的定義域。

　　即函數f(x)的定義域為1，5

　　2例4.已知f(x4)lg2x2x8，則函數f(x)的定義域為______________。

　　解析：先求f的作用范圍，由f(x4)lg2x22x8，知

　　x22x80

　　解得x244，f的作用范圍為(4，)，又f對x作用，作用范圍不變，所以x(4，)，即f(x)的定義域為(4，)

　　（3）、已知fg(x)的定義域，求fh(x)的定義域

　　思路：設fg(x)的定義域為D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范圍為E，又f對h(x)作用，作用范圍不變，所以h(x)E，解得xF，F為fh(x)的定義域。

　　例5.若函數f(2x)的定義域為1，1，則f(log2x)的定義域為____________。

　　1解析：f(2)的定義域為1，1，即x1，1，由此得2，2

　　2xxf的作用范圍為

　　1，22又f對log2x作用，所以log2x，2，解得x2即f(log2x)的定義域為

　　12，4

　　2，4

　　（二）同步練習：

　　21、已知函數f(x)的定義域為[0,1]，求函數f(x)的定義域。

　　答案：[1,1]

　　2、已知函數f(32x)的定義域為[3,3]，求f(x)的定義域。

　　答案：[3,9]

　　3、已知函數yf(x2)的定義域為(1,0)，求f(|2x1|)的定義域。

　　(12,0)(1,3)答案：

　　4、設fxlg2xx2，則ff的定義域為（）

　　2x2xA.4,00,4B.4,11,4C.2,11,2D.4,22,4

　　x22,2x20得，f(x)的定義域為x|2x2。故解：選C.由，解得2x222.xx2x4,11,4。故ff的定義域為4,11,4

　　2x5、已知函數f(x)的定義域為x(［解析］由已知，有1ax3,13x,)，求g(x)f(ax)f()(a0)的定義域。22a221x3,2a212x32112aa2x3232aa.,

　　x（1）當a1時，定義域為{x|（2）當

　　32a32}；a2a，即0a1時，有a2x32a}；

　　12a2a，

　　定義域為{x|（3）當

　　32a32a，即a1時，有1x32a}.12aa2a2，

　　定義域為{x|2a故當a1時，定義域為{x|xx32a32}；

　　當0a1時，定義域為{x|a}.

　　［點評］對于含有參數的函數，求其定義域，必須對字母進行討論，要注意思考討論字母的方法。

　　三、復合函數單調性問題

　　證明：在區間(a,b）內任取兩個數x1,x2，使ax1x2b

　　因為ug(x)在區間(a,b）上是減函數，所以g(x1)g(x2),記u1g(x1),

　　u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)

　　因為函數yf(u)在區間(c,d)上是減函數，所以f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2))，

　　故函數yf(g(x))在區間(a,b）上是增函數.（2）．復合函數單調性的判斷

　　復合函數的單調性是由兩個函數共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結成一個圖表：

　　將復合函數分解成兩個簡單函數：yf(u)與ug(x)。分別確定分解成的兩個函數的單調性；

　　（4）例題演練例1、求函數ylog212(x2x3)的單調區間，并用單調定義給予證明2解：定義域x2x30x3或x1

　　單調減區間是(3,)設x1,x2(3,)且x1x2則

　　y1log2(x12x13)y2log122(x22x23)122(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)

　　2∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底數0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是減函數22121

　　同理可證：y在(,1)上是增函數［例］2、討論函數f(x)loga(3x22x1)的單調性.［解］由3x22x10得函數的定義域為

　　1{x|x1,或x}.

　　3則當a1時，若x1，∵u3x22x1為增函數，∴f(x)loga(3x22x1)為增函數.

　　若x13，∵u3x22x1為減函數.

　　∴f(x)loga(3x22x1)為減函數。

　　當0a1時，若x1，則f(x)loga(3x22x1)為減函數，若xf(x)loga(3x22x1)為增函數.

