高三數學總復習計劃

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　　第十一章算法初步

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　　高考導航

　　考試要求重難點擊命題展望

　　1.了解算法的含義，了解算法的思想.

　　2.理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構.

　　3.理解幾種基本算法語句輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句的含義.

　　4.了解幾個古代的算法案例，能用輾轉相除法及更相減損術求最大公約數;用秦九韶算法求多項式的值;了解進位制，會進行不同進位制之間的轉化. 本章重點：1.算法的三種基本邏輯結構即順序結構、條件結構和循環結構;2.輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句(兩種形式)的結構、作用與功能及各種語句的格式要求.

　　本章難點：1.用自然語言表示算法和運用程序框圖表示算法;2.用算法的基本思想編寫程序解決簡單問題.弄清三種基本邏輯結構的區別，把握程序語言中所包含的一些基本語句結構 . 算法初步作為數學新增部分，在高考中一定會體現出它的重要性和實用性.

　　高考中將重點考查對變量賦值的理解和掌握、對條件結構和循環結構的靈活運用，學會根據要求畫出程序框圖;預計高考中，將考查程序框圖、循環結構和算法思想，并結合函數與數列考查邏輯思維能力.因此算法知識與其他知識的結合將是高考的重點，這也恰恰體現了算法的普遍性、工具性，當然難度不會太大，重在考查算法的概念及其思想.

　　1.以選擇題、填空題為主，重點考查算法的含義、程序框圖、基本算法語句以及算法案例等內容.

　　2.解答題中可要求學生設計一個計算的程序并畫出程序框圖，能很好地考查學生分析問題、解決問題的能力.

　　知識網絡

　　11.1 算法的含義與程序框圖

　　典例精析

　　題型一算法的含義

　　【例1】已知球的表面積是16，要求球的體積，寫出解決該問題的一個算法.

　　【解析】算法如下：

　　第一步，s=16.

　　第二步，計算R=s4.

　　第三步，計算V=4R33.

　　第四步，輸出V.

　　【點撥】給出一個問題，設計算法應該注意：

　　(1)認真分析問題，聯系解決此問題的一般數學方法，此問題涉及到的各種情況;

　　(2)將此問題分成若干個步驟;

　　(3)用簡練的語句將各步表述出來.

　　【變式訓練1】設計一個計算 135791113的算法.圖中給出程序的一部分，則在橫線①上不能填入的數是()

　　A.13

　　B.13.5

　　C.14

　　D.14.5

　　【解析】當I13成立時，只能運算

　　1357911.故選A.

　　題型二程序框圖

　　【例2】圖一是某縣參加2010年高考的學生身高條形統計圖，從左到右的各條形表示的學生人數依次記為A1，A2，，A10(如A2表示身高(單位：cm)在[150,155)內的學生人數).圖二是統計圖一中身高在一定范圍內學生人數的一個算法流程圖.現要統計身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的學生人數，那么在流程圖中的判斷框內應填寫的條件是()

　　A.i6? B.i7? C.i8? D.i9?

　　圖一

　　【解析】根據題意可知，i的初始值為4，輸出結果應該是A4+A5+A6+A7，因此判斷框中應填寫i8?，選C.

　　【點撥】本題的命題角度較為新穎，信息量較大，以條形統計圖為知識點進行鋪墊，介紹了算法流程圖中各個數據的引入來源，其考查點集中于循環結構的終止條件的判斷，考查了學生合理地進行推理與迅速作出判斷的解題能力，解本題的過程中不少考生誤選A，實質上本題中的數據并不大，考生完全可以直接從頭開始限次按流程圖循環觀察，依次寫出每次循環后的變量的賦值，即可得解.

　　【變式訓練2】(2009遼寧)某店一個月的收入和支出，總共記錄了 N個數據a1，a2，，aN.其中收入記為正數，支出記為負數，該店用如圖所示的程序框圖計算月總收入S和月凈盈利V，那么在圖中空白的判斷框和處理框中，應分別填入下列四個選項中的()

　　A.A0?，V=S-T

　　B.A0?，V=S-T

　　C.A0?，V=S+T

　　D.A0?，V=S+T

　　【解析】選C.

