華師大版數學九年級下冊《圓》知識點總結

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華師大版數學九年級下冊《圓》知識點總結

　　總結是在某一時期、某一項目或某些工作告一段落或者全部完成后進行回顧檢查、分析評價，從而得出教訓和一些規律性認識的一種書面材料，通過它可以全面地、系統地了解以往的學習和工作情況，因此，讓我們寫一份總結吧。你所見過的總結應該是什么樣的？下面是小編整理的華師大版數學九年級下冊《圓》知識點總結，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。

華師大版數學九年級下冊《圓》知識點總結

華師大版數學九年級下冊《圓》知識點總結1

　　圓

　　1．圓的認識

　　（1）當一條線段OA繞著它的一個端點O在平面內旋轉一周時，它的另一個端點A的軌跡叫做圓。或到一個定點的距離等于定長的點的集合。這個以點O為圓心的圓叫作“圓O”，記為“⊙O”。（2）線段OA、OB、OC都是圓的半徑，線段AC為直徑。

　　（3）連結圓上任意兩點之間的線段叫做弦如線段AB、BC、AC都是圓O中的弦。

　　、BAC其中像弧BC這樣（4）圓上任意兩點間的部分叫做弧。如曲線BC、BAC都是圓中的弧，分別記作BC，這樣的大于半圓周的圓弧叫做優弧。小于半圓周的圓叫做劣弧。像弧BAC（3）圓心角：頂點在圓心，兩邊與圓相交的角叫做圓心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圓心角。2．圓的對稱性

　　（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等。在同圓或等圓中，如果弦相等，那么所對的圓心角、所對的弧相等。

　　在同圓或等圓中，如果弧相等，那么所對的圓心角，所對的弦相等。（2）圓是軸對稱圖形，它的任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。3．垂徑定理

　　垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

　　推論：平分弦的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對的弧；平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦。4．圓周角

　　（1）圓周角：頂點在圓上，兩邊與圓相交的角叫做圓周角。（2）半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°（直角）。

　　90°的圓周角所對的弦是圓的直徑。

　　（3）同圓或等圓中，一條弧所對的任意一個圓周角的大小都等于該弧所對的圓心角的一半。（4）同弧（或等弧）所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧相等。5．點與圓的位置關系

　　設⊙O的半徑為r，點圓心O的距離為d，則（1）點在圓外dr（2）點在圓上dr（3）點在圓內dr6．（1）過一點可以畫無數個圓；

　　過兩點可以畫無數個圓，圓心在兩點連線的垂直平分線上；過不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓。

　　（2）三角形的外接圓：經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心。這個三角形叫做這個圓的內接三角形。三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點。（3）一個三角形的外接圓是唯一的。7．直線與圓的位置關系

　　（1）如果一條直線與一個圓沒有公共點，那么就說這條直線與這個圓相離。

　　（2）如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么就說這條直線與這個圓相切。此時這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點．

　　（3）如果一條直線與一個圓有兩個公共點，那么就說這條直線與這個圓相交，此時這條直線叫做圓的割線．

　　如上圖，設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，從圖中可以看出：若dr直線l與⊙O相離；若dr直線l與⊙O相切；若dr直線l與⊙O相交；8．切線

　　（1）判定定理：經過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。

　　推論：1）經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點。2）經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。（3）切線長：把切線上某一點與切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。

　　性質：從圓外一點可以引圓的兩條切線，切線長相等。這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角。（4）三角形的內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓。三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心。這個三角形叫做這個圓的外切三角形，三角形的內心就是三角形三條角平分線的交點。9．圓和圓的位置關系

　　1）兩個圓沒有公共點，那么就說兩個圓相離，其中（1）又叫做外離，（2）、（3）又叫做內含。（3）中兩圓的圓心相同，這兩個圓還可以叫做同心圓。

　　2）如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，如（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做內切。

　　3）如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交，如（6）所示。

　　（1）兩圓外離dRr；（2）兩圓外切dRr；（3）兩圓外離RrdRr；（4）兩圓外離dRr；

　　10．圓中的計算問題（1）弧長的計算公式為：l（5）兩圓外離0dRrnr180（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形。

　　nr21lr扇形面積的計算公式：S3602（3）圓錐的母線：把圓錐底面圓周上的任意一點與圓錐頂點的連線叫做圓錐的母線。

　　圓錐的高：連結頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高，如圖中a，而h就是圓錐的高。

　　（4）圓錐的底面周長就是其側面展開圖扇形的弧長，圓錐的母線就是其側面展開圖扇形的半徑。

　　圓錐的側面積就是弧長為圓錐底面的周長、半徑為圓錐的一條母線的長的扇形面積，而圓錐的全面積就是它的側面積與它的底面積的和。

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　　第一章直角三角形邊的關系

　　1、正切：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，

　　即tanA=∠A的對邊/∠A的鄰邊。

　　①tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切，記號里習慣省去角的符號“∠”；②tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與鄰邊的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；

　　④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（P1-6,11、P3-6、P4-12）2、正弦：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，