　　13，則

　　例3、.已知y=loga(2-a)在［0，1］上是x的減函數，求a的取值范圍.解：∵a＞0且a≠1

　　當a＞1時，函數t=2-a>0是減函數

　　由y=loga(2-a)在［0，1］上x的減函數，知y=logat是增函數，∴a＞1

　　由x［0，1］時，2-a2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2

　　當0例4、已知函數f(x2)ax2(a3)xa2（a為負整數）的圖象經過點

　　(m2,0),mR，設g(x)f[f(x)],F(x)pg(x)f(x).問是否存在實數p(p0)使得

　　F(x)在區間(,f(2)]上是減函數，且在區間(f(2),0)上是減函數？并證明你的結論。

　　［解析］由已知f(m2)0，得am2(a3)ma20，其中mR,a0.∴0即3a22a90，解得

　　1273a1273.

　　∵a為負整數，∴a1.

　　∴f(x2)x4x3(x2)21，

　　2242即f(x)x21.g(x)f[f(x)](x1)1x2x，

　　∴F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x21.

　　假設存在實數p(p0)，使得F(x)滿足條件，設x1x2，

　　22)[p(x12x2)2p1].∴F(x1)F(x2)(x12x2∵f(2)3，當x1,x2(,3)時，F(x)為減函數，

　　220,p(x12x2)2p10.∴F(x1)F(x2)0，∴x12x2218,∵x13,x23,∴x12x22)2p116p1,∴p(x12x2∴16p10.①

　　當x1,x2(3,0)時,F(x)增函數,∴F(x1)F(x2)0.

　　220,∴p(x12x2)2p116p1,∵x12x2∴16p10.由①、②可知p116②

　　，故存在p116.

　　（5）同步練習：

　　1．函數y＝logA．（－∞，1）C．（－∞，

　　3212（x2－3x＋2）的單調遞減區間是（）

　　B．（2，＋∞）D．（

　　32），＋∞）

　　解析：先求函數定義域為（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數t（x）

　　在（－∞，1）上單調遞減，在（2，＋∞）上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，函數y＝log12（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調遞減．

　　答案：B

　　2找出下列函數的單調區間.

　　（1）yax（2）y223x2(a1)；.

　　x22x3答案：(1)在(,]上是增函數，在[,)上是減函數。

　　2233（2）單調增區間是[1,1]，減區間是[1,3]。

　　3、討論yloga(a1),(a0,且a0)的單調性。

　　答案：a1,時(0,)為增函數，1a0時，(,0)為增函數。4．求函數y＝log13x（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調區間．

　　解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函數的值域是R．因

　　＋＋

　　為函數y＝log13（x2－5x＋4）是由y＝log13（x）與（x）＝x2－5x＋4復合而成，函

　　52數y＝log13（x）在其定義域上是單調遞減的，函數（x）＝x2－5x＋4在（－∞，

　　）

　　上為減函數，在［

　　52，＋∞］上為增函數．考慮到函數的定義域及復合函數單調性，y＝log13（x2－5x＋4）的增區間是定義域內使y＝log13（x）為減函數、（x）＝x2－5x＋4也

　　為減函數的區間，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的減區間是定義域內使y＝log313（x）為減函數、（x）＝x2－5x＋4為增函數的區間，即（4，＋∞）．

　　變式練習一、選擇題

　　1．函數f（x）＝log

　　A．（1，＋∞）C．（－∞，2）

　　12(x－1)的定義域是（）

　　B．（2，＋∞）

　　2]D．(1，解析：要保證真數大于0，還要保證偶次根式下的式子大于等于0，

　　x－1＞0所以log(x－1)120解得1＜x≤2．

　　答案：D2．函數y＝log

　　12（x2－3x＋2）的單調遞減區間是（）

　　B．（2，＋∞）D．（

　　32A．（－∞，1）C．（－∞，

　　32），＋∞）

　　解析：先求函數定義域為（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函數t（x）在（－∞，1）上單調遞減，在（2，＋∞）上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，函數y＝log12（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上單調遞減．