　　題型三算法的條件結構

　　【例3】某快遞公司規定甲、乙兩地之間物品的托運費用根據下列方法計算：

　　其中f(單位：元)為托運費，為托運物品的重量(單位：千克)，試寫出一個計算費用f的算法，并畫出相應的程序框圖.

　　【解析】算法如下：

　　第一步，輸入物品重量.

　　第二步，如果50，那么f=0.53，

　　否則，f=500.53+(-50)0.85.

　　第三步，輸出托運費f.

　　程序框圖如圖所示.

　　【點撥】求分段函數值的算法應用到條件結構，因此在程序框圖的畫法中需要引入判斷框，要根據題目的要求引入判斷框的個數，而判斷框內的條件不同，對應的框圖中的內容或操作就相應地進行變化.

　　【變式訓練3】(2010天津)閱讀如圖的程序框圖，若輸出s的值為-7，則判斷框內可填寫()

　　A.i3?

　　B.i4?

　　C.i5?

　　D.i6?

　　【解析】i=1，s=2-1=1;

　　i=3，s=1-3=-2;

　　i=5，s=-2-5=-7.所以選D.

　　題型四算法的循環結構

　　【例4】設計一個計算10個數的平均數的算法，并畫出程序框圖.

　　【解析】算法步驟如下：

　　第一步，令S=0.

　　第二步，令I=1.

　　第三步，輸入一個數G.

　　第四步，令S=S+G.

　　第五步，令I=I+1.

　　第六步，若I10，轉到第七步，

　　若I10，轉到第三步.

　　第七步，令A=S/10.

　　第八步，輸出A.

　　據上述算法步驟，程序框圖如圖.

　　【點撥】(1)引入變量S作為累加變量，引入I為計數變量，對于這種多個數據的處理問題，可通過循環結構來達到;(2)計數變量用于記錄循環次數，同時它的取值還用于判斷循環是否終止，累加變量用于輸出結果.

　　【變式訓練4】設計一個求12310的程序框圖.

　　【解析】程序框圖如下面的圖一或圖二.

　　圖一圖二

　　總結提高

　　1.給出一個問題，設計算法時應注意：

　　(1)認真分析問題，聯系解決此問題的一般數學方法;

　　(2)綜合考慮此類問題中可能涉及的各種情況;

　　(3)借助有關的變量或參數對算法加以表述;

　　(4)將解決問題的過程劃分為若干個步驟;

　　(5)用簡練的語言將各個步驟表示出來.

　　2.循環結構有兩種形式，即當型和直到型，這兩種形式的循環結構在執行流程上有所不同，當型循環是當條件滿足時執行循環體，不滿足時退出循環體;而直到型循環則是當條件不滿足時執行循環體，滿足時退出循環體.所以判斷框內的條件，是由兩種循環語句確定的，不得隨便更改.

　　3.條件結構主要用在一些需要依據條件進行判斷的算法中.如分段函數的求值，數據的大小關系等問題的算法設計.

　　11.2 基本算法語句

　　典例精析

　　題型一輸入、輸出與賦值語句的應用

　　【例1】閱讀程序框圖(如下圖)，若輸入m=4，n=6，則輸出a= ，i= .

　　【解析】a=12，i=3.

　　【點撥】賦值語句是一種重要的基本語句，也是程序必不可少的`重要組成部分，使用賦值語句，要注意其格式要求.

　　【變式訓練1】(2010陜西)如圖是求樣本x1，x2，，x10的平均數的程序框圖，則圖中空白框中應填入的內容為()

　　A.S=S+xn B.S= S+xnn C.S=S+n D.S=S+ 1n

　　【解析】因為此步為求和，顯然為S=S+xn，故選A.

　　題型二循環語句的應用

　　【例2】設計算法求112+123+134++199100的值.要求畫出程序框圖，寫出用基本語句編寫的程序.