　　即sinA=∠A的對邊/斜邊；

　　3、余弦：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，

　　即cosA=∠A的鄰邊/斜邊；4、余切：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作cotA，

　　即cotA=∠A的鄰邊/∠A的對邊；5、一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我們稱正弦、余弦互為余函數。同樣，也稱正切、余切互為余函數，可以概括為：一個銳角的三角函數等于它的余角的余函數）用等式表達：

　　若∠A為銳角，則①sinA=cos(90°∠A）等等。6、記住特殊角的三角函數值表0°，30°，45°，60°，90°。（P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3）

　　1題6：計算：212103+

　　cot45cos60cos30tan60

　　7、當角度在0°～90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。同角的三角函數間的關系：

　　tαnαcotα=1，tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα，sin2α+cos2α=1

　　8、在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：（1）三邊之間的關系：a2+b2=c2；（2)兩銳角的關系：∠A＋∠B=90°；（3)邊與角之間的關系：sinα等；（4）面積公式；

　　（5）直角三角形△ABC內接圓⊙O的半徑為(a+b-c)/2；

　　（6）直角三角形△ABC外接圓⊙O的半徑為c/2。（P18-13、P16-例5、P19-15）

　　題7：小紅的運動服被一個鐵釘劃破一個呈直角三角形的洞，其中兩邊分別為1cm和2cm，若用同色形布將此洞全部遮蓋，那么這個圓的直徑最小應等于()。

　　A．2cm

　　B．3cmC．2cm或3cm

　　D．2cm或5cm

　　題8：長為12cm的鐵絲，圍成邊長為連續整數的直角三角形，則斜邊上的中線為________cm。

　　題9：如圖2，河對岸有鐵塔AB．在C處測得塔頂A的仰角為30°，向塔前進14米到達D，在D處測得A的仰角為45°，求鐵塔AB的高。

　　圖2

　　題10：已知：四邊形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，AB＝2、CD＝1、∠A＝60°，求：BC。

　　圖3

　　第二章二次函數

　　1、定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數，a0)，那么y叫做x的二次函數。自變量的取值范圍是全體實數。2、二次函數yax2的性質：

　　（1）拋物線yax2的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸；（2）函數yax2的圖像與a的符號關系：

　　①當a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；

　　②當a0時拋物線開口向下頂點為其最高點。

　　（3）頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax2（a0）。（P21-12）3、二次函數yax2bxc的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線。4、二次函數yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，

　　222a4a5、二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

　　其中hb，k4acb2。

　　①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc。

　　222226、拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點。

　　①a的符號決定拋物線的開口方向：當a0時，開口向上；當a0時，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同。

　　②平行于y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0。（P23-9,10）7、頂點決定拋物線的位置。幾個不同的二次函數，如果二次項系數a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同。8、求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：yax軸是直線xb2a2b4acbbxcax2a4a224acb（，），對稱，∴頂點是

　　2a4ab2。（P26-9）

　　2（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是直線xh。

　　（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點。

　　注意：用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失。題11：拋物線y＝x2＋6x＋4的頂點坐標是()A．(3，-5)B．(-3，-5)C．(3，5)D．(-3，5)9、拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用（P29-例2,1,10）（1）a決定開口方向及開口大小，這與yax2中的a完全一樣。

　　（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置。由于拋物線yax2bxc的對稱軸是直線。

　　xb2aba，故：①b0時，對稱軸為y軸；②

　　ba0（即a、b同號）時，對稱軸在y軸

　　左側；③0（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側。

　　（3）c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點的位置。

　　當x0時，yc，∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個交點（0，c）：

　　①c0，拋物線經過原點；②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負半軸。以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則10、幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：

　　函數解析式開口方向yaxyax22ba0。

　　對稱軸x0（y軸）x0（y軸）xhxhxb2a頂點坐標（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)k2yaxhyaxhk2當a0時開口向上當a0時開口向下yax2bxc4acb(，2a4ab2)

　　11、用待定系數法求二次函數的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）

　　2（1）一般式：yaxbxc。已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式。（2）頂點式：yaxhk.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式。

　　2（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2。題12：已知關于x的一元二次方程x2-2(m-1)x＋(m2-1)＝0，有兩個實數根x1、x2，且x12＋x22＝4．求

　　m的值。

　　題13：先化簡，再求值：

　　題14：在平面直角坐標系中，B(3＋1，0)，點A在第一象限內，且∠AOB＝60°，∠ABO＝45°。(1)求點A的坐標；

　　(2)求過A、O、B三點的拋物線解析式；

　　(3)動點P從O點出發，以每秒2個單位的速度沿OA運動到點A止，①若△POB的面積為S，寫出S與時間t(秒)的函數關系；②是否存在t，使△POB的外心在x軸上，若不存在，請你說明理由；若存在，請求出t的值。

　　2x5x63x3x23211，其中x＝3

　　x1x

　　圖4

　　12、直線與拋物線的交點（P47-5、P48-10,14）（1）y軸與拋物線yax2bxc得交點為(0,c)。

　　（2）與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(h,ah（3）拋物線與x軸的交點。

　　ax22bhc)。

　　二次函數yax2bxc的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應一元二次方程拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式bxc0的兩個實數根。