　　答案：B

　　3．若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，則

　　A．4

　　yx的值為（）B．1或D．

　　1414

　　C．1或4

　　yx錯解：由2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，則有

　　14＝或

　　xy＝1．

　　答案：選B

　　正解：上述解法忽略了真數大于0這個條件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．答案：D

　　4．若定義在區間（－1，0）內的函數f（x）＝log的取值范圍為（）

　　A．（0，C．（

　　12122a（x＋1）滿足f（x）＞0，則a

　　）

　　B．（0，1）D．（0，＋∞）

　　，＋∞）

　　解析：因為x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．當f（x）＞0時，根據圖象只有0＜

　　2a＜l，解得0＜a＜答案：A

　　12（根據本節思維過程中第四條提到的性質）．

　　5．函數y＝lg（

　　21－x－1）的圖象關于（）

　　1＋x1－xA．y軸對稱C．原點對稱

　　21－x

　　B．x軸對稱D．直線y＝x對稱

　　1＋x1－x解析：y＝lg（

　　－1）＝lg，所以為奇函數．形如y＝lg或y＝lg1＋x1－x的函數都為奇函數．答案：C二、填空題

　　已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的減函數，則a的取值范圍是__________．解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是減函數，要使y＝loga（2－ax）是減函數，則a＞1，又2－ax＞0a＜答案：a∈（1，2）

　　7．函數f（x）的圖象與g（x）＝（的單調遞減區間為______．

　　解析：因為f（x）與g（x）互為反函數，所以f（x）＝log則f（2x－x2）＝log132x（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．

　　13）的圖象關于直線y＝x對稱，則f（2x－x2）

　　13（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．

　　（x）＝2x－x2在（0，1）上單調遞增，則f［（x）］在（0，1）上單調遞減；（x）＝2x－x2在（1，2）上單調遞減，則f［（x）］在［1，2）上單調遞增．所以f（2x－x2）的單調遞減區間為（0，1）．答案：（0，1）

　　8．已知定義域為R的偶函數f（x）在［0，＋∞］上是增函數，且f（則不等式f（log4x）＞0的解集是______．解析：因為f（x）是偶函數，所以f（－

　　1212）＝0，

　　）＝f（

　　12）＝0．又f（x）在［0，＋∞］

　　12上是增函數，所以f（x）在（－∞，0）上是減函數．所以f（log4x）＞0log4x＞

　　或log4x＜－

　　12．

　　12解得x＞2或0＜x＜

　　．

　　12答案：x＞2或0＜x＜三、解答題9．求函數y＝log13

　　（x2－5x＋4）的定義域、值域和單調區間．

　　解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），當x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函數的值域是R

　　＋＋

　　．因為函數y＝log1（x2－5x＋4）是由y＝log313（x）與（x）＝x2－5x＋4復合而成，

　　52函數y＝log13（x）在其定義域上是單調遞減的，函數（x）＝x2－5x＋4在（－∞，

　　）

　　上為減函數，在［

　　52，＋∞］上為增函數．考慮到函數的定義域及復合函數單調性，y＝log13（x2－5x＋4）的增區間是定義域內使y＝log13（x）為減函數、（x）＝x2－5x＋4也

　　為減函數的區間，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的減區間是定義域內使y＝log313（x）為減函數、（x）＝x2－5x＋4為增函數的區間，即（4，＋∞）．10．設函數f（x）＝

　　23x＋5＋lg3－2x3＋2x，

　　（1）求函數f（x）的定義域；

　　（2）判斷函數f（x）的單調性，并給出證明；

　　（3）已知函數f（x）的反函數f1（x），問函數y＝f1（x）的圖象與x軸有交點嗎?