　　【解析】這是一個累加求和問題，共99項相加，可設計一個計數變量，一個累加變量，用循環結構實現這一算法.程序框圖如下圖所示：

　　程序如下：

　　s=0

　　k=1

　　s=s+1/(k* (k+1))

　　k=k+1

　　LOOP UNTIL k99

　　PRINT s

　　END

　　【點撥】(1)在用WHILE語句和UNTIL語句編寫程序解決問題時，一定要注意格式和條件的表述方法，WHILE語句是當條件滿足時執行循環體，UNTIL語句是當條件不滿足時執行循環體.

　　(2)在解決一些需要反復執行的運算任務，如累加求和、累乘求積等問題中應注意考慮利用循環語句來實現.

　　(3)在循環語句中，也可以嵌套條件語句，甚至是循環語句，此時需要注意嵌套的這些語句，保證語句的完整性，否則就會造成程序無法執行.

　　【變式訓練2】下圖是輸出某個有限數列各項的程序框圖，則該框圖所輸出的最后一個數據是.

　　【解析】由程序框圖可知，當N=1時，A=1;N=2時，A=13;N=3時，A=15，，即輸出各個A值的分母是以1為首項以2為公差的等差數列，故當N=50時，A=11+(50-1)2=199，即為框圖最后輸出的一個數據.故填199.

　　題型三算法語句的實際應用

　　【例3】某電信部門規定：撥打市內電話時，如果通話時間3分鐘以內，收取通話費0.2元，如果通話時間超過3分鐘，則超過部分以每分鐘0.1元收取通話費(通話不足1分鐘時按1分鐘計算).試設計一個計算通話費用的算法，要求寫出算法，編寫程序.

　　【解析】我們用c(單位：元)表示通話費，t(單位：分鐘)表示通話時間，

　　則依題意有

　　算法步驟如下：

　　第一步，輸入通話時間t.

　　第二步，如果t3，那么c=0.2;否則c=0.2+0.1[t-2].

　　第三步，輸出通話費用c.

　　程序如下：

　　INPUT t

　　IF t3 THEN

　　c=0.2

　　ELSE

　　c=0.2+0.1*INT(t-2)

　　END IF

　　PRINT c

　　END

　　【點撥】在解決實際問題時，要正確理解其中的算法思想，根據題目寫出其關系式，再寫出相應的算法步驟，畫出程序框圖，最后準確地編寫出程序，同時要注意結合題意加深對算法的理解.

　　【變式訓練3】(2010江蘇)下圖是一個算法流程圖，則輸出S的值是.

　　【解析】n=1時，S=3;n=2時，S=3+4=7;n=3時，S=7+8=15;n=4時，S=15+24=31;n=5時，S=31+25=63.因為6333，所以輸出的S值為63.

　　總結提高

　　1.輸入、輸出語句可以設計提示信息，加引號表示出來，與變量之間用分號隔開.

　　2.賦值語句的賦值號左邊只能是變量而不能是表達式;賦值號左右兩邊不能對換，不能利用賦值語句進行代數式計算，利用賦值語句可以實現兩個變量值的互換，方法是引進第三個變量，用三個賦值語句完成.

　　3.在某些算法中，根據需要，在條件語句的THEN分支或ELSE分支中又可以包含條件語句.遇到這樣的問題，要分清內外條件結構，保證結構的完整性.

　　4.分清WHILE語句和UNTIL語句的格式，在解決一些需要反復執行的運算任務，如累加求和，累乘求積等問題中應主要考慮利用循環語句來實現，但也要結合其他語句如條件語句.

　　5.編程的一般步驟：

　　(1)算法分析;(2)畫出程序框圖;(3)寫出程序.

　　11.3 算法案例

　　典例精析

　　題型一求最大公約數

　　【例1】(1)用輾轉相除法求840與1 764的最大公約數;

　　(2)用更相減損術求440與556的最大公約數.

　　【解析】(1)用輾轉相除法求840與1 764的最大公約數：

　　1 764=8402+84，

　　840=8410+0.

　　所以840與1 764的最大公約數是84.