　　判定：

　　①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

　　②有一個交點（頂點在x軸上）0拋物線與x軸相切；③沒有交點0拋物線與x軸相離。（4）平行于x軸的.直線與拋物線的交點：

　　同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點。當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k，則橫坐標是ax2bxck的兩個實數根。

　　（5）一次函數ykxnk0的圖像l與二次函數yax2bxca0的圖像G的交點，

　　由方程組ykxnyaxbxc2的解的數目來確定：

　　①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點；②方程組只有一組解時l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點。（6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：

　　2若拋物線yaxbxc與x軸兩交點為Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程

　　axbxc0的兩個根，故：

　　bcx1x2,x1x2aa2ABx1x2x1x22x1x224x1x24cbaa2b4aca2a

　　第三章圓

　　1、定義：圓是平面上到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；

　　②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。

　　2、點與圓的位置關系及其數量特征：如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則：

　　①點在圓上d=r；②點在圓內dr。（P56-5，6、P58-16）

　　證明若干個點共圓，就是證明這幾個點與一個定點的距離相等。

　　3、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心。直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸。（P58-4、P59-9、P61-3、P63-16、P65-15）

　　4、與圓相關的概念：

　　①弦和直徑。弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。直徑：經過圓心的弦叫做直徑。

　　②圓弧、半圓、優弧、劣弧。圓弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“⌒”表示，半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優弧：大于半圓的弧叫做優弧。劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區別優弧和劣弧，優弧用三個字母表示。)③弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。

　　④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。

　　⑤等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。

　　⑥等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。⑦圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。⑦弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

　　5、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

　　推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

　　說明：根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧。

　　6、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，

　　那么它們所對應的其余各組量都分別相等。7、1°的弧的概念：把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的角都是1°的圓心角，相應的整個

　　圓也被等分成360份，每一份同樣的弧叫1°弧。圓心角的度數和它所對的弧的度數相等。8、圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

　　推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；（P66-5，7、P68-16）9、確定圓的條件：

　　①理解確定一個圓必須的具備兩個條件：圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小。經過一點可以作無數個圓，經過兩點也可以作無數個圓，其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上。②經過三點作圓要分兩種情況：(1)經過同一直線上的三點不能作圓。(2)經過不在同一直線上的三點，能且僅能作一個圓。定理：不在同一直線上的三個點確定一個圓。

　　10、(1)三角形的外接圓和圓的內接三角形：經過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓，這個三角形叫做圓的內接三角形。（P69-4,5、P70-15）

　　(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心。(3)三角形的外心的性質：三角形外心到三頂點的距離相等。

　　11、直線和圓的位置關系：（P72-3,5）

　　(1)相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線。

　　(2)相切：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點做切點。

　　(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。

　　(4)直線與圓的位置關系的數量特征：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，則

　　①dr直線L和⊙O相離。

　　12、切線的總判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線。

　　切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點。

　　推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。

　　結論：如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個。

　　①垂直于切線；②過切點；③過圓心。（P73-13、P74-3、P75-14）

　　13、和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。

　　三角形內心的性質：(1)三角形的內心到三邊的距離相等。(2)過三角形頂點和內心的射線平分三角形的內角。由此性質引出一條重要的輔助線：連接內心和三角形的頂點，該線平分三角形的這個內角。（P77-2、P78-14）

　　題15：如圖，PA是⊙O的切線，割線PBC與⊙O相交于點B、C，PA＝6、PB＝4則BC＝________．的值為________。

　　ABAC

　　圖5

　　14、兩圓的位置關系：（P79-6、P81-13）

　　(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離。(2)外切：兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切。這個惟一的公共點叫做切點。

　　(3)相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這個兩個圓相交。

　　(4)內切：兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切。這個惟一的公共點叫做切點。

　　(5)內含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含。兩圓同心是兩圓內的一個特例。

　　(6)兩圓位置關系的性質與判定：(1)兩圓外離d>R+r；(2)兩圓外切d=R+r；(3)兩圓相交R-r的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點。如果設圓錐底面半徑為r，側面母線長(扇形半徑)是l，底面圓周長(扇形弧長)為c，那么它的側面積是：S=cl/2=2πrl/3=πrl。總面積=側面積+底面積。（P87-7，9，11）

　　題17：圓柱的高為10cm,底面半徑為6cm，則該圓柱的側面積為。

　　17、若四邊形的四個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內接四邊形，這個圓叫做這個四邊形的外接圓。圓內接四邊形的特征：①圓內接四邊形的對角互補；②圓內接四邊形任意一個外角等于它的內錯角。

　　18、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

　　19、和圓有關的比例線段：

　　①相交弦定理：圓內的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等；

　　②推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。20、切割線定理：

　　①從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項；②推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。21、兩圓連心線的性質：

　　①如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，或者說，連心線過切點。②如果兩圓相交，那么連心線垂直平分兩圓的公共弦。（P91-7、P92-14）

　　第四章統計與概率（P94-10、P97-7、P100-7,8）

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