　　－－

　　若有，求出交點坐標；若無交點，說明理由．解：（1）由3x＋5≠0且＜

　　323－2x3＋2x＞0，解得x≠－

　　53且－

　　32＜x＜

　　32．取交集得－

　　32＜x

　　．

　　2（2）令（x）＝

　　3－2x3＋2x＝－1＋

　　3x＋56，隨著x增大，函數值減小，所以在定義域內是減函數；

　　3＋2x隨著x增大，函數值減小，所以在定義域內是減函數．

　　又y＝lgx在定義域內是增函數，根據復合單調性可知，y＝lg（x）＝

　　23x＋53－2x3＋2x是減函數，所以f

　　＋lg3－2x3＋2x是減函數．

　　（3）因為直接求f（x）的反函數非常復雜且不易求出，于是利用函數與其反函數之間定義域與值域的關系求解．

　　設函數f（x）的反函數f1（x）與工軸的交點為（x0，0）．根據函數與反函數之間定義

　　－

　　域與值域的關系可知，f（x）與y軸的交點是（0，x0），將（0，x0）代入f（x），解得x0＝

　　一．指數函數與對數函數

　　．同底的指數函數yax與對數函數ylogax互為反函數；

　　（二）主要方法：

　　1．解決與對數函數有關的問題，要特別重視定義域；

　　2．指數函數、對數函數的單調性決定于底數大于1還是小于1，要注意對底數的討論；3．比較幾個數的大小的常用方法有：①以0和1為橋梁；②利用函數的單調性；③作差．（三）例題分析：

　　2例1．（1）若aba1，則logbxyz（2）若23525．所以函數y＝f1（x）的圖象與x軸有交點，交點為（

　　－

　　25，0）。

　　ba，logba，logab從小到大依次為；

　　z都是正數，，且x，則2x，y，3y，5z從小到大依次為；

　　xx（3）設x0，且ab1（a0，b0），則a與b的大小關系是（）

　　（A）ba1（B）ab1（C）1ba（D）1ab

　　2解：（1）由aba1得

　　baa，故logbbxyz（2）令235t，則t1，xalgtlogba1logab．

　　lg2，ylgtlg3，zlgtlg5，

　　∴2x3y2lgtlg23lgtlg3lgt(lg9lg8)lg2lg30，∴2x3y；

　　同理可得：2x5z0，∴2x5z，∴3y2x5z．（3）取x1，知選（B）．例2．已知函數f(x)ax(a1)，

　　x1求證：（1）函數f(x)在(1,)上為增函數；（2）方程f(x)0沒有負數根．

　　x2證明：（1）設1x1x2，則f(x1)f(x2)aax1x12x11x2ax2x22x21

　　ax1x1ax12x11x22x21ax23(x1x2)(x11)(x21)，

　　∵1x1x2，∴x110，x210，x1x20，∴

　　3(x1x2)(x11)(x21)0；

　　∵1x1x2，且a1，∴ax1ax2，∴aax1x20，

　　∴f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函數f(x)在(1,)上為增函數；（2）假設x0是方程f(x)0的負數根，且x01，則a即ax0x0x02x010，

　　2x0x013(x01)x013x011，①3x013，∴

　　3x0112，而由a1知ax0當1x00時，0x011，∴∴①式不成立；

　　當x01時，x010，∴

　　3x011，

　　0，∴

　　3x0111，而ax00，

　　∴①式不成立．

　　綜上所述，方程f(x)0沒有負數根．

　　例3．已知函數f(x)loga(ax1)（a0且a1）．求證：（1）函數f(x)的圖象在y軸的一側；

　　（2）函數f(x)圖象上任意兩點連線的斜率都大于0．

　　證明：（1）由a10得：a1，

　　∴當a1時，x0，即函數f(x)的定義域為(0,)，此時函數f(x)的圖象在y軸的右側；

　　當0a1時，x0，即函數f(x)的定義域為(,0)，此時函數f(x)的圖象在y軸的左側．

　　∴函數f(x)的圖象在y軸的一側；

　　（2）設A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數f(x)圖象上任意兩點，且x1x2，則直線AB的斜率ky1y2x1x2x1x2xx，y1y2loga(a1)loga(ax1x1x21)logax2aa11，

　　當a1時，由（1）知0x1x2，∴1a∴0aax1x2ax2，∴0a1ax11，

　　111，∴y1y20，又x1x20，∴k0；

　　x1當0a1時，由（1）知x1x20，∴a∴

　　ax1x2ax21，∴ax11ax210，

　　1，∴y1y20，又x1x20，∴k0．1∴函數f(x)圖象上任意兩點連線的斜率都大于0．

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