　　(2)用更相減損術求440與556的最大公約數：

　　556-440=116，

　　440-116=324，

　　324-116=208，

　　208-116=92，

　　116-92=24，

　　92-24=68，

　　68-24=44，

　　44-24=20，

　　24-20=4，

　　20-4=16，

　　16-4=12，

　　12-4=8，

　　8-4=4.

　　所以440與556的最大公約數是4.

　　【點撥】(1)輾轉相除法與更相減損術是求兩個正整數的最大公約數的方法，輾轉相除法用較大的數除以較小的數，直到大數被小數除盡結束運算，較小的數就是最大公約數;更相減損術是用兩數中較大的數減去較小的數，直到所得的差和較小數相等為止，這個較小數就是這兩個數的最大公約數.一般情況下，輾轉相除法步驟較少，而更相減損術步驟較多，但運算簡易，解題時要靈活運用.

　　(2)兩個以上的數求最大公約數，先求其中兩個數的最大公約數，再用所得的公約數與其他各數求最大公約數即可.

　　【變式訓練1】求147,343,133的最大公約數.

　　【解析】先求147與343的最大公約數.

　　343-147=196，

　　196-147=49，

　　147-49=98，

　　98-49=49，

　　所以147與343的最大公約數為49.

　　再求49與133的最大公約數.

　　133-49=84，

　　84-49=35，

　　49-35=14，

　　35-14=21，

　　21-14=7，

　　14-7=7.

　　所以147,343,133的最大公約數為7.

　　題型二秦九韶算法的應用

　　【例2】用秦九韶算法寫出求多項式f(x)=1+x+0.5x2+0.016 67x3+0.041 67x4+0.008 33x5在x=-0.2時的值的過程.

　　【解析】先把函數整理成f(x)=((((0.008 33x+0.041 67)x+0.166 67)x+0.5)x+1)x+1，

　　按照從內向外的順序依次進行.

　　x=-0.2，

　　a5=0.008 33， v0=a5=0.008 33;

　　a4=0.041 67， v1=v0x+a4=0.04;

　　a3=0.016 67， v2=v1x+a3=0.008 67;

　　a2=0.5， v3=v2x+a2=0.498 27;

　　a1=1， v4=v3x+a1=0.900 35;

　　a0=1， v5=v4x+a0=0.819 93;

　　所以f(-0.2)=0.819 93.

　　【點撥】秦九韶算法是多項式求值的最優算法，特點是：

　　(1)將高次多項式的求值化為一次多項式求值;

　　(2)減少運算次數，提高效率;

　　(3)步驟重復實施，能用計算機操作.

　　【變式訓練2】用秦九韶算法求多項式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1當x=2時的值為.

　　【解析】1 397.

　　題型三進位制之間的轉換

　　【例3】(1)將101 111 011(2)轉化為十進制的數;

　　(2)將53(8)轉化為二進制的數.

　　【解析】(1)101 111 011(2)=128+027+126+125+124+123+022+121+1=379.

　　(2)53(8)=581+3=43.

　　所以53(8)=101 011(2).

　　【點撥】將k進制數轉換為十進制數，關鍵是先寫成冪的積的形式再求和，將十進制數轉換為k進制數，用除k取余法，余數的書寫是由下往上，順序不能顛倒，k進制化為m進制(k，m10)，可以用十進制過渡.

　　【變式訓練3】把十進制數89化為三進制數.

　　【解析】具體的計算方法如下：

　　89=329+2，

　　29=39+2，

　　9=33+0，

　　3=31+0，

　　1=30+1，

　　所以89(10)=10 022(3).

　　總結提高

　　1.輾轉相除法和更相減損術都是用來求兩個數的最大公約數的方法.其算法不同，但二者的原理卻是相似的，主要區別是一個是除法運算，一個是減法運算，實質都是一個遞推的過程.用秦九韶算法計算多項式的值，關鍵是正確的將多項式改寫，然后由內向外，依次計算求解.

　　2.將k進制數轉化為十進制數的算法和將十進制數轉化為k進制數的算法操作性很強，要掌握算法步驟，并熟練轉化;要熟練應用除基數，倒取余，一直除到商為0.

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